二元一次方程组的解法（一）代入消元法
作业设计
基础题(用代入消元法解二元一次方程组准备题）：
设计目的：用含一个未知数的代数式表示另外一个未知数，为用代入消元法解二元一次方程组做准备。
（一）选择题(共6题，共24分。)
1．(4分)把方程2x-y=1改写成用含x的式子表示y正确的是（ ）
A. y=2x-1 B. y=-2x+1
C. D.
2．(4分)方程2x-3y=7，用含y的代数式表示x为（ ）
A. y=（7-2x） B. y=（2x-7）
C. x=（7-3y） D. x=（7+3y）
3．(4分)由方程组可得x与y的关系是（ ）
A. 2x+y=4 B. 2x+y=-4 C. 2x-y=4 D. 2x-y=-4
4．(4分)关于x、y的二元一次方程的自然数解有（ ）
A. 3组 B. 4组 C. 5组 D. 6组
5．(4分)方程2x-3y=7，用含y的代数式表示x为（ ）
A. x=（7+3y） B. x=（7-2y）
C. y=（2x-7） D. y=（7-2x）
6．(4分)由3x-2y=6可以得到用x表示y的式子为（ ）
A. B.
C. D.
（二）、填空题(共4题；共16.0分)
7．(4分)已知方程，用含的代数式表示，得=_______．
8．(4分)已知方程2x-3y+1=0，且含x的式子表示y=_____．
9．(4分)已知二元一次方程3x-2y=10，用含x的代数式表示y,则y=_____．
10．(4分)已知方程7x-3y=5，用含x的式子表示y,则y=_____．
二、用带入消元法解二元一次方程组练习题
（一）、选择题(共9题；共36分。)
1．(4分)已知a，b满足，则a，b的值分别是（ ）
A. 2，-5 B. -2，5 C. 2,5 D. -2，-5
2．(4分)已知，则用含x的式子表示y为（ ）
A. y=﹣2x+9 B. y=2x﹣9 C. y=﹣x+6 D. y=﹣x+9
3．(4分)已知代数式与是同类项，则代数式的值为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
4．(4分)方程组消去y后所得的方程是（ ）
A. 3x－4x＋10＝8 B. 3x－4x＋5＝8
C. 3x－4x－5＝8 D. 3x－4x－10＝8
5．(4分)关于x、y的二元一次方程组，用代入法消去y后所得到的方程，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6．(4分)用代入消元法解二元一次方程组，将①代入②消去x，可得方程（ ）
A. （y＋2）＋2y＝0 B. （y＋2）﹣2y＝0
C. x＝x＋2 D. x﹣2（x﹣2）＝0
7．(4分)二元一次方程组的解是（ ）
A. B.
C. D.
8．(4分)若二元一次方程组的解为，则 表示的方程可以是（ ）
A. x+y=4 B. x-y=4 C. xy=3 D. 2x+y=1
9．(4分)如果关于、的二元一次方程组的解、满足，那么的值是（ ）
A. B.
C. D.
（二）、填空题(共5题；共20分。)
10．(4分)已知方程组中，a,b互为相反数，则m的值是 _____．
11．(4分)二元一次方程组的解为________．
12．(4分)方程组的解为__________．
13．(4分)若，则________.
14．(4分)方程组的解是：_____．
三、解答题(共14题；共70分)
15．(5分)解下列方程组：（直接代入消元类）
（1）； (2)
(3) (4)
16、解下列二元一次方程组（变形后带入消元类）
（1） （2）
（3） （4）
17、解下列二元一次方程组（原方程需要整理后再变形带入消元类）
（1） （2）
（3） （4）
（5）
18、解下列二元一次方程组（整体代入消元类）
（1） （2）
（3）．(8分)嘉嘉在解方程组时，发现方程①和②存在一定关系，他的解法如下．
解：将方程②变形，得．
将①代入③，得．
解这个方程，得．
把代入①，得．所以原方程组的解为
嘉嘉的这种解法叫“整体换元法”，请用“整体换元法”完成下列问题．
（1）解方程组
①把方程①代入方程②，则方程②变为______________________；
②原方程组的解为____________________；
（2）解方程组
（4）(8分)阅读材料：善于思考的李同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．
解：把m+5，n+3成一个整体，设m+5=x,n+3=y,原方程组可化为
解得：．∴，∴原方程组的解为．
（1）若方程组的解是，则方程组的解是 _____．
（2）仿照李同学的方法，用“整体换元”法解方程组．
19．能力提升(5分)若关于x,y的二元一次方程组 与方程组有相同的解.
