沪教版七年级数学下册试题 第13章 《相交线 平行线》单元复习题（含解析）

第13章 《相交线 平行线》单元复习题
一．选择题
1．如图，已知直角△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则表示点A到直线CD距离的是（　　）
A．线段CD的长度 B．线段AC的长度
C．线段AD的长度 D．线段BC的长度
2．如图图形中，∠1和∠2不是同位角的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，不能推断AD∥BC的是（　　）
A．∠1=∠5 B．∠2=∠4
C．∠3=∠4+∠5 D．∠B+∠1+∠2=180°
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是边BC上一点，且∠ADC＝60°，那么下列说法中错误的是（　　）
A．直线AD与直线BC的夹角为60°
B．直线AC与直线BC的夹角为90°
C．线段CD的长是点D到直线AC的距离
D．线段AB的长是点B到直线AD的距离
5．下列说法正确的是（　　）
A．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
B．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角相等
D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
6．如图，直线AB，CD，EF相交于点O，则∠AOE+∠DOB+∠COF等于（　　）
A．150° B．180° C．210° D．120°
7．如图，下列判断中错误的是（　　）
A．由∠A+∠ADC＝180°得到AB∥CD
B．由AB∥CD得到∠ABC+∠C＝180°
C．由∠1＝∠2得到AD∥BC
D．由AD∥BC得到∠3＝∠4
8．如图所示，能说明AB∥DE的有（　　）
①∠1＝∠D；②∠CFB+∠D＝180°；③∠B＝∠D；④∠BFD＝∠D．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，点E在BC的延长线上，由下列条件不能得到AB∥CD的是（　　）
A．∠1=∠2 B．∠B=∠DCE
C．∠3=∠4 D．∠D+∠DAB=180°
10.如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（　　）
A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠3=∠4 D．∠1=∠5
11．如图，a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1=36°，那么∠2=（　　）
A．54° B．56° C．44° D．46°
12．如图所示，已知OA⊥BC，垂足为点A，连接OB，下列说法：①线段OB是O、B两点的距离；②线段AB的长度表示点B到OA的距离；③因为OA⊥BC，所以∠CAO＝90°；④线段OA的长度是点O到直线BC上点的最短距离．其中错误的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．如图，直线AC和直线BD相交于点O，若∠1+∠2＝70°，则∠BOC的度数是（　　）
A．100° B．115° C．135° D．145°
14．把一副三角尺放在同一水平桌面上，如果它们的两个直角顶点重合，两条斜边平行（如图所示），那么∠1的度数是（　　）
A．75° B．90° C．100° D．105°
二．填空题
15．如图直线AB，CD相交于O，直线FE⊥AB于O，∠BOD＝75°，则∠COF的度数为　 　度．
16．已知∠A=30°，∠A的两边与∠B的两边分别平行，∠B=　 　．
17．如图，如果∠A+　 　=180°，那么AD∥BC．
18．如图，DF平分∠CDE，∠CDF=55°，∠C=70°，则　 　．
19．如图，和∠A是同位角的有　 　．
20．如图，下列条件中：
（1）∠B+∠BCD=180°；
（2）∠1=∠2；
（3）∠3=∠4；
（4）∠B=∠5，能判定AB∥CD的条件个数有　 　个．
21．如图，一只因损坏而倾斜的椅子，从背后看到的形状如图，其中两组对边的平行关系没有发生变化，若∠1=75°，则∠2的大小是　 　．
22．已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC＝30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1=20°，则∠2的度数为　 　°．
三．解答题
23．已知：如图，AB∥CD，AD和BC交于点O，E为OC上一点，F为CD上一点，且∠CEF+∠BOD=180°．求证：∠EFC=∠A．
24．已知：如图∠AED=∠C，∠DEF=∠B，请你说明∠1与∠2相等吗？为什么？
解：因为∠AED=∠C（已知）
所以　 　∥　 　（　 　）
所以∠B+∠BDE=180° （　 　）
因为∠DEF=∠B（已知）
所以∠DEF+∠BDE=180° （　 　）
所以　 　∥　 　（　 　）
所以∠1=∠2 （　 　）．
25．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，FO⊥CD于点O，若∠BOD：∠EOB=2：3，求∠AOF的度数．
