2024北京九中高二（下）期中数学（PDF版含解析）

2024北京九中高二（下）期中
数 学
2024.5
（考试时间 120 分钟 满分 150 分）
一、单选题（共 40 分）
1
1．已知数列 a 满足 a1 =1n ，an+1 = an + ，则a3 =（ ） an
5 7 17
A． B． C．2 D．
2 3 4
2．已知甲盒中有 2 只红球，6 只白球；乙盒中有 5 只红球，3 只白球，则随机选一盒，再从该盒中随机取
一球，该球是白球的概率为（ ）
3 1 3 9
A． B． C． D．
4 2 16 16
3．已知等差数列 a 的公差为 2，前n项和为 S an n ，且 1,a2 ,a5成等比数列，则 S6 =（ ）
A．36 B．18 C．72 D．9
6
x3 2
4．二项式 的展开式中， x2 项的系数为（ ）
2 x
A． 60 B． 15 C．15 D．60
c2
5．已知数列 1,a,b, 4成等差数列， 1,c, 4成等比数列，则 的值是（ ）
a + b
4 4
A． B． C．-1 D．1
5 5
6．甲、乙、丙三人从足球、篮球、乒乓球、羽毛球这四门选修课中，每人任选一门参加，则不同的选择
方案共有（ ）种.
C3 3A． 4 B．A4 C．
3 D．344
7．若函数 f (x) = x3 f (1)x2 + 3，则 f (1) =（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知函数 f ( x)的图象与直线4x y 4 = 0 相切于点 (2,f (2))，则 f (2)+ f (2)（ ）
A．4 B．8 C．0 D．-8
9．某堆雪在融化过程中，其体积 V（单位：m3 ）与融化时间 t（单位：h）近似满
3
1
足函数关系：V (t) = H 10 t （H为常数），其图象如图所示.记此堆雪从融化
10
3
开始到结束的平均融化速度为 v (m / h) .那么瞬时融化速度等于 v (m3 / h)的时刻是
图中的（ ）.
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A． t1 B． t2 C． t3 D． t4
10．若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，可以形成一个新的数列，再把所得数列按照同样的方法
可以不断构造出新的数列．现将数列 1，3 进行构造，第 1 次得到数列 1，4，3；第 2 次得到数列 1，5，
*
4，7，3；依次构造，第 n (n N )次得到数列 1， x1, x2 , x3 , , xk ,3．记an =1+ x1 + x2 + + xk + 3，若
an 4378成立，则 n的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、填空题（共 25 分）
2 3
11．若甲、乙两名篮球运动员进行定点投球的命中率分别为 ， ，现每人独立进行投篮 1 次，则两人恰
3 4
好有 1 人命中的概率为 .
X -2 1 2
12 机变量 X的分布列是右表
1
若 E (X ) =1，则D (X ) = ． P a b 2
13．过原点作曲线 y = ex 的切线，则切线的方程为 .
1
14．若正项数列 an 满足 an+1 = 4an + 6，则称 an 为“梦想数列”，已知数列 2 为“梦想数列”，且
bn
1
b1 = ，则b3 = ．
4
15．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中
从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列 an 称为“斐波那契数
列”，记 Sn 为数列 an 的前 n项和.下列关于“斐波那契数列”的结论：① a7 =13，② S9 = 54 ，③
a2 + a2 + a2 + + a2
a1 + a3 + a5 + + a2021 = a2022 ，④
1 2 3 2020 = a2021 .其中，所有正确结论的序号是 .
a2020
三、解答题（共 85 分）
16．（本题 13 分）在等差数列{ an }中， a2 = 3,a4 = 7.
(1)求{ an }的通项公式；
(2)若 b a 是公比为 2 的等比数列，b1 = 3n n ，求数列{bn }的前 n项和 Sn ．
17．（本题 14 分）某高校学生社团为了解“大数据时代”下大学生就业情况的满意情况，对 20 名学生进行问
卷计分调查（满分 100 分），得到如图所示的茎叶图：
2 2 2
(1)计算男生打分的平均分.再观察茎叶图，设女生分数的方差为 s1 ，男生分数的方差为 s2 ，直接指出 s1 与
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s22 的大小关系（结论不需要证明）；
(2)从这 20 多学生中打分在 80 分以上的同学中随机抽取 3 人，求被抽到的女生人数 X 的分布列和数学期
望.
