湖南省岳阳市汨罗市任弼时红军中学2023-2024学年九年级下学期入学考试数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2024九下·汨罗开学考）在反比例函数y=的图像上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1<0A．m<0 B．m>0 C．m< D．m>
2．（2024九下·汨罗开学考）在△ABC中，∠C=900，若tanA =，则sinA等于 （ ）
A． B． C． D．
3．（2024九下·汨罗开学考）已知△ABC中，点D在边AC上。下列条件中，不能推断△ADB与△ABC相似的是（ ）
A．∠ADB=∠ABC B．∠ABD=∠C C． D．
4．（2024九下·汨罗开学考）正比例函数y=x与反比例函数y=的图像相交于A，C两点，AB⊥x轴于B，CD⊥x轴于D（如图），则四边形ABCD的面积为（ ）
A．1 B． C．2 D．
5．（2024九下·汨罗开学考）关于x的一元二次方程kx2+2x－1=0有两个不相等的实数根， 则k的取值范是（ ）
A．k>－1 B．k>1
C．k≠0 D．k>－1且k≠0
6．（2024九下·汨罗开学考）某学校准备修建一个面积为200m2的矩形花圃，它的长比宽多10m，设花圃的宽为xm，则可列方程为（ ）
A．x(x－10)＝200 B．2x＋2(x－10)＝200
C．x(x＋10)＝200 D．2x＋2(x＋10)＝200
7．（2024九下·汨罗开学考）小强和小明去测量一座古塔的高度，他们在离古塔60m的A处，用测角仪器测得塔顶B的仰角为30°，已知测角仪器高为1.5m，则古塔的高为（ ）
A．m B．m C．m D．m
8．（2024九下·汨罗开学考）如图，在中，=90°，=10，若以点为圆心，长为半径的圆恰好经过的中点，则的长等于（ ）
A．5 B． C． D．6
9．（2017·岳阳）从 ，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024九下·汨罗开学考）函数y=ax2－a与y=（a≠0）在同一直角坐标系中的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2024九下·汨罗开学考）若，则= 。
12．（2024九下·汨罗开学考）已知函数是二次函数，则m的值为 。
13．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB于点D，如果EF=8，AD=2，则⊙O半径的长是 。
14．（2020九上·陆丰月考）一元二次方程 的解是 ．
15．（2024九下·汨罗开学考）函数的顶点坐标是 。
16．（2024九下·汨罗开学考）如图所示，直线y=kx（k>0）与双曲线y=交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2－7x2y1的值等于 。
三、解答题（共9大题，共72分）
17．（2024九下·汨罗开学考）计算：
18．（2024九下·汨罗开学考）河对岸有铁塔AB，在C处测得塔顶A的仰角为30°，向塔前进14米到达D，在D处测得A的仰角为45°，求铁塔AB的高（参考数据：，结果保留整数）。
19．（2017八下·通州期末）已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根
（1）求 的取值范围；
（2）若 为正整数，且该方程的根都是整数，求 的值。
20．（2024九下·汨罗开学考）甘肃地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动.第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元。
（1）如果第二天.第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？
21．（2024九下·汨罗开学考）在一个不透明的袋子中装有白.黄.蓝三种除颜色外其余都相同的小球，其中白球1个，黄球2个，蓝球1个，第一次任意摸出一个球不放回，第二次再从中随机摸出一个球，请用画树状图法求两次都摸到黄球的概率。
22．（2024九下·汨罗开学考）如图所示，已知反比例函数y1=（m≠0）的图像经过点A（－2，1），一次函数y2=kx+b（k≠0）的图像经过点C（0，3）与点A，且与反比例函数的相交于另一点B。
（1）分别求出反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求点B的坐标。
23．（2024九下·汨罗开学考）如图所示，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且DE∥BC，AD=1cm，DB=2cm，AE=4cm。
（1）求AC的长。
（2）若四边形BCDE的面积为16，求△ADE的面积。
24．（2024九下·汨罗开学考）
（1）【感知】如图①，在四边形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，点E在边CD上，∠AEB＝90°，求证：。
（2）【探究】如图②，在四边形ABCD中，∠C＝∠ADC＝90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG＝∠AEB＝90°，且，连接BG交CD于点H。求证：BH＝GH。
（3）【拓展】如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC＝180°，且，过E作EF交AD于点F，若∠EFA＝∠AEB，延长FE交BC于点G。求证：BG＝CG。
25．（2024九下·汨罗开学考）如图，抛物线y＝ax2+x+c经过B（3，0），D两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C。
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）若点M在直线BC上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使△MBC面积最大时M点的坐标，并求最大面积。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】∵ 当x1<0∴反比例函数的图象在第一、三象限，
∴1-2m>0，
解得：m<，
故答案为：C.
