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湘教版七年级数学下册课件
第2章 整式的乘法
知识梳理、真题剖析
单元练习
知识梳理
整式 的乘 法 有关 法则 1.同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数________，
指数__________，即 __________
（， 都是正整数）.
2.幂的乘方：幂的乘方，底数__________，指数____
______.即__________（， 都是正整数）.
3.积的乘方：积的乘方，等于把积的每一个因式分别
__________，再把所得的__________相乘.即 ____
______（ 为正整数）.
整式 的乘 法 有关 法则 4.单项式与单项式相乘：一般地，单项式与单项式相
乘，把它们的__________、同底数__________分别相乘.
5.单项式与多项式相乘：一般地，单项式与多项式相
乘，先用单项式乘多项式中的__________，再把所得的积
__________.
6.多项式与多项式相乘：一般地，多项式与多项式相
乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的____
______，再把所得的积__________.
续表
整式 的乘 法 有关 公式 1.平方差公式： __________.即两个
数的和与这两个数的差的积等于这两个数的__________.
2.完全平方公式： __________________，
______________.即两数和（或差）的平方，等
于它们的__________，加（或减）它们的积的__________
倍.
运算 顺序 先__________，再到乘法，最后是__________，有括
号的先计算括号里面的.
续表
真题剖析
考点1 幂的运算法则
例1 （2022·福建）化简 的结果是( ) .
C
A. B. C. D.
[解析] .故选C.
考点1 变式
（2023·武汉）计算 的结果是( ) .
D
A. B. C. D.
考点2 整式的运算
例2 （2021·衡阳）计算： .
[答案]
.
考点2 变式
（2023·丽水）计算： .
[答案]
考点3 整式的化简求值
例3 （2022·丽水）先化简，再求值： ，其中
.
[答案] ，
.
当 时，
原式 .
考点3 变式
（2023·长沙）先化简，再求值： ，其
中 .
[答案] 原式
考点4 利用乘法公式求代数式的值
例4 （2020·枣庄）若，，则 ___.
1
[答案] 因为 ，
所以 ，
即 .
因为 ，
所以 ，
所以 .
故答案为1.
考点4 变式
（2022·赤峰）已知，则 的值为
( ) .
A
A.13 B.8 C. D.5
单元练习2
一、选择题
1.计算 等于( ) .
A
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是( ) .
C
A. B.
C. D.
3.如果，那么 等于( ) .
B
A.1 B.2 C.3 D.4
4.下列各式不能用平方差公式进行计算的是( ) .
C
A. B.
C. D.
5.计算 的结果是( ) .
B
A. B. C. D.
6.下列多项式中，是完全平方式的是( ) .
D
A. B.
C. D.
7. 的计算结果是( ) .
A
A.1 B. C.2 D.
8.加上一个代数式可得 ，这个代数式是( ) .
C
A. B. C. D.
图1
9.如图1，根据阴影部分面积和图形的面积关系可以
得到的数学公式是( ) .
D
A.
B.
C.
D.
10.如果单项式与 是同类项，那么这两个单项式的积
是( ) .
A
A. B. C. D.
二、填空题
11. ____.
12. _______.
13.多项式 加上一个单项式后，能成为一个多项式的完全平方式，
那么加上的单项式可以是__________________.（填一个即可）
14.计算： _______.
15.若多项式是完全平方式，则 _____.
16.已知，，则 ____.
答案不唯一，如
三、解答题
17.计算：
（1） ；
[答案]
（2） .
[答案]
18.化简：
（1） ；
[答案]
（2） .
[答案]
19.先化简，再求值：，其中 ，
.
[答案] 原式
20.（1）已知，求 的值.
提示： ，即
，；，，则
（2）已知，求 的值.
[答案] 原式，已知 ，
原式
21.已知，，求， 的值.
[答案] ，
22.若，，不用将分数化小数的方法，试比较， 的大小.
[答案] ，因为
，所以，即
23.如果，那么我们规定.例如：因为 ，所以
.
（1）根据上述规定，填空：___，___， ___；
3
2
4
（2）记，，.试说明 .
