重庆市荣昌中学校2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题
全卷满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 某学校开设5门球类运动课程、6门田径类运动课程和3门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（ ）
A. 90种 B. 30种 C. 14种 D. 11种
【答案】C
【解析】
【分析】根据分类加法计数原理求解即可.
【详解】根据分类加法计数原理，不同的选法共有种．
故选：C．
2. 二项式各项系数之和为（ ）
A. 512 B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】令进而求解即得.
【详解】令，则二项式的各项系数之和为，
故选：B
3. 若函数，则（ ）
A. 0 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求导，再令即可得解.
【详解】，
所以.
故选：A.
4. 从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法种数为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分两步进行：先选出两名男选手，再从6名女生中选出2名且与已选好的男生配对.
【详解】分两步进行：第一步，选出两名男选手，有种方法；
第二步，从6名女生中选出2名且与已选好男生配对，有种.
故有种.
故选：B.
5. 某位同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒3盒、莲花清瘟胶囊2盒、清开灵颗粒5盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用（用药请遵医嘱），则感冒被治愈的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据全概率公式计算可得；
【详解】记服用金花清感颗粒为事件，服用莲花清瘟胶囊为事件，服用清开灵颗粒为事件，感冒被治愈为事件，
依题意可得，，，，，，
所以
.
故选：C
6. 已知（为常数）在上有最大值3，则函数在上的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对函数进行求导，判断其单调性和最值，根据最大值为求出，进而根据单调性可得其最小值.
【详解】由得，
故当时，，在区间上单调递增，
当时，，在区间上单调递减，
故当时，取得最大值，即，此时，
当，，当时，
故最小值为，
故选：C
7. 质数（prime number）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”.如：3和5，5和7……，在1900年的国际数学大会上，著名数学家希尔伯特提出了23个问题，其中第8个就是大名鼎鼎的孪生素数猜想：即存在无穷多对孪生素数.我国著名数学家张益唐2013年在《数学年刊》上发表论文《素数间的有界距离》，破解了困扰数学界长达一个半世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式.那么，如果我们在不超过的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件，这两个数都是素数；事件：这两个数不是孪生素数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件概率的计算方法求得正确答案.
【详解】不超过的自然数有个，其中素数有共个，
孪生素数有和，和，和，和，共组.
所以，，
所以.
故选：D
8. 已知函数，若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】判断函数的奇偶性以及单调性，从而将不等式在上恒成立，转化为在上恒成立，参变分离，再结合构造函数，利用导数求得函数的最小值，即可得答案.
【详解】由于函数，定义域为R，满足，
得是奇函数，且在R上为增函数.
在上恒成立，
在上恒成立，
在上恒成立，在上恒成立.
令，则，
当时，，故在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
，即a的取值范围为，
故选：D.
【点睛】方法点睛：利用函数的单调性和奇偶性解不等式，再分离参数法借助导数求范围.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则（ ）
A. 函数在区间上单调递增 B. 函数在上单调递减
C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值
【答案】BC
【解析】
【分析】借助图象的正负即可得原函数的单调性及极值点，逐项判断即可得.
【详解】由图可知，当时，，
当时，，
故在、上单调递增，在、上单调递减，
在、处取得极大值，在取得极小值
故A错误，B正确，C正确，D错误.
故选：BC.
10. 甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ）
A. 、为对立事件 B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】只需注意到事件B是在事件或发生之后可解.
【详解】因为甲罐中只有红球和白球，所以A正确；当发生时，乙罐中有4个红球，7个白球，此时B发生的概率为，故B正确；当发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时B发生的概率为，故D不正确；，故 C不正确.
故选：AB
11. 设函数，则（ ）
A. 当时，直线不是曲线的切线
B. 当时，函数有三个零点
C. 若有三个不同的零点，，，则
D. 若曲线上有且仅有四点能构成一个正方形，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】求导即可判断A，由函数的单调性结合三次函数的图像特征即可判断B，结合零点的定义代入计算，即可判断C，由正方形的特点结合导数的运算即可判断D
【详解】当时，，则，则，
则曲线在点处的切线方程为，故选项错误.
当时，，则，
当和时，，单调递增，
时，，单调递减.
又因为，，结合三次函数的图像特征，
此时，有三个零点，故B选项正确.
