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湘教版七年级数学下册课件
第1章 二元一次方程组
1.3 二元一次方程组的应用
（2课时）
第1课时 二元一次方程组的应用（一）
自主学习
自主导学
能用二元一次方程组解决实际问题中的和差倍分、行程、工程、浓
度等问题.
典例分享
例 为缓解甲、乙两地旱情，某水库计划向甲、乙两地送水，甲地需水
量为180万立方米，乙地需水量为120万立方米，现分两次送水：往甲地
送水3天，乙地送水2天，共84万立方米；往甲地送水2天，乙地送水3天，
共81万立方米.问：完成往甲、乙两地送水的任务各需多少天？
[答案] 解设往甲地每天的送水量为 万立方米，往乙地每天的送水量为
万立方米.
根据等量关系，得解这个方程组，得
所以，往甲地送水需（天），
往乙地送水需 （天）.
答：往甲地送水需10天，往乙地送水需8天.
方法感悟
1.对于利用方程组解决实际问题，解题的关键是找出解题所需的等
量关系，从而建立恰当的方程组模型.
2.一般情况下，通常将题目所要求的量设为未知数，但有时为了能
更顺利地解答，也可以选择不是题目所要求的量作为未知数，即
“间接设未知数”，这需要对题目有很好的理解.
轻松达标
1.七年级150名学生参加知识竞赛，平均分为57分，其中及格学生的平
均分为77分，不及格学生的平均分为47分，则不及格学生的人数为
( ) .
B
A.50人 B.100人 C.99人 D.101人
2.已知有含盐与含盐的盐水，若要配制含盐的盐水 ，
则两种盐水各取多少千克？若设含盐的盐水取，含盐 的盐水
取 ，则下列方程组正确的是( ) .
C
A. B.
C. D.
3.两码头相距，一艘轮船往返两地，顺流用，逆流用 ，那
么这艘轮船在静水中的航速与水流速度分别是( ) .
A
A.， B.，
C.， D.，
4.已知两个数的差为6，两个数的和为24，则这两个数分别是_______.
5.现有10元人民币和20元人民币共20张，面值总和为340元，那么10元
人民币有___张，20元人民币有____张.
15，9
6
14
6.甲区域的田地比乙区域的田地的2倍少3公顷，甲区域的田地与乙区域
的田地之比是，求甲、乙区域的田地各有多少公顷.若设甲区域有
公顷，乙区域有 公顷，依题意列得的方程组是_ ___________.
能力提升
图1.3-1
7.数学活动课上，小芳同学在一个大长方形中
画出如图1.3-1所示的8个大小一样的小长方形.
（1）求小长方形的长和宽；
[答案] 设小长方形的长为，宽为，依题意，得 解得
（2）求大长方形中阴影部分的面积.
[答案] 大长方形阴影部分的面积
湘教版七年级数学下册课件
第1章 二元一次方程组
1.3 二元一次方程组的应用
（2课时）
第2课时 二元一次方程组的应用（二）
自主学习
自主导学
能用二元一次方程组解决实际问题中的分段计费、盈亏、利润等问题.
典例分享
例 某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种
不同型号的电视机，出厂价分别为：甲型每台1 500元，乙型每台2 100
元，丙型每台2 500元.
（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，
请你研究一下商场的进货方案.
[答案] 解分三种情况计算：
①设购进甲型电视机台，乙型电视机 台.
根据等量关系，得
解这个方程组，得
②设购进甲型电视机台，丙型电视机 台.
根据等量关系，得
解这个方程组，得
③设购进乙型电视机台，丙型电视机 台.
根据等量关系，得
解这个方程组，得 （不合题意，舍去）
答：购进甲型电视机25台，乙型电视机25台；或购进甲型电视机35台，
丙型电视机15台.