3
18．（本题 13 分）已知函数 f (x) = x 12x．
(1)求函数 f (x) 的单调区间；
(2)求函数 f (x) 的极值．
19．（本题 15 分）随着人民生活水平的提高，人们对牛奶品质要求越来越高.某牛奶企业针对生产的鲜奶和
酸奶，在一地区进行了质量满意调查.现从消费者人群中随机抽取 500 人作为样本，得到下表（单位：人）
老年人 中年人 青年人
酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶
满意 100 120 120 100 150 120
不满意 50 30 30 50 50 80
(1)从样本中任意取 1 人，求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率；
(2)从该地区青年人中随机选取 3 人，以频率估计概率，记这 3 人中对酸奶满意的人数为 X ，求 X 的分布列
与期望；
(3)依据表中三个年龄段的数据，你认为哪一个消费群体鲜奶的满意度提升 0.1，使得整体对鲜奶的满意度
提升最大？（直接写出结果）
注：本题中的满意度是指消费群体中满意的人数与该消费群体总人数的比值.
f (x) = lnx + 2ax220．（本题 15 分）已知函数 +1．
(1)若曲线 f ( x)在点 (1, f (1))处的切线与直线2x y +1 = 0垂直，求 a的值；
(2)讨论函数 f ( x)的单调性；
2
(3)设 a Z，当 x 0 时，函数 f ( x)的图象在函数 g (x) = ax (a + 2) x的图象的下方，求a的最大值．（本小
问直接写出结果，不用写解答过程）
21．（本题 15 分）对于数列Q : c1 ， c2，…， cn ，记L（Q）= c1 + c2 + ...+ c
，
n
2 2 2 .设数列 A : a a aS（Q）= c + c + ...+ c 1， 2，…， n 和数列
B :b1，b2，…，bn 是两个递增数列，若A 与
1 2 n

B 满足 a ,b N ， ( )，且 L (A) = L (B)， S (A) = S Bi i ( )，则称A ， B 具有 LS 关系. ai b j i, j =1,2,...n
(1)若数列A ：4，7，13 和数列 B ：3，b2，b3 具有 LS 关系，求b2，b3 的值；
(2)证明：当 n = 6 时，存在无数对具有 LS 关系的数列；
(3)当 n = 8时，直接写出一对具有 LS 关系的数列A 和 B .（本小问不用写解答过程）
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参考答案
1．A
【分析】根据数列的递推公式，由 a1 =1计算a3 .
1
【详解】数列 an 满足 a =1， a1 n+1 = an + ， an
1 5
则 a2 = 2， a3 = 2+ = .
2 2
故选：A.
2．D
【分析】由全概率公式结合条件即得.
1 6 1 3 9
【详解】由题意得， P = + = ，
2 8 2 8 16
故选：D.
3．A
【分析】 a1、 a2、 a5 成等比数列，可得 a
2
2 = a a ，即 (a
2 a
1 5 1 + 2) = a1(a1 + 2 4)，解得 1．再利用求和公式即可
得出．
【详解】 a1 、 a2、 a5 成等比数列，
a22 = a1 a5 ，可得 (a
2
1 + 2) = a1(a1 + 2 4)，
解得 a1 =1
6 5
则 S6 = 6 + 2 = 36 ．
2
故选：A ．
【点睛】本题主要考查了等比数列与等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于
基础题．
4．D
【分析】求出二项式展开式的通项，令18 4r = 2，得 r = 4，代入即可求解.
6 6 r
x3 2 x3
r
2 r
【详解】因为二项式 的展开式的通项公式为T
r 2r 6 r 18 4r
r+1 = C6 = ( 1) 2 C6x ，
2 x 2 x
r = 0,1,2,3,4,5,6，
4
令18 4r = 2，得 r = 4，所以T5 = ( 1) 2
2 C4 26x = 60x
2 ，即 x2 项的系数为 60.
故选：D
5．A
【分析】根据给定条件，利用等差数列性质、等比中项的意义列式计算即得.
c2 4
【详解】依题意， a +b = 5,c2 = 4，所以 = .
a +b 5
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故选：A
6．C
【分析】依题意每人任选一门参加，可以分为 3 步完成，根据分步乘法原理，即可求得答案.
