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湘教版七年级数学下册课件
第3章 因式分解
知识梳理、真题剖析
单元练习
知识梳理3
因式 分解 因式分 解的 有关概 念 1.因式：一般地，对于两个多项式与 ，如果有多
项式使得__________，那么我们把叫做 的一个
因式.此时，也是 的一个因式.
2.多项式因式分解：一般地，把一个多项式表示成
若干个多项式的__________的形式，称为把这个多项式
因式分解.
3.公因式：几个多项式的__________的因式称为它
们的公因式.
因式 分解 因式分 解的 有关概 念 4.提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，
可以把这个公因式提到__________外面，这种把多项式
因式分解的方法叫做提公因式法.
5.公式法：把__________从右到左地使用，就可以
把某些形式的多项式进行因式分解，这种因式分解的方
法叫做公式法.
续表
因式 分解 因式分 解的方 法 1.提公因式法.
2.公式法：
①逆用平方差公式： ________________.
②逆用完全平方公式： ________，
__________.
续表
因式 分解 因式分 解的 一般步 骤 1.提：先分析各项有无公因式可提.
2.套：再分析能否套用公式来分解.
3.查：最后检查每个因式是否还可以继续分解，以
及分解的结果是否正确.
续表
真题剖析3
考点1 因式分解的意义
例1 （2020·河北）对于① ，
② ，从左到右的变形，表述正确的是
( ) .
C
A.都是因式分解 B.都是乘法运算
C.①是因式分解，②是乘法运算 D.①是乘法运算，②是因式分解
[解析] ①左边多项式，右边整式乘积形式，属于因式分解；②左边整式
乘积，右边多项式，属于整式乘法.
故选C.
考点1 变式
（2022·永州）下列因式分解正确的是( ) .
B
A. B.
C. D.
考点2 因式分解的方法
例2 （2022·贺州）因式分解： _________________.
[解析] .
故答案为 .
考点2 变式
（2023·眉山）分解因式： __________.
考点3 利用因式分解计算
例3 （2020·河北）若，则 ( ) .
B
A.12 B.10 C.8 D.6
[解析] 由 ，得
.
故选B.
考点3 变式
（2021·扬州）计算： _______.
4 041
考点4 利用因式分解求代数式的值
例4 （2021·十堰）已知， ，则
____.
36
[解析] 因为， ，
所以 .
故答案为36.
考点4 变式
（2022·广安）已知，则代数式 的值为____.
10
单元练习3
一、选择题
1.下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是( ) .
C
A. B.
C. D.
2.下列各式中，可因式分解的只有( ) .
D
A. B. C. D.
3.下列各式中，是完全平方式的是( ) .
A
A. B. C. D.
4.若，互为相反数，则 的值为( ) .
C
A.0 B.1 C.8 D.15
5.和 的公因式是( ) .
D
A. B. C. D.
6.如果，则 的值为( ) .
C
A.4 B. C.4或 D.8
7.若，则， 的值分别为( ) .
B
A.， B.，
C.， D.，
8.已知，都是有理数，观察下表中的运算，则 为( ) .
， 的运算
运算的结果 10
B
A.40 B. C.36 D.
图1
9.如图1，四边形 是一个长方形，利用
不同的方法可以计算出长方形的面积.通过分
析图形中所标线段的长度，将多项式
因式分解，其结果正确的是
( ) .
B
A. B.
C. D.
10.已知，那么 等于( ) .
B
A. B.8 C. D.12
二、填空题
11.（______） .
12. 的公因式是_____.
13.简便计算： _____.
14.因式分解： ________________.
15.已知，，则 ____.
16.已知正方形的面积是 ，利用因式分解，
写出表示该正方形的边长的代数式：_______.
45.8
三、解答题
17.把下列多项式因式分解：
（1） ；
[答案]
（2） ；
[答案]
（3） .
[答案]
18.先化简，再求值：，其中， .
[答案] 原式
19.已知，，求多项式 的值.
[答案] 原式
20.已知，满足方程组 不解方程组，求代数式
的值.
[答案]
21.在三个整式，， 中，请你任意选出两个进行加法
或减法运算，使所得的整式可以因式分解，并进行因式分解（要求写出
两种情况）.
[答案] 答案不唯一，如： ，
22.下面是某同学对多项式 进行因式分解
的过程.
解：设 ，
原式 （第一步）
（第二步）
（第三步）
.（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的____（填序号）.
①提取公因式；②平方差公式；③两数和的完全平方公式；④两数差的
完全平方公式.
