2023-2024学年山东省青岛市莱西市七年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

2023-2024学年山东省青岛市莱西市七年级（下）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.以下命题为假命题的是( )
A. 对顶角相等 B. 如果，，那么
C. 若，则 D. 同旁内角互补，两直线平行
2.一条古称在称物时的状态如图所示，已知，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
3.如图，已知，，于点，若，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，一张圆桌共有个座位，甲、乙、丙人随机坐到这个座位上，则甲和乙相邻的概率为( )
A.
B.
C.
D.
5.一副三角板如图摆放，且，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
6.解关于、的二元一次方程组，将代入，消去后所得到的方程是( )
A. B. C. D.
7.我国古代算法统宗里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住人，那么有人无房可住；如果一间客房住人，那么就空出一间客房，若设该店有客房间，房客人，则列出关于，的二元一次方程组正确的是( )
A. B. C. D.
8.用图象法解二元一次方程组时，小英所画图象如图所示，则方程组的解为( )
A.
B.
C.
D.
9.用如图中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有张正方形纸板和张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则的值可能是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
10.从分别标有数，，，，，，的七张卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上数的绝对值小于的概率是______．
11.一个围棋盒子里装有若干颗黑、白围棋子，其中黑色棋子颗，从中摸出一颗棋子是黑色棋子的概率为，则盒子中白色棋子共有______颗
12.把命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行”改写成“如果那么”的形式：______．
13.从一个不透明的口袋中有个红球和个白球，从袋子中任意摸出个球，其中摸到红球是一个必然事件，则的最小值是______．
14.五一小长假，小华和家人到公园游玩湖边有大小两种游船小华发现艘大船与艘小船一次共可以满载游客人，艘大船与艘小船一次共可以满载游客人则艘大船与艘小船一次共可以满载游客的人数为______．
15.如图，把一张长方形纸片沿折叠后，、分别在、的位置上，与的交点为，若，则 ______度
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
解方程组
；
．
17.本小题分
如图是小亮自己设计的可以自由转动的转盘，转盘被等分成个扇形，上面有个实数若自由转动转盘，当它停止转动时，请解答下列问题：
指针指向负数的概率是______；
指针指向无理数的概率是______；
指针指向能被整除的数的概率是______；
求指针指向的数绝对值不小于的概率．
18.本小题分
对于任意实数，，定义关于“”的一种运算如下：例如．
求的值；
若，且，求的值．
19.本小题分
如图，已知：，，试判断与的关系，并说明理由．
20.本小题分
在一个不透明的袋子中装有个红球和个白球，每个球除颜色外其余都相同．
从中任意摸出个球，摸到______球的可能性大；
摸出红球和白球的概率分别是多少？
如果另拿红球和白球共个放入袋中并搅匀，使得从中任意摸出个球，摸到红球和白球的可能性大小相等，那么应放入______个红球，______个白球．
21.本小题分
在如图所示的螳螂示意图中，，，，求的度数．
22.本小题分
一列快车长米，慢车长米，若两车同向而行，快车从追上慢车到完全离开慢车所用的时间为秒，若两车相向而行，则两车从相遇到离开的时间为秒，求两车每秒钟各行多少米？
23.本小题分
汽车公司有甲、乙两种货车可供租用，现有一批货物要运往某地，货主准备租用该公司货车，已知以往甲、乙两种货车运货情况如表：
第一次 第二次
甲种货车辆
乙种货车辆
累计运货吨
甲、乙两种货车每辆可装多少吨货物？
若货主需要租用该公司的甲种货车辆，乙种货车辆，刚好运完这批货物，如按每吨付运费元，则货主应付运费总额为多少元？
若货主共有吨货，计划租用该公司的货车正好每辆车都满载把这批货运完，该汽车公司共有哪几种运货方案？
24.本小题分
【教材回顾】
在本章的数学活动中，我们探究了“以方程的解为坐标的值为横坐标，的值为纵坐标的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．
规定：以方程的解为坐标的点的全体叫做方程的图象；
结论：一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线．
请你在图中所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程．
观察图象，两条直线的交点坐标为______，由此你得出这个二元一次方程组的解是______．
【拓展延伸】
已知二元一次方程的图象经过两点和，试求，的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、对顶角相等，正确，是真命题，不符合题意；
B、如果，，那么，正确，是真命题，不符合题意；
C、若，则，错误，是假命题，符合题意；