【详解】甲、乙、丙三人从足球、篮球、乒乓球、羽毛球这四门选修课中，每人任选一门参加，
可以分 3 步完成，每一步由 1 人选择一门选修课，每步均有 4 种选法，
根据分步乘法计数原理，故共有 43种不同的选择方案，
故 C 正确，其他选项均不符合题意.
故选：C
7．A
【分析】求出函数 f (x) 的导数，再赋值计算即得.
【详解】函数 f (x) = x3 f (1)x2 + 3，求导得 f (x) = 3x2 2 f (1)x，
当 x =1时， f (1) = 3 2 f (1)，
所以 f (1) =1 .
故选：A
8．B
【分析】根据导数的几何意义直接求解出 f (2)的值，再根据点在直线上求解出 f (2)的值，即可计算出结
果.
【详解】直线4x y 4 = 0的斜率为 4，直线与函数 f ( x)的图象相切于点 (2, f (2))，
根据导数的几何意义即为切线的斜率，所以 f (2) = 4，
又点 (2, f (2))在函数的图象上，同时也在切线上，所以4 2 f (2) 4 = 0，
f (2) = 4．
则 f (2)+ f (2) = 8 ．
故选：B．
9．C
V (100) V (0)
【分析】根据题意可知，平均融化速度为 v = ，反映的是V (t)图象与坐标轴交点连线的斜率，
100 0
通过观察某一时刻处瞬时速度（即切线的斜率），即可得到答案.
V (100) V (0)
【详解】解：平均融化速度为 v = ，反映的是V (t)图象与坐标轴交点连线的斜率，
100 0
观察可知 t3处瞬时速度（即切线的斜率）为平均速度一致，
故选：C．
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【点睛】本题考查了图象的识别，瞬时变化率和切线斜率的关系，理解平均速度表示的几何意义（即斜
率）是解题的关键.
10．C
【分析】根据规律确定 an+1,an 的关系式，进而可得an+1 2 = 3(an 2)，即有 an 的通项公式，求解an 4378
即可得结果．
【详解】由 a1 = 4+ 4 = 8， a2 = 4+ 4+12 = 20 = 3a1 4，
a3 = 4+ 4+12+16+ 20 = 56 = 3a2 4 ，
a4 = 4+ 4+12+16+ 20+ 20+ 28+ 28+32 =164 = 3a3 4 ， ，
则an+1 = 3an 4，则an+1 2 = 3(a
n 1 n
n 2)，则 an 2 = 6 3 an = 2+ 2 3 ，
当 n = 7 时， a7 = 2+ 2 3
7 = 4376 8．当 n = 8时， a8 = 2+ 2 3 4378．
故选：C．
5
11．
12
【分析】分别求解甲命中和乙命中两种情况求解即可.
2 3 2 3 5
【详解】记两人恰好有 1 人命中为事件C ，则P (C ) = 1 + 1 = .
3 4 3 4 12
5
故答案为：
12
12．2
【分析】由于分布列的概率之和为 1，以及 E (X ) =1，列出关于 a,b的方程，再根据方差公式即可求出
D (X )．
1
1 a =
a + b + =1 6
【详解】解：由题意可知 2 ，∴ ，
1
2a + b +1=1 b =
3
2 1 2 1 2 1
所以D (X ) = ( 2 1) + (1 1) + (2 1) = 2．
6 3 2
故答案为： 2 ．
13． y = ex
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x
e 0x x 0
【解析】求导得到 y = ex 设切点为 ( x0 ,e 0 )，根据切线过原点，由 f (x ) = e 00 = 求解.
x0 0
【详解】因为 y = ex
所以 y = ex
( x设切点为 x ,e 00 )，
因为切线过原点，
x
x e
0 0
所以 f (x0 ) = e 0 = ，
x0 0
解得 x0 =1，
所以 k = f (x0 ) = e，
所以切线方程是 y = ex，
故答案为： y = ex
【点睛】本题在考查导数的几何意义，属于基础题.
1
14． /0.015625
64
bn+1 1
【分析】由“梦想数列”的定义可推导出 = ，即数列 bn 为等比数列，再利用等比数列的通项求解. bn 4
1
【详解】若数列 2 为“梦想数列”，
bn
1 1 1 1 4
则 2 0 0 bn ，且 2 = 4 2 + 6 = 2，
bn 2 bn+1 bn bn
1 4 b 1 1 1 1
即 =
n+1 = ，且b1 = ，所以 bn 是以b1 = 公比为 的等比数列， bn+1 bn bn 4 4 4 4
2
1 1 1
则b3 = =
4 4 64
1
故答案为：
64
15．①③④
【分析】利用斐波那契数列的递推公式一一判定结论即可.