[答案] 因为，，，所以， ，
.所以，所以.
因为 ，所以,所以
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第2章 整式的乘法
2.1 整式的乘法
2.1.3 单项式的乘法
自主学习
自主导学
单项式与单项式相乘的法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它
们的系数、同底数幂__________.
分别相乘
典例分享
例 计算：
（1） ；
[答案] .
（2） .
[答案] .
方法感悟
1.单项式与单项式相乘是学习整式乘法的基础，在应用法则计算时，
一定要注意积的符号和运算顺序，不要漏掉只在一个单项式里含有的字母.
2.单项式与单项式相乘的运算顺序是：有乘方的要先算乘方，然后
把它们的系数、同底数幂分别相乘.
3.单项式与单项式相乘的法则同样适用于三个或三个以上单项式相乘.
轻松达标
1.下列计算正确的是( ) .
C
A. B.
C. D.
2.计算 所得的结果是( ) .
B
A. B. C. D.
3.下列计算错误的是( ) .
D
A. B.
C. D.
4.若与是同类项，则 等于( ) .
B
A.1 B.2 C.3 D.
5. ______.
6. __________.
7.计算 的结果是_________.
8.计算： __________.
9.如果，那么 _________.
10.计算：
（1） ；
[答案]
（2） ；
[答案]
（3）（易错题） .
[答案]
能力提升
图2.1-1
11.小明家住房的平面结构如图2.1-1
（单位： ），他爸爸打算把卧室以外的部
分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？
如果某种地砖的价格是每平方米 元，则购
买所需地砖至少多少元？
[答案]
, （元）
中考链接
12.（2022·陕西）计算： ( ) .
C
A. B. C. D.
13.（2022·温州）化简 的结果是( ) .
D
A. B. C. D.
14.（2020·上海）计算： ______.
谈谈这节可自己的收获，还有什么疑问
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第2章 整式的乘法
专题练习 乘法公式的灵活运用
乘法公式的实质是多项式乘法的简便运算，它主要包括平方差公式
及完全平方公式.运用乘法公式解题时，首先要观察多项式的结构特点，
分清公式中的和，并注意字母和 的广泛性（它可以是数，也可以
是整式），然后“对号入座”套用公式；如果不能直接套用公式，就要通
过适当的变形，使其符合公式的结构特征，再应用公式；在运用乘法公
式解决某些整式的值有困难时，可运用乘法公式构造出要求值的整式，
并运用整体代入思想解决问题.另外，乘法公式可以正用，也可以逆用，
当正用公式遇到困难时，可考虑逆用公式.
题型1 灵活运用乘法公式进行简便计算
方法点拨 求两个比较接近的数的乘积时，可以考虑用平方差公式简便
计算，具体方法为将其化为整十、整百与另一个数的平方差，再用公式
计算；求某些复杂数的平方时，可以考虑用完全平方公式简化计算，具
体方法是将已知数的底数拆成整十、整百与另一个数的完全平方和或完
全平方差，再用公式计算.
1.简便计算： .
[答案]
2.利用乘法公式进行简便计算：
.
[答案] 原式
题型2 灵活运用乘法公式进行化简求值
方法点拨 首先利用平方差公式、完全平方公式进行整式的乘法运算，
再利用整式的加减法法则进行化简，最后将相关字母的值代入或整体代
入化简后的式子计算求值.
3.先化简，再求值： ，其中
， .
[答案] 原式
.
当， 时，
原式
4.先化简，再求值：，其中 .
[答案] 原式
. 由，得，
所以 ，即.
所以原式
题型3 灵活运用乘法公式变形整体求值
方法点拨 平方差公式常见的变形，涉及位置的变化、符号的变化、系
数的变化、指数的变化、项数的变化以及连用公式等.完全平方公式最
常见的变形是完全平方和与完全平方差的互变：如
， ，
，等等.因此，解题时首先要
分清楚是何种变化，然后将题目作适当变形，再整体求值.
5.若，，求 的值.
[答案] 因为，，所以 ，
所以
6.已知，，求 的值.