③
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？________（填“彻底”或
“不彻底”）.
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________.
不彻底
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式 进行
因式分解.
[答案] 设 ，
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第3章 因式分解
3.3 公式法
（2课时）
第1课时 利用平方差公式进行因式分解
自主学习
自主导学
1.公式法：把______公式从右到左地使用，就可以把某些形式的多项式
进行因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法.
2.平方差公式的逆应用：________ .
乘法
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例 把下列多项式因式分解：
（1） ；
[答案] .
（2） .
[答案]
.
方法感悟
1.当多项式的每一项都含有公因式时，要先提取公因式，再运用平
方差公式分解.
2.运用平方差公式分解因式时，应先把多项式写成 的形式，
再套用平方差公式.其中和 可以是数、字母，还可以是单项式或多项式.
轻松达标
1.下列多项式中，能用平方差公式因式分解的是( ) .
A
A. B. C. D.
2.将 因式分解，结果是( ) .
D
A. B.
C. D.
3.已知，为自然数，且，则， 可能的值有( ) .
C
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
4. ______________.
5.若，则 ___.
6.若，则代数式 的值为___.
3
1
7.把下列各式因式分解：
（1） ；
[答案]
（2） ；
[答案]
（3） .
[答案]
能力提升
8.已知，，求 的值.
[答案] 28
提示：原式,由, ,可
得,相加得 ,代入即可求值
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第3章 因式分解
3.3 公式法
（2课时）
第2课时 利用完全平方公式进行因式分解
自主学习
自主导学
完全平方公式的逆运用： _________，
_________.
典例分享
例 把下列多项式因式分解：
（1） ；
[答案] .
（2） .
[答案] .
方法感悟
1.分解因式时应先考虑能否用提公因式法，当没有公因式或提完公
因式后再考虑公式法.
2.若式中有两项，可考虑用平方差公式；若式中有三项，可考虑用
完全平方公式；若式中有四项或更多项，可考虑先将其分组，把每一组
分解因式后，再整体分解因式.
3.因式分解必须进行到每一个多项式的因式都不能分解为止.
轻松达标
1.下列因式分解正确的是( ) .
B
A. B.
C. D.
2.如果是一个完全平方式，那么 应为( ) .
C
A.4 B.2 C. D.
3.因式分解： __________.
4.若多项式的一个因式是 ，则另一个因式是______.
5.（易错题）因式分解： ___________.
6.把下列各式因式分解：
（1） ；
[答案]
（2） ；
[答案]
（3） ；
[答案]
（4） ;
[答案]
（5） .
[答案]
7.利用因式分解计算： .
[答案] 240
能力提升
8.已知，，求 的值.
[答案]
中考链接
9.（2023·河北）若为任意整数，则 的值总能( ) .
B
A.被2整除 B.被3整除 C.被5整除 D.被7整除
10.（2022·河池）多项式 因式分解的结果是( ) .
D
A. B. C. D.
11.（2023·眉山）分解因式： __________.
12.（2021·北部湾经济区）分解因式： ________________.
13.（2021·大庆）先因式分解，再计算求值：，其中 .
[答案] 原式
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第3章 因式分解
3.1 多项式的因式分解
（1课时）
自主学习
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1.因式：一般地，对于两个多项式与，如果有多项式使得 ____，
那么我们把叫做的一个因式.此时，也是 的一个因式.
2.多项式因式分解：一般地，把一个多项式表示成________多项式的乘
积的形式，称为把这个多项式因式分解.
若干个
典例分享
例 下列各式由左边到右边，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？
（1） ；
[答案] 不是.因为等号左边的 不是多项式.
（2） ；
[答案] 是.因为从左边到右边是把多项式 表示成了多项式
与 的乘积的形式.
（3） ；
[答案] 不是.因为等号右边的 不是整式.
（4） .
[答案] 是.因为从左边到右边是把多项式表示成了与
的乘积的形式.
方法感悟
1.判断一个从左边到右边的变形是否为因式分解的关键是看这个变
形是不是把一个多项式化成若干个多项式的乘积的形式，但是将单项式
拆成几个单项式乘积的形式不能称为因式分解.
2.因式分解是针对多项式，而不是单项式；是针对多项式的整体，
而不是部分.
3.因式分解与整式乘法是方向相反的变形，因式分解是一种恒等变
形，而整式乘法是一种运算.
轻松达标
1.12，24，30的最大公因数是( ) .
C
A.2 B.4 C.6 D.12
2.下列各式从左边到右边的变形属于因式分解的是( ) .