（2）若商场销售一台甲型电视机可获利150元，销售一台乙型电视机可
获利200元，销售一台丙型电视机可获利250元.在同时购进两种不同型
号电视机的方案中，为使销售利润最多，应选择哪一种进货方案？
[答案] 解 方案一：购进甲型电视机25台，乙型电视机25台的利润为
（元）.
方案二：购进甲型电视机35台，丙型电视机15台的利润为
（元）.
因为 ，所以选择方案二.
答：选择购进甲型电视机35台，丙型电视机15台的进货方案.
方法感悟
1.把生活中的实际问题抽象成数学问题，然后找出题中蕴含的数量
关系，列出方程组.
2.本题主要考查分类讨论思想和对于实际问题中方程组解的取舍情
况.弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程组是解决问题的关键.
3.算出三种购进电视机方案的利润后加以比较，从中选择符合题意
（即使销售利润最多）的进货方案.
轻松达标
1.某旅游景点门票价格为成人票每张70元，儿童票每张35元.小明买20张
门票共花了1 225元，设其中有张成人票， 张儿童票，根据题意，下
列方程组正确的是( ) .
B
A. B.
C. D.
2.李大叔承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18 000元，其中甲
种蔬菜每亩获利2 000元，乙种蔬菜每亩获利1 500元.则李大叔去年甲、
乙两种蔬菜分别种植的亩数是( ) .（1亩 平方米）
C
A.5.5亩，亩 B.4.5亩， 亩 C.6亩，4亩 D.4亩，6亩
3.某校为七年级寄宿学生安排宿舍，如果每间宿舍住5人，那么有4人住
不下；如果每间住6人，那么有一间只住4人.则该年级寄宿学生的人数
为____人，宿舍的间数为___间.
34
6
4.某市出租车收费标准是行程不超过 收起步价，超过部分每千米收
费若干元（不足按 计算）.某天，李老师第一次乘出租车行驶
了，花了12元；第二次乘出租车行驶了 ，花了15.6元.设出租
车的起步价为元，超过后，每千米收 元.根据题意，列出方程组
是_ ____________________.
5.甲、乙两台机器的成本共1 100元，厂家为获取利润，决定将甲机器
按的利润定价，乙机器按 的利润定价.在实际出售时，两台机器
均按九折出售，厂家共获利376元.则甲、乙两台机器的成本分别是____
__________.
500元，600元
6.已知甲、乙两种商品原来单价的和为300元，因市场变化，甲商品涨
价，乙商品降价 ，调价后，这两种商品单价的和比原来提高
，甲、乙两种商品原来的单价各是多少？
[答案] 设甲商品原来的单价是元，乙商品原来的单价是 元，因市场
变化，由题意，可列二元一次方程组
解得
能力提升
7.某景点的门票价格如下表：
购票人数 100以上
每人门票价（元） 12 10 8
某旅行社甲、乙两个组计划去游览该景点，其中甲组人数少于50人，
乙组人数多于50人且少于100人，两个组总人数大于100人.如果两个组
都以组为单位单独购票，则一共支付1 118元；如果两个组联合起来作
为一个团体购票，则只需花费816元.
（1）两个组各有多少名组员？
[答案] 设甲、乙两个组各有组员人，人，则 解得
（2）团体购票与单独购票相比较，两个组各节约了多少钱？
[答案] 196元，106元
中考链接
8.（2023·巴中）某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师
要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部
分做侧面，另一部分做底面.已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出
3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多
可以做成包装盒的个数为( ) .
C
A.6 B.8 C.12 D.16
9.（2021·北部湾经济区）《九章算术》是人类科学史上应用数学的
“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问：
人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆
车，则9人需要步行.问：人与车各多少？设有辆车，人数为 ，根据题
意可列方程组为( ) .
B
A. B.
C. D.
10.（2022·武汉）有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运
货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨，则4辆大货车与3辆
小货车一次可以运货_____吨.
23.5
11.（2022·泰安）泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了 种茶30
盒， 种茶20盒，共花费6 000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都
提高了，该店又购进了种茶20盒， 种茶15盒，共花费5 100元.求
第一次购进的， 两种茶每盒的价格.