[答案] 解，
.②
由，得 ，.
，得，.
所以
题型4 灵活运用乘法公式解决规律问题
方法点拨 首先从题目所给的与乘法公式相关的一些特殊式子中，发现
不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况，最后应用总结
归纳出的变化规律解决问题.
7.观察下列各式的规律：
；
；
；
；
……
（1）猜想
_______________________________________________________；
（2）利用你发现的规律：计算 .
[答案]
题型5 灵活运用乘法公式解决图形面积问题
方法点拨 解决此类问题需要数形结合来分析题目，通过用不同的方法
表示同一个图形的面积，得到一个与乘法公式相关的等式，进而利用已
知数据条件使问题得到解决.
图1
8.如图1，有两个正方形纸板， ，纸
板与的面积之和为34.现将纸板 按
甲方式放在纸板 的内部，阴影部分的
面积为4.若将纸板， 按乙方式并列
放置后，构造新的正方形，则阴影部
分的面积为( ) .
A
A.30 B.32 C.34 D.36
图2
9.如图2，将一个边长为 的正方形图形分割成四
部分（两个正方形和两个长方形），请认真观察图形，
解答下列问题：
（1）根据图中条件，用两种方法表示该图形的总面积（用含， 的代
数式表示出来）；
[答案] 该图形的总面积由总体计算可得 ，部分求和可得
（2）如果图中的，满足， ，求图中阴影部
分的面积.
[答案] 由（1）的结果可得.当 ，
时，有.解得 .即图中阴影部
分的面积为57
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第2章 整式的乘法
2.1.4 多项式的乘法
第1课时 单项式与多项式相乘
自主学习
自主导学
单项式与多项式相乘的法则：一般地，单项式与多项式相乘，先用
单项式乘多项式中的________，再把所得的________.
每一项
积相加
典例分享
例 计算：
（1） ；
[答案]
.
（2） .
[答案]
.
方法感悟
1.在进行单项式与多项式相乘的计算时，一要按一定的顺序进行，
做到不重不漏；二要注意确定乘积中各项的符号；三是系数中同时出现
小数与分数时，先把小数化成分数后再计算.
2.在确定单项式与多项式相乘的符号时，可把单项式前及多项式各
项前的“”“-”看作性质符号，把单项式与多项式相乘的结果用“ ”连接，
最后写成省略加号的代数式.
轻松达标
1.下列计算正确的是( ) .
B
A. B.
C. D.
2.一个长方体的长、宽、高分别是，， ，其体积为( ) .
A
A. B. C. D.
3.已知，则 的值是( ) .
C
A.4 B.2 C.0 D.
4. ______________.
5. _______________.
6.计算：
（1） ；
[答案]
（2） .
[答案]
7.先化简，再求值：，其中 .
[答案] 原式
能力提升
8.已知，求 的值.
[答案]
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第2章 整式的乘法
2.2.2 完全平方公式
第2课时 完全平方公式的应用
自主学习
自主导学
运用完全平方公式进行有关整式的计算.
典例分享
例 已知， ，求下列各式的值：
（1） ；
[答案] 因为， ，所以 .
（2） .
[答案]
.
方法感悟
1.利用完全平方公式构造出要求的整式，并运用整体代入思想解决
整式的求值问题，是有关整式计算的一种比较常见的解题方法，要熟练
掌握.
2.应用完全平方公式进行有关整式的计算时，当所给二项式中两项
的符号相同时，一般应用“和”的完全平方公式；当二项式中两项的符号
相反时，一般应用“差”的完全平方公式.
3.应用完全平方公式计算一些数的平方时，关键是把已知数的底数
拆成两数和或差的形式.
轻松达标
1.若，则 的值为( ) .
B
A.16 B.8 C.1 D.
2.已知，则 等于( ) .
C
A.6 B.3或 C.3 D.
3.若，则 _____.
4. ___________________.
5.多项式 加上一个单项式后，能成为一个完全平方式，那么加上
的单项式可以是________________（填一个即可）.
答案不唯一,如
6.计算： .