【分析】利用反比例函数的图象与系数的关系可得1-2m>0，再求出m的取值范围即可.
2．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】如图所示：
∵ tanA = ，
∴设BC=4k，则AC=3k，
∴AB=，
∴sinA==，
故答案为：C.
【分析】利用锐角三角形函数的定义设BC=4k，则AC=3k，利用勾股定理求出AB=5k，再利用余弦的定义求出sinA==即可.
3．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】A、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ADB∽△ABC，∴A不符合题意；
B、∵∠ABD=∠C，∠A=∠A，∴△ADB∽△ABC，∴B不符合题意；
C、∵，∠A=∠A，∴△ADB∽△ABC，∴C不符合题意；
D、∵无法推断△ADB与△ABC相似，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用相似三角形的判定方法逐项分析判断即可.
4．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的面积
【解析】【解答】∵反比例函数y=， AB⊥x轴于B，CD⊥x轴于D，
∴S△ABO=，
∵正比例函数y=x与反比例函数y=的图像相交于A，C两点，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴S四边形ABCD=4S△ABO=4×=2，
故答案为：C.
【分析】先利用反比例函数k的几何意义可得S△ABO=，再利用平行四边形的面积求出S四边形ABCD=4S△ABO=4×=2即可.
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵ 一元二次方程kx2+2x－1=0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：k>-1且k≠0，
故答案为：D.
【分析】利用一元二次方程的定义及根的判别式列出不等式组，再求解即可.
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程
【解析】【解答】设花圃的宽为xm，则花圃的长为（x+10）m，
根据题意可得：x（x+10）=200，
故答案为：C.
【分析】设花圃的宽为xm，则花圃的长为（x+10）m，再根据“ 修建一个面积为200m2的矩形花圃 ”列出方程x（x+10）=200即可.
7．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】过点A作AC⊥BE于点C，如图所示：
根据题意可得：AC=DE=60，CE=AD=1.5，
∴BC=AC×tan30°=20，
∴古塔BE的高为BC+CE=m，
故答案为：B.
【分析】过点A作AC⊥BE于点C，先利用解直角三角形的方法求出BC的长，再利用线段的和差求出BC的长即可.
8．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】连接CD，如图所示：
∵ 在中，=90°，=10， 点D是AB的中点，
∴CD=BD=AD=AB=5，
∵圆的半径相等，
∴CD=CB，
∴CD=CB=BD=5，
故答案为：A.
【分析】利用直角三角形斜边上中线的性质可得CD=BD=AD=AB=5，再利用圆的性质可得CD=CB=BD=5.
9．【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵在 ，0，π，3.14，6这5个数中只有0、3.14和6为有理数，
∴从 ，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是 ．
故选C．
【分析】根据有理数的定义可找出在 ，0，π，3.14，6这5个数中只有0、3.14和6为有理数，再根据概率公式即可求出抽到有理数的概率．
10．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】①当a>0时，函数y=的图象在第一、三象限，函数y=ax2－a的图象开口向上，顶点在y轴的负半轴；
②当a<0时，函数y=的图象在第二、四象限，函数y=ax2－a的图象开口向下，顶点在y轴的正半轴；
故答案为：A.
【分析】利用反比例函数和二次函数的图象与系数的关系逐项分析判断即可.
11．【答案】5
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】∵，
∴设a=k，则b=2k，c=3k，
∴，
故答案为：5.
【分析】利用设k法可得设a=k，则b=2k，c=3k，再将其代入计算即可.
12．【答案】-3
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】∵ 函数是二次函数，
∴，
解得：m=-3，
故答案为：-3.
