沪教版七年级数学下册试题 第十三章《 相交线 平行线》单元复习题（含解析）
文档属性
| 名称 | 沪教版七年级数学下册试题 第十三章《 相交线 平行线》单元复习题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 249.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-10 21:29:13 | ||
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文档简介
第十三章《 相交线 平行线》单元复习题
一．选择题
1．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF，如果∠EFG＝64°，那么∠EGD的大小是（ ）
A．122° B．124° C．120° D．126°
2．如图，能判定直线a∥b的条件是（ ）
A．∠2+∠4＝180° B．∠3＝∠4 C．∠1+∠4＝90° D．∠1＝∠4
3．如图，下列判断正确的是（ ）
A．∠1与∠3是同位角 B．∠3与∠4是内错角
C．∠1与∠4是内错角 D．∠2与∠3是同位角
4．已知，OA⊥OC，且∠AOB：∠AOC＝2：3，则∠BOC的度数为（ ）
A．30° B．150° C．30°或150° D．90°
5．下列说法正确的的是（ ）
A．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
B．两直线被第三条直线所截，所得的内错角相等
C．两平行线被第三条直线所截，同位角相等
D．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
6．如图，点P是直线l外的一点，点A、B、C在直线l上，且PB⊥l，垂足是B，PA⊥PC，则下列判断不正确的是（ ）
A．线段PB的长是点P到直线l的距离
B．PA、PB、PC三条线段中，PB最短
C．线段AC的长是点A到直线PC的距离
D．线段PC的长是点C到直线PA的距离
7．下列说法中，正确的个数有（ ）
①直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；
②经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行；
③两个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
④两条平行直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题
8．如图，直线AB和CD的夹角是 度．
9．如果∠1和∠2有公共顶点，且∠1的两边分别垂直于∠2的两边，若∠1＝35°时，则∠2＝ ．
10．如图，已知直线AB，CD相交于点O，如果∠BOD＝40°，OA平分∠COE，那么∠DOE＝ 度．
11．如图，点A到直线BC的距离是线段 的长度．
12．如图，在直线l1∥l2，把三角板的直角顶点放在直线l2上，三角板中60°的角在直线l1与l2之间，如果∠1＝35°，那么∠2＝ °．
13．如图，∠C＝90°，线段AB＝15cm，线段AD＝12cm，线段AC＝9cm，则点A到BC的距离为 cm．
14．如图，在图中与∠1是同位角的角有 个．
15．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4．若进行以下操作，在边BC上从左到右依次取点D1、D2、D3、D4，过点D1作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E1、F2；过点D2作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E2、F2；过点D3作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E3、F3，则4（D1E1+D2E2+…+D2020E2020）+5（D1F1+D2F2+…+D2020F2020）＝ ．
16．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC．如果∠BOE＝65°，那么∠AOC＝ 度．
17．如图，若AB∥CD∥EF，则∠x，∠y，∠z三者之间的数量关系是 ．
18．如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，∠ACD＝80°，那么∠D的度数是 ．
三．解答题
19．阅读并填空．已知：如图，线BCF、线AEF是直线，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4．试说明AD∥BC．
解：∵AB∥CD（已知）
∴∠4＝∠ （ ）
∵∠3＝∠4（已知）