[答案]
7.已知，，求与 的值.
[答案] 32 , 20
8.利用完全平方公式计算：
（1） ；
[答案] 40 401
（2） ；
[答案] 88 804
（3） .
[答案]
能力提升
9.化简并求值： ，其中
.
[答案]
中考链接
10.（2023·成都）下列计算正确的是( ) .
C
A. B.
C. D.
11.（2022·德阳）已知，，则 ___.
4
12.（2023·南充）先化简，再求值： ，其中
.
[答案] 原式
13.（2021·贵阳）小红在计算 时，解答过程如下：
第一步
第二步
第三步
小红的解答从第___步开始出错，请写出正确的解答过程.
[答案] 一
正确的解答过程如下：
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第2章 整式的乘法
2.1 整式的乘法
2.1.1 同底数幂的乘法
自主学习
自主导学
同底数幂的乘法：同底数幂相乘，______不变，______相加，即
______（， 都是正整数）.
底数
指数
典例分享
例 计算：
（1） ；
[答案] 解 .
（2） ；
[答案] .
（3） ；
[答案] .
（4）（其中 为正整数）.
[答案] .
方法感悟
1.在公式（，都是正整数）中，底数 可以是任
意数，也可以是单项式或多项式，但必须相同.不是同底数的要先化为
同底数才能应用公式.
2.单独一个字母的指数是1，而不是0，不能漏掉.
3.同底数幂的乘法可推广到多个同底数的幂相乘，多项式作为一个
整体.
轻松达标
1. 等于( ) .
C
A. B. C. D.
2.计算 的结果为( ) .
B
A. B. C. D.
3.计算 的结果是( ) .
C
A. B. C. D.
4.下列各组幂中，是同底数幂的是( ) .
A
A.与 B.与
C.与 D.与
5.计算 等于( ) .
D
A. B. C. D.
6. ____.
7. ____.
8. ____ .
9.如果，那么 ___.
10.若，则 ___.
11. _______.
5
6
12.已知，求 的值.
[答案] 2
能力提升
13.已知，且，求 的值.
[答案] 3
14.已知，，求 的值.
[答案] 6
中考链接
15.（2022·包头）若，则 的值为( ) .
B
A.8 B.6 C.5 D.2
16.（2023·德阳）已知，则 ( ) .
D
A. B. C. D.
17.（2022·天津）计算 的结果等于____.
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第2章 整式的乘法
2.1.2 幂的乘方与积的乘方
（2课时）
第1课时 幂的乘方
自主学习
自主导学
幂的乘方法则：幂的乘方，底数______，指数______.即
_____（， 都是正整数）.
不变
相乘
典例分享
例 计算：
（1） ；
[答案] 解 .
（2）（ 是正整数）；
[答案] .
（3） .
[答案] .
方法感悟
1.应用幂的乘方法则时，不要与同底数的幂的乘法混淆，它们的相
同点都是底数不变，不同点是同底数幂的乘法转化为指数的加法运算，
而幂的乘方转化为指数的乘法运算.
2.幂的混合运算顺序：先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法.
轻松达标
1.计算 的结果是( ) .
B
A. B. C. D.
2.下列各式中，运算结果错误的是( ) .
D
A. B.
C. D.
3.若，则 ( ) .
C
A.12 B.36 C.64 D.81
4.计算： ____.
5.计算： ______.
6.计算： ______.
7.计算：
（1） ；
[答案]
（2） ；
[答案]
（3） ；
[答案]
（4） .
[答案]
能力提升
8.若，，，试求，， 的数量关系.
[答案]
提示：因为，，所以 .
所以，即
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第2章 整式的乘法
2.1.4 多项式的乘法
第2课时 多项式与多项式相乘
自主学习
自主导学
多项式与多项式相乘的法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用
一个多项式的每一项分别乘______________的每一项，再把所得的
_________.
另一个多项式
积相加
典例分享
例 计算：
（1） ；
[答案]
.
（2） .
[答案]
.