【分析】利用二次函数的定义可得，再求出m的值即可.
13．【答案】5
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】连接OE，如下图所示，
则：OE=OA=R，
∵AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB，
∴ED=DF=4，
∵OD=OA-AD，
∴OD=R-2，
在Rt△ODE中，由勾股定理可得：
OE2=OD2+ED2，
∴R2=（R-2）2+42，
∴R=5．
故答案为：5．
【分析】连接OE，由题意得：OE=OA=R，ED=DF=4，再解Rt△ODE即可求得半径的值．
14．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
，
∴ 或 ，
解得， .
故答案为 .
【分析】利用因式分解法即可求出一元二次方程的解.
15．【答案】（3，1）
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】∵二次函数的解析式为，
∴二次函数的顶点坐标为（3，1），
故答案为：（3，1）.
【分析】利用二次函数的顶点式直接求出顶点坐标即可.
16．【答案】20
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】根据题意可得：，
∴，解得：，
∴x1=，x2=，
∴y1=，y2=，
∴2x1y2－7x2y1=2××（）-7×（）×=-8+28=20，
故答案为：20.
【分析】先联立方程求出x1=，x2=，y1=，y2=，再将其代入2x1y2－7x2y1计算即可.
17．【答案】解：原式=3-2
【知识点】特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】
=2--1+2-2×
=2-+1-
= 3-2 ，
故答案为： 3-2.
【分析】先利用绝对值的性质、0指数幂的性质、负指数幂的性质及特殊角的三角函数值化简吗，再计算即可.
18．【答案】解：AB≈19米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】在Rt△ABD中，∠ADB=45°，
∴BD=AB=14m，
在Rt△ABC中，∠ACB=30°，
∴BC=AB，
设AB=xm，则BC=x+14，
∴x+14=，
解得：x=7（+1）≈19m，
∴铁塔AB的高约为19米，
故答案为：19米.
【分析】设AB=xm，则BC=x+14，再结合BC=AB，列出方程x+14=，最后求出x的值即可.
19．【答案】（1）解：∵关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ 。
解得：k＜
（2）解：∵k为k＜ 的正整数，∴k=1或2.
当k=1时，方程为 ，两根为 ，非整数，不合题意；
当k=2时，方程为 ，两根为 或 ，都是整数，符合题意。
∴k的值为2
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围。
（2）找出k范围中的整数解确定出k的值，经检验即可得到满足题意k的值。
20．【答案】（1）解：10％
（2）解：13310元
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】（1）设第二天、第三天收到捐款的增长率为x，
根据题意可得：10000（1+x）2=12100，
解得：x1=0.1，x2=-2.1（舍），
∴x=0.1=10%，
∴第二天、第三天收到捐款的增长率为10%，
故答案为：10%；
（2）第四天该单位能收到的捐款=12100×（1+10%）=13310（元），
故答案为：13310元.
【分析】（1）设第二天、第三天收到捐款的增长率为x，再结合“ 第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元 ”列出方程10000（1+x）2=12100，再求解即可；
（2）利用（1）中的增长率列出算式求解即可.
21．【答案】解：P(两次都摸到黄球）=1/6
【知识点】列表法与树状图法；概率的简单应用
【解析】【解答】根据题意可作出树状图：
∴共有12种等可能的情况数，其中符合条件的情况数有2种，
∴P（ 两次都摸到黄球 ）=，
故答案为：。
【分析】先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
22．【答案】（1）解：y=-2/x和y=x+3
（2）解：B（－1，2）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（1）∵点A（-2，1）在反比例函数y1=的图象上，
∴，
解得：m=-2，
∴反比例函数的解析式为：；
将点A（-2，1），C（0，3）分别代入y2=kx+b，
可得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为：y=x+3，
故答案为：；y=x+3.
（2）联立方程组，
整理可得：x+3=，即x2+3x+2=0，
解得：x1=-2，x2=-1，
将其代入y=x+3可得y1=1，y2=2，
∴点B的坐标为（-1，2），
故答案为：（-1，2）.
