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分课时教学设计
第5课时《16.3.1 分式方程及解法 》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 使学生理解分式方程的意义，会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程．学会“转化”的思想方法，认识到解分式方程的关键在于将它转化为整式方程来解.
学习者分析 让学生体会到解分式方程的原理是等式的基本性质，但由于去分母时方程两边同乘以的整式可能会出现零，从而可能使方程产生增根，故必须进行验根；了解产生增根的原因，也就掌握了验根的方法.
教学目标 1.使学生了解分式方程的特征； 2.使学生掌握解分式方程的基本原理和方法； 3.使学生知道解方程中验根的必要性、验根方法及产生增根的原因．
教学重点 理解分式方程的意义，会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程．
教学难点 使学生理解增根的概念，了解增根产生的原因，知道解分式方程须验根并掌握验根的方法．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：情境引入 问题 轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水中航行60千米所需的时间相同．已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度． 思考 (1)这个问题中有怎样的等量关系？ (2)为列出这个等量关系，需设哪个量作为未知数？ (3)怎样列出题中所提到的有关代数式？ 生：轮船在顺水中的速度＝轮船在静水中的速度+水流速度． 轮船在逆水中的速度＝轮船在静水中的速度－水流速度． 师：请同学们填一填． 解：设轮船在静水中的速度为 x 千米/时，则顺水速度为________千米/时；逆水速度为______千米/ 时；顺水航行80千米需________小时；逆水航行60千米需________小时； 根据题意，得_________． 师：请同学们观察所列的方程与以前所学的方程有何不同？这个方程有何特点？ 学生活动1： 通过探究活动理解．学生通过已学习的知识经过个人思考、小组合作等方式推导出本课新知. 通过问题情境导入，激发学生的学习兴趣活动意图说明： 从实际出发，从学生已有的生活经验出发．通过问题情境观察所列方程的特征引入分式方程的概念．环节二：新课讲解 实践与探索 1：分式方程的概念： [分析]：设轮船在静水中的速度为x千米/时，根据题意，得 方程有何特点？ 请同学们判断下列各式中哪个是分式方程？ （1）x＋y＝5；（2）； （3）； （4）； （5）． 怎样解分式方程呢？有没有办法可以去掉分式方程中的分母把它转化为整式方程呢？ 类比：方程可以解答如下：21世纪教育网版权所有 方程两边同乘以（x+3）(x-3)，约去分母，得 80（x-3）=60(x+3). 解这个整式方程，得21世纪教育网版权所有 x=21. 所以轮船在静水中的速度为21千米/时. 21世纪教育网版权所有 概 括：上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母. 学生活动2： 学生相互交流． 学生可相互交流，学生自主探究，得出结论 理解分式方程的意义，会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程． 活动意图说明： 导学生建立模型，鼓励学生大胆探索，使学生理解分式方程的意义，会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程．学会“转化”的思想方法，认识到解分式方程的关键在于将它转化为整式方程来解．环节三：例题讲解 例1 解方程：. 解 方程两边同乘以（x2-1）,约去分母，得 x+1=2. 解这个整式方程，得 x=1. 解到这儿，我们能不能说x=1就是原分式方程的解（或根）呢？细心的同学可能会发现，当x=1时，原分式方程左边和右边的分母（x－1）与（x2－1）都是0，方程中出现的两个分式都没有意义，因此，x=1不是原分式方程的解，应当舍去.所以原分式方程无解. 我们看到，在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常称为增根.因此，在解分式方程时必须进行检验. 21世纪教育网版权所有21教育网 例2 解方程：. 解 方程两边同乘以x(x-7)，约去分母，得 100（x-7）=30x. 解这个整式方程，得 x=10. 检验：把x=10代入x(x-7)，得 10×（10-7）≠0 所以，x=10是原方程的解. 归纳分式方程的步骤 1.在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程. 2.解这个整式方程. 3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去. 4.写出原方程的根 学生活动3： 学生观察并回答教师规范解答，教师出示练习题组，学生尝试练习师巡视，个别指导. 巩固例题.简记为：“一化二解三检验． 活动意图说明： 让学生在一定的数学活动中去体验、感受数学，典例精析学生理解分式方程的解法，并归纳总结解分式方程的步骤．
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.在方程x+5/3=7，3/x=2，x+1/2 x 1/3=4，3x 9/x=1中，分式方程的个数为( ) A.1个 B.2个 C.3个 D. 4个 选做题： 2.解方程： 【综合拓展类作业】 3.解方程：
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1. 如果关于x的方程2/x 3=1 m/x 3无解,则m的值等于（ ） A.-3 B.-2 C.-1 D.3 选做题： 2.解方程： 【综合拓展类作业】 3. 关于x的方程无解,求k的值.
