秘密★启用前
重庆市名校联盟2023-2024学年度第二期期中联考
数学试题（高2025届）
（本试卷共4页，总分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、座位号及科类名称.
2．请将准考证条形码粘贴在右侧的[考生条形码粘贴处]的方框内.
3．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整、笔迹清楚.
4．请按题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.
5．保持答题卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】求导，再将代入即可.
【详解】，所以.
故选：C.
2. 为了了解全国观众对2024年春晚语言类节目的满意度，某网站对2024年春晚的3000名观众，按性别比例分层随机抽样的方法进行抽样调查，已知这3000名观众中男、女人数之比为，若样本容量为300，则不同的抽样结果共有（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先按比例分别计算出男女观众的人数与样本数，由于是抽取，故只需用组合数列式，再按乘法原理相乘即可.
【详解】在这3000名观众中，男性人数为：人；
女性人数为：人.
因为要按性别比例分层随机抽样，且样本容量为300，
所以抽取的样本中，男性观众的人数为：，女性观众人数为：.
所以不同抽取结果共有：.
故选：B
3. 已知函数，则函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解.
【详解】，
则，
所以函数的图象在点处的切线方程为，
即.
故选：D.
4. 现有两种不同的颜色要对如图形中的三个部分进行着色，其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分步计数乘法原理及古典概型概率公式就可以得到结果.
【详解】
对这三个部分着色，只需要三步完成，第一步给区域①着色有2种方法，第二步给区域②着色有2种方法，
第三步给区域③着色有2种方法，根据分步计数乘法原理，对这三部分着色共有种不同方法，
若要对这三个部分着色且任意有公共边的两块着不同颜色，则按如下三步完成，第一步给区域①着色有2种方法，
第二步给区域②着色仅有1种方法，第三步给区域③着色仅有1种方法，
根据分步计数乘法原理，对这三部分着色共有种不同方法，
设事件“任意有公共边的两块着不同颜色”，
则由古典概型的概率公式得，
故选：B.
5. 的展开式中，的系数为（ ）
A. 20 B. 15 C. 6 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】由，写出展开式的通项，再代入计算可得.
【详解】因为，
其中展开式的通项为（且），
令，解得，
所以，
即的展开式中的系数为.
故选：B
6. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的区间单调性，将问题化为在上恒成立，即可求参数的取值范围.
【详解】由得，
当在区间上单调递增时，即在上恒成立，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
对应函数在上单调递减，则，故.
故选：A
7. 现将《论语》、《孟子》、《大学》、《中庸》、《诗经》5本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知《论语》分发给了甲，则不同的分发方式种数是（ ）
A. 50 B. 80 C. 120 D. 150
【答案】A
【解析】
【分析】按甲乙丙人各分得书籍本数分类即可，注意平均分与不平均分的情况.
【详解】5本书分给甲乙丙3人，每人至少本，则人书籍本数分为，，；，，两类；
第一类，，的情况：
若甲分本，已分得书籍，则另两人一人本，人本，共有种，
若甲分本，即再取本，则剩余2本书分给乙丙，一人一本，则共有种，
故第一类情况共有+种；
第二类，，情况：若甲分本，已分得书籍，另两人各本，共有种，
若甲分本，另两人一人本，人本，共有种，
故第二类情况共有+种；
所以不同的分发方式种数共.
故答案为：.
8. 已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】不等式可化为，故考虑构造函数，结合条件判断其单调性，利用单调性解不等式可得结论.
【详解】不等式可化为，
设，则原不等式可化为，
对函数求导，得，
因为，所以，
所以函数是实数集上的增函数，
所以．
故不等式的解集为.
故选：B.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 甲、乙、丙等5人排成一列，下列说法正确的有（ ）
A. 若甲和乙相邻，共有48种排法 B. 若甲不排第一个共有96种排法
C. 若甲与丙不相邻，共有36种排法 D. 若甲在乙的前面，共有60种排法
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用捆绑法可判断A选项；利用特殊元素优先可判断B选项；利用插空法可判断C选项；利用组合法可判断D选项.
【详解】选项A:若甲和乙相邻，将甲和乙捆绑，形成一个大元素，与其余四个元素排序
共有种排法，A对;
选项B：若甲不排第一个，则甲有4种排法，其余全排，共有种，B对；
选项C，若甲与丙不相邻，将除甲和丙以外的人全排，然后将甲与丙插入人所形成的个空中的个空，所以，共有种排法，C错；
选项D，若甲在乙的前面，只需在5个位置中先选两个位置排甲、乙，且甲排在乙的前面，然后将其余3个人全排，共有种排法，D对.
故选：ABD.
