北京市第二中学2023-2024学年高二（下）段考数学试卷（含解析）

2023-2024学年北京二中高二（下）段考数学试卷
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.为了得到函数的图象，只需要把函数的图象上( )
A. 各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度
B. 各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度
C. 各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度
D. 各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度
2.已知等差数列前项的和为，，则( )
A. B. C. D.
3.已知，是两条不同直线，，，是三个不同平面，下列命题中正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
4.若抛物线上的点到其焦点的距离是到轴距离的倍，则等于
( )
A. B. C. D.
5.已知椭圆的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为
( )
A. B. C. D.
6.反射性元素的特征是不断发生同位素衰变，而衰变的结果是放射性同位素母体的数目不断减少，但其子体的原子数目将不断增加，假设在某放射性同位素的衰变对程中，其含量单位：贝克与时间单位：天满足函数关系为自然对数的底数，其中为时该同位素的含量，已知当时，该放射性同位素含量的瞬时变化率为，则( )
A. 贝克 B. 贝克 C. 贝克 D. 贝克
7.直线是曲线的一条切线，则实数( )
A. 或 B. 或 C. D.
8.如图，中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己名航天员开展实验，其中天和核心舱安排人，问天实验舱安排人，梦天实验舱安排人若安排甲、乙两人同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
9.数列，，，，的前项和为，则正整数的值为
( )
A. B. C. D.
10.已知直线与圆交于不同的两点，，是坐标原点，且有，那么的取值范围是( )
A. B. ， C. D.
11.若直线经过点，则( )
A. B. C. D.
12.如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则下列结论正确的是( )
A. 存在点，使得
B. 存在点，使得平面
C. 三棱锥的体积是定值
D. 存在点，使得与所成的角为
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
13.已知函数，为的导函数，则的值为 ．
14.已知双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率为______．
15.用数字，，，，，，组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有______个用数字作答
16.四面体中，是的中点，和均为等边三角形，，，点到平面的距离为______．
17.在中，角，和所对的边长为，和，面积为，且为钝角，则 ；的取值范围是
18.对于数列，令，给出下列四个结论：
若，则；
若，则；
存在各项均为整数的数列，使得对任意的都成立；
若对任意的，都有，则有．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，，为的中点，为的中点．
求证：平面；
再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值．
条件：；
条件：．
注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分．
20.本小题分
已知函数，其中．
Ⅰ当时，求的单调区间；
Ⅱ若曲线在点处的切线与轴的交点为，求的最小值．
21.本小题分
已知椭圆的左、右顶点分别为点，，且，椭圆离心率为．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ过椭圆的右焦点，且斜率不为的直线交椭圆于，两点，直线，的交于点，求证：点在直线上．
22.本小题分
已知函数．
Ⅰ当时，求函数的极值；
Ⅱ若不等式对任意恒成立，求的取值范围．
23.本小题分
已知有穷数列：，，，满足，，，，给定正整数，若存在正整数，，使得对任意的，都有，则称数列是连续等项数列．
判断数列：，，，，，，是否为连续等项数列？是否为连续等项数列？说明理由；
Ⅱ若项数为的任意数列都是连续等项数列，求的最小值；
Ⅲ若数列：，，，不是连续等项数列，而数列：，，，，数列：，，，与数列：，，，，都是连续等项数列，且，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：把函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，
接下来若向左平移个单位长度，得到函数的图象；
若向左平移个单位长度，得到函数的图象；
故A错误，B正确；
C、中伸长到原来的倍，得到函数的图象，在无论怎样平移都得不到所要求的函数的图象，
故D错误．
故选：．
利用函数图象平移、伸缩变换的法则依次判定各个选择支的变化之后的函数解析式是否符合题目要求即可作出判定．
本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查等差数列通项公式和前项和运算，属于基础题．
由前项的和和，求解首项与公差，进而利用通项公式求解即可．
【解答】
解：由已知，所以
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间中线线关系、面面关系判断，考查空间想象能力，属于中档题．
由线面的位置关系可判断，；由面面位置关系可判断；由线面垂直的性质可判断，进而可得正确选项．
【解答】
解：对于选项A：若，，则，，异面或，相交，故选项A不正确；
对于选项B：若，，则或，相交，故选项B不正确；
对于选项C：若，，则或，相交，故选项C不正确；