26．如图，已知AD⊥BC，垂足为点D，EF⊥BC，垂足为点F，∠1+∠2=180°．请填写∠CGD=∠CAB的理由．
∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴∠ADC=90°，∠EFC=90° （　 　），
∴∠ADC=∠EFC，
∴AD∥　 　（　 　），
∴∠　 　+∠2=180°（　 　），
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠　 　=∠　 　（　 　），
∴DG∥　 　（　 　），
∴∠CGD=∠CAB．
27．如图，已知AM∥BN，∠A＝60°，点P是射线AM上一动点（与A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于C、D，（推理时不需要写出每一步的理由）
（1）求∠CBD的度数．
（2）当点P运动时，那么∠APB：∠ADB的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律．
（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数．
28．如图，直线AE、CF分别被直线EF、AC所截，已知，∠1=∠2，AB平分∠EAC，CD平分∠ACG．将下列证明AB∥CD的过程及理由填写完整．
证明：因为∠1=∠2，所以　 　∥　 　，（　 　）
所以∠EAC=∠ACG，（　 　）
因为AB平分∠EAC，CD平分∠ACG，
所以　 　= ∠EAC ，　 　= ∠ACG，
所以　 　=　 　，
所以AB∥CD（　 　）．
29．如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠A，试说明：BE∥CF．
完善下面的解答过程，并填写理由或数学式：解：
∵∠3=∠4（已知）
∴AE∥　 　（　 　）
∴∠EDC=∠5（　 　）
∵∠5=∠A（已知）
∴∠EDC=　 　 （　 　）
∴DC∥AB（　 　）
∴∠5+∠ABC=180°（　 　）
即∠5+∠2+∠3=180°
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠5+∠1+∠3=180°（　 　）
即∠BCF+∠3=180°
∴BE∥CF（　 　）．
30.问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°．求∠APC度数．
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC=　 　．
问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．
（1）当点P在A、B两点之间运动时，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．
（2）如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系．
答案
一．选择题
1．
【分析】根据点到直线的距离的概念：直线外一点到这条直线的垂线段的长度即为该点到这条直线的距离作答．
【解答】解：点A到CD的距离是线段AD的长度．
故选：C．
2．
【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角进行分析即可．
【解答】解：∵选项B中∠1和∠2是由四条直线组成，
∴∠1和∠2不是同位角．
故选：B．
3．
【分析】根据平行线的判定方法分别进行分析即可．
【解答】解：A、∠1＝∠5可根据内错角相等两直线平行可得AD∥BC，故此选项不合题意；
B、∠2＝∠4可根据内错角相等两直线平行可得AB∥DC，故此选项符合题意；
C、∠3＝∠4+∠5可根据同位角相等两直线平行可得AD∥BC，故此选项不合题意；
D、∠B+∠1+∠2＝180°可根据同旁内角互补，两直线平行可得AD∥BC，故此选项不合题意；
故选：B．
4．
【分析】根据已知角即可判断A、B；根据点到直线的距离的定义即可判断C、D．
【解答】解：A、∵∠CDA＝60°，
∴直线AD与直线BC的夹角是60°，正确，故本选项错误；
B、∵∠ACD＝90°，
∴直线AC与直线BC的夹角是90°，正确，故本选项错误；
C、∵∠ACD＝90°，
∴DC⊥AC，
∴线段CD的长是点D到直线AC的距离，正确，故本选项错误；
D、∵BD和AD不垂直，
∴线段AB的长不是点B到直线AD的距离，错误，故本选项正确；
故选：D．
5．
【分析】根据对顶角的定义，平行线的定义，平行公理和垂线的性质分别进行判断，即可求出答案．
【解答】A、如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，还要看这两个角的位置关系，所以错误；
B、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误；
C、如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角不一定相等，应强调是两直线平行，是错误的；
D、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确；
故选：D．
6．
【分析】根据对顶角相等和周角的定义求三个角的和．
【解答】解：∵∠COF与∠DOE是对顶角，
∴∠COF＝∠DOE，
∴∠AOE+∠DOB+∠COF＝∠AOE+∠DOB+∠COF＝×360°＝180°．
