2024年安徽省淮安市九年级中考数学一模错题集强化训练（含解析 ）

2023-2024学年淮安初三数学下一模错题集强化训练
一．选择题（共4小题）
1．（2023 淮安二模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8，则这个菱形的面积是（　　）
A．48 B．40 C．24 D．20
2．（2022 乌鲁木齐）一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象，如图所示，则不等式kx+b＞0的解集是（　　）
A．x＜2 B．x＜0 C．x＞0 D．x＞2
3．（2020 攀枝花）若关于x的方程x2﹣x﹣m＝0没有实数根，则m的值可以为（　　）
A．﹣1 B．﹣ C．0 D．1
4．（2022 乐山）关于x的一元二次方程3x2﹣2x+m＝0有两根，其中一根为x＝1，则这两根之积为（　　）
A． B． C．1 D．﹣
二．填空题（共5小题）
5．（2024 涟水县模拟）对于实数a、b，定义新运算“ ”：a b＝a2﹣ab，如4 2＝42﹣4×2＝8．若x 4＝﹣4，则实数x的值是　 　．
6．（2021 浙江）如图，Rt△ABC的两个锐角顶点A，B在函数y＝（x＞0）的图象上，AC∥x轴，AC＝2，若点A的坐标为（2，2），则点B的坐标为　 　．
7．（2024 涟水县模拟）若圆锥的侧面积为25π，底面半径为5，则该圆锥的母线长是 　 　．
8．（2022 临沂）比较大小： 　 　（填“＞”，“＜”或“＝”）．
9．（2022 毕节市）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点P为BC边上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ长度的最小值为 　 　．
三．解答题（共9小题）
10．（2023 淮安二模）如图，已知AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C＝∠BAD．
（1）请判断AD是否为⊙O的切线，并证明你的结论；
（2）若BD⊥AB于点B，AD＝9，BD＝6，求⊙O半径．
11．（2023 淮安二模）某网店专门销售某种品牌的笔筒，成本为20元/件，每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图，其中规定每天笔筒的销售量不低于210件．
（1）写出y与x之间的函数关系式 　 　；
（2）当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
12．（2023 淮安二模）我们知道，三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，如何证明三角形中位线定理呢？
（1）【方法回顾】
证明：三角形中位线定理．
已知：如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．
求证：DE∥BC，．
证明三角形中位线性质定理的方法很多，但多数都需要通过添加辅助线构图去完成，下面是其中一种证法的添加辅助线方法，阅读并完成填空：
添加辅助线，如图1，在△ABC中，过点C作CF∥AB，与DE的延长线交于点F．可证△ADE≌　 　，根据全等三角形对应边相等可得DE＝EF，然后判断出四边形BCFD是 　 　，根据图形性质可证得DE∥BC，．
（2）【方法迁移】
如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∠D＝120°，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若，DF＝4，∠GEF＝90°，求GF的长．
（3）【定理应用】
如图3，在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，G是边BC上一点，，延长BC至点E，使DE＝DG，延长ED交AB于点F，直接写出的值（用含K的式子表示）．
13．（2023 淮安二模）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3（a＜0）与x轴分别交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，P为抛物线上一动点．
（1）写出抛物线的对称轴为直线 　 　，抛物线的解析式为 　 　；
（2）如图2，连结AC，若P在AC上方，作PQ∥y轴交AC于Q，把上述抛物线沿射线PQ的方向向下平移，平移的距离为h（h＞0），在平移过程中，该抛物线与直线AC始终有交点，求h的最大值；
（3）若P在AC上方，设直线AP，BP与抛物线的对称轴分别相交于点F，E，请探索以A，F，B，G（G是点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由．
（4）设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
14．（2022 宿迁）从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛，求下列事件发生的概率．
（1）甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是 　 　；
（2）任意选取2名学生参加比赛，求一定有乙的概率．（用树状图或列表的方法求解）．
15．（2023 仪征市模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E．过点D作DF⊥AC，垂足为F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若AB＝4，∠C＝30°，求劣弧的长．
16．（2021 鄂尔多斯）如图，矩形ABCD的两边AB，BC的长分别为3，8，C，D在y轴上，E是AD的中点，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点E，与BC交于点F，且CF﹣BE＝1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在y轴上找一点P，使得S△CEP＝S矩形ABCD，求此时点P的坐标．