[答案] 设第一次购进种茶每盒元，种茶每盒 元，由题意，得
解得
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第1章 二元一次方程组
1.2.2 加减消元法
（2课时）
第1课时 加减消元法
自主学习
自主导学
加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数____________
时，把这两个方程____________，就能消去这个未知数，从而得到一个
一元一次方程.这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.
相同或相反
相减或相加
典例分享
例 用加减法解二元一次方程组：
[答案] 解 ，得
，
，
解得.把代入②，得，解得 .因此原方程
组的解是
方法感悟
1.当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数的绝对值相等
时，通常将两个方程相加或相减，从而达到消元的目的.
2.当二元一次方程组的两个方程中没有同一未知数的系数的绝对值
相等时，就用适当的数去乘方程的两边，通过对方程变形，使得这两个
方程中某个未知数的系数的绝对值相等.然后再把这两个方程相加或相
减，从而达到消元的目的.
3.遇到某些系数比较复杂的二元一次方程组时，要认真观察，根据
未知数系数的特点，看是否能采用特殊的方法和技巧进行解答.
轻松达标
1.解方程组时， 得到的结果是( ) .
A
A. B. C. D.
2.解方程组用加减法消去 ，需要( ) .
B
A. B.
C. D.
3.已知方程组的解为则 的值为( ) .
C
A.6 B. C.8 D.
4.用加减法解方程组如果要消去 ，方法是___________
_____________；如果要消去 ，方法是______________.
hiupzhe
hiupzhe
5.若是方程的解，又是方程 的解，则
___， ___.
6.若关于，的二元一次方程组 的解也是二元一次方程
的解，则 的值为___.
7.若关于，的方程组的解是则 为___.
1
2
2
8.用加减法解下列二元一次方程组：
（1）
[答案]
（2）（易错题）
[答案]
能力提升
9.对于有理数，，定义关于“”的一种运算： ，例如
.若，，求， 的值.
[答案] 由题意，得解得，
第1章 二元一次方程组
1.2.2 加减消元法
（2课时）
第2课时 选择适当的方法解方程组
自主学习
自主导学
解二元一次方程组的基本方法有______消元法和______消元法，它
们都是通过消去其中的一个________（消元），使二元一次方程组转化
为一元一次方程，从而求解，只是消元的方法不同.
代入
加减
未知数
典例分享
例 解二元一次方程组：
[答案] 解 将原方程组化简后，得
，得 ， ⑤
，得 ，
解得.把代入③，得，解得 .因此原
方程组的解是
方法感悟
1.解二元一次方程组时，如果某一个未知数的系数是1或 ，或一
个方程的常数项为0，就优先考虑用代入法求解；如果两个方程中同一
未知数的系数成倍数关系，就优先考虑用加减法求解.
2.用加减法解二元一次方程组，决定消去哪个未知数很重要，一般
选择消去两个方程中系数的最小公倍数的绝对值较小的未知数.当方程
组比较复杂时，应先化简，使之化为 的形式
（同类项对齐），再选用适当的方法求解.
轻松达标
1.方程组
的最简便的解法是( ) .
C
A.由②式得 ，再代入①式
B.由①式得 ，再代入②式
C. 得③式，再将③式与②式相减
D.由②式得 ，再代入①式
2.解下列二元一次方程组：①② ③
④ 比较适宜的方法分别是( ) .
B
A.①②用代入法，③④用加减法 B.①③用代入法，②④用加减法
C.②③用代入法，①④用加减法 D.②④用代入法，①③用加减法
3.如果，那么和 的值为( ) .
A
A.， B.，
C.， D.，
4.解方程组 时，用______消元法比较简便.
代入
5.方程组中，①②两式中未知数 的系数特点是_____
_______，这个方程组用______消元法解较简便.
6.方程组 的解是_ ________.