∴∠3＝∠ （ ）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠1+∠CAE＝∠2+∠CAE（ ）
即∠BAE＝∠
∴∠3＝∠ （ ）
∴AD∥BC（ ）
20．阅读并填空：如图，已知DE∥BC，如果∠ADE＝∠AED，那么∠B与∠C相等吗？
为什么？
解：因为DE∥BC（已知），
所以∠ADE＝ ．
∠AED＝∠C ．
因为∠ADE＝∠AED（已知），
所以∠B＝∠C ．
21．如图，已知AB∥CD，∠A＝∠C，那么∠E＝∠F吗？为什么？
22．如图，已知：∠ABC＝∠ADC，BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，且∠1＝∠2．
试说明：（1）AD∥BC；
（2）∠A＝∠C．
23．如图，已知∠B＝∠C，D在BA的延长线上，AE是∠DAC的平分线，试说明AE与BC平行的理由．
24．如图，已知AB∥DE，∠C＝20°，∠B：∠D＝4：3，求∠BOE的度数．
解：因为AB∥DE（已知），
所以∠B＝∠DOB（ ）．
因为∠DOB＝∠ +∠ （ ），
所以∠ ＝∠ +∠ （等量代换）．
（余下说理过程请写在下方）
25．如图，∠1＝∠2，∠DAB＝85°，那么∠B的度数是多少，为什么？
26．如图，已知在△ABC中，FG∥EB，∠2＝∠3，说明∠EDB+∠DBC＝180°的理由．
解：∵FG∥EB（ ），
∴ ＝ （ ）．
∵∠2＝∠3（已知），
∴ ＝ （ ）．
∴DE∥BC（ ），
∴∠EDB+∠DBC＝180°（ ）．
27．如图，已知AD⊥BC，垂足为点D，EF⊥BC，垂足为点F，∠1+∠2＝180°．请填写∠CGD＝∠CAB的理由．
∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴∠ADC＝90°，∠EFC＝90° （ ），
∴∠ADC＝∠EFC，
∴AD∥ （ ），
∴∠ +∠2＝180°（ ），
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠ ＝∠ （ ），
∴DG∥ （ ），
∴∠CGD＝∠CAB．
28．已知：AB∥DE．
（1）如图1，点C是夹在AB和DE之间的一点，当AC⊥CD时，垂足为点C，你知道∠A+∠D是多少吗？这一题的解决方法有很多，
例如（i）过点C作AB的平行线；
（ii）过点C作DE的平行线；
（iii）联结AD；
（iv）延长AC、DE相交于一点．
请你选择一种方法（可以不选上述四种），并说明理由．
（2）如图2，点C1、C2是夹在AB和DE之间的两点，请想一想：∠A+∠C1+∠C2+∠D＝ 度，并说明理由．
（3）如图3，随着AB与CD之间点增加，那么∠A+∠C1+∠C2+……+∠Cn+1+∠D＝ 度．（不必说明理由）
答案
一．选择题
1．
【分析】根据平行线的性质得到∠BEF＝180°﹣∠EFG＝116°，根据角平分线的定义得到∠BEG＝∠BEF＝58°，由平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AB∥CD，∠EFG＝64°，
∴∠BEF＝180°﹣∠EFG＝116°，
∵EG平分∠BEF交CD于点G，
∴∠BEG＝∠BEF＝58°，
∵AB∥CD，
∴∠EGD＝180°﹣∠BEG＝122°，
故选：A．
2．
【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；依据平行线的判定方法得出结论．
【解答】解：A．由∠2+∠4＝180°，不能判定直线a∥b；
B．由∠3＝∠4，不能判定直线a∥b；
C．由∠1+∠4＝90°，不能判定直线a∥b；
D．由∠1＝∠4，能判定直线a∥b；
故选：D．
3．
【分析】利用内错角、同位角、同旁内角定义进行解答即可．
【解答】解：A、∠1与∠3是同位角，原题说法正确，故此选项符合题意；
B、∠3与∠4是同旁内角，原题说法错误确，故此选项不符合题意；
C、∠1与∠4不是内错角，原题说法错误，故此选项不符合题意；
D、∠2与∠3不是同旁内角，原题说法错误，故此选项不符合题意；
故选：A．
4．
【分析】根据垂直关系知∠AOC＝90°，由∠AOB：∠AOC＝2：3，可求∠AOB，根据∠AOB与∠AOC的位置关系，分类求解．
【解答】解：∵OA⊥OC，
∴∠AOC＝90°，
∵∠AOB：∠AOC＝2：3，
∴∠AOB＝60°．
因为∠AOB的位置有两种：一种是在∠AOC内，一种是在∠AOC外．
①当在∠AOC内时，∠BOC＝90°﹣60°＝30°；
②当在∠AOC外时，∠B′OC＝90°+60°＝150°．
故选：C．
5．
【分析】利用对顶角的性质、平行线的性质及平行公理分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，故此选项错误；