故选：B．
7．
【分析】根据平行线的性质与判定，逐一判定．
【解答】解：A、由∠A+∠ADC＝180°得到AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），正确；
B、由AB∥CD得到∠ABC+∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补），正确；
C、由∠1＝∠2得到AD∥BC（内错角相等，两直线平行），正确；
D、由AD∥BC得到∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等），所以此选项错误．
故选：D．
8．
【分析】在复杂的图形中具有相等关系或互补关系的两角首先要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．
【解答】解：①∵∠1＝∠D，
∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行）；
②∵∠CFB＝∠AFD（对顶角相等），又∠CFB+∠D＝180°，
∴∠AFD+∠D＝180°，
∴AB∥DE（同旁内角互补，两直线平行）；
③中的∠B和∠D不符合“三线八角”，不能构成平行的条件；
④∵∠BFD＝∠D，∴AB∥DE（内错角相等，两直线平行）；
所以①②④都能说明AB∥DE．
故选：C．
9．
【分析】根据平行线的判定定理进行逐一分析解答即可．
【解答】解：A、正确，符合内错角相等，两条直线平行的判定定理；
B、正确，符合同位角相等，两条直线平行的判定定理；
C、错误，若∠3＝∠4，则AD∥BE；
D、正确，符合同旁内角互补，两条直线平行的判定定理；
故选：C．
10．
【分析】根据对顶角、平行线的性质判断即可．
【解答】解：A、∵∠1与∠2是对顶角，
∴∠1＝∠2，本选项说法正确；
B、∵AD与AB不平行，
∴∠2≠∠3，本选项说法错误；
C、∵AD与CB不平行，
∴∠3≠∠4，本选项说法错误；
D、∵CD与CB不平行，
∴∠1≠∠5，本选项说法错误；
故选：A．
11．
【分析】先根据AB⊥BC，即可得到∠3＝90°﹣∠1＝54°．再根据a∥b，即可得出∠3＝∠2＝54°．
【解答】解：∵AB⊥BC，∠1＝36°，
∴∠3＝90°﹣∠1＝54°．
∵a∥b，
∴∠3＝∠2＝54°．
故选：A．
12．
【分析】根据点到直线的距离，两点之间的距离，垂线段最短逐个判断即可．
【解答】解：线段OB的长度是O、B两点的距离，故①错误；
线段AB的长度表示点B到OA的最短距离，故②正确；
∵OA⊥BC，
∴∠CAO＝90°，故③正确；
线段OA的长度是点O到直线BC上点的最短距离，故④正确；
错误的有①，共1个，
故选：A．
13．
【分析】根据对顶角和邻补角的定义即可得到结论．
【解答】解：∵∠1＝∠2，∠1+∠2＝70°，
∴∠1＝∠2＝35°，
∴∠BOC＝180°﹣∠1＝145°，
故选：D．
14．
【分析】通过在∠1的顶点作斜边的平行线可得∠1＝105°．
【解答】解：如图：过∠1的顶点作斜边的平行线，
利用平行线的性质可得，∠1＝60°+45°＝105°．
故选：D．
二．填空题
15．
【分析】利用图中角与角的关系即可求得，即∠COF＝∠DOE＝90°﹣∠BOD．
【解答】解：∵直线FE⊥AB于O，
∴∠BOE＝90°，
∵∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD，∠BOD＝75°，
∴∠DOE＝15°，
∴∠COF＝∠DOE＝15°．
故答案为：15．
16．
【分析】根据当两角的两边分别平行时，两角的关系可能可能相等也可能互补，即可得出答案．
【解答】解：当∠A的两边与∠B的两边如图1所示时，∠B＝∠A＝30°；
当∠A的两边与∠B的两边如图1所示时，∠B＝180°﹣∠A＝180°﹣30°＝150°．
故答案为：30°或150°．
17．
【分析】根据平行线的判定定理即可得到结论．
【解答】解：∵∠A+∠B＝180°，
∴AD∥BC．
故答案为∠B．
18．
【分析】由DF平分∠CDE，∠CDF＝55°可得∠CDE＝110°，再根据同旁内角互补两直线平行可得结论．
【解答】解：∵DF平分∠CDE，∠CDF＝55°，
∴∠CDE＝2∠CDF＝110°，
∵∠C＝70°，
∴∠C+∠CDE＝70°+110°＝180°，
∴DE∥BC．
故答案为：DE∥BC．
19．
【分析】根据同位角的定义，可得答案．
【解答】解：由图，得
∠A的同位角是∠BED和∠CDE，
故答案为：∠BED和∠CDE．
20．
【分析】根据平行线的判定定理即可判断．
【解答】解：（1）∠B+∠BCD＝180°，则AB∥CD；
（2）∠1＝∠2，则AD∥BC；
（3）∠3＝∠4，则AB∥CD；
（4）∠B＝∠5，则AB∥CD，
故能判定AB∥CD的条件个数有3个．
故答案为：3．
21．
【分析】先根据AD∥BC求出∠3的度数，再根据AB∥CD即可得出结论．
【解答】解：如图，∵AD∥BC，∠1＝75°，
∴∠3＝∠1＝75°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣75°＝105°．
故答案为：105°．
22．
【分析】根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：∵直线m∥n，
∴∠2＝∠ABC+∠1＝30°+20°＝50°，
故答案为：50
三．解答题