17．（2023 淮安区一模）某商品的进货价为每件30元，为了合理定价，先投放市场试销．据市场调查，销售价为每件40元时，每周的销售量是180件，而销售价每上涨1元，则每周的销售量就会减少5件，设每件商品的销售价上涨x元，每周的销售利润为y元．
（1）用含x的代数式表示：每件商品的销售价为 　 　元，每件商品的利润为 　 　元，每周的商品销售量为 　 　件；
（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（3）应怎样确定销售价，使该商品的每周销售利润最大？最大利润是多少？
18．（2022 福建）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
（3）如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3．判断+是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8，
∴AC⊥BD，这个菱形的面积＝AC BD＝×6×8＝24，
故选：C．
2．【解答】解：函数y＝kx+b的图象经过点（2，0），并且函数值y随x的增大而减小，
所以当x＜2时，函数值大于0，即关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＜2．
故选：A．
3．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣x﹣m＝0没有实数根，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣m）＝1+4m＜0，
解得：，
故选：A．
4．【解答】解：∵方程的其中一个根是1，
∴3﹣2+m＝0，解得m＝﹣1，
∵两根的积为，
∴两根的积为﹣，
故选：D．
二．填空题（共5小题）
5．【解答】解：∵x 4＝﹣4，
∴x2﹣4x＝﹣4，
则（x﹣2）2＝0，
解得：x1＝x2＝2．
故答案为：2．
6．【解答】解：∵点A（2，2）在函数y＝（x＞0）的图象上，
∴2＝，得k＝4，
∵在Rt△ABC中，AC∥x轴，AC＝2，
∴点B的横坐标是4，
∴y＝＝1，
∴点B的坐标为（4，1），
故答案为：（4，1）．
7．【解答】解：∵圆锥的侧面积为25π，底面半径为5，
∴5πl＝25π．
解得：l＝5，
故答案为：5．
8．【解答】解：∵（）2＝，（）2＝，＜，
∴＜，
故答案为：＜．
9．【解答】解：方法一：∵∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，
∴AC＝＝＝4，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO＝QO，CO＝AO＝2，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线OP′，
∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°，
∴△CAB∽△CP′O，
∴，
∴，
∴OP′＝，
∴则PQ的最小值为2OP′＝，
方法二：过点A作AE⊥BC垂足为E 当PQ⊥BC时，符合题意，则四边形AEPQ是矩形，
∴PQ＝AE＝2.4．
故答案为：．
三．解答题（共9小题）
10．【解答】解：（1）AD为⊙O的切线，
理由：连接OA，并延长交⊙O于点E，连接BE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∴∠E+∠EAB＝90°，
∵∠C＝∠E，∠C＝∠BAD，
∴∠E＝∠BAD，
∴∠EAB+∠BAD＝90°，
∴∠EAD＝90°，
∴AD为⊙O的切线；
（2）∵BD⊥AB，
∴∠ABD＝90°，
∵∠ABE＝90°，
∴∠ABE+∠ABD＝180°，
∴点E、B、D三点在同一条直线上，
在Rt△ABD中，AD＝9，BD＝6，
∴AB＝＝＝3，
∵∠E＝∠BAD，∠ABE＝∠ABD＝90°，
∴△EBA∽△ABD，
∴＝，
∴＝，
解得：AE＝，
∴⊙O半径为．
11．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
∴，
解得k＝﹣10，b＝600，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+600，
故答案为：y＝﹣10x+600；
（2）设利润为w元，
则w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣10x+600）＝﹣10（x﹣20）（x﹣60）＝﹣10（x2﹣80x+1200）＝﹣10（x﹣40）2+4000，
∵每天笔筒的销售量不低于210件，
∴﹣10x+600≥210，
解得x≤39，
∵a＝﹣10＜0，
∴x＝39时，w最大＝3990，
∴当销售单价为39元时，每天获取的利润最大，最大利润是3990元．
12．【解答】（1）证明：如图1，过点C作CF∥AB，与DE的延长线交于点F，
∵CF∥AB，
∴∠F＝∠ADE，∠A＝∠ECF，
∵点E是AC的中点，
∴AE＝CE，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴DE＝EF，AD＝CF，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∴CF＝BD，
又∵CF∥AB，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴DE∥BC，DE＝BC，
故答案为：△CFE；平行四边形；
（2）解：如图2，过点D作AB的平行线交GE的延长线于点H，过H作CD的垂线，垂足为P，连接HF，
∴∠A＝∠ADH＝90°，
又∵AE＝DE，∠AEG＝∠DEH，
∴△AEG≌△DEH（ASA），
∴GE＝EH，
∵∠GEF＝90°，
∴GF＝HF，
∴∠A＝∠HDE＝90°，AG＝HD＝，
∵∠ADC＝120°，
∴∠HDF＝360°﹣90°﹣120°＝150°，
∴∠HDP＝30°，
∴PH＝DH＝，PD＝，
∴PF＝PD+DF＝+4＝，
∴HF＝＝＝，
∴GF＝；
（3）解：如图3，取BC的中点N，连接DN，
∵点D是AC的中点，点N是BC的中点，
