广东实验中学 2023－2024 学年（下）高二期中考试
数 学
命题：高二数学备课组 审定：夏嵩雪 校对：许作舟
本试卷共 4页，满分 150分，考试用时 120 分钟。
注意事项：
1．开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、班级、考号等相关信息
填写在答题卡指定区域内。
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相
应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1． 已知1+ 2i是关于复数 z的方程 z2 mz + n = 0 (m,n R)的一根，则m+ n =
A．5 B．6 C．7 D．8
2． a = ( 1,1,2) , b = (0,1, 1) , c = ( 3,5,k )，若 a, b, c共面，则实数 k为
A．1 B．2 C．3 D．4
6
2
3． x
2 展开式中的常数项为
x
A．15 B． 60 C． 160 D． 240
4．若 tan 2 + 4 tan + = 0，则 sin 2 =
4
4 2 2 4
A． B． C． D．
5 5 5 5
5． 从 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 这 10 个数中任取 5 个不同的数，则这 5 个不同的数的中位
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数为 5 的概率为
1 3 5 7
A． B． C． D．
21 21 21 21
6． 一个半径为 1 的小球在一个内壁棱长为3 6 的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动，则
该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是
A．36 3 B． 48 3 C． 72 3 D．96 3
x2 y2
7． 已知双曲线C : =1 (a 0,b 0)的左、右焦点分别为 F , F ，过 F 的直线分别交双曲线
2 2 1 2 1a b
左、右两支于 A、 B两点，点C在 x轴上，CB = 4F2A， BF 平分2 F1BC，则双曲线C的离心
率为
2 6 33 2 21
A． B． C． 7 D．
3 3 3
8． 函数 f (x)在定义域 R上处处可导，其导函数为 f (x)．已知 f (x) = f (1 x)， f (1) = 0，且当
1 f (x) 2 5
x 时， f (x) 0 ．若 a = f (ln 2)，b = f ln ， c = f ，则
2 2x 1 5 2
A． a b c B． b c a C． a c b D．b a c
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分．
9． 数列 2，0，2，0， 的通项公式可以是
n+1 n n a1 = 2
A． an = ( 1) +1 B． an = ( 1) +1 C． an = 2 sin D．
2 an+1 = 2 an
10．为响应政府部门疫情防控号召，某校安排甲、乙、丙、丁四名志愿者奔赴海珠、白云、番禺三
个区参加防控工作，则下列说法正确的是
A．不同的安排方法共有 64 种
B．若恰有一个区无人去，则不同的安排方法共有 42种
C．若甲必须去海珠，且每个区均有人去，则不同的安排方法共有 12 种
D．若甲、乙两人都不能去海珠，且每个区均有人去，则不同的安排方法共有 14种
数学试卷 第2页（共4页）
11．如图，在 ABC 中， B = ， AB = 3 ， BC =1，过 AC 中点M 的直线 l 与线段 AB交于点
2
N ．将 AMN沿直线 l翻折至 A MN ，且点 A 在平面 BCMN 内的射影H 在线段 BC上，连接
AH交 l于点O， D是直线 l上异于O的任意一点，则
A
A．点O的轨迹的长度为
6
B． A DH A OH A' M
C． A DH A
N
DC O D
D．直线 A O与平面 BCMN所成角的余弦值的
B H C
最小值为8 3 13
三、填空题：本小题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12．已知圆C 2 21 : x + y = 4和圆C2 : x
2 + y2 + 2x 4y = 0，则两圆公共弦所在直线的方程为 ．
13．在 ABC中， BC =1， AC = 2AB，则 ABC面积的最大值为 ．
14．用 x 表示不超过 x的最大整数，例如 3 = 3 ， 1.2 =1， 1.3 = 2 ．已知数列 a 满足n
1 a a a
a1 =1， an+1 = a