D、同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题，不符合题意．
故选：．
利用对顶角的性质、实数的性质及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、实数的性质及平行线的性质等知识，难度不大．
2.【答案】
【解析】解：如图，
由题意得：，
，
，，
，
．
故选：．
由平行线的性质可得，再由，，可以求出的度数，从而得到的度数．
本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补，是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：如图：
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用平行线的性质可得，即可解答．
本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，垂线，度分秒的换算，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查概率的应用、必然事件，解答本题的关键是明确甲和乙相邻是必然事件．
根据题意可知：甲和乙相邻是必然事件，从而可以得到相应的概率．
【解答】
解：由题意可知，
甲、乙、丙人随机坐到这个座位上，则甲和乙相邻是必然事件，
甲和乙相邻的概率为，
故选：．
5.【答案】
【解析】解：如图，，
，
，
，
故选：．
利用平行线的性质得到，然后结合三角形外角定理来求的度数．
本题主要考查了平行线的性质，解题时，注意运用题干中隐藏的已知条件，．
6.【答案】
【解析】解：，
把代入得：
，
，
，
，
，
消去后所得到的方程是：，
故选：．
把方程代入，然后去括号即可．
本题主要考查了解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握利用代入消元法解二元一次方程组．
7.【答案】
【解析】【解答】
解：设该店有客房间，房客人，
根据题意得：
故选：．
【分析】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据题意得出方程组是解决问题的关键．
设该店有客房间，房客人，根据“一房七客多七客，一房九客一房空”得出方程组即可．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．根据任何一个一次函数都可以化为一个二元一次方程，再根据两个函数交点坐标就是二元一次方程组的解可直接得到答案．
【解答】
解：直线与的交点坐标为，
二元一次方程组的解为，
故选：．
9.【答案】
【解析】解：设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为个、个，根据题意得，
，
两式相加得，，
、都是正整数，
是的倍数，
、、、四个数中只有是的倍数，
的值可能是．
故选：．
设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为个、个，然后根据所需长方形纸板和正方形纸板的张数列出方程组，再根据、的系数表示出并判断为的倍数，然后选择答案即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，根据未知数系数的特点，观察出所需两种纸板的张数的和正好是的倍数是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：写有数字、、、、、、、的七张一样的卡片中，数字的绝对值小于的有、、，
任意抽取一张卡片，所抽卡片上数字的绝对值小于的概率是：．
故答案为：．
根据写有数字、、、、、、、的七张一样的卡片中，数字的绝对值小于的有、、，直接利用概率公式求解即可求得答案．
本题主要考查了绝对值的性质以及概率公式等知识，正确得出绝对值小于的数个数和正确运用概率公式是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：设盒子有白色棋子颗，依题意有：
，
解得，
经检验是分式方程的解．
故答案为：．
可设盒子有白色棋子颗，根据围棋盒中有颗黑色棋子和若干颗白色棋子，故棋子的总颗数为颗，再根据黑色棋子的概率，结合概率公式列式解答即可．
本题考查概率公式．如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．
12.【答案】同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行
【解析】解：把命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”改写成“如果，那么”的形式，
是“在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”，
故答案为：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
首先分清原命题的题设和结论，如果后面是题设，那么后面是结论．
本题考查的是命题的概念，命题写成“如果，那么”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
13.【答案】
【解析】解：从袋子中任意摸出个或个球，其中摸到红球是随机事件，
当时，摸到红球是必然事件，
则的最小值是，
故答案为：．
根据必然事件的概念解答即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
14.【答案】
【解析】解：设艘大船可载人，艘小船可载人，
依题意得：，
得：，
，
即艘大船与艘小船一次共可以满载游客的人数为．
故答案为：．
设艘大船可载人，艘小船可载人，依题意：艘大船与艘小船一次共可以满载游客人，艘大船与艘小船一次共可以满载游客人．列出二元一次方程组，求出的值即可．