10. 小明在超市购买大米，共有包装相同的10袋大米，其中一级大米有4袋，二级大米有6袋，从中不放回地依次抽取2袋，用A表示事件“第一次取到一级大米”，用B表示事件“第二次取到二级大米”，则（ ）
A. B.
C. D. 事件相互独立
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A：由古典概型概率公式计算即可判断；对于B：由条件概率公式计算即可判断；对于C：由全概率公式计算可判断；对于D：由独立乘法公式计算即可判断.
【详解】对于A：，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C正确；
对于D：因为，，所以事件不相互独立，故D错误.
故选：AC
11. 定义：在区间上，若函数是减函数，且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”.根据定义可得（ ）
A. 在上是“弱减函数”
B. 在上是“弱减函数”
C. 若在上是“弱减函数”，则
D. 若在上是“弱减函数”，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用“弱减函数”的概念逐项分析即得.
【详解】对于A，在上单调递减，不单调，故A错误；
对于B，，在上，函数单调递减，
，，∴在单调递增，故B正确；
对于C，若在单调递减，由，得，
∴，在单调递增，故C正确；
对于D，在上单调递减，
在上恒成立，
令，，令，
，
∴在上单调递减，，
∴，∴上单调递减，，
∴，
在上单调递增，
在上恒成立，
∴，
令，，
∴在上单调递增，，
∴，
综上：，故D正确.
故选：BCD.
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 除以7余数是______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据二项式定理解决整除问题.
【详解】
，
所以除以7的余数为1.
故答案为：1.
13. 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，记事件“第一次掷出的点数小于3”，事件“两次点数之和大于4”，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用古典概型概率公式分别求出，再根据条件概率公式求结论.
【详解】用表示随机试验“先后两次掷一枚质地均匀的骰子”的结果，
表示第一次掷出的点数，表示第二次掷出的点数，
则，
随机试验“先后两次掷一枚质地均匀的骰子”的样本空间中共有个样本点，
事件所包含的样本点的个数为个，
事件所包含样本点的有，共7个，
由古典概型概率公式可得，，
由条件概率公式可得，
故答案为：.
14. 已知对任意，且当时，都有：，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】先把转化为，设，原问题就转化成在单调递减，然后利用在上，恒成立，分离参数，结合基本（均值）不等式，可求的取值范围.
【详解】由，且，
所以.
设，，
则原问题转化为在单调递减恒成立.
因为在恒成立，
所以，恒成立.
因为（当且仅当即时取“”）
所以.
故答案为：
【点睛】方法点睛：本题的关键是把把转化为，设，原问题就转化成在单调递减，然后利用函数在给定区间上的单调性求参数的取值范围.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知展开式中，第三项的二项式系数与第四项的二项式系数比为．
（1）求的值；
（2）求展开式中有理项的系数之和．（用数字作答）
【答案】（1）6 （2）225
【解析】
【分析】（1）求得第三项的二项式系数为，第四项的二项式系数系数为，进而可得，求解即可；
（2）根据通项公式可得时，对应的项是有理项，求得各有理项，可求展开式中有理项的系数之和.
【小问1详解】
依题意，展开式的通项公式为:
，
显然第三项的二项式系数为，第四项的二项式系数系数为，
因此，解得，
所以的值为6.
【小问2详解】
由（1）知，当时，对应的项是有理项，
当时，展开式中对应的有理项为；
当时，展开式中对应的有理项为
当时，展开式中对应的有理项为
所以展开式中有理项的系数之和为
16. 已知函数在时取得极值．
（1）求实数的值；
（2）若对于任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）3 （2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得，即可得解；
（2）对于任意的恒成立，只需要即可，利用导数求出函数的最小值即可.
【小问1详解】
易知，
依题意，解得，
此时，
当或时，；当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
因此函数在时取得极值，
所以；
【小问2详解】
由（1）得函数在上单调递减，在上单调递增；
所以，
由题意可得，解得，
所以的取值范围为.
17. 第33届夏季奥林匹克运动会即将于2024年在巴黎举办，其中男子100米比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段，只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛．已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，其中．
（1）甲、乙、丙三人中，哪个人进入决赛的可能性更大？
（2）在的条件下，设甲、乙、丙三人中进入决赛的人数为，求的分布列．
【答案】（1）乙 （2）分布列见解析
【解析】
【分析】（1）根据概率乘法公式分别求出甲，乙，丙进入决赛的概率，比较大小确定结论，
（2）先确定的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列.
【小问1详解】
甲进入决赛的概率为，乙进入决赛的概率为，
丙进入决赛的概率为，
因为，所以，
所以乙进入决赛的概率最大，
所以乙进入决赛的可能性最大．
【小问2详解】
当时，丙进入决赛的概率为，
所以甲、乙、丙三人进入决赛的概率分布为，
根据题意，得到随机变量的可能取值为0，1，2，3，
可得；
，，
，
所以随机变量的分布列为：
0 1 2 3
18. 已知函数在定义域上有两个极值点.