2 + a ，则 1 + 2 + + 2024n n = ．
2 2 + a1 2 + a2 2 + a2024
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）
已知 f (x) = ax ln x， a R．
（1）当 a = 2时，求 f (x)的图像在 (1, f (1))处的切线方程；
（2）若当 x 1,e 时， f ( x) 0，求 a的取值范围．
16．（15 分）
b b2
在 ABC中，内角 A， B，C所对的边分别为 a，b， c，且 cosB + cosC =1．
c c2
（1）证明： c2 = ab；
（2）若 ABC外接圆的面积为 ，且 a2 2b2 = 4sin2 C ，求 ABC的面积．
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17．（15 分）
a a +1 a
已知各项均不为 0 的数列 a 的前 项和为n n S ，且n a1 =1， S =
n n+1 ；b = n ，数列 b 的前n n n
4 2n
n项和为T ． n
（1）求 a 的通项公式； n
（2）求T ； n
（3）若对于任意 n N * ， 2n 8 + 2 T 成立，求实数 的取值范围． n
18．（17 分）
x2 y2 2
已知椭圆C : + =1 (a b 0)的离心率为 ，且过点 ( 2,1)．直线 y = kx +m 与椭圆C 相切
a2 b2 2
于点 P（ P在第一象限），直线 y = kx 1与椭圆C相交于 A,B两点，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线OP的斜率为 k ，求证： 为定值； 0 k k0
（3）求 PAB面积的最大值．
19．（17 分）
拉格朗日中值定理是微积分学的基本定理之一，它与导数和函数的零点有关，其表达如下：若函数
f (b) f (a)
f (x)在区间 a,b 连续，在区间 (a,b)上可导，则存在 x0 (a,b)，使得 f (x0 ) = ，我们
b a
将 x 称为函数 f (x0 )在 a,b 上的“中值点”．
已知函数 f ( x) = ex， g (x) = x2 tx +1， F (x) = f (x) g (x)．
（1）求 F (x)在 (0,1)上的中值点的个数；
（2）若对于区间 (0,1)内任意两个不相等的实数 x1, x2 ，都有 f (x1 ) f (x2 ) g (x1 ) g (x2 ) 成立，
求实数 t的取值范围．
t 1
（3）当 t 0 且 t 1时，证明： ln t 2 2ln 2．
ln t
数学试卷 第4页（共4页）广东实验中学 2023－2024 学年（下）高二期中考试
数学 参考答案与评分标准
【选择题、填空题答案】
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D D A C B B A
题号 9 10 11 12 13 14
1
答案 AC BCD ABD x 2y + 2 = 0 2022
3
【部分试题解析】
7．【解析】如图，因为CB = 4F A，所以CB // F2A，且 F1B = 4F1A，即 AB = 3F1A2 ．
又 BF2 平分 F BC，所以 F1BF2 = F2BC = BF2A（内错角），所以F2A = AB = 3F1A， 1
因为 F2A F1A = 2a，所以 F1A = a， F2A = AB = 3a，
F B 1
所以 F1B = 4a， F2B = 2a，所以 cos F
2
1BF2 = = ，
2AB 3
在 BF1F2 中，由余弦定理有 F
2
1F2 = F
2
1B + F2B
2 2F1B F2B cos F1BF2 ，
2 2 2 1 44 c
2 11 11 33
即 (2c) = (4a) + (2a) 2 4a 2a = a2 ，所以 e2 = = ， e = = ．
3 3 a2 3 3 3
1 1
f (x) x f (x)
2 1 f (x)
( 2 x f x) f (x) 1
8．【解析】记 g (x) ， 2= x ，则 g (x) = = 2x 1 0 ．
1 2 1 1
x x x
2 2 2
数学答案 第1页（共8页）
1 1
从而 g (x)在 ,+ 上单调递增，且当 x 1时 g (x) g (1) = 0，故 f ( x) 0；
2 2
1
当 x 1时 g (x) g (1) = 0，故 f ( x) 0，此时 f (x) = g (x) x 单调递增．
2
2 5
所以 a = f (ln 2) 0 ，b = f ln = f 1+ ln ，
5 2
5 5 5 5
因为1 1+ ln ，所以 0 = f (1) f 1+ ln f ，即0 b c，
2 2 2 2
综上， a b c．