设的三个零点分别为，，，
则有，
展开后比对含项的系数，可得，故选项C正确.
当时，易知在上单调递增，
结合图像知不符合题意，故.
因为，
因此函数的图像关于点成中心对称图形.
则此正方形必以为中心，
不妨设正方形的四个顶点分别为A，，，，
其中一条对角线的方程为，则，
即，解得，则，
同理可得.
由得，
根据题意，方程只有一个正解，
当时，显然不成立.
故，则，
因为，则，设，则.设，
根据题意，只需要直线与函数的图像只有唯一的公共点即可.
结合双勾函数的图像可得，解得.所以选项D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点睛：对于选项D：根据函数对称性，结合正方体分析可知只有一个正解，进而可得结果.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数在点处的切线方程为，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，利用导数的几何意义，列出方程组，求得的值，即可求解.
【详解】由函数，可得，可得，
因为函数在点处的切线方程为，
可得，解得，所以.
故答案为：.
13. 若，则______．
【答案】2555
【解析】
【分析】分别赋值和即可求得答案.
【详解】因为，
所以令时，
，
即，
令时，
，
即，
所以
，
故答案为：2555.
14. 已知分别是函数和图象上的动点，若对任意的，都有恒成立，则实数的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】先求出到直线的距离，则，再利用导数求出函数的最小值，即可得解.
【详解】点到直线的距离，
则，
又，
由知，和在上单调递增，
所以在上单调递增，其值域为，
又，令，
令，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，
因为对任意的，都有恒成立，所以，
所以实数的最大值为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数，且.
（1）求函数的图象在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间.
【答案】（1）
（2）单调递增区间，单调递减区间为
【解析】
【分析】（1）由已知可得，根据已知求出，代入可得.根据导数的几何意义，求出斜率，代入点斜式方程，整理即可得出答案；
（2）由（1）知，.解以及，即可得出函数的单调区间.
【小问1详解】
由已知可得，
所以，解得，
所以，所以.
根据导数的几何意义可知函数的图象在点处的切线斜率，
所以切线方程为，即.
【小问2详解】
由（1）知，.
令，得或.
解可得，或，
所以在上单调递增，在上单调递增；
解可得，，所以在上单调递减.
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为.
16. 在的展开式中，
（1）求二项式系数最大的项；
（2）若第项是有理项，求的取值集合.
（3）系数的绝对值最大的项是第几项；
【答案】（1）
（2）
（3）第项和第项
【解析】
【分析】（1）利用二项式定理求出通项，二项式系数最大的项为中间项，求解即可；
（2）当为整数时为有理项，即可求解；
（3）设第项的系数的绝对值最大，列方程组即可求解.
【小问1详解】
，，
二项式系数最大的项为中间项，即第项，
所以；
【小问2详解】
，，
当为整数时为有理项，即，
则的取值集合为；
【小问3详解】
设第项的系数的绝对值最大，
则，所以，解得，
故系数的绝对值最大的项为第项和第项.
17. 如图，在四棱锥中，四边形是正方形，是等边三角形，平面平面，E，F分别是棱PC，AB的中点.
（1）证明:平面.
（2）求平面PBC与平面PDF夹角的余弦值.
【答案】（1）详见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直的性质定理结合条件可得平面，然后利用坐标法，可得平面的法向量，进而即得；
（2）利用坐标法，根据面面角的向量求法即得.
【小问1详解】
因为是等边三角形， F是AB的中点，
所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，底面是正方形，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，不妨令，
则，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，令，可得，
所以，即，
又平面，
所以平面；
【小问2详解】
因为，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，可得，
又平面的一个法向量为，
所以，
所以平面PBC与平面PDF夹角的余弦值为.
18. 已知椭圆的上、下顶点分别为，点在上，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设坐标原点为，若不经过点直线与相交于两点，直线与的斜率互为相反数，当的面积最大时，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意在上，可得，利用，得出，即可求得椭圆方程；
（2）设直线的方程，和椭圆方程联立，求出M点坐标，以代换k, 可得N点坐标，从而确定直线的斜率，设直线的方程，联立椭圆方程，利用根与系数的关系结合点到直线的距离，表示出的面积，结合二次函数知识，即可求得答案.