方法感悟
1.在进行多项式与多项式相乘的计算时，必须做到不重不漏.为此，
相乘时，要按一定的顺序进行.如本例中 ，可以先
用第一个多项式中的每一项与第二个多项式相乘，得 与
，再用单项式乘多项式的法则展开，即把多项式与多项
式相乘转化成单项式乘多项式.
2.在运算过程中，要特别注意确定乘积中各项的符号；各项相乘以
后有同类项的要合并，得出最简结果.
轻松达标
1.下列计算错误的是( ) .
D
A. B.
C. D.
2.在下列各式中，计算结果等于 的是( ) .
A
A. B. C. D.
3.下列各式的计算：
① ；
② ；
③ ；
④ .
结果错误的有( ) .
C
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4. _____________________.
5.若，则_____， _____.
6.一块三角形铁板余料的底边长 ，这条边上的高是
，则这块铁板的面积是_____________________.
7.（易错题）计算： _____________.
8.计算：
（1） ；
[答案]
（2） .
[答案]
9.先化简，再求值：，其中 .
[答案] 原式，因为 ，所以
10.如图2.1-2，用式子表示阴影部分的面积 .
图2.1-2
[答案]
能力提升
图2.1-3
11.现有若干张如图2.1-3所示的正
方形和长方形卡片，如果要拼一
个长为、宽为 的
长方形，一共需要类、类、
类卡片多少张？
[答案] 9张
提示：长为、宽为 的长方形面积为
图形面积为， 图形面积为
，图形面积为.所以需要类卡片2张，类卡片2张， 类卡片5张，
共 （张）
中考链接
12.（2022·临沂）计算 的结果是( ) .
B
A.1 B. C. D.
13.（2023·嘉兴）已知，求 的值.
[答案] 5
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第2章 整式的乘法
2.2 乘法公式
2.2.3 运用乘法公式进行计算
自主学习
自主导学
运用乘法公式进行有关整式的计算.
典例分享
例 计算： .
[答案]
.
方法感悟
1.对于比较复杂的整式的乘法，先不要急于计算，应通过分析找到
题目的特点，这样可使解题少走弯路.有时逆用乘法公式可以收到意想
不到的效果.
2.当遇到符号相同也有符号不同的两个三项式相乘时，可通过变形
后运用平方差公式计算；当遇到两个因式中绝对值相同的各项符号全部
相同或全部相反时，则可运用完全平方公式计算.
3.在遇到直接求某些整式的值有困难时，可运用乘法公式构造出要
求值的整式，并运用整体代入思想解决问题.
轻松达标
1.下列各式中，是完全平方式的是( ) .
D
A. B. C. D.
2. 的计算结果是( ) .
B
A. B.1 C. D.
3.若 ，则□为( ) .
C
A. B. C. D.
图2.2-1
4.如图2.2-1，根据计算正方形 的面积，可以说明
下列哪个等式成立？( )
A
A.
B.
C.
D.
5. ________________.
6. _______________.
7.若，且，则 _________.
8.已知，则 _____.
9.用乘法公式计算：
（1） ；
[答案]
（2） .
[答案]
10.化简： .
[答案]
11.先化简，再求值：，其中 .
[答案] 原式
能力提升
12.已知，求 的值.
[答案] 2
中考链接
图2.2-2
13.（2022·河池）图2.2-2是利用
割补法求图形面积的示意图，下
列公式中与之相对应的是
( ) .
A
A.
B.
C.
D.
14.（2019·贵阳）选择计算 的最佳方法是
( ) .
B
A.运用多项式乘多项式法则 B.运用平方差公式
C.运用单项式乘多项式法则 D.运用完全平方公式
15.（2023·兰州）计算： .
[答案]
16.（2023·邵阳）先化简，再求值： ，其
中, .
[答案] 原式
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第2章 整式的乘法
2.2.2 完全平方公式
第1课时 完全平方公式
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完全平方公式：______________； _____________.
即两数__________________，等于它们的平方和，加（或减）它们的
积的2倍.
和（或差）的平方
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例 运用完全平方公式计算：
（1） ；
[答案]
.
（2） .
[答案]
.