教学反思
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分课时学案
课题 16.3.1 分式方程及解法 单元 第一单元 学科 数学 年级 七年级下
学习目标 1.使学生了解分式方程的特征；2.使学生掌握解分式方程的基本原理和方法；3.使学生知道解方程中验根的必要性、验根方法及产生增根的原因．
重点 理解分式方程的意义，会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程．
难点 使学生理解增根的概念，了解增根产生的原因，知道解分式方程须验根并掌握验根的方法．
教学过程
导入新课 【引入思考】回顾：问题轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水中航行60千米所需的时间相同．已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度．思考(1)这个问题中有怎样的等量关系？(2)为列出这个等量关系，需设哪个量作为未知数？(3)怎样列出题中所提到的有关代数式？轮船在顺水中的速度＝轮船在静水中的速度+水流速度．轮船在逆水中的速度＝轮船在静水中的速度－水流速度．解：设轮船在静水中的速度为 x 千米/时，则顺水速度为________千米/时；逆水速度为______千米/ 时；顺水航行80千米需________小时；逆水航行60千米需________小时；根据题意，得_________．
新知讲解 本节课来研究：标明学习内容实践与探索分式方程的概念： 。请同学们判断下列各式中哪个是分式方程？（1）x＋y＝5；（2）；（3）； （4）；（5）．[分析]：设轮船在静水中的速度为x千米/时，根据题意，得方程有何特点？思考：如何解分式方程？ 解分式方程的基本思路是将 化为 ，具体做法是“去分母”，即方程左右两边同乘 ，然后解方程即可. 提炼概念（本节课主要内容提炼） 分式方程的概念方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程．分式方程的主要特征是什么？（1）含有分式； （2）分母中含有未知数． 典例精讲 例1、解方程：当x=1时，原分式方程左边和右边的分母（x－1）与（x2－1）都是0，方程中出现的两个分式都没有意义，因此，x=1不是原分式方程的解，应当舍去.所以原分式方程无解.增根： 。产生增根的原因： 。例2 解方程：归纳：解分式方程的步骤： ； 。
课堂练习 巩固训练 1.在方程x+5/3=7，3/x=2，x+1/2 x 1/3=4，3x 9/x=1中，分式方程的个数为( ) A.1个 B.2个 C.3个 D. 4个2.解方程：3.解方程： 课后作业必做题：1. 如果关于x的方程2/x 3=1 m/x 3无解,则m的值等于（ ） A.-3 B.-2 C.-1 D.3选做题：2.解方程： 【综合拓展类作业】3. 关于x的方程无解,求k的值.
课堂小结
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16.3.1 分式方程及解法
华师大版 八年级 下册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
学习目标
1.理解分式方程的概念并会判断一个方程是否是分式方程.
2.掌握解分式方程的基本思路和解法.
新知导入
什么叫做一元一次方程？
只含有一个未知数，并且含有未知数的项的次数是1次，这样的方程叫做一元一次方程．
解方程： ．
解：去分母，得3x－2（x－3）=6，
去括号，得3x－2x＋6=6，
移项、合并同类项，得
x＝0．
新知讲解
合作学习
轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水中航行60千米所需的时间相同．已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度．
这个方程有何特点？
轮船在顺水中的速度＝轮船在静水中的速度+水流速度
轮船在逆水中的速度＝轮船在静水中的速度－水流速度
(x＋3)
(x－3)
解：设轮船在静水中的速度为 x 千米/时，则顺水速度为________千米/时；逆水速度为______千米/ 时；顺水航行80千米需________小时；逆水航行60千米需________小时；
根据题意，得_________．
分式方程的主要特征：
（1）含有分式
（2）分母中含有未知数
方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程．
分式方程的概念
判断下列各式中哪个是分式方程？
（1）x＋y＝5；
（2）
（3）
（4）
（5）
√
√
×
×
×
回顾：解整式方程：
方程两边同乘6，得：
3(x+3)-24=2(1-x)
解得：x=
怎样解分式方程呢？
为了解决本问题，请同学们先思考并回答以下问题：
（1）回顾一下一元一次方程时是怎么去分母的，从中能否得到一点启发？
（2）有没有办法可以去掉分式方程的分母把它转化为整式方程呢？
类比：如何解分式方程？
方程两边同乘(x+3)(x-3) ，得：
80(x-3)=60(x+3)
x=21
检验：将x=21代入分式方程，左边==右边，所以x=21是原分式方程的解.