互为相反数
加减
7.用适当的方法解下列二元一次方程组：
（1）
[答案]
（2）
[答案]
能力提升
8.甲、乙两人同解方程组甲正确解得 乙因抄错了
，解得求，， 的值.
[答案] ，，
中考链接
9.（2023·眉山）已知关于，的二元一次方程组 的
解满足，则 的值为( ) .
B
A.0 B.1 C.2 D.3
10.（2022·随州）已知二元一次方程组则 的值为___.
1
11.（2022·潍坊）二元一次方程组 的解为_ _______.
12.（2022·桂林）解二元一次方程组：
[答案]
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第1章 二元一次方程组
*1.4 三元一次方程组
（1课时）
自主学习
自主导学
1.三元一次方程组：含有____个未知数，每个方程中含未知数的项的次数
均为___，并且一共有____个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.
2.三元一次方程组的一个解：在三元一次方程组中，适合每一个方程的
____________的值，叫做这个方程组的一个解.
三
1
三
一组未知数
典例分享
例 解三元一次方程组：
[答案] 解法一，得，即. ，
得，即.由此得到 解这个二元一次
方程组得把，代入②，得 .所以原方程组的解为
解法二，得，即 .④
，得.，得.，得 .所以原方程组
的解为
方法感悟
1.解三元一次方程组的方法与解二元一次方程组的方法相似，一般
都是通过“代入”或“加减”进行消元，把解三元一次方程组转化为解二元
一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.
2.要仔细观察各方程的系数特征，选取易消去的同一个未知数.在消
元时一定要仔细，防止求错未知数.
3.遇到某些结构比较特殊的三元一次方程组时，可采用特殊的方法
和技巧进行解答，使问题得以巧妙迅速地求解.
轻松达标
1.下列方程组中，为三元一次方程组的是( ) .
A
A. B.
C. D.
2.若是方程组的解，则，， 的值为
( ) .
B
A.，， B.，，
C.，， D.，，
3.若，，则 的值为
( ) .
D
A.2 B.3 C.4 D.5
4.若，，，则___，___， ___.
5.在方程中，若，，则 ____.
6.解三元一次方程组，先消去未知数 ，得二元一
次方程组____________________________________.
3
2
1
（答案不唯一）
7.在等式中，当时，；当 时，
；当时，.求，， 的值.
[答案] ，，
8.解下列三元一次方程组：
（1）
[答案]
（2）
[答案]
能力提升
9.现有金、银、铜牌共100枚，其中金牌比银牌与铜牌之和多2枚，银牌
比铜牌少7枚.问：金、银、铜牌各多少枚？
提示：设金、银、铜牌数分别为，，,列方程组得
解得，，
中考链接
10.（2021·重庆B卷）盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者
购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径.某商家
将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为，， 三种盲盒
各一个.其中盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱； 盒
中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与
迷你音箱的数量之比为； 盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2
个迷你音箱.经核算，盒的成本为145元， 盒的成本为245元
（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之
和），则 盒的成本为_____元.
155
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第1章 二元一次方程组
1.2 二元一次方程组的解法
1.2.1 代入消元法
（1课时）
自主学习
自主导学
1.解二元一次方程组的基本方法：消去____个未知数（简称为消元），
得到一个一元一次方程，然后解这个一元一次方程.
一
2.代入消元法：把二元一次方程组其中一个方程的某一个未知数用含有另
一个未知数的________表示，然后把它______到另一个方程中，便得到
一个一元一次方程.这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法.
代数式
代入
典例分享
例 用代入法解方程组：
[答案] 解 把①代入②，得.解得.把 代入
①，得
.因此原方程组的解是
方法感悟
1.用代入消元法解方程组的关键是灵活变形和代入，以达到消元的
目的，要注意代入的方法和技巧.
2.用代入消元法解方程组的一般步骤：①选择其中一个方程，用含
有一个未知数的式子表示另一个未知数；②把变形后的方程代入另一个
方程中，消元后求出未知数的值；③把求得的未知数的值代入到变形的
方程中，求出另一个未知数的值；④写出方程组的解.