B、两平行线被第三条直线所截，所得的内错角相等，故此选项错误；
C、两平行线被第三条直线所截，所得的同位角相等，故此选项正确；
D、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故此选项错误，
故选：C．
6．
【分析】根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”；“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可解答．
【解答】解：A、线段PB的长度叫做点P到直线l的距离，原说法正确，故此选项不符合题意；
B、PA、PB、PC三条线段中，依据垂线段最短可知PB最短，原说法正确，故此选项不符合题意；
C、线段PA的长度叫做点A到直线PC的距离，原说法不正确，故此选项符合题意；
D、线段PC的长是点C到直线PA的距离，原说法正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
7．
【分析】根据平行线的性质和判定，点到直线的距离的定义，平行公理与推论逐个判断即可．
【解答】解：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故①错误；
经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故②错误；
两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故③错误；
两条平行直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，故④正确；
即正确的个数是1个，
故选：A．
二．填空题
8．
【分析】根据邻补角互补求出∠AOC．
【解答】解：∵∠AOD+∠AOC＝180°，∠AOD＝110°．
∴∠AOC＝70°．
故答案为：70．
9．
【分析】分两种情况分别画图计算可得答案．
【解答】解：第一种情况，如图：
∵OA⊥OC，OB⊥OD，
∴∠1+∠BOC＝90°，∠2+∠BOC＝90°，
∴∠1＝∠2＝35°，
第二种情况，如图：∠COD＝∠2，
∵OA⊥OC，OB⊥OD，
∴∠1+∠BOC＝90°，∠1+∠AOD＝90°，
∴∠BOC＝∠AOD＝90°﹣∠1＝55°，
∴∠2＝∠COD＝∠1+∠BOC+∠AOD＝35°+55°+55°＝145°．
故答案为：35°或145°．
10．
【分析】根据对顶角相等求出∠AOC，再根据角平分线的定义，即可得出∠COE的度数，进而得到∠DOE的度数．
【解答】解：∵∠BOD＝40°，
∴∠AOC＝∠BOD＝40°，
∵OA平分∠COE，
∴∠COE＝2∠AOC＝80°，
∴∠DOE＝180°﹣80°＝100°．
故答案为：100．
11．
【分析】根据点到直线的距离及线段的长的意义可求出答案．
【解答】解：∵AE⊥BC，垂足为E，
∴点A到直线BC的距离是线段AE的长度．
故答案为：AE．
12．
【分析】根据三角形外角性质即可求得∠3的度数，再依据平行线的性质，可求得∠3＝∠2．
【解答】解：∵∠3是△ABC的外角，∠1＝∠ABC＝35°，
∴∠3＝∠C+∠ABC＝30°+35°＝65°，
∵直线l1∥l2，
∴∠2＝∠3＝65°，
故答案为：65．
13．
【分析】根据点到直线的距离的定义，可得答案．
【解答】解：因为∠C＝90°，
所以AC⊥BC，
所以A到BC的距离是AC，
因为线段AC＝9cm，
所以点A到BC的距离为9cm．
故答案为：9．
14.【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，据此解答即可．
【解答】解：如图：
与∠1是同位角的角有：∠2，∠3，∠4，∠5，共4个．
故答案为：4．
15.【分析】由D1F1∥AC，D1E1∥AB，可得＝，因为AB＝5，BC＝4，所以有4D1E1+5D1F1＝20；同理有如下规律4D2E2+5D2F2＝20，…，4D2019E2019+5D2019F2019＝20．
【解答】解：∵D1F1∥AC，D1E1∥AB，
∴＝，即＝，
∵AB＝5，BC＝4，
∴4D1E1+5D1F1＝20，
同理4D2E2+5D2F2＝20，…，4D2020E2020+5D2020F2020＝20，
∴4（D1E1+D2E2+…+D2020E2020）+5（D1F1+D2F2+…+D2019F2019）＝20×2020＝40400；
故答案为：40400．
16.【分析】先根据角平分线的定义，求出∠BOC的度数，再根据邻补角的和等于180°求解即可．
【解答】解：∵OE平分∠BOC，∠BOE＝65°，
∴∠BOC＝2∠BOE＝2×65°＝130°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣130°＝50°．
故答案为：50．
17.