【分析】（1）将点A的坐标代入y1=求出m的值，再将点A、C的坐标分别代入y2=kx+b，可得方程组，再求出k、b的值即可；
（2）联立方程组可得x+3=，即x2+3x+2=0，再求出x的值，最后求出点B的坐标即可.
23．【答案】（1）解：AC＝12（cm）
（2）解：△ADE的面积=2（cm2）
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】（1）∵DE//BC，
∴，
∵ AD=1cm，DB=2cm，AE=4cm，
∴，
解得：CE=8，
∴AC=AE+CE=4+8=12cm，
故答案为：12cm；
（2）∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴设S△ADE=k，则S△ABC=9k，
∴S四边形BCED=S△ABC-S△ADE=9k-k=8k=16，
解得：k=2，
∴S△ADE=2，
故答案为：2.
【分析】（1）利用平行线分线段成比例的性质可得，再将数据代入求出CE的长，最后利用线段的和差求出AC的长即可；
（2）先证出△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质可得，再设S△ADE=k，则S△ABC=9k，结合 四边形BCED的面积为16， 可得S四边形BCED=S△ABC-S△ADE=9k-k=8k=16，再求出k的值即可.
24．【答案】（1）证明：∵∠C＝∠D＝∠AEB＝90°，
∴∠BEC+∠AED＝∠AED+∠EAD＝90°，
∴∠BEC＝∠EAD，
∴Rt△AED∽Rt△EBC，
∴．
（2）证明：如图1，过点G作GM⊥CD于点M，
由（1）可知，
∵，
∴，
∴BC＝GM，
又∵∠C＝∠GMH＝90°，∠CHB＝∠MHG，
∴△BCH≌△GMH（AAS），
∴BH＝GH，
（3）证明：如图2，在EG上取点M，使∠BME＝∠AFE，
过点C作CN∥BM，交EG的延长线于点N，则∠N＝∠BMG，
∵∠EAF+∠AFE+∠AEF＝∠AEF+∠AEB+∠BEM＝180°，∠EFA＝∠AEB，
∴∠EAF＝∠BEM，
∴△AEF∽△EBM，
∴，
∵∠AEB+∠DEC＝180°，∠EFA+∠DFE＝180°，
而∠EFA＝∠AEB，
∴∠CED＝∠EFD，
∵∠BMG+∠BME＝180°，
∴∠N＝∠EFD，
∵∠EFD+∠EDF+∠FED＝∠FED+∠DEC+∠CEN＝180°，
∴∠EDF＝∠CEN，
∴△DEF∽△ECN，
∴，
又∵，
∴，
∴BM＝CN，
又∵∠N＝∠BMG，∠BGM＝∠CGN，
∴△BGM≌△CGN（AAS），
∴BG＝CG．
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）；三角形的综合
【解析】【分析】（1） 先证出Rt△AED∽Rt△EBC，再利用相似三角形的性质可得；
（2）过点G作GM⊥CD于点M，先利用“AAS”证出 △BCH≌△GMH ，再利用全等三角形的性质可得 BH＝GH；
（3）在EG上取点M，使∠BME＝∠AFE，先证出 △AEF∽△EBM， 可得，再证出 △DEF∽△ECN， 可得，再结合可得，可得 BM＝CN， 再结合“AAS”证出 △BGM≌△CGN ，可得 BG＝CG．
25．【答案】（1）解：将B（3，0），D（﹣2，﹣）代入y＝ax2+x+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+x+，
令x＝0，则y＝，
∴C（0，）；
（2）解：作直线BC，过M点作MN∥y轴交BC于点N，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+
设M（m，﹣m2+m+），则N（m，﹣m+），
∴MN＝﹣m2+m，
∴S△MBC＝ MN OB＝﹣（m﹣）2+，
当m＝时，△MBC的面积有最大值，
此时M（，）；
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将点B、D的坐标代入 y＝ax2+x+c， 可得求出a、c的值可得 y＝﹣x2+x+， 再将x=0代入求出y的值即可；
（2）先求出直线BC的解析式为 y＝﹣x+ ， 设M（m，﹣m2+m+），则N（m，﹣m+）， 求出 MN＝﹣m2+m， 再利用三角形的面积公式可得 S△MBC＝ MN OB＝﹣（m﹣）2+， 最后利用二次函数的性质求解即可.