【详解】对于①，由题意可知 a6 = a4 + a5 = 3+ 5 = 8 a7 = a5 + a6 = 5+8 =13，所以①正确；
对于②，显然 a8 = 21,a9 = 34 S9 =1+1+ 2+ 3+ 5+8+13+ 21+ 34 = 88，所以②错误；
对于③，易知 an+1 = an + an 1 ，
所以 a1 + a3 + a5 + + a2021 = a2 + a3 + a5 + + a2021
= a4 + a5 + + a2021 = a6 + a7 + a2021 = = a2020 + a2021 = a2022 ，所以③正确；
2 2
对于④， a2021a2020 = a2020 + a2020a2019 ,a2020a2019 = a2019 + a2019a2018, ，
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a a = a2 2 23 2 2 + a2a1 = a2 + a1 ，
a 2 2 2 2累加得 2021a2020 = a2020 + a2019 + + a2 + a1 ，
a2 + a2 + a2 + + a2
显然 1 2 3 2020 = a2021 ，所以④正确.
a2020
故答案为：①③④.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是熟练掌握斐波那契数列的递推公式 an+1 = an + an 1 ，并对其转化变
形，从而得解.
16．(1) an = 2n 1
n+1 2
(2) Sn = 2 2+ n
【分析】（1）设公差为d ，根据已知求出首项与公差，再根据等差数列的通项公式即可得解；
（2）根据等差数列的通项求出数列 bn an 的通项，即可得出数列{bn }的通项，再利用分组求和法即可得
解.
【详解】（1）解：设公差为d ，
则 a4 a2 = 2d = 4，解得 d = 2，
则 a2 = a1 + 2 = 3，所以 a1 =1，
所以 an = 2n 1；
（2）解：b1 a 1= 2，
因为 bn an 是公比为 2 的等比数列，
所以bn a
n
n = 2 ，
b = 2n所以 n + (2n 1)，
2
所以 Sn = (2+ 2 + + 2n )+ 1+3+5+ + (2n 1)
2(1 2n ) (1+ 2n 1)n
= + = 2n+1 2+ n2 .
1 2 2
2 2
17．(1)平均分为 69； s1 s2
9
(2)分布列见解析，数学期望为 .
5
【分析】（1）结合茎叶图计算可得男生打的平均分为 69；观察茎叶图可知女生打分比较集中，男生打分比
2 2
较分散，故 s1 s2 .
（2）由题意可得 X 的可能取值为 1，2，3，结合超几何概型的概率公式即可求得分布列，然后计算可得数
学期望.
【详解】（1）解：男生打的平均分为：
1
(55+53+ 62+ 65+ 71+ 70+ 73+ 74+86+81) = 69，
10
2 2
观察茎叶图可知女生打分比较集中，男生打分比较分散，故 s1 s2 .
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（2）因为打分在 80 分以上的有 3 女 2 男，
所以 X 的可能取值为 1，2，3，
C1C2 C2C13 3 C3C0 1
P (X =1) = 3 2 = ，P (X = 2) = 3 2 = ，P (X = 3 = 3 2 =
C3
) ，
5 10 C
3 5 C35 5 10
所以 X 的分布列为：
X 1 2 3
3 3 1
P
10 5 10
3 3 1 9
E(X ) =1 + 2 +3 = .
10 5 10 5
18．(1)单调增区间为 ( , 2)和 (2,+ ) ，单调减区间为 ( 2,2)
(2)极大值 16，极小值 16
【分析】（1）对 f (x) 求导，利用导数与单调性的关系即可求解；
（2）根据函数的单调性，求出函数的极值即可.