【分析】依据AB∥CD∥EF可得出∠x+∠z+∠CEF＝180°，∠y+∠CEF＝180°，进而得到∠CEF＝180°﹣（∠x+∠z），∠CEF＝180°﹣∠y，据此可得∠x+∠z＝∠y．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴∠x+∠z+∠CEF＝180°，∠y+∠CEF＝180°，
∴∠CEF＝180°﹣（∠x+∠z），∠CEF＝180°﹣∠y，
∴∠x+∠z＝∠y．
故答案为：∠x+∠z＝∠y．
18.【分析】根据角平分线的定义可得∠BAD＝∠CAD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAD＝∠D，从而得到∠CAD＝∠D，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AB∥CD，
∴∠BAD＝∠D，
∴∠CAD＝∠D，
∵∠ACD+∠D+∠CAD＝180°，∠ACD＝80°，
∴80°+∠D+∠D＝180°，
解得∠D＝50°．
故答案为：50°．
三．解答题
19.解：如图所示：
∵AB∥CD，
∴∠4＝∠BAE（两直线平行，同位角相等），
又∵∠3＝∠4，
∴∠3＝∠BAE（等量代换），
又∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠CAE＝∠2+∠CAE（角的和差），
∴∠BAE＝∠DAC，
∴∠3＝∠DAC（等量代换），
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），
故答案为：BAE，两直线平行，同位角相等；BAE，等量代换，
等式的性质，DAC，DAC，等量代换，同错角相等，两直线平行．
20.解：因为DE∥BC（已知），
所以∠ADE＝∠B．
∠AED＝∠C（两直线平行，同位角相等）．
因为∠ADE＝∠AED（已知），
所以∠B＝∠C（等量代换）．
故答案为：∠B，（两直线平行，同位角相等），（等量代换）．
21.解：∠E＝∠F，
理由：∵AB∥CD（已知），
∴∠A＝∠CDE（两直线平行，同位角相等），
又∵∠A＝∠C（已知），
∴∠C＝∠CDE（等量代换），
∴AE∥CF（内错角相等，两直线平行），
∴∠E＝∠F（两直线平行，内错角相等）．
22.证明：（1）如图：
∵BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，
∴∠3＝∠ABC，∠1＝∠ADC，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠3＝∠1，
又∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠2，
∴AD∥BC；
（2）∵AD∥BC，
∴∠A+∠ABC＝180°，∠C+∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠A＝∠C．
23.解：AE与BC平行，理由是：
∵AE是∠DAC的平分线，
∴∠DAC＝2∠DAE，
∵∠DAC＝∠B+∠C，∠B＝∠C，
∴∠DAC＝2∠B，
∴∠DAE＝∠B，
∴AE∥BC．
24.解：因为AB∥DE（已知），
所以∠B＝∠DOB（两直线平行，内错角相等）．
因为∠DOB＝∠D+∠C（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
所以∠B＝∠D+∠C（等量代换）．
因为∠B：∠D＝4：3（已知），
所以可设∠B＝4x、∠D＝3x．
又因为∠C＝20°（已知），
所以4x＝3x+20（等量代换）．
所以x＝20．
所以∠B＝80°．
因为AB∥DE（已知），
所以∠B+∠BOE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
所以∠BOE＝180°﹣∠B＝100°（等式性质）．
故答案为：两直线平行，内错角相等；D，C；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；B，D，C．
25.解：∵∠1+∠BAC＝∠DAB＝85°，∠1＝∠2，
∴∠2+∠BAC＝85°，
∵∠B+∠2+∠BAC＝180°，
∴∠B＝180°﹣85°＝95°．
故∠B的度数是95°．
26.解：∵FG∥EB（已知），
∴∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等）．
∵∠2＝∠3（已知），
∴∠1＝∠3（等量代换）．
∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．
∴∠EDB+∠DBC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：已知；∠1；∠2；两直线平行，同位角相等；∠1；∠3；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
27.解：∠CGD＝∠CAB，理由如下：
∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴∠ADC＝90°，∠EFC＝90°（垂直定义），
∴∠ADC＝∠EFD，
∴AD∥EF（同位角相等，两直线平行），
∴∠3+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠1＝∠3（同角的补角相等），
∴DG∥AB（内错角相等，两直线平行），
∴∠CGD＝∠CAB．
故答案为：垂直定义；EF；同位角相等，两直线平行；3；两直线平行，同旁内角互补；1；3；同角的补角相等；AB；内错角相等，两直线平行．
28.解：（1）如图1，过点C作AB的平行线CF，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴∠A+∠ACF＝180°，∠DCF+∠D＝180°，
∴∠A+∠ACD+∠D＝180°×2＝360°，
又∵AC⊥CD，
∴∠A+∠D＝360°﹣90°＝270°；
（2）如图2，过C1作C1F∥AB，过C2作C2G∥DE，则
∵AB∥DE，
∴C1F∥AB∥C2G∥DE，
∴∠A+∠AC1F＝180°，∠FC1C2+∠C1C2G＝180°，∠GC2D+∠D＝180°，
∴∠A+∠AC1C2+∠C1C2D+∠D＝180°×3＝540°，
故答案为：540；
（3）如图3，∠A+∠C1+∠C2+……+∠Cn+1+∠D＝180°×（n+2），
故答案为：180（n+2）．
一．选择题
1．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF，如果∠EFG＝64°，那么∠EGD的大小是（ ）
A．122° B．124° C．120° D．126°
2．如图，能判定直线a∥b的条件是（ ）
A．∠2+∠4＝180° B．∠3＝∠4 C．∠1+∠4＝90° D．∠1＝∠4
3．如图，下列判断正确的是（ ）
A．∠1与∠3是同位角 B．∠3与∠4是内错角
C．∠1与∠4是内错角 D．∠2与∠3是同位角
4．已知，OA⊥OC，且∠AOB：∠AOC＝2：3，则∠BOC的度数为（ ）
A．30° B．150° C．30°或150° D．90°
5．下列说法正确的的是（ ）
A．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
B．两直线被第三条直线所截，所得的内错角相等
C．两平行线被第三条直线所截，同位角相等
D．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
6．如图，点P是直线l外的一点，点A、B、C在直线l上，且PB⊥l，垂足是B，PA⊥PC，则下列判断不正确的是（ ）
A．线段PB的长是点P到直线l的距离
B．PA、PB、PC三条线段中，PB最短
C．线段AC的长是点A到直线PC的距离
D．线段PC的长是点C到直线PA的距离
7．下列说法中，正确的个数有（ ）
①直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；
②经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行；
③两个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
④两条平行直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题
8．如图，直线AB和CD的夹角是 度．
9．如果∠1和∠2有公共顶点，且∠1的两边分别垂直于∠2的两边，若∠1＝35°时，则∠2＝ ．
10．如图，已知直线AB，CD相交于点O，如果∠BOD＝40°，OA平分∠COE，那么∠DOE＝ 度．
11．如图，点A到直线BC的距离是线段 的长度．
12．如图，在直线l1∥l2，把三角板的直角顶点放在直线l2上，三角板中60°的角在直线l1与l2之间，如果∠1＝35°，那么∠2＝ °．
13．如图，∠C＝90°，线段AB＝15cm，线段AD＝12cm，线段AC＝9cm，则点A到BC的距离为 cm．
14．如图，在图中与∠1是同位角的角有 个．
15．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4．若进行以下操作，在边BC上从左到右依次取点D1、D2、D3、D4，过点D1作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E1、F2；过点D2作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E2、F2；过点D3作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E3、F3，则4（D1E1+D2E2+…+D2020E2020）+5（D1F1+D2F2+…+D2020F2020）＝ ．
16．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC．如果∠BOE＝65°，那么∠AOC＝ 度．