1 / 1湖南省岳阳市汨罗市任弼时红军中学2023-2024学年九年级下学期入学考试数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2024九下·汨罗开学考）在反比例函数y=的图像上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1<0A．m<0 B．m>0 C．m< D．m>
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】∵ 当x1<0∴反比例函数的图象在第一、三象限，
∴1-2m>0，
解得：m<，
故答案为：C.
【分析】利用反比例函数的图象与系数的关系可得1-2m>0，再求出m的取值范围即可.
2．（2024九下·汨罗开学考）在△ABC中，∠C=900，若tanA =，则sinA等于 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】如图所示：
∵ tanA = ，
∴设BC=4k，则AC=3k，
∴AB=，
∴sinA==，
故答案为：C.
【分析】利用锐角三角形函数的定义设BC=4k，则AC=3k，利用勾股定理求出AB=5k，再利用余弦的定义求出sinA==即可.
3．（2024九下·汨罗开学考）已知△ABC中，点D在边AC上。下列条件中，不能推断△ADB与△ABC相似的是（ ）
A．∠ADB=∠ABC B．∠ABD=∠C C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】A、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ADB∽△ABC，∴A不符合题意；
B、∵∠ABD=∠C，∠A=∠A，∴△ADB∽△ABC，∴B不符合题意；
C、∵，∠A=∠A，∴△ADB∽△ABC，∴C不符合题意；
D、∵无法推断△ADB与△ABC相似，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用相似三角形的判定方法逐项分析判断即可.
4．（2024九下·汨罗开学考）正比例函数y=x与反比例函数y=的图像相交于A，C两点，AB⊥x轴于B，CD⊥x轴于D（如图），则四边形ABCD的面积为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的面积
【解析】【解答】∵反比例函数y=， AB⊥x轴于B，CD⊥x轴于D，
∴S△ABO=，
∵正比例函数y=x与反比例函数y=的图像相交于A，C两点，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴S四边形ABCD=4S△ABO=4×=2，
故答案为：C.
【分析】先利用反比例函数k的几何意义可得S△ABO=，再利用平行四边形的面积求出S四边形ABCD=4S△ABO=4×=2即可.
5．（2024九下·汨罗开学考）关于x的一元二次方程kx2+2x－1=0有两个不相等的实数根， 则k的取值范是（ ）
A．k>－1 B．k>1
C．k≠0 D．k>－1且k≠0
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵ 一元二次方程kx2+2x－1=0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：k>-1且k≠0，
故答案为：D.
【分析】利用一元二次方程的定义及根的判别式列出不等式组，再求解即可.
6．（2024九下·汨罗开学考）某学校准备修建一个面积为200m2的矩形花圃，它的长比宽多10m，设花圃的宽为xm，则可列方程为（ ）
A．x(x－10)＝200 B．2x＋2(x－10)＝200
C．x(x＋10)＝200 D．2x＋2(x＋10)＝200
【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程
【解析】【解答】设花圃的宽为xm，则花圃的长为（x+10）m，
根据题意可得：x（x+10）=200，
故答案为：C.
【分析】设花圃的宽为xm，则花圃的长为（x+10）m，再根据“ 修建一个面积为200m2的矩形花圃 ”列出方程x（x+10）=200即可.
7．（2024九下·汨罗开学考）小强和小明去测量一座古塔的高度，他们在离古塔60m的A处，用测角仪器测得塔顶B的仰角为30°，已知测角仪器高为1.5m，则古塔的高为（ ）
A．m B．m C．m D．m
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】过点A作AC⊥BE于点C，如图所示：
根据题意可得：AC=DE=60，CE=AD=1.5，
∴BC=AC×tan30°=20，
∴古塔BE的高为BC+CE=m，
故答案为：B.
【分析】过点A作AC⊥BE于点C，先利用解直角三角形的方法求出BC的长，再利用线段的和差求出BC的长即可.