（1）求这个相同的解；
（2）求的值.
20．能力提升(5分)已知方程组的解也是方程组的解求的值．
21、(8分)阅读以下材料：
解方程组．
解：由①得x-y=1③，将③代入②得4×1-y=5，解得y=-1；
把y=-1代入①解得，这种方法称为“整体代入法”．
请你用这种方法解方程组．(共18张PPT)
7.2.1二元一次方程组的解法
——代入消元法
华东师大版第7章一次方程组
1、通过探索，逐步发现解方程组的基本思想是“消元”，也就是将二元一次方程组化为一元一次方程。
2、理解“代入消元法”，并掌握用代入消元法解二元一次方程组的步骤。
3、通过掌握用代入消元法解二元一次方程组，初步探究化归思想在数学学习中的运用。
学习目标
温故而知新
1.解一元一次方程的一般步骤有：
2.什么叫做二元一次方程
3、把下列方程变成用含一个字母的代数式表示另一个字母的形式
去除分母，去除括号，移项，合并同类项，系数化为1
（1）把方程2x+y=1写成用含x的式子表示y的形式：
解：
y=1-2x
（2）把方程2y-3x+1=0写成用含y的代数式表示x的形式：
解：
或
当一个等式中包含两个未知数，且未知项的次数均为1的整式方程
问 题
解： 设有x 个成人，y 个儿童，据题意得：
怎样求二元一次方程组的解呢？
2024年五一节，东东一家8个人决定黑龙潭游玩，门票有成人票和儿童票，购买票价为34元。其中每张成人票5元，每张儿童票3元。请问：小明家去了几个成人，几个儿童？请同学们思考：这个问题中有几个等量关系？
分析
解方程组 :
y –x = 20000×30%
y = 4x
解：
①
②
把②代入①得:
4x–x = 20000×30%
3x = 6000
x = 2000
把x=2000代入②，得:
y= 4x
= 4×2000
= 8000
∴
x = 2000
y = 8000
y –x= 20000×30%
y = 4x
4x
例1
解题反思:
通过把y = 4x代入①消去一个未知数,把二元一次方程组转化为一元一次方程。
(1)
x+3y=8.
x=3y+2,
解方程组:
(2)
y=7-5x.
4x-3y=17
学以致用，大显身手
(1)
x+3y=8.
x=3y+2,
解方程组:
②
①
解:把① 代入②，得
y=1.
6y+2=8,
6y=6,
( )+3y=8,
3y+2
x=3×1+2
把y=1代入①,得
所以
x=5.
y=1.
x =5,
切记，此处应加括号
解方程组:
(2)
y=7-5x.
4x-3y=17
②
①
4x-3( )=17,
4x+15x=17+21,
19x =38,
x=2.
-21+15x
解：把 ② 代入 ① ,得
4x
=17,
所以
y=7 - 5×2,
y=-3.
y=-3.