B
A. B.
C. D.
3.下列式子从左边到右边的变形： ；
； .其中是因式分解
的有( ) .
B
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
4.____ .
5. （___________）.
6.判断下列式子从左边到右边的变形是不是因式分解，如果不是，说明
理由；如果是，判断该因式分解是否正确，并简要说明理由.
（1） ；
[答案] 不是因式分解，因为它的右边不是多项式的乘积的形式，不满足
因式分解的特征
（2） ；
[答案] 是因式分解，但是不正确，因为等式右边得到的多项式为
，与等式左边不相等
（3） .
[答案] 是因式分解，正确，因为等式右边得到的多项式为 ，与
等式左边相等
7.下列各式从左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些是多项式乘法？
（1） ；
（2） ；
（3） .
[答案] 因式分解有（1）（3），多项式乘法有（2）
8.已知可以因式分解为，求 的值.
[答案] ,且
,所以
能力提升
图3.1-1
9.如图3.1-1，由一个边长为 的小正方形与两
个长、宽分别为， 的小长方形组成大长方
形 ，则整个图形可表达出一些有关多
项式因式分解的等式，请你写出其中任意两
个等式.
[答案] 答案不唯一，如 ；
中考链接
10.（2023·山东）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是
( ) .
C
A. B.
C. D.
11.（2021·呼伦贝尔）下列等式从左到右变形，属于因式分解的是
( ) .
C
A. B.
C. D.
谈这节课的收获
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第3章 因式分解
3.2 提公因式法
（2课时）
第2课时 提公因式法（二）
自主学习
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运用提公因式法（提取的公因式含有多项式）进行因式分解.
典例分享
例 把下列多项式因式分解：
（1） ；
[答案] .
（2） .
[答案] .
方法感悟
1.一个多项式的公因式是该多项式中每一项都含有的公共的因式，
它可以是数字，可以是字母，也可以是多项式.有时要将所给多项式作
适当的变形才能看得出其公因式.
2.当多项式的项既含有数字因数又含有字母因式，同时还含有多项
式时，就要先确定数字因数的公因式，再确定所含字母的公因式，然后
将括号中的多项式看作一个整体来确定其公因式，最后将它们全部提取
出来即可.
轻松达标
1.下列各组式子中，没有公因式的是( ) .
B
A.与 B.与
C.与 D.与
2.用提公因式法分解因式 ,应提取的公因式为
( ) .
C
A. B. C. D.
3.将多项式 因式分解得( ) .
A
A. B.
C. D.
4.多项式 的公因式是
____________.
5.用提公因式法分解因式 ，应提取的公因式
是___________.
6.若，互为相反数，则 的值为___.
0
7.把下列各式因式分解：
（1） ；
[答案]
（2） ；
[答案]
（3） .
[答案]
8.已知，，求多项式 的值.
[答案]
能力提升
9.阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
.
（1）上述因式分解的方法是____________，共用了___次.
提公因式法
2
（2）若分解 ，则需应
用上述方法多少次？其结果是什么？
[答案] 需应用提公因式法2 024次,其结果是
中考链接
10.（2023·广西）分解因式： _________.
11.（2023·永州）与 的公因式为____.
12.（2023·成都）因式分解： __________.
13.（2022·常州）分解因式： __________.
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第3章 因式分解
3.2 提公因式法
（2课时）
第1课时 提公因式法（一）
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1.公因式：几个多项式的______的因式称为它们的公因式.
2.提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提
到______外面，这种把多项式因式分解的方法叫做提公因式法.
公共
括号
典例分享
例 把下列多项式因式分解：
（1） ；
[答案] .
（2） .
[答案] .
方法感悟
1.提公因式法分解因式的关键是确定公因式，提取公因式后，剩余
的因式的项数与原来多项式的项数相等.
2.当多项式的首项为负数时，一般要提出“-”号，使括号内的首项为
正，在提出“-”号时，括号内的各项都要变号.
轻松达标
1.下列各式的公因式是 的是( ) .
B
A. B. C. D.
2.把 因式分解，正确的结果是( ) .
C
A. B. C. D.
3.下列各式中，因式分解错误的是( ) .
D
A.
B.
C.
D.
4.多项式 的公因式是_____.
5. （_______）.
6.把下列各式因式分解：
（1） ；
[答案]
（2） ；
[答案]
（3） .
[答案]
7.利用因式分解计算： .
[答案] 369
8.已知，，求多项式 的值.
[答案]
能力提升
9.利用因式分解计算： .
[答案] 原式
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