8．（2024九下·汨罗开学考）如图，在中，=90°，=10，若以点为圆心，长为半径的圆恰好经过的中点，则的长等于（ ）
A．5 B． C． D．6
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】连接CD，如图所示：
∵ 在中，=90°，=10， 点D是AB的中点，
∴CD=BD=AD=AB=5，
∵圆的半径相等，
∴CD=CB，
∴CD=CB=BD=5，
故答案为：A.
【分析】利用直角三角形斜边上中线的性质可得CD=BD=AD=AB=5，再利用圆的性质可得CD=CB=BD=5.
9．（2017·岳阳）从 ，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵在 ，0，π，3.14，6这5个数中只有0、3.14和6为有理数，
∴从 ，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是 ．
故选C．
【分析】根据有理数的定义可找出在 ，0，π，3.14，6这5个数中只有0、3.14和6为有理数，再根据概率公式即可求出抽到有理数的概率．
10．（2024九下·汨罗开学考）函数y=ax2－a与y=（a≠0）在同一直角坐标系中的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】①当a>0时，函数y=的图象在第一、三象限，函数y=ax2－a的图象开口向上，顶点在y轴的负半轴；
②当a<0时，函数y=的图象在第二、四象限，函数y=ax2－a的图象开口向下，顶点在y轴的正半轴；
故答案为：A.
【分析】利用反比例函数和二次函数的图象与系数的关系逐项分析判断即可.
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2024九下·汨罗开学考）若，则= 。
【答案】5
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】∵，
∴设a=k，则b=2k，c=3k，
∴，
故答案为：5.
【分析】利用设k法可得设a=k，则b=2k，c=3k，再将其代入计算即可.
12．（2024九下·汨罗开学考）已知函数是二次函数，则m的值为 。
【答案】-3
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】∵ 函数是二次函数，
∴，
解得：m=-3，
故答案为：-3.
【分析】利用二次函数的定义可得，再求出m的值即可.
13．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB于点D，如果EF=8，AD=2，则⊙O半径的长是 。
【答案】5
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】连接OE，如下图所示，
则：OE=OA=R，
∵AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB，
∴ED=DF=4，
∵OD=OA-AD，
∴OD=R-2，
在Rt△ODE中，由勾股定理可得：
OE2=OD2+ED2，
∴R2=（R-2）2+42，
∴R=5．
故答案为：5．
【分析】连接OE，由题意得：OE=OA=R，ED=DF=4，再解Rt△ODE即可求得半径的值．
14．（2020九上·陆丰月考）一元二次方程 的解是 ．
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
，
∴ 或 ，
解得， .
故答案为 .
【分析】利用因式分解法即可求出一元二次方程的解.
15．（2024九下·汨罗开学考）函数的顶点坐标是 。
【答案】（3，1）
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】∵二次函数的解析式为，
∴二次函数的顶点坐标为（3，1），
故答案为：（3，1）.
【分析】利用二次函数的顶点式直接求出顶点坐标即可.
16．（2024九下·汨罗开学考）如图所示，直线y=kx（k>0）与双曲线y=交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2－7x2y1的值等于 。
【答案】20
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】根据题意可得：，
∴，解得：，
∴x1=，x2=，
∴y1=，y2=，
∴2x1y2－7x2y1=2××（）-7×（）×=-8+28=20，
故答案为：20.
【分析】先联立方程求出x1=，x2=，y1=，y2=，再将其代入2x1y2－7x2y1计算即可.
三、解答题（共9大题，共72分）
17．（2024九下·汨罗开学考）计算：
【答案】解：原式=3-2
【知识点】特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】
=2--1+2-2×
=2-+1-
= 3-2 ，
故答案为： 3-2.
【分析】先利用绝对值的性质、0指数幂的性质、负指数幂的性质及特殊角的三角函数值化简吗，再计算即可.
18．（2024九下·汨罗开学考）河对岸有铁塔AB，在C处测得塔顶A的仰角为30°，向塔前进14米到达D，在D处测得A的仰角为45°，求铁塔AB的高（参考数据：，结果保留整数）。
【答案】解：AB≈19米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】在Rt△ABD中，∠ADB=45°，
∴BD=AB=14m，
在Rt△ABC中，∠ACB=30°，
∴BC=AB，
设AB=xm，则BC=x+14，
∴x+14=，
解得：x=7（+1）≈19m，
∴铁塔AB的高约为19米，
故答案为：19米.