x =2,
把x=2代入 ,得
②
7-5x
切记，此处应加括号
例2、 解方程组
x+y=7 ①
3x+y=17 ②
解：
x=5
将 ③代入 ②，得
3x+（7-x）=17
即
将x=5代入③ ，得
y=2
所以
y=2
x=5
由①得
③
y=7-x
用代入法解二元一次方程组的一般步骤
1、变形：选择方程组中系数比较简单的方程进行变形，用含一个未知数的代数式表示另外一个未知数，并将变形后的方程命名为方程③
2、代入消元，求解：将此代入另一方程式中对应之未知数，则可得一元一次方程式，并解此方程，求得一个未知数的值
3、再代求解：把这个未知数的值再代入变形后的方程，从而求出另一个未知数的值
4、写解（检验）：记作
y=n
x=m
2、把方程③代入方程组中没有变形的那个方程消元，化二元一次方程组为一元一次方程；
1、选择方程组中一个未知数系数比较简单的方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，即y=ax+b或x=ay+b记作方程③，
结合例2理解代入消元法解方程组的步骤
3、解一元一次方程，求出一个未知数的值；
4、将求出的未知数的值带入方程③，求出另一个未知数的值；
5、写出方程组的解。
提示:
2、用含哪个未知数的代数式表示另一个
未知数
选择有一个未知数的系数是1的方程
用 y 表示 x
1、你认为选择哪个方程变形比较方便
①
②
※ 怎样解方程组：
思 考
由 ② 得 x = - 15 - 4y ③
x = - 3
y = - 3
将 ③ 代入 ① ，得
3( - 15 - 4y ) - 5y = 6
即 y = - 3
将y = - 3 代入 ③ ，得
x = - 3
所以
怎样解方程组：
①
②
解 ：
※
学以致用
代入法的灵活运用
C
1
C
D
D
总结解法步骤
1、选择方程组中一个未知数系数比较简单的方程进行变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，即y=ax+b或x=ay+b记作方程③，
2、把方程③代入原方程组中未发生变形的那个方程进行消元，化二元一次方程组为一元一次方程；
3、解一元一次方程，求出一个未知数的值；
4、将求出的未知数的值带入方程③，求出另一个未知数的值；
5、写出方程组的解。华东师大版七年级（下）册
§7.2(一）二元一次方程组的解法（代入消元法）
教学设计
●教学内容分析
本课时是本单元《一次方程组》第2课时的内容，主要是学习带入消元法解二元一次方程组，是继一元一次方程之后的又一次学习方程的第二个内容。从一元一次方程和二元一次方程组的解法上看，两者密切相关，二元一次方程组通过消元转化为一元一次方程来解。所以,解二元一次方程组的核心思想是消元,变二元为一元。消除元的方法主要有代换法和加减法。教材对于二元一次方程组解法的探索，对例题的安排做了整体的设计。对于§7.1问题2所列出的方程组紧紧抓住y=4x这一等量关系（这个等价关系的本质，是用含一个未知数的代数式表示另外一个未知数，也就是y=ax+b或x=ay+b的形式）顺利引入“代入消元”的思想方法，随后利用这个方法观察例1的方程组中的两个方程，可以看出，在例1的两个等式中，均未出现用一个未知数的代数式来表示另一个未知数的等式，经过对问题2的回顾和比较，我们可以看出，有必要对这些等式中的一个进行变形，才能将方程转化为和问题2方程组中相同的形式来解决。
●学生学情分析
在开始这一节课前，同学们就对有理数的加，减，乘，除，等混合运算的技巧，整式的加减运算技能、解一元一次方程的基本步骤等知识，通过对二元一次方程和二元一次方程组的一些基本概念的理解，掌握了二元一次方程组的解题方法。二元一次方程组的解法是上一章一元一次方程解法的延续，学生已经比较系统的学习了解一元一次方程的基本步骤，而一次方程组的解法与一元一次方程的解法密切相关。用消元法将二元一次方程组化为一元一次方程的求解。学生具有去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为1等式来解决问题，所以在一元一次方程之后安排设计了本章内容，能很好地体现数学知识的前后衔接及内容的整体性。同时也为后续学习解决实际问题提供有效的数学模型，为九年级学生学习用待定系数法求一次函数的解析式打好相应基础。通过本节知识学习，能培养学生运算能力，这不仅是学校教育的重要组成部分，更是一项基础而关键的技能。在数学教学中，通过不断地练习和应用计算技巧，学生能够掌握如何准确地进行这种能力对于他们解决日常生活中遇到的各种问题至关重要。此外，它们能帮助学生巩固所学知识，克服难题，并逐步提高解题速度和准确性。在这一节中，我们要使学生了解用代入消元法求解二元一次方程的整个过程，并进一步理解用代入消元法求解二元一次方程的方法。
●教学目标
（1）知识与技能目标
会用含一个未知数的代数式表示另外一个未知数；
会用代入消元法解二元一次方程组；
（2）过程与方法目标
通过对教材问题2的探索，引导学生列出二元一次方程组，培养学生探究、分析问题、解决问题的能力；
通过对问题2、例1和例2方程组特点的观察、比较，深化对代入消元法解二元一次方程组的认识，根据对实例一、二的求解过程的观测，总结出一种求解二元一次方程的基本模式——代入消元法；
情感、态度与价值观
通过问题2的学习，加强了学生的“学数学”和“用数学”的意识，培养学生用“量感”的数学眼光观察世界；
通过对问题2、例1和例2的深入学习，培养学生观察（方程组的特点）、分析（如何消元）、归纳（什么时候直接代入，什么时候变形代入）能力，学会用数学的思维解决问题，将真实的世界用数学的语言来表述（学生将用代入消元法求解二元一次方程的过程用数学语言表示出来）等核心素养。
●教学重点：
用代入消元法解二元一次方程组.