【详解】（1）函数 f (x) 的定义域为R ，导函数 f (x) = 3x2 12，
令 f (x) = 0，解得 x = 2，
则 f (x) ， f (x) 随 x的变化情况如下表：
x ( , 2) 2 ( 2,2) 2 (2,+ )
f (x) + 0 0 +
f (x) 取极大值 取极小值
故函数 f (x) 的单调增区间为 ( , 2)和 (2,+ ) ，单调减区间为 ( 2,2) ;
（2）由小问 1 知，当 x = 2时，函数 f (x) 取得极大值 16;
当 x = 2时，函数 f (x) 取得极小值 16．
37
19．(1)
50
9
(2)分布列见解析，期望
4
(3)青年人
【分析】（1）根据表格数据，计算满意的概率；
3
（2）由条件可知， X B 3, ，根据二项分布，求分布列和数学期望；
4
（3）根据表格数据，结合每类人对鲜奶的满意度，即可作出判断.
【详解】（1）设这个人恰好对生产的酸奶满意人数事件为A ，
样本总人数为 500 人，其中对酸奶满意人数为100+120 +150 = 370人，
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370 37
所以P (A ) = = ；
500 50
150 3
（2）用样本频率估计总体概率，青年人对酸奶满意的概率 p = = ，
150+50 4
3
X 的取值为0,1, 2,3， X B 3, ，
4
0 3 1 2
0 3 3 1 1 3 3 9P (X = 0) = C3 1 = ，P (X =1) = C3 1 = ，
4 4 64 4 4 64
2 1 3 0
P (X = 2) = C2
3 3 27 3 3 27
3 1
3
= ，P (X = 3) = C3 1 = ，
4 4 64 4 4 64
所以 X 的分布列为
X 0 1 2 3
1 9 27 27
P
64 64 64 64
3 9
X 的数学期望是 E (X ) = np = 3 = .
4 4
（3）青年人
青年人总体人数最多，对鲜奶的满意度较低，所以鲜奶的满意度提高 0.1，则人数提高最多，则整体对鲜
奶的满意度会大幅提高.
3
20．(1) a =
8
(2)答案见详解
(3) 2
【分析】（1）对函数求导后，利用 f (1) 2 = 1，求解即可；
（2）对函数求导后，讨论 a的范围，考查 f (x)的正负即可；
2
（3）依题意， g (x) f (x)恒成立，不等式化为 ln x + ax + (a + 2) x +1 0，构造函数
1 2
h(x) = ln x + ax2 + (a + 2) x +1, x 0，求得 h(x) 的最大值，令最大值小于零，即 ln + a 0，构造函
a a
1 2
数m(x) = ln + x , x 0 ，考查函数m (x)的单调性，进一步分析即可.
x x
2
【详解】（1）由题，函数 f (x) = lnx + 2ax +1的定义域为 (0,+ )，
1
则 f (x) = + 4ax， f (1) =1+ 4a，
x
由于曲线 f ( x)在点 (1, f (1))处的切线与直线2x y +1 = 0垂直，
1
则 f (1) 2 = 1，所以 f (1) =1+ 4a = ，
2
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3
解得， a = .
8
1 4ax2 +1
（2） f (x) = + 4ax = ，
x x
故当 a 0 时， f (x) 0恒成立，则 f ( x)在 (0,+ )上单调递增；
当 a<0时，令 f ( )
1 1
x 0，得0 x ，
2 a
令 f (
1 1
x) 0，得 x ，
2 a
1 1 1 1
所以 f ( x)在 0, 上单调递增，在 ,+ 上单调递减.
2 a 2 a


综上所述：
当 a 0 时， f ( x)在 (0,+ )上单调递增；
1 1 1 1
当 a<0时， f ( x)在 0, 上单调递增，在 ,+ 2 a
上单调递减.
2 a


（3）依题知，当 x 0 时， g (x) f (x)恒成立，
2 2
即 ax (a + 2) x lnx + 2ax +1恒成立，
2
化简为 ln x + ax + (a + 2) x +1 0，
设 h(x) = ln x + ax
2 + (a + 2) x +1, x 0，
2
1 2ax + (a + 2) x +1 (ax +1)(2x +1)
则 h (x) = + 2ax + (a + 2) = = ，
x x x
当 a 0 时， h (x) 0恒成立，
故 h(x) 在 (0,+ )单调递增，
此时 h(1) = 2a + 3 0不符合题意；
1 1
当 a<0时， 0 ，
a 2
1 1
令 h (x) 0，得0 x ，令h (x) 0，得 x ，
a a
1 1
所以 h(x) 在 0, 单调递增，在 ,+ 单调递减，
a a
2
1 1 1 1
则 h(x) h = ln + a + (a + 2) +1 0恒成立，
a a a a
1 2
化为 ln + a 0，
a a
1 2
设m(x) = ln + x , x 0 ，
x x
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1 2
则m (x) = +1+ 0 恒成立，
x x2
则m(x)在 ( , 0)上单调递增，
1
又 a Z，且m ( 1) = 1+ 2 =1 0，m( 2) = ln 2+1 0，
2
故 a的最大值为 2 .