对于选项D：若，，由线面垂直的性质可得，故选项D正确．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了抛物线的定义和性质．考查了考生对抛物线定义的掌握和灵活应用，属于基础题．
根据抛物线的定义及题意可知，得出求得，可得答案．
【解答】
解：抛物线上的点到其焦点的距离是到轴距离的倍，
则，，
，
，
，
故选D．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了椭圆的性质，点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于中档题．
根据题意，可得，进而求得离心率．
【解答】解：以线段为直径的圆与直线相切，
原点到直线的距离等于，
即，
化为，
椭圆的离心率．
故选A．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查函数的瞬时变化率的求解，指数函数模型的实际应用，属于基础题．
先对函数求导，结合已知可求出，把代入即可求解．
【解答】解：因为，
所以，
当时，，
所以，
则．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：设切点，，
则，解得或；
若，则；
若，则；
综上所述，或，
故选：．
设切点利用导数的几何意义可求得或，继而可求得．
本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查函数与方程思想，考查数学运算能力等核心素养，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：按照甲是否在天和核心舱划分，
若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲乙之外的人中再选取人，剩下人去剩下两个舱位，则有种可能；
若甲不在天和核心舱，则在问天实验舱，剩下人中选取人进入天和核心舱即可，则有种可能；
根据分类加法计数原理，共有种可能．
故选：．
可以按照元素甲分类讨论，特殊元素和特殊位置优先考虑即可得解．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：，
该数列的前项和为，
令得．
故选C．
利用等差数列的求和公式得出所给数列的通项公式，使用裂项法求和，列出方程解出即可．
本题考查了等差数列的求和公式，裂项法求和，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：设的中点为，
因为，
所以，
因为，，
所以，
所以或，
因为，所以，
因为，所以实数的取值范围是，
故选：．
设的中点为，因为，所以，因为，，所以，可得或，结合，，即可求出实数的取值范围．
本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：因为，
所以点在单位圆上，
因为直线经过点，
所以直线与单位圆有公共点，
所以圆心到直线的距离为，可得．
故选：．
由点可知点在单位圆上运动，由题意可得直线和单位圆有公共点，借助圆心到直线的距离与半径的关系可求．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查线线平行的判断，线面垂直的判定定理，三棱锥的体积，线线角的求解，属综合题．
对由、即可判断；对若为中点，根据正方体、线面的性质及判定即可判断；对只需求证与面是否平行；对利用空间向量求直线夹角的范围即可判断．
【解答】
解：对于：正方体中，而为线段的中点，即为的中点，
所以，故BD，不可能平行，所以错；
对于：若为中点，则，而，故，
又面，面，则，故，
，，面，则面，
所以存在使得平面，所以对；
对于：由正方体性质知：，而面，故BC与面不平行，
所以在线段上运动时，到面的距离不一定相等，
故三棱锥的体积不是定值，所以错；
对于：构建如下图示空间直角坐标系，
则，，且，
所以，，设，，
则，
令，则，
当则；
当时，
当，则；
当，则；
所以不在上述范围内，所以错．
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了导数的运算公式与应用问题，是基础题．
根据导数的运算法则求出函数的导函数，再计算的值．
【解答】
解：函数
则，
．
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：双曲线的渐近线为：，即，
因为右焦点到一条渐近线的距离为，
所以，
即，
解得，
又，
所以，
因为，所以，
故答案为：．
根据给定条件求出双曲线的渐近线，再用点到直线的距离公式建立，，的等量关系式，计算可得结果．
本题考查了双曲线的性质，重点是离心率的计算，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：根据题意，分成两类情况：
四位数中没有偶数，即在，，，中任选个，共有种，
四位数中只有一个偶数，即在，，，中任选个，在，，，种选一个，共有种，
故共有．
故答案为：．
根据题意，分成两类情况：四位数中没有偶数，即在，，，中任选个，四位数中只有一个偶数，即在，，，中任选个，在，，，种选一个，然后结合排列组合即可求解．
本题主要考查了分类与分步计数原理，还考查了排列组合知识的应用，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：根据题意，设到平面的距离为，连接，
为等边三角形，为的中点，，
由于，则，
同理：．
又由，
在中，，则有，即，
又由，
则有平面，
过点作，交与点，连接，
则，
又由，则，
故，，
，，
由等体积法可得：，即，
变形可得：．
点到平面的距离为．
故答案为：．
根据题意，设到平面的距离为，连接，先证平面，过作于，连接，利用等体积能求出到平面的距离．从而能求出点到平面的距离．
本题考查点到平面的距离，涉及棱锥的体积公式，属于中档题．
17.【答案】
【解析】解：根据题意，由余弦定理可知：，
则，变形可得，则，
又由锐角，则，，
，
又由，且为钝角，则，则，
则，
即的取值范围是；
故答案为：，．
根据题意，对于第一空：先由余弦定理和三角形面积公式可得，变形可得，据此可得答案；对于第二空：由正弦定理可得，结合诱导公式分析的范围，计算可得答案．
本题主要考查了余弦定理的应用．解题的过程中主要是利用了余弦定理的变形公式，把边的问题转化为角的问题．
18.【答案】
【解析】【分析】
本题考查数列的求和以及和与项之间的关系，侧重考查了学生的逻辑推理和运算能力，属于难题．