17．如图，若AB∥CD∥EF，则∠x，∠y，∠z三者之间的数量关系是 ．
18．如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，∠ACD＝80°，那么∠D的度数是 ．
三．解答题
19．阅读并填空．已知：如图，线BCF、线AEF是直线，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4．试说明AD∥BC．
解：∵AB∥CD（已知）
∴∠4＝∠ （ ）
∵∠3＝∠4（已知）
∴∠3＝∠ （ ）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠1+∠CAE＝∠2+∠CAE（ ）
即∠BAE＝∠
∴∠3＝∠ （ ）
∴AD∥BC（ ）
20．阅读并填空：如图，已知DE∥BC，如果∠ADE＝∠AED，那么∠B与∠C相等吗？
为什么？
解：因为DE∥BC（已知），
所以∠ADE＝ ．
∠AED＝∠C ．
因为∠ADE＝∠AED（已知），
所以∠B＝∠C ．
21．如图，已知AB∥CD，∠A＝∠C，那么∠E＝∠F吗？为什么？
22．如图，已知：∠ABC＝∠ADC，BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，且∠1＝∠2．
试说明：（1）AD∥BC；
（2）∠A＝∠C．
23．如图，已知∠B＝∠C，D在BA的延长线上，AE是∠DAC的平分线，试说明AE与BC平行的理由．
24．如图，已知AB∥DE，∠C＝20°，∠B：∠D＝4：3，求∠BOE的度数．
解：因为AB∥DE（已知），
所以∠B＝∠DOB（ ）．
因为∠DOB＝∠ +∠ （ ），
所以∠ ＝∠ +∠ （等量代换）．
（余下说理过程请写在下方）
25．如图，∠1＝∠2，∠DAB＝85°，那么∠B的度数是多少，为什么？
26．如图，已知在△ABC中，FG∥EB，∠2＝∠3，说明∠EDB+∠DBC＝180°的理由．
解：∵FG∥EB（ ），
∴ ＝ （ ）．
∵∠2＝∠3（已知），
∴ ＝ （ ）．
∴DE∥BC（ ），
∴∠EDB+∠DBC＝180°（ ）．
27．如图，已知AD⊥BC，垂足为点D，EF⊥BC，垂足为点F，∠1+∠2＝180°．请填写∠CGD＝∠CAB的理由．
∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴∠ADC＝90°，∠EFC＝90° （ ），
∴∠ADC＝∠EFC，
∴AD∥ （ ），
∴∠ +∠2＝180°（ ），
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠ ＝∠ （ ），
∴DG∥ （ ），
∴∠CGD＝∠CAB．
28．已知：AB∥DE．
（1）如图1，点C是夹在AB和DE之间的一点，当AC⊥CD时，垂足为点C，你知道∠A+∠D是多少吗？这一题的解决方法有很多，
例如（i）过点C作AB的平行线；
（ii）过点C作DE的平行线；
（iii）联结AD；
（iv）延长AC、DE相交于一点．
请你选择一种方法（可以不选上述四种），并说明理由．
（2）如图2，点C1、C2是夹在AB和DE之间的两点，请想一想：∠A+∠C1+∠C2+∠D＝ 度，并说明理由．
（3）如图3，随着AB与CD之间点增加，那么∠A+∠C1+∠C2+……+∠Cn+1+∠D＝ 度．（不必说明理由）
答案
一．选择题
1．
【分析】根据平行线的性质得到∠BEF＝180°﹣∠EFG＝116°，根据角平分线的定义得到∠BEG＝∠BEF＝58°，由平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AB∥CD，∠EFG＝64°，
∴∠BEF＝180°﹣∠EFG＝116°，
∵EG平分∠BEF交CD于点G，
∴∠BEG＝∠BEF＝58°，
∵AB∥CD，
∴∠EGD＝180°﹣∠BEG＝122°，
故选：A．
2．
【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；依据平行线的判定方法得出结论．
【解答】解：A．由∠2+∠4＝180°，不能判定直线a∥b；
B．由∠3＝∠4，不能判定直线a∥b；
C．由∠1+∠4＝90°，不能判定直线a∥b；
D．由∠1＝∠4，能判定直线a∥b；
故选：D．
3．
【分析】利用内错角、同位角、同旁内角定义进行解答即可．
【解答】解：A、∠1与∠3是同位角，原题说法正确，故此选项符合题意；
B、∠3与∠4是同旁内角，原题说法错误确，故此选项不符合题意；
C、∠1与∠4不是内错角，原题说法错误，故此选项不符合题意；
D、∠2与∠3不是同旁内角，原题说法错误，故此选项不符合题意；
故选：A．
4．
【分析】根据垂直关系知∠AOC＝90°，由∠AOB：∠AOC＝2：3，可求∠AOB，根据∠AOB与∠AOC的位置关系，分类求解．
【解答】解：∵OA⊥OC，
∴∠AOC＝90°，
∵∠AOB：∠AOC＝2：3，
∴∠AOB＝60°．
因为∠AOB的位置有两种：一种是在∠AOC内，一种是在∠AOC外．
①当在∠AOC内时，∠BOC＝90°﹣60°＝30°；
②当在∠AOC外时，∠B′OC＝90°+60°＝150°．