【小问1详解】
由题意椭圆的上、下顶点分别为，
故，点在上，故，
又，即，
即，解得，
结合可得，
故椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
由题意知直线斜率存在，故设为k，
则直线的方程为，联立，
可得，
由题意知该方程有一根为，设，
则，
则，
因为直线与的斜率互为相反数，设，故以代换,
可得，，
由题意可得，故，
所以直线的斜率为
，
即直线的斜率为，则设其方程为，联立，
可得，需满足，
则 ，
故,
原点O到直线的距离为，
故的面积为
，
当，即时，的面积取到最大值，
此时直线的方程.
【点睛】难点点睛：解答第二问时涉及到三角形面积取最大值，计算量较大，难度较高，解答时要利用直线方程和椭圆方程的联立，确定直线的斜率，进而利用弦长公式和点到直线的距离表示出的面积，从而可解决问题.
19. 英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数底数，.以上公式称为泰勒公式.设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.
（1）证明：；
（2）设，证明：；
（3）设，若是的极小值点，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）首先设，利用导数判断函数的单调性，转化为求函数的最值问题；
（2）首先由泰勒公式，由和，再求得和的解析式，即可证明；
（3）分和两种情况讨论，求出在附近的单调区间，即可求解.
【小问1详解】
设，则.
当时，：当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
因此，，即.
【小问2详解】
由泰勒公式知，①
于是，②
由①②得
所以
即.
【小问3详解】
，则
，设，
由基本不等式知，，当且仅当时等号成立.
所以当时，，所以在上单调递增.
又因为是奇函数，且，
所以当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
因此，是的极小值点.
下面证明：当时，不是的极小值点.
当时，，
又因为是上的偶函数，且在上单调递增,
所以当时，.
因此，在上单调递减.
又因为是奇函数，且，
所以当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
因此，是的极大值点，不是的极小值点.
综上，实数的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：第三问是本题的难点，关键是分和两种情况，利用导数判断附近的单调性.重庆市荣昌中学校2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题
全卷满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 某学校开设5门球类运动课程、6门田径类运动课程和3门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（ ）
A 90种 B. 30种 C. 14种 D. 11种
2. 二项式的各项系数之和为（ ）
A. 512 B. C. 2 D.
3. 若函数，则（ ）
A. 0 B. C. D.
4. 从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法种数为（ ）
A. B.
C. D.
5. 某位同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒3盒、莲花清瘟胶囊2盒、清开灵颗粒5盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用（用药请遵医嘱），则感冒被治愈的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知（为常数）在上有最大值3，则函数在上的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7. 质数（prime number）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”.如：3和5，5和7……，在1900年的国际数学大会上，著名数学家希尔伯特提出了23个问题，其中第8个就是大名鼎鼎的孪生素数猜想：即存在无穷多对孪生素数.我国著名数学家张益唐2013年在《数学年刊》上发表论文《素数间的有界距离》，破解了困扰数学界长达一个半世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式.那么，如果我们在不超过的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件，这两个数都是素数；事件：这两个数不是孪生素数，则（ ）
A B. C. D.
8. 已知函数，若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则（ ）
A. 函数在区间上单调递增 B. 函数在上单调递减
C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值
10. 甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ）
A. 、为对立事件 B.
C. D.
11. 设函数，则（ ）
A. 当时，直线不是曲线的切线
B 当时，函数有三个零点
C. 若有三个不同的零点，，，则
D. 若曲线上有且仅有四点能构成一个正方形，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数在点处的切线方程为，则______．
13 若，则______．
14. 已知分别是函数和图象上的动点，若对任意的，都有恒成立，则实数的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数，且.
（1）求函数的图象在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间.
16. 在的展开式中，
（1）求二项式系数最大的项；
（2）若第项是有理项，求的取值集合.
（3）系数的绝对值最大的项是第几项；
17. 如图，在四棱锥中，四边形是正方形，是等边三角形，平面平面，E，F分别是棱PC，AB的中点.
（1）证明:平面.
（2）求平面PBC与平面PDF夹角的余弦值.
18. 已知椭圆上、下顶点分别为，点在上，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设坐标原点为，若不经过点的直线与相交于两点，直线与的斜率互为相反数，当的面积最大时，求直线的方程.
19. 英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.
（1）证明：；
（2）设，证明：；
（3）设，若是的极小值点，求实数的取值范围.