●教学难点：
在解决问题时，体验"消元"（由"二元"到"一元"）的思路，以及“由未知到可知”的化归思路.
●教与学活动设计
活动一：激活原有认知，做好探究铺垫
教师活动：解一元一次方程的一般步骤有哪些？
学生操作：去除分母，去除括号，移项，合并同类项，系数化为1.
教师活动：什么叫二元一次方程，二元一次方程组，二元一次方程组的解
学生活动：
生A:方程中含有两个未知数，含未知数的式子是整式，且未知数的次数是一次的方程；
生 B：将两个具有同一个未知数的二元一次方程组合起来，称为二元一次方程组；
生 C：在二元一次方程式系统中，当两个等式的左右两侧均相等时，其数值称为二元一次方程式的求解。
活动二:把下列方程变成用含一个字母的代数式表示另一个字母的形式：
把方程2x+y=1写成用含x的式子表示y的形式：
教师活动：教师示范此题：教师板演
解:y=1-2x
教师强调：表示哪一个字母，则该字母的系数需化为1.
把方程2y-3x+1=0写成用含y的代数式表示x的形式。
学生活动：学生在练习本上练习本题；
学生活动：学生分享自己的答案，上黑板展示；
学生活动：学生完成作业设计中该知识点的选择题。
活动三：创设情境
设计意图：通过情境创设，让学生感受到来自生活的数学问题，加强学生的学数用数意识，培养学生用“量感”的数学眼光观察世界；
多媒体课件展示：
2024年“五一节”，东东一家8个人决定去黑龙潭游玩，门票有成人票和儿童票，购买票价为34元，成人票价为5元，儿童票价为3元，请问:东东一家去了几个成人,几个儿童？
教师活动：教师读题后，请同学们认真审题，并思考该情境涉及到了几个等量关系？该如何设未知数？
学生活动：学生寻找情境中的等量关系，并设好未知数.
学生活动：学生分享答案；
教师活动：学生叙述，教师板演；
解：假设有 x个成年人和 y个儿童，据题意得：
活动四：探索二元一次方程组的解法
设计意图：增强学生学数学、用数学的意识，培养学生用数学眼光观察世界；
教师活动：教师用多媒体出示第一课时问题2所列出的方程组；
教师活动：教师提问：怎样解这个方程组？请同学们观察、先独立思考，再同桌讨论。
教师活动：教师问题引导：
问题（1）：方程(2)y=4x说明什么？
学生活动：学生观察、思考、同桌讨论；
教师活动：对学生抽问，全班同学倾听各小组代表发言；
教师活动：教师概括：根据等式的性质y=4x说明y与4x是等值的，可以用4x替换方程（1）中的x,
教师活动：问题引导（2）：能否把二元一次方程组变为一元一次方程？其关键是什么？
学生活动：学生独立思考后再同桌讨论。
学生活动：各小组代表发言；
教师活动：教师根据小组学生发言进行归纳、概括
观察发现，方程②说明，y与4x的值是相等的，因此，方程（1）中的y可以看为4x，即将（2）代人（1），消去方程（1）中的未知数y，得到一个一元一次方程，解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。
教师活动：教师板书解这个二元一次方程组的过程；
解：把（2）代入（1），得
把代入（2），得
∴
活动五：归纳直接代入消元法的解题步骤
教师活动：启发引导
问题引导3：
教师提问，让学生思考、交流、讨论
1．例题的解答过程共有哪几步？
2．把（2）代入（1）的目的是什么？
3．请同学们归纳出上述例题解二元一次方程组关键的一步？
学生活动：思考、交流、讨论
学生活动：各小组学生代表分享讨论的结果
教师活动：教师归纳：选择方程组中用含一个未知数的代数式表示另外一个未知数的方程，代入另外一个方程，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，进而求出方程组的解。
活动六：用上述解二元一次方程组的方法解下列方程组
设计意图：加深用直接代入消元法解二元一次方程组的方法及步骤，体现用数学的核心素养