故选：C．
5．
【分析】利用对顶角的性质、平行线的性质及平行公理分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，故此选项错误；
B、两平行线被第三条直线所截，所得的内错角相等，故此选项错误；
C、两平行线被第三条直线所截，所得的同位角相等，故此选项正确；
D、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故此选项错误，
故选：C．
6．
【分析】根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”；“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可解答．
【解答】解：A、线段PB的长度叫做点P到直线l的距离，原说法正确，故此选项不符合题意；
B、PA、PB、PC三条线段中，依据垂线段最短可知PB最短，原说法正确，故此选项不符合题意；
C、线段PA的长度叫做点A到直线PC的距离，原说法不正确，故此选项符合题意；
D、线段PC的长是点C到直线PA的距离，原说法正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
7．
【分析】根据平行线的性质和判定，点到直线的距离的定义，平行公理与推论逐个判断即可．
【解答】解：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故①错误；
经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故②错误；
两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故③错误；
两条平行直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，故④正确；
即正确的个数是1个，
故选：A．
二．填空题
8．
【分析】根据邻补角互补求出∠AOC．
【解答】解：∵∠AOD+∠AOC＝180°，∠AOD＝110°．
∴∠AOC＝70°．
故答案为：70．
9．
【分析】分两种情况分别画图计算可得答案．
【解答】解：第一种情况，如图：
∵OA⊥OC，OB⊥OD，
∴∠1+∠BOC＝90°，∠2+∠BOC＝90°，
∴∠1＝∠2＝35°，
第二种情况，如图：∠COD＝∠2，
∵OA⊥OC，OB⊥OD，
∴∠1+∠BOC＝90°，∠1+∠AOD＝90°，
∴∠BOC＝∠AOD＝90°﹣∠1＝55°，
∴∠2＝∠COD＝∠1+∠BOC+∠AOD＝35°+55°+55°＝145°．
故答案为：35°或145°．
10．
【分析】根据对顶角相等求出∠AOC，再根据角平分线的定义，即可得出∠COE的度数，进而得到∠DOE的度数．
【解答】解：∵∠BOD＝40°，
∴∠AOC＝∠BOD＝40°，
∵OA平分∠COE，
∴∠COE＝2∠AOC＝80°，
∴∠DOE＝180°﹣80°＝100°．
故答案为：100．
11．
【分析】根据点到直线的距离及线段的长的意义可求出答案．
【解答】解：∵AE⊥BC，垂足为E，
∴点A到直线BC的距离是线段AE的长度．
故答案为：AE．
12．
【分析】根据三角形外角性质即可求得∠3的度数，再依据平行线的性质，可求得∠3＝∠2．
【解答】解：∵∠3是△ABC的外角，∠1＝∠ABC＝35°，
∴∠3＝∠C+∠ABC＝30°+35°＝65°，
∵直线l1∥l2，
∴∠2＝∠3＝65°，
故答案为：65．
13．
【分析】根据点到直线的距离的定义，可得答案．
【解答】解：因为∠C＝90°，
所以AC⊥BC，
所以A到BC的距离是AC，
因为线段AC＝9cm，
所以点A到BC的距离为9cm．
故答案为：9．
14.【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，据此解答即可．
【解答】解：如图：
与∠1是同位角的角有：∠2，∠3，∠4，∠5，共4个．
故答案为：4．
15.【分析】由D1F1∥AC，D1E1∥AB，可得＝，因为AB＝5，BC＝4，所以有4D1E1+5D1F1＝20；同理有如下规律4D2E2+5D2F2＝20，…，4D2019E2019+5D2019F2019＝20．
【解答】解：∵D1F1∥AC，D1E1∥AB，
∴＝，即＝，
∵AB＝5，BC＝4，
∴4D1E1+5D1F1＝20，
同理4D2E2+5D2F2＝20，…，4D2020E2020+5D2020F2020＝20，
∴4（D1E1+D2E2+…+D2020E2020）+5（D1F1+D2F2+…+D2019F2019）＝20×2020＝40400；
故答案为：40400．
16.【分析】先根据角平分线的定义，求出∠BOC的度数，再根据邻补角的和等于180°求解即可．
【解答】解：∵OE平分∠BOC，∠BOE＝65°，
∴∠BOC＝2∠BOE＝2×65°＝130°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣130°＝50°．
故答案为：50．
17.