轻松达标
1.用代入法解方程组 最简便的变形是( ) .
B
A.先将①变形为 ，再代入②
B.先将①变形为 ，再代入②
C.先将②变形为 ，再代入①
D.先将②变形为 ，再代入①
2.关于，的方程组的解与的值相等，则 的值为
( ) .
B
A.1 B.2 C.3 D.4
3.用代入法解方程组 时，代入正确的是( ) .
C
A. B.
C. D.
4.由方程组可得出与 的关系式是( ) .
C
A. B. C. D.
5.已知方程，用含的代数式表示，得_____；用含
的代数式表示，得 _______.
6.用代入法解方程组可由①得 ________，把它代入
②可消去未知数___；也可以由②得 _____，把它代入①可消去未知
数___，从而求出原方程组的解为_ ________.
7.用代入法解二元一次方程组 将②式写成
_________，并把它代入____式（填序号），可得到一元一次方程
_______________________.
8.若与是同类项，则___， ___.
2
2
9.已知方程组的解之和是12，则 ____.
14
10.（易错题）已知关于，的二元一次方程组，
的解满足，则 ____.
16
11.用代入法解下列二元一次方程组：
（1）
[答案]
（2）
[答案]
能力提升
12.阅读下列解方程组的过程：
解方程组
可由①得 ，③
然后再将③代入②得，求得 ，从而进一步求得
这种方法被称为“整体代入法”.请你仿照以上解法求出方程组
的解.
[答案]
中考链接
13.（2022·株洲）对于二元一次方程组 将①式代入②式，
消去 可以得到( ) .
B
A. B.
C. D.
14.（2022·无锡）二元一次方程组 的解为_ _______.
15.（2023·徐州）解方程组
[答案]
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第1章 二元一次方程组
知识梳理、真题剖析
单元练习
知识梳理1
二元 一次 方程 组 有关概念 1.二元一次方程：含有__________未知数
（二元），并且含未知数的项的__________都是1，
称这样的方程为二元一次方程.
2.二元一次方程组：把两个含有__________未知
数的二元一次方程（或者一个二元一次方程，一个
一元一次方程）联立起来，组成的方程组，叫做二
元一次方程组.
二元 一次 方程 组 有关概念 3.方程组的一个解：在一个二元一次方程组中，
使每一个方程的左、右两边的值都__________的一
组未知数的值，叫做这个方程组的一个解.
4.解方程组：求方程组的__________的过程，叫
做解方程组.
续表
二元 一次 方程 组 有关概念 5.代入消元法：把二元一次方程组其中一个方程
的某一个未知数用含有另一个未知数的__________
表示，然后把它代入到__________方程中，便得到
一个一元一次方程.这种解方程组的方法叫做代入消
元法，简称代入法.
续表
二元 一次 方程 组 有关概念 6.加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数
的__________相同或相反时，把这两个方程_______
___，就能消去这个未知数，从而得到一个一元一次
方程.这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加
减法.
7.三元一次方程组：含有__________个未知数，
每个方程中含未知数的项的__________均为1，并且
一共有__________个方程，像这样的方程组叫做三
元一次方程组.
续表
二元 一次 方程 组 有关概念 8.三元一次方程组的一个解：在三元一次方程组
中，适合每一个方程的__________的值，叫做这个
方程组的一个解.
二元一次 方程组的 解法 1.代入消元法.
2.加减消元法.
续表
二元 一次 方程 组 三元一次 方程组的 解法
列方程组 解应用题 的一般步 骤 1.审：弄清题意，明确已知量、未知量及其数量
关系.
2.设：选择适当的未知数用字母表示.
续表
二元 一次 方程 组 列方程组 解应用题 的一般步 骤 3.找：找出题中的等量关系（有时可采用画图、
列表等方法挖掘相等关系）.
4.列：根据等量关系列出方程组.