怎样来解分式方程：
（1）能不能去掉分母把它化成整式方程来解呢
（2）怎样去分母？
（3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都去掉又能使计算最简便？
（4）这样做的依据是什么？
提炼概念
上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解。所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母.
典例精讲
例1 解方程： ．
解：方程两边同乘以(x2－1)，约去分母，得
x＋1＝2，
解这个方程，得
x＝1．
当x=1时，原分式方程左边和右边的分母都是0，方程中出现的两个分式都没意义，因此，x=1不是原分式方程的解，应当舍去，所以原分式方程无解.
能不能说x=1就是原分式方程的解呢？
产生的原因:分式方程两边同乘一个零因式后,所得的根是整式方程的根,而不是分式方程的根.所以我们解完分式方程时一定要代入原分式方程或最简公分母进行检验.
为什么方程会产生无解？
检验的方法主要有两种：
显然，第2种方法比较简便！
（1）将整式方程的解代入原分式方程，看左右两边是否相等；
（2）将整式方程的解代入最简公分母，看是否为0．
例2 解方程：
解：方程两边同乘以x(x-7)，约去分母，得：100(x-7)=30x.
解得x=10.
检验：把x=10代入x(x-7)，得
10×(10-7)≠0.
所以，x=10是原方程的解.
归纳概念
1.在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.
2.解这个整式方程.
3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去.
4.写出原方程的根.
简记为：“一化二解三检验”.
“去分母法”解分式方程的步骤
课堂练习
必做题
1.在方程，中，分式方程的个数为( )
A.1个 B.2个 C.3个 D. 4个
B
选做题
2.解方程：
解： 方程两边乘x(x-3),得
2x=3x-9.
解得
x=9.
检验：当x=9时，x(x-3) ≠0.
所以，原分式方程的解为x=9.
综合拓展题
3.解方程：
解：方程两边同乘以
约去分母，得
课堂总结
用框图的方式总结为：
分式方程
整式方程
去分母
解整式方程
x =a
检验
x =a是分式
方程的解
x =a不是分式
方程的解
x =a时
最简公分母是
否为零？
否
是
作业布置
必做题
1. 如果关于x的方程无解,则m的值等于（ ）
A.-3 B.-2 C.-1 D.3
B
选做题
2.解方程：
解：去分母，得
解得
检验：把 代入
所以原方程的解为
综合拓展题
3. 关于x的方程无解,求k的值.