11．【解析】依题意，将 AMN沿直线 l翻折至 AMN，连接 AA ，
由翻折的性质可知，关于所沿轴对称的两点连线被该轴垂直平分，
故 AA ⊥ MN ，又 A 在平面 BCMN内的射影H在线段 BC上，
所以 A H ⊥平面 BCMN，MN 平面 BCMN，所以 A H ⊥ MN ，
AA AH = A ， AA 平面 A AH， AH 平面 A AH，所以MN ⊥平面 A AH．
AO 平面 A AH， A O 平面 AAH， A H 平面 A AH，
AO ⊥ MN ， A O ⊥ MN， A H ⊥ MN，
AOM = 90 ，且 A OH即为二面角 A MN B的平面角．
A
A'
M
N O D
B H C
图 1 图 2
对于 A选项， MN ⊥ AO恒成立，故O的轨迹为以 AM 为直径的圆弧夹在 ABC 内的部分，
1
易知其长度为 = ，故C正确；
2 3 6
对于 B选项， A OH 即为二面角 A MN B的平面角，
故由二面角最大可知 A DH A OH ，故 B正确；
数学答案 第2页（共8页）
对于C选项，由题意可知， A DH为 A D与平面 BCMN所成的线面角，
故由线面角最小可知 A DH A DC，故 A错误；
对于D选项，如图 2所示，设 AMN = ( , ) ，
3 2
在 AOM 中， AOM = 90 ， AO = AM sin = sin ，
AB 3
在 ABH 中， B = , AH = = ，
2 cos BAH
cos( )
3
3
所以OH = AH AO = sin ，设直线 A O与平面 BCMN所成角为 ，
cos( )
3
OH 3 2 3 2 3
则 cos = = 1= 1 1= 8 3 13，
AO
sin cos( ) 3 3sin(2 ) + 1+
3 3 2 2
5
当且仅当 2 = = 时取等号，故D正确．
3 2 12
1 1 2 1 1 1 1 1
14．【解析】 ， a = a2a =1 + a ， = = ，即 = ， 1 n+1 n n
2 an+1 an (an + 2) an an + 2 an + 2 an an+1
a
又 n
2 a a
=1 ，则 1
a
+ 2 + + 2024
1 1 1
= 2024 2 + + + ，
an + 2 an + 2 2 + a1 2 + a2 2 + a2024 2 + a1 2 + a2 2 + a2024
1 1 1 1 1 1 2 2
= 2024 2 + + + = 2024 2 + = 2022 + ，
a1 a2 a2 a3 a2024 a2025 a2025 a2025
1 3 21 2
an+1 = a
2 a
n + an an ，且 a = ，2 a3 = 2 ， 2025 2， (0,1)，
2 2 8 a2025
2 a a a
2022 + = 2022，即 1 + 2 + + 2024 = 2022 ．
a2025 2 + a1 2 + a2 2 + a2024
1
15．【解析】解：（1）当 a = 2时， f (x) = 2x ln x， x 0 ， f (x) = 2 ，（2分）
x
f (1) = 2 ， f (1) =1，（4分）
所以 f (x)的图像在 (1, f (1))处的切线方程为 y 2 = x 1，即 y = x +1．（6分）
1 ax 1
（2）法一： x 1,e ， f (x) = a = ，（7分）
x x
1
当 a 时， f ( x) 0 ， f (x)在 1,e 上单调递减， f (e) = ae 1 0，不合题意；（9分）
e
数学答案 第3页（共8页）
当 a 1时， f ( x) 0 ， f (x)在 1,e 上单调递增， f (x) f (1) = a 0 ，符合题意；（10分）
1 1
当 a 1时，1 e，
e a
1 1
在 1, 上 f ( x) 0 ， f (x)单调递减，在 ,e 上 f ( x) 0 ， f (x)单调递增，
a a
1 1
f (x)在 x = 处取得极小值， f (x) f =1+ ln a 0 ，符合题意；（12分）
a a
1
综上所述，实数 a的取值范围是 ,+ ．（13分）
e
ln x
法二：因为 x 0 ，所以 f ( x) 0等价于 a ， x 1,e ．（8分）
x
ln x 1 ln x
设 g (x) = ， x 1,e ，则 g (x) = 0，所以 g (x)在 1,e 上单调递增，（11分）
x x2
1 1
g (x)在 x = e处取得最大值 gmax = g (e) = ，所以实数 a的取值范围是 ,+ ．（13分）
e e
b b2
16．【解析】（1）证：法一：因为 cosB + cosC =1，所以有bccosB + b2 cosC = c2 ，
c c2
由正弦定理可得b (sinC cosB + sin B cosC ) = csinC，即bsin (B +C ) = csinC，