∴AD＝CD，BN＝CN，
∴DN∥AB，AB＝2DN，
∵＝K，
∴设BG＝2a，则CG＝2aK，BC＝2a+2aK，
∴CN＝BN＝a+aK，
∴GN＝aK﹣a，
∵AB＝AC，
∴DC＝DN，
∴∠DNC＝∠DCN，
∴∠DNG＝∠DCE，
∵DG＝DE，
∴∠E＝∠DGE，
∴△DGN≌△DEC（AAS），
∴GN＝CE＝aK﹣a，
∴BE＝2a+2aK+aK﹣a＝3aK+a，NE＝2aK，
∴DN∥AB，
∴△DNE∽△FBE，
∴＝，
∴设DN＝2Kx，BF＝（3K+1）x，
∴AB＝4Kx，AF＝AB﹣BF＝（K﹣1）x，
∴＝．
13．【解答】解：（1）由题意得，抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），
则﹣3a＝3，则a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3，
则抛物线的对称轴为x＝﹣1，
故答案为：x＝﹣1，y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）由题意得，平移后的抛物线表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3﹣h①，
由抛物线的表达式知，点C（0，3），
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝x+3②，
联立①②得：﹣x2﹣2x+3﹣h＝x+3，
则Δ＝9﹣4h＝0，
则h＝，
即h的最大值为：；
（3）面积不变，为16，理由：
设点P的坐标为（m，﹣m2﹣2m+3），
由点A、P的坐标得，直线AP的表达式为：y＝（1﹣m）（x+3），
当x＝﹣1时，y＝（1﹣m）（x+3）＝2﹣2m，
即点F（﹣1，2﹣2m），
同理可得，点E（﹣1，2m+6），则点G（﹣1，﹣2m﹣6），
则FG＝2﹣2m+2m+6＝8，
则S四边形AGBF＝AB×FG＝4×8＝16，
即以A，F，B，G（G是点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积不随着P点的运动而发生变化，这个四边形的面积为16；
（4）存在，理由如下：
如图，当点N在y轴上时，四边形PMCN是矩形，此时P（﹣1，4），N（0，4）；
如图，当四边形PMCN是矩形时，设M（﹣1，n），P（t，﹣t2﹣2t+3），则N（t+1，0），
由题意，
消去n得，3t2+5t﹣10＝0，
解得t＝，
综上所述，满足条件的点P的横坐标为：，﹣1．
14．【解答】解：（1）由题意可得，
甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，有3种可能性，其中选中丙的有1种可能性，
故恰好选中丙的概率是，
故答案为：；
（2）树状图如下：
由上可得，一共有12种可能性，其中一定有乙的可能性有6种，
故一定有乙的概率是＝．
15．【解答】（1）证明：连接OD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠C＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∴DF是⊙O的切线；
（2）连接OE，
∵∠B＝∠C＝30°，
∴∠EAB＝∠B+∠C＝60°，
∴∠EOB＝2∠EAB＝120°，
∴的长＝＝．
16．【解答】解：（1）∵E是AD的中点，
∴AE＝，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE＝，
∵CF﹣BE＝1，
∴CF＝6，
∴F的横坐标为﹣6，
设F（﹣6，m），则E（﹣4，m+3），
∵E，F都在反比例函数图象上，
∴﹣6m＝﹣4（m+3），
解得m＝6，
∴F（﹣6，6），
∴k＝﹣36，
∴反比例函数y＝﹣．
（2）∵S△CEP＝S矩形ABCD，
∴，
∴CP＝8，
∴P（0，14）或（0，﹣2）．
17．【解答】解：（1）每件商品的销售价为：（x+40）元，每件商品的利润为：（x+10）元，
每周的商品销售量为：（180﹣5x）件；
故答案为：x+40，x+10，180﹣5x；
（2）所求函数关系式为：y＝（x+10）（180﹣5x）
即y＝﹣5x2+130x+1800；
（3）∵在y＝﹣5x2+130x+1800中，
a＝﹣5＜0，b＝130，x＝1800，
∴当x＝﹣＝﹣＝13时，x+40＝13+40＝53，
y有最大值且最大值为：＝1800﹣＝2645（元），
∴当售价为53元时，可获得最大利润2645元．
18．【解答】解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入y＝ax2+bx，
∴，解得．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x．
（2）设直线AB的解析式为：y＝kx+t，
将A（4，0），B（1，4）代入y＝kx+t，
∴，
解得．
∵A（4，0），B（1，4），
∴S△OAB＝×4×4＝8，
∴S△OAB＝2S△PAB＝8，即S△PAB＝4，
过点P作PM⊥x轴于点M，PM与AB交于点N，过点B作BE⊥PM于点E，如图，
∴S△PAB＝S△PNB+S△PNA＝PN×BE+PN×AM＝PN＝4，
∴PN＝．
设点P的横坐标为m，
∴P（m，﹣m2+m）（1＜m＜4），N（m，﹣m+），
∴PN＝﹣m2+m﹣（﹣m+）＝．
解得m＝2或m＝3；
∴P（2，）或（3，4）．
（3）∵PD∥OB，
∴∠DPC＝∠BOC，∠PDC＝∠OBC，
∴△DPC∽△BOC，
∴CP：CO＝CD：CB＝PD：OB，
∵＝＝，＝＝，
∴+＝．
设直线AB交y轴于点F．则F（0，），
过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH交AB于点G，如图，
∵∠PDC＝∠OBC，
∴∠PDG＝∠OBF，
∵PG∥OF，
∴∠PGD＝∠OFB，
∴△PDG∽△OBF，
∴PD：OB＝PG：OF，
设P（n，﹣n2+n）（1＜n＜4），
由（2）可知，PG＝﹣n2+n﹣，
∴+＝＝＝PG＝﹣（n﹣）2+．
∵1＜n＜4，
∴当n＝时，+的最大值为．
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