教师活动：教师用多媒体展示练习
练一练：解下列方程组（要求：第1、2、3、小题用语言简要叙述解题过程，第
4小题仿照例题的方法写出解答过程）。
（1） （2）
（3） （4）
学生活动：学生同桌间相互交流、探讨解题方法
学生活动：学生代表发言，教师对学生的发言进行点拨
学生活动：学生仿照例题的方法写出第4小题的解答过程
学生活动：教师让学生代表上讲台进行板演。
活动七：探究变形代入消元法解二元一次方程组的方法
教师活动：同学们，在上一环节，我们对直接代入消元法做了探讨，请同学们继续努力思考一下怎样解下面这个方程组？
教师活动：教师板书方程组
例1解方程组
教师活动：请同学们认真观察这个方程与上述方程的区别，并思考怎样解例1？
学生活动：独立观察、思考、交流讨论例1的解题思路
学生活动：教师请一个小组代表发言
教师活动：教师根据学生发言的实际情况进行点拨
教师活动：教师板演例1的解题过程
解：由（1）得 =7－ （3）
将（3）代入（2），得
3＋7－=17
解这个方程得 =5
把=5代入方程（3），得
=2
∴
教师活动：请同学们结合例1的解题过程总结用代入消元法解二元一次方程组的步骤
学生活动：学生总结
学生活动：学生代表发言
教师活动：教师对学生的发言进行概括
第一步：选择方程组中系数比较简单的方程进行变形，用含一个未知数的代数式表示另外一个未知数，并将变形后的方程命名为方程③.
第二步：把方程③代入没有变形方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程.
第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.
第四步：把求出的这个未知数的值代入变形后的方程③，求出另一个未知数的值.
第五步：用大括号把方程组的解表示出来.
第六步：检验，把求得的方程组的解代入方程组中每一个方程，看左右是否成立，若成立，则是原方程组的解，反之，则不是。
活动七：巩固用代入消元法解二元一次方程组
设计意图：巩固用代入消元法解二元一次方程组，直观理解所学的数学知识，形成重论据，有条理的思维品质，培养学生的科学态度及思维的严谨性。
教师活动：教师用多媒体展示巩固练习
巩固练习：解下列方程组：
（1） （2）
（3） （4）
教师活动：请同学们进行分组练习，并认真体会用代入消元法解二元一次方程
学生活动：学生在练习本上分组练习
学生活动：教师请4位同学上黑板进行板演
学生活动：同学间相互批改
教师活动：教师巡视，解决学生中存在的问题
活动八：知识小结
教师活动：
教师提问1．通过这节课的学习你学到了哪些知识？
教师提问2．解二元一次方程组的思想是什么？
●作业布置：
《实践与探索》2/2二元一次方程组的解法（一）代入消元法
●板书设计：
三、教学反思
二元一次方程组的解法是学习二元一次方程组的重过
§7.2:二元一次方程组的解法
解：把（2）代入（1），得
把代入（2），得
∴
解：由（1）得 =7－ （3）
将（3）代入（2），得
3＋7－=17
得 =5
将=5代入（3），得
=2
∴
步骤：
第一步：选择方程组中系数比较简单的方程进行变形，用含一个未知数的代数式表示另外一个未知数，并将变形后的方程命名为方程③.
第二步：把方程③代入没有变形方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程.
第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.
第四步：把求出的这个未知数的值代入变形后的方程③，求出另一个未知数的值.
第五步：用大括号把方程组的解表示出来.
第六步：检验，把求得的方程组的解代入方程组中每一个方程，看左右是否成立，若成立，则是原方程组的解，反之，则不是。
第六步：检验