【分析】依据AB∥CD∥EF可得出∠x+∠z+∠CEF＝180°，∠y+∠CEF＝180°，进而得到∠CEF＝180°﹣（∠x+∠z），∠CEF＝180°﹣∠y，据此可得∠x+∠z＝∠y．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴∠x+∠z+∠CEF＝180°，∠y+∠CEF＝180°，
∴∠CEF＝180°﹣（∠x+∠z），∠CEF＝180°﹣∠y，
∴∠x+∠z＝∠y．
故答案为：∠x+∠z＝∠y．
18.【分析】根据角平分线的定义可得∠BAD＝∠CAD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAD＝∠D，从而得到∠CAD＝∠D，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AB∥CD，
∴∠BAD＝∠D，
∴∠CAD＝∠D，
∵∠ACD+∠D+∠CAD＝180°，∠ACD＝80°，
∴80°+∠D+∠D＝180°，
解得∠D＝50°．
故答案为：50°．
三．解答题
19.解：如图所示：
∵AB∥CD，
∴∠4＝∠BAE（两直线平行，同位角相等），
又∵∠3＝∠4，
∴∠3＝∠BAE（等量代换），
又∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠CAE＝∠2+∠CAE（角的和差），
∴∠BAE＝∠DAC，
∴∠3＝∠DAC（等量代换），
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），
故答案为：BAE，两直线平行，同位角相等；BAE，等量代换，
等式的性质，DAC，DAC，等量代换，同错角相等，两直线平行．
20.解：因为DE∥BC（已知），
所以∠ADE＝∠B．
∠AED＝∠C（两直线平行，同位角相等）．
因为∠ADE＝∠AED（已知），
所以∠B＝∠C（等量代换）．
故答案为：∠B，（两直线平行，同位角相等），（等量代换）．
21.解：∠E＝∠F，
理由：∵AB∥CD（已知），
∴∠A＝∠CDE（两直线平行，同位角相等），
又∵∠A＝∠C（已知），
∴∠C＝∠CDE（等量代换），
∴AE∥CF（内错角相等，两直线平行），
∴∠E＝∠F（两直线平行，内错角相等）．
22.证明：（1）如图：
∵BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，
∴∠3＝∠ABC，∠1＝∠ADC，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠3＝∠1，
又∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠2，
∴AD∥BC；
（2）∵AD∥BC，
∴∠A+∠ABC＝180°，∠C+∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠A＝∠C．
23.解：AE与BC平行，理由是：
∵AE是∠DAC的平分线，
∴∠DAC＝2∠DAE，
∵∠DAC＝∠B+∠C，∠B＝∠C，
∴∠DAC＝2∠B，
∴∠DAE＝∠B，
∴AE∥BC．
24.解：因为AB∥DE（已知），
所以∠B＝∠DOB（两直线平行，内错角相等）．
因为∠DOB＝∠D+∠C（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
所以∠B＝∠D+∠C（等量代换）．
因为∠B：∠D＝4：3（已知），
所以可设∠B＝4x、∠D＝3x．
又因为∠C＝20°（已知），
所以4x＝3x+20（等量代换）．
所以x＝20．
所以∠B＝80°．
因为AB∥DE（已知），
所以∠B+∠BOE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
所以∠BOE＝180°﹣∠B＝100°（等式性质）．
故答案为：两直线平行，内错角相等；D，C；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；B，D，C．
25.解：∵∠1+∠BAC＝∠DAB＝85°，∠1＝∠2，
∴∠2+∠BAC＝85°，
∵∠B+∠2+∠BAC＝180°，
∴∠B＝180°﹣85°＝95°．
故∠B的度数是95°．
26.解：∵FG∥EB（已知），
∴∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等）．
∵∠2＝∠3（已知），
∴∠1＝∠3（等量代换）．
∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．
∴∠EDB+∠DBC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：已知；∠1；∠2；两直线平行，同位角相等；∠1；∠3；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
27.解：∠CGD＝∠CAB，理由如下：
∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴∠ADC＝90°，∠EFC＝90°（垂直定义），
∴∠ADC＝∠EFD，
∴AD∥EF（同位角相等，两直线平行），
∴∠3+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠1＝∠3（同角的补角相等），
∴DG∥AB（内错角相等，两直线平行），
∴∠CGD＝∠CAB．
故答案为：垂直定义；EF；同位角相等，两直线平行；3；两直线平行，同旁内角互补；1；3；同角的补角相等；AB；内错角相等，两直线平行．
28.解：（1）如图1，过点C作AB的平行线CF，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴∠A+∠ACF＝180°，∠DCF+∠D＝180°，
∴∠A+∠ACD+∠D＝180°×2＝360°，
又∵AC⊥CD，
∴∠A+∠D＝360°﹣90°＝270°；
（2）如图2，过C1作C1F∥AB，过C2作C2G∥DE，则
∵AB∥DE，
∴C1F∥AB∥C2G∥DE，
∴∠A+∠AC1F＝180°，∠FC1C2+∠C1C2G＝180°，∠GC2D+∠D＝180°，
∴∠A+∠AC1C2+∠C1C2D+∠D＝180°×3＝540°，
故答案为：540；
（3）如图3，∠A+∠C1+∠C2+……+∠Cn+1+∠D＝180°×（n+2），
故答案为：180（n+2）．