方法感悟
1.利用完全平方公式计算，有时要经过适当的变形，使其符合公式
的结构特征.
2.对于完全平方公式，要注意公式中的符号与展开后两项乘积的2
倍的符号是相同的.
3.如果是三项式的平方，可通过添加括号把其中两项看成一个整体，
便可利用完全平方公式进行计算.
轻松达标
1.下列计算正确的是( ) .
D
A. B.
C. D.
2.计算 的结果正确的是( ) .
B
A. B. C. D.
3.（易错题）如果，那么 的值是( ) .
C
A.6 B.12 C. D.
4. _______________.
5.若，则 ___.
6.（_____） .
6
7.用完全平方公式计算：
（1） ；
[答案]
（2） ；
[答案]
（3） .
[答案]
能力提升
8.已知，，求 .
[答案] .
提示：由已知求出 ，再由
，求得
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第2章 整式的乘法
2.2 乘法公式
2.2.1 平方差公式
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平方差公式： ________.即两个数的和与这两个数的差
的积等于这两个数的________.
平方差
典例分享
例 运用平方差公式计算：
（1） ；
[答案] .
（2） ；
[答案] .
（3） .
[答案]
.
方法感悟
1.运用平方差公式时，要注意找准前后因式中相同的项和相反的项，
然后套用公式运算.
2.把不能直接用平方差公式的题目向公式的形式转化，写成两数的
和与这两数差的积的形式，再用公式.
3.在连续使用平方差公式时，要从字母次数较低的两项开始.
轻松达标
1.下列多项式乘法中，不能用平方差公式计算的是( ) .
D
A. B.
C. D.
2.下列计算结果为 的是( ) .
B
A. B.
C. D.
3.下列各式计算结果正确的是( ) .
C
A.
B.
C.
D.
4.若，则， 的值分别是( ) .
A
A.， B.， C.，5 D. ，5
5. _______.
6. ________.
7.运用平方差公式计算： ________________.
8. ___________ .
9.运用平方差公式计算：
（1） ；
[答案]
（2） ；
[答案]
（3） ；
[答案]
（4）（易错题） .
[答案]
能力提升
10.先化简，再求值：，其中 .
[答案] 原式
中考链接
11.（2020·杭州） ( ) .
C
A. B. C. D.
12.（2023·无锡）化简： .
[答案]
13.（2022·衡阳）先化简，再求值： ，其中
， .
[答案] ,
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湘教版七年级数学下册课件
第2章 整式的乘法
2.1.2 幂的乘方与积的乘方
（2课时）
第2课时 积的乘方
自主学习
自主导学
积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别______，再
把所得的____相乘.即______（ 为正整数）.
乘方
幂
典例分享
例 计算：
（1） ；
[答案] .
（2） ；
[答案]
（3） .
[答案] .
方法感悟
1.在进行幂的运算时，应注意符号问题，尤其要注意系数为 时的
“-”号.
2.注意按顺序进行计算，先算积的乘方，再算幂的乘方，最后算同底
数幂相乘.有括号的，先算括号里面的，结果中如果有同类项的要合并.
3.具体计算中，一定要准确理解各运算法则，细心运用法则.
轻松达标
1.计算 的结果是( ) .
C
A. B. C. D.
2.计算 的结果是( ) .
C
A. B. C. D.
3.若成立，则， 的值为( ) .
D
A.， B.， C.， D.，
4.若，，都是正整数，则 等于( ) .
B
A. B. C. D.
5.（易错题）计算 的结果，正确的是( ) .
A
A. B. C. D.
6. ______.
7.计算： ________.
8.计算：
（1） ;
[答案]
（2） ；
[答案]
（3） ；
[答案]
（4） .
[答案]
能力提升
9.若为正整数，且，，求 的值.
[答案]
中考链接
10.（2023·江西）计算 的结果为( ) .
A
A. B. C. D.
11.（2022·哈尔滨）下列运算一定正确的是( ) .
A
A. B. C. D.
12.（2021·黄石）计算 的结果是( ) .
B
A. B. C. D.
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