【点睛】方法点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些
数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函
数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握
好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解
题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功
效.
b2 = 9
21．（Ⅰ） ；（Ⅱ）证明见详解；（Ⅲ）数列 A : 4 ，8，13，15，20 ， 40 ，65，75；数列B : 5， 7 ，
b3 =12
12，16， 25 ， 35 ，60 ，80；验证过程见详解.
【解析】（Ⅰ）根据题中条件，列出方程组求解，即可得出结果；
m (4+ 7 +13) = m (3+ 9+12)
（Ⅱ）由（Ⅰ），得到对任意m N *,m 2，都有 2 2 2 2 2 2 2 2 ，推出对任意
m (4 + 7 +13 ) = m (3 + 9 +12 )
m N *,m 5，都能使数列 A : 4 ， 7 ，13，4m ，7m ，13m和数列B : 3，9，12，3m ，9m，12m具有 LS
关系，即可证明结论成立；
（Ⅲ）通过试根的方法，确定一组满足 n = 8，且具有 LS 关系的数列A 和 B ，再由数列新定义验证，即可得
出结果.
4+ 7 +13 = 3+ b2 + b3
b = 92 2 2 2 2 2 2
【详解】（Ⅰ）由题意可得， 4 + 7 +13 = 3 + b2 + b3 ，解得 ；
b3 =12
b2 b3
4+ 7+13 = 3+9+12
（Ⅱ）由（Ⅰ），因为 ，
4
2 + 72 +132 = 32 +92 +122
m (4+ 7 +13) = m (3+ 9+12)
对任意m N *,m 2，都有 2 2 ，
m (4 + 7
2 +132 ) = m2 (32 + 92 +122 )
4m + 7m +13m = 3m + 9m +12m
即 2 2 2 2 2 2 ，
(4m) + (7m) + (13m) = (3m) + (9m) + (12m)
则 4m ，7m ，13m和 4 ， 7 ，13一组重新按从小到大顺序排列得到新数列A ，
3m，9m，12m和3，9，12一组重新按从小到大顺序排列得到新数列 B ，
此时数列A 和数列 B 满足 L (A) = L (B)， S (A) = S (B)；
当m = 2 时，可得数列 A : 4 ， 7 ，8，13，14，26 和数列B : 3，6，9，12，18，24 具有 LS 关系；满足
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题意；
当m = 3时，3m = 9 ， 4m =12，不能满足 ai b j (i, j =1,2, ,n)，
当m = 4 时，3m =12，不能满足 ai b j (i, j =1,2, ,n)，
当m N *,m 5时，数列A 中的项按递增顺序排列为 4 ， 7 ，13， 4m ，7m ，13m；
数列 B 中的项按递增顺序排列为3，9，12，3m ，9m，12m；此时满足ai b j (i, j =1,2, ,n)；
综上，除 和 外，对于任意的正整数m N *3 4 ,m 2，都能满足题意；
即当 n = 6 时，存在无数对具有 LS 关系的数列；
（Ⅲ）取数列 A : 4 ，8，13，15， 20 ， 40 ，65，75；
数列 B : 5， 7 ，12，16， 25 ， 35，60 ，80；
则 4+8+13+15+ 20+ 40+ 65+ 75 = 5+ 7 +12+16+ 25+ 35+ 60+ 80，
即 L (A) = L (B)；
42 +82 +132 +152 + 202 + 402 + 652 + 752 = 52 + 72 +122 +162 + 252 +352 + 602 +802 ，
即 S (A) = S (B)；
所以A ， B 具有 LS 关系.
【点睛】方法点睛：本题主要考查数列新定义的问题，处理此类问题时，通常根据题中新定义的概念，结
合已知结论求解，本题中，根据数列具有 LS 关系的定义，列出方程求解，可得第一问，再第一问的基础
上，可证明第二问成立，第三问可通过试根法确定一对数列，再结合新定义验证即可，属于难题.
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