（1）求实数的取值范围；
（2）若，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，然后利用判别式以及韦达定理求解；
（2）计算，然后代入的值计算整理后构造函数，求导，利用函数单调性来求解.
【小问1详解】
由已知，
因为函数在定义域上有两个极值点，
所以，解得，
所以实数的取值范围为；
【小问2详解】
由（1）得，，
即两个极值点为方程的两根，
则，
所以
代入得
，其中，
则，得，
设，
则，当时，，
即在上单调递增，又，
所以.
19. 设函数．
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）当时，设，且轴，求两点间的最短距离；
（3）若时，函数的图象恒在的图象上方，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）1 （3）
【解析】
【分析】（1）代入，求出，再利用导数的意义求出切线的斜率，最后由点斜式写出切线方程即可；
（2）由题意可得，令求导分析单调性得到最小值即可；
（3）令，求导后再次构造函数，分析的单调性，结合题意得到实数的取值范围即可.
【小问1详解】
当时，，则，
，则，
所以函数在点处的切线方程为.
【小问2详解】
当时，且轴，由，
得：，
所以．
令，
令，在上单调递增，
故，则在上单调递增，
所以时，的最小值为，
所以.
【小问3详解】
令，
，
设为的导数，则，
因为在时恒成立，
所以函数在上单调递增，
所以在上恒成立，
因此函数在上单调递增，在上恒成立，
当时在上单调递增，即，
故当时，恒成立，
当时，，又因为在上单调递增，总存在，
使得在区间上，导致在上单调递减，而，
所以当时，，这与在恒成立矛盾，
所以不符合题意，
综上所述，的取值范围是．
【点睛】关键点点睛：
（1）本题第二问关键在于能从已知得到，再构造函数求导得到最小值；
（2）本题第三问关键在于二次构造函数求导分析单调性.秘密★启用前
重庆市名校联盟2023-2024学年度第二期期中联考
数学试题（高2025届）
（本试卷共4页，总分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、座位号及科类名称.
2．请将准考证条形码粘贴在右侧的[考生条形码粘贴处]的方框内.
3．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整、笔迹清楚.
4．请按题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.
5．保持答题卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D. 1
2. 为了了解全国观众对2024年春晚语言类节目的满意度，某网站对2024年春晚的3000名观众，按性别比例分层随机抽样的方法进行抽样调查，已知这3000名观众中男、女人数之比为，若样本容量为300，则不同的抽样结果共有（ ）
A. B. C. D.
3. 已知函数，则函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A B. C. D.
4. 现有两种不同的颜色要对如图形中的三个部分进行着色，其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 的展开式中，的系数为（ ）
A. 20 B. 15 C. 6 D. 3
6. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7. 现将《论语》、《孟子》、《大学》、《中庸》、《诗经》5本不同书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知《论语》分发给了甲，则不同的分发方式种数是（ ）
A. 50 B. 80 C. 120 D. 150
8. 已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（ ）
A B. C. D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 甲、乙、丙等5人排成一列，下列说法正确的有（ ）
A 若甲和乙相邻，共有48种排法 B. 若甲不排第一个共有96种排法
C. 若甲与丙不相邻，共有36种排法 D. 若甲在乙的前面，共有60种排法
10. 小明在超市购买大米，共有包装相同的10袋大米，其中一级大米有4袋，二级大米有6袋，从中不放回地依次抽取2袋，用A表示事件“第一次取到一级大米”，用B表示事件“第二次取到二级大米”，则（ ）
A. B.
C. D. 事件相互独立
11. 定义：在区间上，若函数是减函数，且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”.根据定义可得（ ）
A. 在上是“弱减函数”
B. 在上是“弱减函数”
C. 若在上是“弱减函数”，则
D. 若在上是“弱减函数”，则
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 除以7余数是______．
13. 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，记事件“第一次掷出的点数小于3”，事件“两次点数之和大于4”，则______．
14. 已知对任意，且当时，都有：，则的取值范围是______．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知展开式中，第三项的二项式系数与第四项的二项式系数比为．
（1）求的值；
（2）求展开式中有理项的系数之和．（用数字作答）
16. 已知函数在时取得极值．
（1）求实数的值；
（2）若对于任意的恒成立，求实数的取值范围．
17. 第33届夏季奥林匹克运动会即将于2024年在巴黎举办，其中男子100米比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段，只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛．已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，其中．
（1）甲、乙、丙三人中，哪个人进入决赛的可能性更大？
（2）在的条件下，设甲、乙、丙三人中进入决赛的人数为，求的分布列．
18. 已知函数在定义域上有两个极值点.
（1）求实数取值范围；
（2）若，求的值.
19. 设函数．
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）当时，设，且轴，求两点间的最短距离；
（3）若时，函数的图象恒在的图象上方，求实数的取值范围．