谢谢
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学 科 数学 年 级 八年级 设计者
教材版本 华师大版 册、章 八年级下册 第16章
课标要求 以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式．类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．类比分数的四则运算法则，探究分式的四则运算，掌握这些法则．结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的知识体系．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想．
内容分析 分式的概念，分式的基本性质，分式的约分与通分，分式的加、减、乘、除运算，整数指数幂的概念及运算性质，分式方程的概念及可化为一元一次方程的分式方程的解法。重视分式与实际的联系，体现数学建模思想由于分式是在分数基础上再次抽象的产物，所以相对说来就与客观实际的联系而言，分式不如分数更直接．重视分式方程的特殊性，突出其解法的关键步骤本章所讨论的主要对象是分式，分式方程与分式有直接的关系。本章之前，已经出现过整式方程，对于解方程就是使方程逐步化为 的形式这一基本思路，学生已经比较熟悉．与整式方程相比，分式方程的特殊性是其未知数在分母中。该教材内容丰富、结构清晰，注重理论与实践的结合，有助于学生全面掌握分式知识。同时，教材还配备了大量的例题和练习题，便于学生进行巩固和拓展．
学情分析 应重视分数与分式的联系，考虑到学生对分数已有一定认识的基础，要发挥这样的认识基础的作用，通过分式与分数的类比，从具体到抽象、从特殊到一般地认识分式，这将有助于理解和记忆所学的分式内容。同时，这样的学习过程对于培养良好的学习方法也会起到引导作用．重视分式与实际的联系，体现数学建模思想由于分式是在分数基础上再次抽象的产物，所以相对说来就与客观实际的联系而言，分式不如分数更直接。但是，如果我们不仅考虑实际问题中的具体数值，而且考虑其中的运算或对应规律，那么仍然有与分式存在密切联系的实际问题情景．
单元目标 教学目标使学生理解并掌握分式的概念，了解有理式的概念； 使学生能够求出分式有意义的条件； 通过类比分数研究分式的教学，培养学生运用类比转化的思想方法解决问题的能力； 4．通过类比方法的教学，培养学生对事物之间是普遍联系又是变化发展的辨证观点的再认识.．（二）教学重点、难点教学重点：掌握分式的概念、基本性质、化简、四则运算．教学难点：分式的四则混合运算．
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架1.教材特点分析：（一）反映分式和分式方程等概念的实际背景，体现数学概念来自实际、服务于实际 本章在引出分式的概念之前，安排了“思考”如何用式子表示实际问题中的数量关系；在讨论分式的乘除和加减的过程中，前后安排了涉及容积、工作效率、耕作面积、工程进度、增长率等多个实际问题；在讨论分式方程时，更注意结合分析、解决实际问题逐步深入。解方程中要应用分式的基本性质，并且出现了必须检验（验根）的环节，这是不同于解以前学习的方程的新问题。根据实际问题列出分式方程，是本章教学中的另一个难点，克服它的关键是提高分析问题中数量关系的能力．（二）通过类比分数，从具体到抽象、从特殊到一般地认识分式人们认识事物往往经历“从具体到抽象，从特殊到一般”的过程，本章教科书对几个内容的安排正是按照这样的过程展现的。在学生对分数已有认识的基础上，通过分式与分数的类比，从具体到抽象、从特殊到一般地认识分式。（三）分析分式方程的特点，明确指出解分式方程的基本思路在学习本章之前，学生已经分两次学习过整式方程（一元一次方程、二元一次方程组），他们对于整式方程特别是一元一次方程的解法及其基本思路（使方程逐步化为的形式）已经比较熟悉。分式方程的未知数在分母中，它的解法比以前学过的方程复杂，随着问题复杂性的增加，人们需要不断地提高认识问题的水平，这里包括提高对新事物与已熟悉的事物之间的联系的认识。这种认识水平的提高，是构建知识体系的过程中不可缺少的。2.本章教学建议：本套教科书力求体现的一个特点，就是使它成为反映科学发展和文化进步的一面镜子，使学生通过这面镜子的照射更清楚地认识数学的本来面目、更清楚地认识世界。本章中安排大量实际问题，也是为更好地体现本套教科书非常重视的一点，即通过分析与解决实际问题，提高学生联系实际地应用数学知识的意识、兴趣和能力，更好地培养他们的创新精神．教科书没有对解分式方程中增根的理论问题进行深入的讨论，而是通过具体例子展现了解分式方程时可能出现增根的现象，并结合例子分析了什么情况下产生增根，然后归纳出检验增根的方法，这样处理是想以典型例子简明地说明检验增根方法的依据．3.重视数学思想方法的教学解分式方程时，化归思想很有用，分式方程一般要先化为整式方程再求解，并且要注意检验是必不可少的步骤．