因为 B +C = A，所以 sin (B +C ) = sin A，所以有bsin A = c sinC ，
再由正弦定理可得 c2 = ab．（4分）
b b2 b a2 + c2 b2 b2 a2 + b2 c2
法二：将余弦定理代入 cosB + cosC =1，可得 + =1，
c c2 c 2ac c2 2ab
b
即 (a2 + c2 b2 + a2 + b2 2 ) ，整理得 c2 c =1 = ab．（4分）
2ac2
（2）解：由题意知外接圆的半径 R =1，
由正弦定理得 c = 2R sinC = 2sinC，所以 a2 2b2 = c2 ．（6分）
由（1）知 c2 = ab，所以 a2 ab 2b2 = 0，即 (a 2b)(a + b) = 0，
因为 a 0 ， b 0 ，所以 a = 2b， c2 = ab = 2b2 ．（9分）
a2 + b2 c2 4b2 + b2 2b2 3
由余弦定理得 cosC = = = ，（11分）
2ab 4b2 4
7 7
所以 sinC = ， c = 2sinC = ．（13分）
4 2
1 abc c3 7 7
所以 S = absinC = = = ．（15分）
2 4 4 32
数学答案 第4页（共8页）
a1a2 +1 a +117．【解析】解：（1）当 n =1时， S1 = ，1=
2 ， a = 3 ．（1分） 2
4 4
a a
当 n 2 时， a = S S = n n+1
an 1an ，（2分）
n n n 1
4
因为 an 0，所以 a ， n 2 ，（3分） n+1 an 1 = 4
故 an 的奇数项和偶数项分别成公差为 4 的等差数列，
n 1 n 2
当 n为奇数时， an = a1 + d = 2n 1；当 n为偶数时， an = a2 + d = 2n 1．
2 2
所以对 n N * ， an = 2n 1．（5分）
a 2n 1
（2）法一：b = n = ，（6分） n
2n 2n
1 3 2n 1 1 1 3 2n 1
Tn = + + ...+ ， Tn = + + ...+ ，（7分）
2 22 2n 2 22 23 2n+1
1 1
1
1 1 2 2 2 2n 1 1 2 2
n 1
2n 1 3 1 2n 1
1 Tn = + + + ...+ = + = ，（8分）
2 2 22 23 2n 2n+1 2 1 2n+1 n 1 n+1 2 2 21
2
1 2n 1 2n + 3
所以Tn = 3 = 3 ．（9分）
2n 2 2n 2n
a 2n 1 2n +1 2n + 3
法二： b = n = = ，（7分） n
2n 2n 2n 1 2n
3 5 5 7 2n +1 2n + 3 2n + 3
所以Tn = + 2 + ...+ = 3 ．（9分） 1 2 n 1 n
n
2 2 2 2 2
2n + 3
（3）由（2）的结论，原不等式等价于 2n 8 + 2 3 ，
2n
2n + 3
1 n
2n 2 2n 3等价于 = ， n N * ．（10分）
2n 8 22n 8
2n 2n 3 2n+1 2n 5 2n 2n 3
记 cn = ，则 c c =
22n 8
n+1 n
22n 6 22n 8
(2n+1 2n 5) 4(2n 2n 3) 6n + 7 2n+1
= = ，（12分）
22n 6 22n 6
当 n =1,2,3时 cn+1 cn 0，当 n 4 时 c c 0 ，故当 n = 4 时 c 取得最大值 c = 5 ，（14分） n+1 n n 4
所以实数 的取值范围是 5,+ )．（15分）
数学答案 第5页（共8页）
2
18．【解析】（1）解：因为 2 2 2 2e = ，所以 a = 2c，b = a c = c ，
2
2 1
又因为椭圆C过点 ( 2,1)，所以 ，解得 c2+ =1 = 2 ，
2c2 c2
x2 y2
所以 a2 = 4 ， b2 = 2，椭圆C : + =1．（3分）
4 2
y = kx +m
（2）证：联立 得 (2k 2 +1) x2 + 4kmx + (2m2 4) = 0 ，（4分） 2
x + 2y
2 = 4
2km m
= 8(4k 2 + 2 m2 ) = 0 ，设 P ( x0 , y0 )，则 x0 = ， y = ．（6分） 2 02k +1 2k 2 +1
y 1 1
所以 k = 00 = ，所以 k k = ．（7分） 0
x0 2k 2
（ = 0是关键步骤，用点差法或直接使用切线公式不给分，阅卷时要注意学生是否“骗分”．）
（3）解：在（2）中令m = 1，则可得 (2k 2 +1) x2 4kx 2 = 0， = 8(4k 2 +1)，
4k 2
设 A(x1, y1 ) , B (x2 , y2 )，则有 x ， ，（8分） 1 + x2 = x1x2 =
2k 2 +1 2k 2 +1