5.解：解所列的方程组，求出未知数的值.
6.验：检验求得的值是否正确和符合实际情形.
7.答：写出答案.
续表
真题剖析1
考点1 二元一次方程组的解法
例1 （2022·柳州）解方程组：
[答案] ，得，解得 .
把代入①得，，解得 .
所以原方程组的解是
考点1 变式
（2023·连云港）解方程组：
[答案]
考点2 利用二元一次方程组求某些式子的值
例2 （2021·枣庄）已知，满足方程组 则 的值为
____.
[解析] 两式相减，得 .
所以.故答案为 .
考点2 变式
（2022·随州）已知二元一次方程组 则 的值为___.
1
考点3 二元一次方程组的应用
例3 （2021·海南）为了庆祝中国共产党成立100周年，某校组织了党史知
识竞赛，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍对表现优异的班级进行
奖励.若购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需280元；若购买3副乒乓球拍
和2副羽毛球拍共需480元.求1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各是多少元.
[答案] 设1副乒乓球拍元，1副羽毛球拍 元，依题意得
解得
故1副乒乓球拍80元，1副羽毛球拍120元.
考点3 变式
（2022·海南）我省某村委会根据“十四五”规划的要求，打造乡村品牌，
推销有机黑胡椒和有机白胡椒.已知每千克有机黑胡椒比每千克有机白
胡椒的售价便宜10元，购买2千克有机黑胡椒和3千克有机白胡椒需付
280元，求每千克有机黑胡椒和每千克有机白胡椒的售价.
[答案] 设每千克有机黑胡椒售价为元，每千克有机白胡椒售价为 元.
根据题意，得
解得
单元练习1
一、选择题
1.已知是方程的解，那么 的值是( ) .
A
A.2 B. C.1 D.
2.下列方程中，是二元一次方程的是( ) .
A
A. B.
C. D.
3.方程组 的解是( ) .
B
A. B. C. D.
4.用加减消元法解方程组 下列解法不正确的是( ) .
D
A.，消去 B.，消去
C.，消去 D.，消去
5.二元一次方程组的解满足，则 的值等于
( ) .
C
A.4 B. C.8 D.
6.下列解方程组 的方法中，比较简便的是( ) .
C
A.由①式得 ，再代入②式
B.由②式得 ，再代入①式
C. 得③式，再将③式与②式相减
D.由②式得 ，再代入①式
7.篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分.
某队在15场比赛中得到26分，则这个队胜、负场数分别为( ) .
B
A.胜12场、负3场 B.胜11场、负4场
C.胜10场、负5场 D.胜9场、负6场
8.若与互为相反数，则， 的值是( ) .
D
A. B. C. D.
9.某玩具厂生产车间每天能生产甲种零件200个或乙种零件100个，1个
甲种零件与2个乙种零件能组成一个完整的玩具，怎样安排生产才能在3
0天内组装出最多的玩具？设生产甲种零件天，生产乙种零件 天，则
有( ) .
A
A. B.
C. D.
10.小亮求得方程组的解为 由于不小心，滴上了两
滴墨水，刚好遮住了两个数●和 ，则这两个数分别为( ) .
D
A.4和 B.和4 C.和8 D.8和
二、填空题
11.在方程中，当时， 的值是___.
12.在中，用含的代数式表示 ，得________.
13.若有理数，满足条件，且，则___， ___.
14.如果二元一次方程组的解和 互为相反数，
那么 的值是___.
5
4
1
6
15.一种矿泉水有大箱和小箱两种包装，3大箱2小箱共92瓶；5大箱3小
箱共150瓶.那么1大箱有____瓶，1小箱有____瓶.
16.规定，如 .若
，，则 ___.
24
10
2
三、解答题
17.解下列方程组：
（1）
[答案]
（2）
[答案]
（3）
[答案]
18.已知关于，的方程组的解为求， 的值.
[答案] ，
19.阅读下列解方程组的部分过程，回答下列问题.