对于，利用并项法判断，对于，利用和与项的关系判断；对于，利用反证法推出矛盾；对于结合不等式的性质推导．
【解答】
解：对于，利用并项法得：，故对；
对于，，令，则，故，所以，故，故，故对；
对于，假设存在各项均为整数的数列，使得对任意的都成立，则必有，且都是正整数，令，则必有，，，，，，则与矛盾，故错；
对于，由已知，可知，当时，有，
即时，，，
故，，
当时，，
故对任意的，都有成立，即成立．
故答案为：．
19.【答案】证明：取中点，连接，，
因为为的中点，所以，，
因为四边形为正方形，为中点，
所以，．
所以，．
所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面．
所以平面．
解：若：，且，又，平面，平面，
所以平面，又平面，所以，且，
以点为坐标原点建立空间直角坐标系，
所以，，，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，故，
令，则，，，，
设直线与平面所成角，
则．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
选条件：由于，所以，故，
由于，且，平面，平面，
故平面，底面是边长为的正方形，，
以点为坐标原点建立空间直角坐标系，
所以，，，，，，
，
所以，，，
设平面的法向量为，，故，
令，则，，所以，，
设直线与平面所成角，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】利用中位线定理及平行四边形的性质，结合线面平行的判定定理即可求解；
选择条件，利用线面垂直的判定定理及性质定理，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，分别求出直线的方向向量与平面的法向量，利用向量的夹角公式，结合线面角与向量夹角公式即可求解；
选择条件，利用勾股定理的逆定理、线面垂直的判定定理及性质定理，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，分别求出直线的方向向量与平面的法向量，利用向量的夹角公式，结合线面角与向量夹角公式即可求解．
本题考查的知识要点：直线和平面平行的判定和性质，空间直角坐标系，线面的夹角，向量的模和向量的数量积，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：Ⅰ当时，，
，
令，可得或，令，可得，
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为．
Ⅱ，
，
，
所以曲线在点处的切线方程为，
即，令，可得，
所以，
令，，则，
令，可得，令，可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
即的最小值为．
【解析】本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性与最值，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
Ⅰ对求导，利用导数与单调性的关系即可求解；
Ⅱ利用导数求出切线方程，从而可求得，令，，利用导数即可求得最值．
21.【答案】解：Ⅰ因为，椭圆离心率为，
所以解得，．
所以椭圆的方程是．
Ⅱ若直线的斜率不存在时，如图，
因为椭圆的右焦点为，所以直线的方程是．
所以点的坐标是，点的坐标是．
所以直线的方程是，
直线的方程是．
所以直线，的交点的坐标是．
所以点在直线上．
若直线的斜率存在时，如图．
设直线的斜率为，所以直线的方程为．
联立方程组
消去，整理得，
显然 不妨设，，
所以，．
所以直线的方程是 令，得．
直线的方程是 令，得．
所以
．
所以点在直线上．
【解析】Ⅰ根据题意列方程组，得，，进而可得椭圆的方程．
Ⅱ分两种情况若直线的斜率不存在时，若直线的斜率存在时，直线，的交于点，是否在定直线上．
本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：函数的定义域是，，
Ⅰ当时，，
令，解得：，
，，的变化如下：
递减 极小值 递增
故的极小值是，无极大值；
Ⅱ不等式恒成立
等价于恒成立，
令，，
故，
当时，，，
令，解得：，
，，的变化如下：
递减 最小值 递增
当时，不等式恒成立当且仅当，
故符合题意；
当时，，
故在递增，而，故不合题意，
时，令，解得：或，
则，
，，的变化如下：
递增 极大值 递减 极小值 递增
显然，故不合题意，
当时，令，解得：或，
则，
，，的变化如下：
递增 极大值 递减 极小值 递增
显然，，不合题意，
综上：的取值范围是．
【解析】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，转化思想，是较难题．
Ⅰ代入的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间和极值即可；
Ⅱ问题等价于恒成立，令，，根据函数的单调性求出的范围即可．
23.【答案】解：数列是连续等项数列，不是连续等项数列，理由如下：
，，，，是连续等项数列，
，，，为，，，，
，，，为，，，，
，，，为，，，，
，，，为，，，，
所以不存在正整数，，使得，，，，，
所以数列不是连续等项数列；
Ⅱ设集合，，，，
则中的元素个数为个，
在数列中，，，，，
，，，
若，则，
所以在，，，这个有序数对中，至少有两个有序数对相同，
即存在正整数，，使得，，
所以当项数时，数列一定是连续等项数列，
若，数列，，不是连续等项数列，
若，数列，，，不是连续等项数列，
若，数列，，，，不是连续等项数列，
若，数列，，，，，不是连续等项数列，
若，数列，，，，，，不是连续等项数列，
若，数列，，，，，，，不是连续等项数列，
若，数列，，，，，，，，不是连续等项数列，
若，数列，，，，，，，，，不是连续等项数列，
所以，的最小值为；
Ⅲ因为，，都是连续等项数列，
所以存在两两不等的正整数，，，
使得，，，，，，，，，，，，
下面用反证法证明，
假设，
，，，，
所以，，，中至少有两个数相等，
不妨设，则，，，，
所以数列是连续等项数列，与题设矛盾，
，
所以．
【解析】由连续等项数列的定义，代入求解即可；
Ⅱ求出中的元素个数，则，，，利用列举法求出的最小值；
Ⅲ用反证法证明，可得的值．
本题考查数列新定义，考查数列的周期性，考查反证法的应用，考查列举法，属于难题．
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