【分析】设AB=xm，则BC=x+14，再结合BC=AB，列出方程x+14=，最后求出x的值即可.
19．（2017八下·通州期末）已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根
（1）求 的取值范围；
（2）若 为正整数，且该方程的根都是整数，求 的值。
【答案】（1）解：∵关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ 。
解得：k＜
（2）解：∵k为k＜ 的正整数，∴k=1或2.
当k=1时，方程为 ，两根为 ，非整数，不合题意；
当k=2时，方程为 ，两根为 或 ，都是整数，符合题意。
∴k的值为2
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围。
（2）找出k范围中的整数解确定出k的值，经检验即可得到满足题意k的值。
20．（2024九下·汨罗开学考）甘肃地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动.第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元。
（1）如果第二天.第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？
【答案】（1）解：10％
（2）解：13310元
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】（1）设第二天、第三天收到捐款的增长率为x，
根据题意可得：10000（1+x）2=12100，
解得：x1=0.1，x2=-2.1（舍），
∴x=0.1=10%，
∴第二天、第三天收到捐款的增长率为10%，
故答案为：10%；
（2）第四天该单位能收到的捐款=12100×（1+10%）=13310（元），
故答案为：13310元.
【分析】（1）设第二天、第三天收到捐款的增长率为x，再结合“ 第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元 ”列出方程10000（1+x）2=12100，再求解即可；
（2）利用（1）中的增长率列出算式求解即可.
21．（2024九下·汨罗开学考）在一个不透明的袋子中装有白.黄.蓝三种除颜色外其余都相同的小球，其中白球1个，黄球2个，蓝球1个，第一次任意摸出一个球不放回，第二次再从中随机摸出一个球，请用画树状图法求两次都摸到黄球的概率。
【答案】解：P(两次都摸到黄球）=1/6
【知识点】列表法与树状图法；概率的简单应用
【解析】【解答】根据题意可作出树状图：
∴共有12种等可能的情况数，其中符合条件的情况数有2种，
∴P（ 两次都摸到黄球 ）=，
故答案为：。
【分析】先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
22．（2024九下·汨罗开学考）如图所示，已知反比例函数y1=（m≠0）的图像经过点A（－2，1），一次函数y2=kx+b（k≠0）的图像经过点C（0，3）与点A，且与反比例函数的相交于另一点B。
（1）分别求出反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求点B的坐标。
【答案】（1）解：y=-2/x和y=x+3
（2）解：B（－1，2）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（1）∵点A（-2，1）在反比例函数y1=的图象上，
∴，
解得：m=-2，
∴反比例函数的解析式为：；
将点A（-2，1），C（0，3）分别代入y2=kx+b，
可得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为：y=x+3，
故答案为：；y=x+3.
（2）联立方程组，
整理可得：x+3=，即x2+3x+2=0，
解得：x1=-2，x2=-1，
将其代入y=x+3可得y1=1，y2=2，
∴点B的坐标为（-1，2），
故答案为：（-1，2）.
【分析】（1）将点A的坐标代入y1=求出m的值，再将点A、C的坐标分别代入y2=kx+b，可得方程组，再求出k、b的值即可；
（2）联立方程组可得x+3=，即x2+3x+2=0，再求出x的值，最后求出点B的坐标即可.
23．（2024九下·汨罗开学考）如图所示，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且DE∥BC，AD=1cm，DB=2cm，AE=4cm。
（1）求AC的长。
（2）若四边形BCDE的面积为16，求△ADE的面积。
【答案】（1）解：AC＝12（cm）
（2）解：△ADE的面积=2（cm2）
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】（1）∵DE//BC，
∴，
∵ AD=1cm，DB=2cm，AE=4cm，
∴，
解得：CE=8，
∴AC=AE+CE=4+8=12cm，
故答案为：12cm；
（2）∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴设S△ADE=k，则S△ABC=9k，
∴S四边形BCED=S△ABC-S△ADE=9k-k=8k=16，
解得：k=2，
∴S△ADE=2，
故答案为：2.