分式的基本性质、约分与通分、四则运算法则等应该与分数的基本性质、约分与通分、四则运算法则等相对应，即两者具有一致性，这也可以说是数式通性。“从具体到抽象，从特殊到一般”，是人们认识事物往往经历的过程，本章教科书对分式的概念、基本性质、约分与通分、四则运算法则等内容的展开，充分地考虑了这样的认识过程．通过运用分式为工具分析与解决实际问题，提高学生把实际问题转化为数学形式的能力，即结合本章内容体现数学建模思想，进一步加强学生应用数学知识于实际问题的兴趣和意识，从长远看这将有助于培养学生的创新精神．4.单元知识结构框架：课时安排课时编号单元主要内容课时数17.116.1.1 分式116.1.2分式的基本性质1 16.2.1 分式的乘除116.2.2分式的加减116.3.1 分式方程及解法116.3.2 16.3.2 分式方程的应用116.4.1零指数幂与负整数指数幂1 16.4.2 科学记数法1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务16.1.1 分式1.使学生了解分式的概念，有理式的概念．2.理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 1.准确理解分式的意义，能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件．2.归纳分式的概念及探索分式有意义的条件．活动一：复习整式的概念，初步理解分式与整式的不同．活动二：通过对比分数和分式异同点，渗透类比的思想方法，学会用运动、变化的观点分析问题．16.1.2分式的基本性质1．理解和掌握分式的基本性质．2．掌握约分的方法和最简分式的概念．3．能够理解通分的意义，能找到几个分式的最简公分母，会对分式进行通分．1.分式的基本性质及运用分式的基本性质进行约分和通分．2.灵活运用分式的基本性质进行分式的恒等变形及最简分式的化简方法.活动一：通过计算对分数的通分进行回顾，为分式的通分的学习做好铺垫．活动二：通过类比分数通分的概念对分式的通分进行猜想，并归纳出分式通分的概念．16.2.1 分式的乘除1．正确掌握分式的乘除法的法则．2．能熟练地运用分式的乘除法的法则进行计算．3.理解分式乘方的运算法则．1.会用分式乘除的法则进行运算．2．灵活运用分式乘除的法则进行运算．活动一：通过计算回顾分数乘除法法则，分式乘除法法的探究奠定基础．活动二：归纳出分子和分母都是多项式的分式乘除法的解题步骤.活动三：巩固例题．16.2.2分式的加减1、会根据同分母分式的加减法法则，熟练地进行同分母分式的加减法．2、理解异分母分数加减法必须先通分的道理，掌握异分母分数加减法的计算方法，能正确地进行计算． 1.掌握分式的加减法法则并能运用法则进行有关的运算．2.分式的分子是多项式的分式加减的相关运算．活动一：通过回顾同分母分数加减法法则的回顾，运用类比的方法为同分母分式加减法法则的探究做好铺垫.活动二：用类比分数的加减法法则，说说分式的加减法法则．16.3.1 分式方程及解法1.使学生了解分式方程的特征；2.使学生掌握解分式方程的基本原理和方法；3.使学生知道解方程中验根的必要性、验根方法及产生增根的原因.1.理解分式方程的意义，会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程.2.使学生理解增根的概念，了解增根产生的原因，知道解分式方程须验根并掌握验根的方法.活动一：通过问题情境观察所列方程的特征引入分式方程的概念.活动二：引出增根的概念，了解增根产生的原因，知道验根的并归纳总结解分式方程的步骤．简记为：“一化二解三检验．方法.16.3.2 分式方程的应用1.理解并熟悉解分式方程的一般步骤.?2.会解简单的分式方程的应用题.1.1.让学生学会审明题意设未知数，列分式方程.?2.由实际问题中抽象出分式方程模型，设元列分式方程.活动一：既要检验所求的解是否是原分式方程的解，还要检验是否符合题意.活动二：读题、审题、设元、找相等关系列方程．活动三：巩固例题．16.4.1零指数幂与负整数指数幂1．知道负整数指数幂=（a≠0，n是正整数）.2．掌握整数指数幂的运算性质.1.整数指数幂的运算掌握一次函数图象的性质.2.掌握整数指数幂的运算性质.活动一：通过探索，让学生体会到从特殊到一般的方法是研究数学的一个重要方法.活动二：世解决有关零次幂的意义类型的题目时，可列出关于底数不等于0的式子求解即可.16.4.2 科学记数法1.借助学身边所熟悉的事物进一步体会和感受较小数．2.并会用科学计数法表示较小数，并能比较大小.1.用科学记数法表示绝对值小于1的数．2.探究绝对值大于1及绝对值小于1的数的科学记数法的异同点，以及处理方法．活动一：通过对用科学记数法表示较大数的方法，为本节课的探究活动奠定基础.活动二：通过把小数表示成分数和负整数指数幂的形式发现一般性的规律.活动三：巩固例题．
《第16章 分式》单元教学设计
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