此题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
由翻折可知，，
，
，
故答案为：．
根据平角等于，求出，再两直线平行，内错角相等求出，然后根据翻折的性质求解即可．
此题考查翻折问题，关键是根据翻折的性质得出解答．
16.【答案】解：，
由，可得：，
代入，可得：，
解得，
把代入，解得，
原方程组的解是．
，
由，可得，
由，可得，
，可得，
解得，
把代入，可得：，
解得，
原方程组的解是．
【解析】应用代入消元法，求出方程组的解即可；
应用加减消元法，求出方程组的解即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键．
17.【答案】
【解析】解：，，，
因为自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向的数字共有种等可能结果，其中指针指向负数的有种结果，
所以指针指向负数的概率是，
故答案为：；
因为自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向的数字共有种等可能结果，其中指针指向无理数的有这种结果，
所以指针指向无理数的概率是，
故答案为：；
因为自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向的数字共有种等可能结果，其中指针指向能被整除的数有有、、、这种结果，
所以指针指向能被整除的数的概率是，
故答案为：．
因为自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向的数字共有种等可能结果，其中指针指向的数绝对值不小于的有、、、、这种结果，
所以指针指向的数绝对值不小于的概率为．
指针指向的数字共有种等可能结果，其中指针指向负数的有种结果，根据概率公式求解即可；
指针指向的数字共有种等可能结果，其中指针指向无理数的有这种结果，根据概率公式求解即可；
指针指向的数字共有种等可能结果，其中指针指向能被整除的数根据概率公式求解即可；
指针指向的数字共有种等可能结果，其中指针指向的数绝对值不小于的有、、、、这种结果，根据概率公式求解即可．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
18.【答案】解：；
，且，
，
解得：，
．
【解析】先根据新运算得出算式，再求出即可；
先根据新运算得出方程组，求出方程组的解，再求出答案即可．
本题考查了解二次一次方程组，能根据新运算得出算式和方程组是解此题的关键．
19.【答案】解：，理由如下：
，，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】先由平角的定义和已知条件证明，即可证明得到，进而推出，由此证明，即可证明．
本题主要考查了平行线的性质与判定，平角的定义，关键是平行线判定定理的应用．
20.【答案】白
【解析】解：从中任意摸出个球，摸到白球的可能性大；
故答案为：白；
摸到红球的概率，摸到白球的概率，
设应放入个红球，个白球，
根据题意得，
解得，
，
所以应放入个红球，个白球．
故答案为：；．
由于白球比红球多，所以摸到白球的可能性大；
根据概率公式求解；
设应放入个红球，个白球，根据概率公式得到，然后解方程即可．
本题考查了概率公式：正确理解概率公式是解决问题的关键．
21.【答案】解：延长，交于，
是等腰三角形，，
，
，
，
，
，
．
【解析】延长，交于，根据等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质得出，由三角形外角的性质即可求得的度数，于是得到结论．
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
22.【答案】解：设快车每秒钟行，则慢车每秒钟行，依题意有
，
解得，
．
答：快车每秒钟行，则慢车每秒钟行．
【解析】设快车每秒钟行，则慢车每秒钟行，根据等量关系：若两车相向而行，则两车从相遇到离开的时间为秒，列出方程求解即可．
本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到题目中隐含的等量关系．
23.【答案】解：设甲种货车每辆可装吨，乙种货车每辆可装吨．
根据题意，得，
解方程组得，
答：甲、乙两种货车每辆可分别装吨、吨；
元．
答：货主应付货款元；
设租用甲种货车共辆，乙种货车辆．根据题意，得，
此方程的非负整数解共有四个：
答：共有如下表所示的四种方案：
方案一 方案二 方案三 方案四
甲种货车辆
乙种货车辆

【解析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．
两个相等关系：第一次辆甲种货车载重的吨数辆乙种货车载重的吨数；第二次辆甲种货车载重的吨数辆乙种货车载重的吨数，根据以上两个相等关系，列方程组求解．
结合的结果，求出辆甲种货车和辆乙种货车一次刚好运完的吨数，再乘以即得货主应付运费；
设租用甲种货车共辆，乙种货车辆．根据题意，得，此方程的非负整数解共有四个．
24.【答案】
【解析】解：如图所示：
观察图象，两条直线的交点坐标为，由此得出这个二元一次方程组的解是，
故答案为：，；
把点和代入方程得：
，
由得：，
把代入得，
方程组解为．
分别取两个点，让它们的坐标都能让方程和的左右两边相等，然后过两点画直线即可；
观察图象，找出中所画的两条直线的交点，根据一次函数与二元一次方程组的关系可得答案；
把点和代入方程，解方程组可得．
本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题关键是根据已知条件画出函数图象．
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