【分析】（1）利用平行线分线段成比例的性质可得，再将数据代入求出CE的长，最后利用线段的和差求出AC的长即可；
（2）先证出△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质可得，再设S△ADE=k，则S△ABC=9k，结合 四边形BCED的面积为16， 可得S四边形BCED=S△ABC-S△ADE=9k-k=8k=16，再求出k的值即可.
24．（2024九下·汨罗开学考）
（1）【感知】如图①，在四边形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，点E在边CD上，∠AEB＝90°，求证：。
（2）【探究】如图②，在四边形ABCD中，∠C＝∠ADC＝90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG＝∠AEB＝90°，且，连接BG交CD于点H。求证：BH＝GH。
（3）【拓展】如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC＝180°，且，过E作EF交AD于点F，若∠EFA＝∠AEB，延长FE交BC于点G。求证：BG＝CG。
【答案】（1）证明：∵∠C＝∠D＝∠AEB＝90°，
∴∠BEC+∠AED＝∠AED+∠EAD＝90°，
∴∠BEC＝∠EAD，
∴Rt△AED∽Rt△EBC，
∴．
（2）证明：如图1，过点G作GM⊥CD于点M，
由（1）可知，
∵，
∴，
∴BC＝GM，
又∵∠C＝∠GMH＝90°，∠CHB＝∠MHG，
∴△BCH≌△GMH（AAS），
∴BH＝GH，
（3）证明：如图2，在EG上取点M，使∠BME＝∠AFE，
过点C作CN∥BM，交EG的延长线于点N，则∠N＝∠BMG，
∵∠EAF+∠AFE+∠AEF＝∠AEF+∠AEB+∠BEM＝180°，∠EFA＝∠AEB，
∴∠EAF＝∠BEM，
∴△AEF∽△EBM，
∴，
∵∠AEB+∠DEC＝180°，∠EFA+∠DFE＝180°，
而∠EFA＝∠AEB，
∴∠CED＝∠EFD，
∵∠BMG+∠BME＝180°，
∴∠N＝∠EFD，
∵∠EFD+∠EDF+∠FED＝∠FED+∠DEC+∠CEN＝180°，
∴∠EDF＝∠CEN，
∴△DEF∽△ECN，
∴，
又∵，
∴，
∴BM＝CN，
又∵∠N＝∠BMG，∠BGM＝∠CGN，
∴△BGM≌△CGN（AAS），
∴BG＝CG．
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）；三角形的综合
【解析】【分析】（1） 先证出Rt△AED∽Rt△EBC，再利用相似三角形的性质可得；
（2）过点G作GM⊥CD于点M，先利用“AAS”证出 △BCH≌△GMH ，再利用全等三角形的性质可得 BH＝GH；
（3）在EG上取点M，使∠BME＝∠AFE，先证出 △AEF∽△EBM， 可得，再证出 △DEF∽△ECN， 可得，再结合可得，可得 BM＝CN， 再结合“AAS”证出 △BGM≌△CGN ，可得 BG＝CG．
25．（2024九下·汨罗开学考）如图，抛物线y＝ax2+x+c经过B（3，0），D两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C。
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）若点M在直线BC上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使△MBC面积最大时M点的坐标，并求最大面积。
【答案】（1）解：将B（3，0），D（﹣2，﹣）代入y＝ax2+x+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+x+，
令x＝0，则y＝，
∴C（0，）；
（2）解：作直线BC，过M点作MN∥y轴交BC于点N，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+
设M（m，﹣m2+m+），则N（m，﹣m+），
∴MN＝﹣m2+m，
∴S△MBC＝ MN OB＝﹣（m﹣）2+，
当m＝时，△MBC的面积有最大值，
此时M（，）；
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将点B、D的坐标代入 y＝ax2+x+c， 可得求出a、c的值可得 y＝﹣x2+x+， 再将x=0代入求出y的值即可；
（2）先求出直线BC的解析式为 y＝﹣x+ ， 设M（m，﹣m2+m+），则N（m，﹣m+）， 求出 MN＝﹣m2+m， 再利用三角形的面积公式可得 S△MBC＝ MN OB＝﹣（m﹣）2+， 最后利用二次函数的性质求解即可.
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