现有两位同学的解法如下.
解法一：由①，得 ，③
把③代入②，得
解法二：，得
（1）解法一使用的具体方法是____________，解法二使用的具体方法
是____________，以上两种方法的共同点是________________________
___________________________________________________.
代入消元法
加减消元法
基本思路都是消元（或都设法消去了一个未知数，使二元问题转化为了一元问题）
（2）请你任选一种解法，把完整的解题过程写出来.
[答案]
20.列方程组解应用题.
（1）某汽车专卖店销售，两种型号的新能源汽车.上周售出1辆 型车
和3辆型车，销售额为96万元；本周已售出2辆型车和1辆 型车，销
售额为62万元.求每辆型车和 型车的售价各为多少万元.
提示：设每辆型车的售价为万元，每辆型车的售价为 万元，根据
题意，得
解得
（2）食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体
有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输.某饮料加
工厂生产的甲、乙两种饮料均需加入同种添加剂，甲种饮料每瓶需加该
添加剂，乙种饮料每瓶需加该添加剂.已知 该添加剂恰好用于
生产甲、乙两种饮料共100瓶，那么甲、乙两种饮料各生产了多少瓶？
[答案] 设生产了甲种饮料瓶，生产了乙种饮料 瓶，根据题意，可列
方程组
解得
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第1章 二元一次方程组
专题练习1 构造二元一次方程组巧解题
通过所学知识之间的内在联系，从题目给出的信息中挖掘涉及二元
一次方程组的隐含条件，从满足概念、法则（规定）或性质的条件入手，
构造二元一次方程组，从而求出适合条件的待定系数或相关字母的值.
题型1 根据二元一次方程的定义构造方程组
方法点拨 此类问题主要是根据二元一次方程的概念，通过含两个未知
数的项的次数都是1的特点，构造以指数中两个相关字母为未知数的二
元一次方程组来解决问题.
1.若是关于，的二元一次方程，则 ____，
___.
4
2.已知方程是关于， 的二元一次方程，
求 的值.
[答案] 根据题意，得 解得 所以
题型2 根据二元一次方程组解的定义构造方程组
方法点拨 此类问题主要是根据二元一次方程组的解的定义，将所给方
程组的解分别代入原方程组的每个方程，然后构造出以相关字母为未知
数的新的二元一次方程组解决问题.
3.若是二元一次方程组的解，则 的值是
( ) .
B
A. B. C. D.
4.已知关于，的二元一次方程组的解为 则代
数式 的值是___.
2
题型3 根据两个方程组的解相同构造方程组
方法点拨 此类问题主要是以方程组的解相同为媒介，把所给方程组重
新组合成已知系数的方程组和待定系数的方程组，通过解已知系数的方
程组，然后把所得的解代入待定系数的方程组构造新的二元一次方程组，
最后通过解该方程组求出待定系数的值来解决问题.
5.若方程组的解与方程组的解相同，则，
的值是( ) .
B
A. B. C. D.
6.已知二元一次方程组与 的解相同，求
的值.
[答案] 因为方程组与 的解相同，所以
与的解相同.解方程组 得
所以 解这个方程组，得 所以
题型4 根据相反数的意义构造方程组
方法点拨 此类问题主要是根据互为相反数的意义，由两个互为相反数
的和为0，得到一个二元一次方程，再与题目所给的一个二元一次方程，
或者经过变形后得到的一个二元一次方程构造二元一次方程组，然后解
这个新的二元一次方程组，从而使问题得到解决.
7.在二元一次方程中，已知与互为相反数，则 ___，
____.
8
8.已知二元一次方程组的解互为相反数，求 的值.
[答案] 由得 ，将其代入
，整理，得 .因为二元一次方程组
的解互为相反数，所以 解这个方
程组，得所以
题型5 根据非负数的性质构造方程组
方法点拨 此类问题主要是根据非负数的性质，即几个非负数的和为0，
这几个非负数都为0，构造关于非负数式子里的字母为未知数的二元一
次方程组来解决问题.