2 2 8(4k 2 +1)
从而 (x1 x2 ) = (x1 + x2 ) 4x1x2 = ， 2
(2k 2 +1)
2 2(1+ k 2 )(4k 2 +1)
AB = 1+ k 2 x1 x2 = ，（10分）
2k 2 +1
m +1
点 P到直线 AB的距离 d = ．（11分）
1+ k 2
由（2）知m2 = 4k 2 + 2 2，且由题意知 k 0 ，m 0，所以m 2 ．（12分）
1 2(4k
2 +1) m +1 3(m 1)(m +1)
S PAB = AB d = = 2 2 ．（13分）
2 2k 2 +1 m4
3 2
(x 1)(x +1) 2(x +1) (x 2)
法一：设 f (x) = ， x 2 ，则 f (x) = ，
x4 x5
当 x ( 2,2)时， f ( x) 0， f (x)单调递增；
当 x (2,+ )时， f ( x) 0 ， f (x)单调递减，
27
所以 f (x)在 x = 2 处取得极大值 f (2) = ，（15分）
16
数学答案 第6页（共8页）
2
故当且仅当m = 2，即 k = ， P ( 2,1)时，（答其一即可，未声明扣 1分）
2
3 6
S 取得最大值 ．（17分） PAB
2
4
3(m 1) + 3(m +1)
3
2 2 3(m 1)(m +1) 2 6 4法二：
3 6
S PAB = = ，（15分）
m4 43 3 m 2
2
当且仅当3(m 1) = m +1，即m = 2， k = ， P ( 2,1)时，（未声明扣 1分）
2
3 6
S 取得最大值 ．（17分） PAB
2
19．【解析】（1）解： F (x) = ex x2 + tx 1，F (x) = ex 2x + t．（1分）
因为 F (0) = 0 ， F (1) = e + t 2 ，
F (1) F (0)
所以 F ( xx0 ) = = e + t 2 ，即 e 0 2x0 = e 2 ， x0 (0,1)．（2分）
1 0
令 h (x) = ex 2x e + 2，则 h (x) = ex 2，
在 (0, ln 2)上， h ( x) 0 ， h (x)单调递减；在 (ln 2,1)上， h ( x) 0， h (x)单调递增，（3分）
因为 h (ln 2) = 2 2ln 2 e + 2 0 ， h (0) = 3 e 0 ， h (1) = 0，
所以 h (x)在 (0, ln 2)上存在唯一零点，在 (ln 2,1)上无零点，（4分）
即 xe 0 2x0 = e 2 在 (0,1)上存在唯一解，所以 F (x)在 (0,1)上的中值点有且仅有 1个．（5分）
f (x ) f (x ) g (x ) g (x )
（2）解：因为 x 1 2 1 21 x2 ，所以 对任意 x1, x2 (0,1)成立．
x1 x2 x1 x2
由拉格朗日中值定理可得 f (x) g (x) ，即 ex 2x t ，
即 2x ex t 2x + ex ， x (0,1)．（7分）
记 p (x) = 2x ex， x1 x (0,1)，则 p 1 (x) = 2 e ，
在 (0, ln 2)上， p 1 ( x) 0， p1 (x)单调递增；在 (ln 2,1)上， p 1 ( x) 0 ， p1 (x)单调递减．
所以 p1 (x) p (ln 2) = 2ln 2 2，从而 t 2ln 2 2 ．（9分）
数学答案 第7页（共8页）
记 p2 (x) = x + e
x， x ( x0,1)，则 p 2 (x) = 2 + e 0 ， p2 (x)在 (0,1)上单调递增，
所以 p2 (x) p (0) =1，从而 t 1．（11分）
综上所述，实数 t的取值范围是 (2ln 2 2,1 ．（12分）
（3）证： F (ln t ) = t ln2 t + t ln t 1， F (0) = 0 ，F (x) = ex 2x + t，（13分）
由拉格朗日中值定理知，在 (0, ln t ) (t 1)或 (ln t,0) (0 t 1)上总存在 x0 ，
F (ln t ) F (0) t 1
使得 F (x0 ) = ，即
x
e 0 2x ．（15分） 0 = ln t
ln t 0 ln t
由（2）知 p1 (x) = 2x e
x 2ln 2 2，所以 xe 0 2x0 2 2ln 2，
t 1
所以 ln t 2 2ln 2．（17分）
ln t
ex 1
【注】此问也可直接求导证明，或者令 x = ln t 0 转而证明 x 2 2ln 2 ，但都会遇到 t =1
x
或 x = 0 处无定义的情况，需要谨慎讨论，可用洛必达法则求得极限；当然也可去分母再作差构造
函数证明，此时需要分类讨论不等号方向；还可进一步利用“对数单向狗，指数找朋友”作变形构
造，但都相对繁琐．阅卷时此类解法也可酌情给分．
数学答案 第8页（共8页）