23．证明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D，
∵∠CEF+∠BOD＝180°，∠BOD+∠DOC＝180°，
∴∠CEF＝∠DOC．
∴EF∥AD．
∴∠EFC＝∠D，
∵∠A＝∠D，
∴∠EFC＝∠A．
24．解：因为∠AED＝∠C（已知）
所以 DE∥BC（ 同位角相等，两直线平行）
所以∠B+∠BDE＝180° （ 两直线平行，同旁内角互补）
因为∠DEF＝∠B（已知）
所以∠DEF+∠BDE＝180° （等量代换 ）
所以 EF∥AB（同旁内角互补，两直线平行 ）
所以∠1＝∠2 （ 两直线平行，内错角相等）．
故答案为：DE，BC，同位角相等，两直线平行，两直线平行，同旁内角互补，等量代换 EF，AB，同旁内角互补，两直线平行，两直线平行，内错角相等．
25．解：设∠BOD＝2x，∠EOB＝3x；
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠EOB＝3x，
则3x+3x+2x＝180°，
解得：x＝22.5°，
∴∠BOD＝45°，
∴∠AOC＝∠BOD＝45°，
∵FO⊥CD，
∴∠AOF＝90°﹣∠AOC＝90°﹣45°＝45°．
26．解：∠CGD＝∠CAB，理由如下：
∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴∠ADC＝90°，∠EFC＝90°（垂直定义），
∴∠ADC＝∠EFD，
∴AD∥EF（同位角相等，两直线平行），
∴∠3+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠1＝∠3（同角的补角相等），
∴DG∥AB（内错角相等，两直线平行），
∴∠CGD＝∠CAB．
故答案为：垂直定义；EF；同位角相等，两直线平行；3；两直线平行，同旁内角互补；1；3；同角的补角相等；AB；内错角相等，两直线平行．
27．解：
（1）∵AM∥BN，
∴∠ABN+∠A＝180°，
∴∠ABN＝180°﹣60°＝120°，
∴∠ABP+∠PBN＝120°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP＝120°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝60°；
（2）不变，∠APB：∠ADB＝2：1．
∵AM∥BN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠DBN，
∴∠APB：∠ADB＝2：1；
（3）∵AM∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
当∠ACB＝∠ABD时，则有∠CBN＝∠ABD，
∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN，
∴∠ABC＝∠DBN，
由（1）可知∠ABN＝120°，∠CBD＝60°，
∴∠ABC+∠DBN＝60°，
∴∠ABC＝30°．
28．证明：因为∠1＝∠2，所以AE∥CF（同位角相等，两直线平行），
所以∠EAC＝∠ACG（两直线平行，内错角相等），
因为AB平分∠EAC，CD平分∠ACG，
所以∠3＝= ∠EAC，∠4＝= ∠ACG，
所以∠3＝∠4，
所以AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
29．解：
∵∠3＝∠4（已知）
∴AE∥BC（ 内错角相等，两直线平行）
∴∠EDC＝∠5（ 两直线平行，内错角相等）
∵∠5＝∠A（已知）
∴∠EDC＝∠A （等量代换）
∴DC∥AB（ 同位角相等，两直线平行）
∴∠5+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
即∠5+∠2+∠3＝180°
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠5+∠1+∠3＝180°（等量代换）
即∠BCF+∠3＝180°
∴BE∥CF（同旁内角互补，两直线平行）；
故答案为：BC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠A；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．
30．解：过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE＝180°﹣∠A＝50°，∠CPE＝180°﹣∠C＝60°，
∴∠APC＝50°+60°＝110°，
故答案为：110°；
（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：
如图3，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；
（2）当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；
理由：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；
当P在BO之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．
理由：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．