9.已知，则 ___.
0
10.已知，求 的值.
[答案] 根据题意，得 解得 所以
题型6 根据同类项的定义构造方程组
方法点拨 此类问题主要是根据同类项的定义，通过单项式中所含相同
字母的指数也相同的特点，构造出由相同底数的指数构成的两个相关字
母为未知数的二元一次方程组，然后解此方程组使问题得到解决.
11.已知与 是同类项，那么( ) .
B
A.， B.，
C.， D.，
12.若与的和是单项式，求 的值.
[答案] 由题意可知，与是同类项，所以
解得 所以
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第1章 二元一次方程组
1.1 建立二元一次方程组
（1课时）
自主学习
自主导学
1.二元一次方程：含有____个未知数（二元），并且含未知数的项的次
数都是___，称这样的方程为二元一次方程.
两
1
2.二元一次方程组：把两个含有____________的二元一次方程
（或者一个二元一次方程，一个一元一次方程）联立起来，组成的方程
组，叫做二元一次方程组.
相同未知数
3.方程的一个解：在一个二元一次方程组中，使每一个方程的左、右两
边的值都______的一组未知数的值，叫做这个方程组的一个解.
4.解方程组：求方程组的____的过程，叫做解方程组.
相等
解
典例分享
例 下列方程组中，是二元一次方程组的是( ) .
A
A. B.
C. D.
[解析] 选项A中两个方程共含有三个未知数，选项B中 不是整式
（的指数不是1），选项C中“ ”的次数不是1，所以选项A，B，C都
不是二元一次方程组，只有选项D符合二元一次方程组的定义，所以答案
是D.
方法感悟
1.判断一个方程组是否是二元一次方程组，依据就是看它是否符合
二元一次方程组的定义.
2.在识别二元一次方程组时，首先看是否含有两个未知数，其次看
含未知数的项的次数是不是1次.
3.本题易错的地方是忽略B选项中 的指数不是1.
轻松达标
1.下列方程中，是二元一次方程的是( ) .
B
A. B. C. D.
2.下列方程组是二元一次方程组的是( ) .
B
A. B.
C. D.
3.以 为解的二元一次方程组是( ) .
A
A. B.
C. D.
4.若是关于，的二元一次方程的解，则 的值为
( ) .
D
A. B. C.2 D.7
5.已知二元一次方程，如果，那么 ___；如果
，那么 ____.
6.如果，那么 ___.
5
18
0
7.有以下三对数值：①；②③ .是二元一
次方程的解的有____；是二元一次方程 的解的有
____.（均填序号）
①
③
8.已知是方程的解，那么 ____.
9.已知长江比黄河长 ，黄河长度的6倍比长江长度的5倍多
，求长江、黄河各有多长.请你列出相应的方程组.
提示：设长江的长度为，黄河的长度为，则
能力提升
10.某校七年级（1）班男生人数的2倍加上女生人数共50人，设男生人
数为，女生人数为 ，则
（1）可列方程：____________.
（2）根据方程探究：该班人数达到最少时，男、女生各有多少人？该
班人数达到最多时，男、女生各有多少人？
[答案] ，2，3， ，24，, 最大时
最小，即男生24人、女生2人时人数达到最少；反之，男生1人、
女生48人时人数达到最多
中考链接
11.（2023·温州）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.
5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共 .设蛋白质、脂肪的含量
分别为， ，可列出方程为( ) .
A
A. B. C. D.
12.（2023·宜宾）“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡
兔各几何”是《孙子算经》卷中著名数学问题.意思是：鸡兔同笼，从上
面数，有35个头；从下面数，有94条腿.问鸡兔各有多少只？若设鸡有
只，兔有 只，则所列方程组正确的是( ) .
B
A. B.
C. D.
13.（2022·雅安）已知是方程 的解，则式子
的值为___.
1
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