万州二中教育集团高 2022 级高二（下）期中质量监测
数 学 试 题 答 案
一、单选题：
BBCAA CDA
二、多选题
ABC AD BCD
三、填空题
255
12. 128
13.②③④
14. 1
2
四、解答题:
15.（本小题满分 13 分）
n N
解：（1） 0 2n 1 5n , n 2, a C 3 310 A7 90; 3分
1 4n 5 9 n
72023 (8 1)2023 82023 C1 82022 ( 1)1 C2022 1 2022 20232023 20238 ( 1) ( 1)
则72023除以8的余数为7，则m 7
6分
1 3 3(2（) 7x 4 )m = 4 1的常数项T5 C7( )
3( 7x 4 ) 4=5； 8分
7x 7x
d=5,又a1=a=-90 an=5n-95 10分
1 n 18时，an<0,a19=0,当n 20时，an >0
{an}前n项和Sn在n=18或n=19时最小，
( 90 0) 19
且最小值为S18=S19= 855 13分2
16.（本小题满分 15 分）
（1）设 Ai “第 i天选择米饭套餐” (i 1, 2)，则 Ai “第 i天选择面食套餐”，
根据题意 P A 2 ，1 P A3 1
1
， P A | A 1 2
3 2 1
，P A2 | A1 ，3 3
…………………………3分
由全概率公式，得 P A2 P A1 P A2 |A1 P A1 P A |A 2 1 1 2 42 1 ；3 3 3 3 9
…………5分
（2）（i）设 An “第 n天选择米饭套餐” (n 1, 2, ) ，
则 Pn P An ， P An 1 P ， P A | A 1n ，n 1 n P3 A
2 ， ……………7分
n 1 | An 3
1
由全概率公式，得 P An 1 P An P An 1 | An P An P A | A 1 P 2n 1 n n ，3 3
…………8分
即 P 1 2 ，n 1 Pn P
1 1 1
n 1
3 3 2 3
P ， ……………………………9分n
2
P 1 1 P 1 1 11 ， n 2 是以 为首项， 为公比的等比数列； ………10 分2 6 6 3
可得 P 1 1 1
n 1
n N* ， …………………………11 分n 2 6 3
n 1 2
当 n为大于 1的奇数时， P 1 1 1 1 1 1 14n
； ……………13 分2 6 3 2 6 3 27
1 1 1 n 1当 n为正偶数时， P 1 14 ………………………14 分n 2 6
3 2 27
综上所述：当 n 2时，P 14n …………………………15 分27
17.(本小题满分 15 分)
解析：（1）因为 f (x) ln x ax2 3x的定义域为 0, ，
所以 f x 1 2ax 3．
x
由函数 f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为 y＝－2，
得 f 1 1 2a 3 0，解得 a＝1．…………………………3分
此时 f x 1 2x (2x 1)(x 1) 3 ．
x x
x 1 当 0, 和 1, 2 时， f x 0；
x 1 当 ,1 时， f x2 0．
1 1
所以函数 f(x)在 0, 和 1, 2 上单调递增，在
,1 上单调递减，
2
所以当 x＝1 时，函数 f(x)取得极小值 f 1 ln1 1 3 2． …………………………6分
（2）由 a＝1得 f x ln x x2 3x．
2m x2 x1
因为对于任意 x1, x2 1,3 ，当 x1 x2时， f x1 f x2 x x 恒成立，1 2
所以对于任意 x1, x2 f (x )
2m f (x ) 2m1,3 ，当 x1 x2时， 1 x 2 x 恒成立，1 2
2
所以函数 y f (x)
2m
在 1,3 上单调递减．…………………………9分
x
2m
令 h(x) f (x) ln x x2 3x
2m
， x 1,3 ，
x x
所以 h x 1 2x 3 2m 2 0在[1，3]上恒成立，x x
则 2m 2x3 3x2 x在[1，3]上恒成立．………………………11 分
设 F x 2x3 3x2 x 1 x 3 ，
2
则 F x 6x2 6x 1 6 x 1 1 在[1，3]单调递减．
2 2
当 x 1,3 时，F x F 1 = 1 0，所以函数 F(x)在 1,3 上单调递减，
所以 F x F 3 30，………………………14分
所以 2m 30，故实数 m的取值范围为 , 15 ．………………………15 分
18（本小题满分 17 分）
2
1 1 1
解析：（1）解：3人全通过初赛的概率为 ，
3 2 18
所以，这3人中至多有 2 人通过初赛的概率为1 1 17 .…………………………4分
18 18
1 1 1 1 1 1
（2）解：甲参加市知识竞赛的概率为 ，乙参加市知识竞赛的概率为 ，
2 3 6 3 3 9
1 1 1
丙参加市知识竞赛的概率为 ，
3 3 9
3 1 1 1 1
2
1 83
所以，这 人中至少有 人参加市知识竞赛的概率为 1 . ……………8分
9 6 243
1
（3 ）解：方案一：设三人中奖人数为 X ，所获奖金总额为Y元，则Y 600X ，且 X B 3, 2 ，
所以 E Y 600E X 600 1 3 900元， ……………10 分
2
方案二：记甲、乙、丙三人获得奖金之和为 Z元，则 Z的所有可能取值为600 、900、1200、1500 ，
1 2P Z 600 1 1 1 2则 ，
3 2 9
P Z 900 C1 1
2
1 1 1 1 1 1 1 42 ，3 2 3 2 3 9
2
P Z 1200 1 1 1 C1 1 1 1 1 5 2 ，
3 2 2 3 3 18
3
2
P Z 1500 1 1 1 ， ……………14分
3 2 18
所以， E Z 600 2 900 4 1200 5 1500 1 950 . ……………16 分
9 9 18 18
所以， E Y E Z ，
所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案二更好．……………17 分
19.（本小题满分 17 分）
解析：（1）由题可知函数 f (x) ln(x 1) x 0 [1,1] R(x) a0 a x在 处的 阶帕德近似 1
1 b1x
……1分
f (x) 1 ， f (x) 1 ，
x 1 (x 1)2
由 f (0) R(0) a x得 a0 0，所以 R(x) 1 ………………………………2分1 b1x
则 R (x) a 1 2 ，又由 f (0) R (0)得a1 1，所以R (x)
2b
1 3 ………3分(1 b1x) (1 b1x)
1 x 2x
由 f (0) R (0)得b1 ，所以R(x) 1 ………………4分2 1 x x 2
2
ln1.1 f (0.1) R(0.1) 2 0.1 2 0.095 ………………6分
0.1 2 21
2x
（2）（i）令 F (x) ln(x 1)， x ( 1,0) (0, )
x 2
2
因为 F (x) 4 1 x 2 0(x 2) x 1 (x 1)(x 2)2
所以 F (x)在 x ( 1,0)及(0, )上均单调递减. …………7分
①当 x ( 1,0)，F (x) F (0) 0 2x，即 ln(x 1) ，而 ln(x 1) 0
x 2
2x
所以 x 2 1 R(x)，即 1 ……………9分
ln(x 1) ln(x 1)
②当 x (0, )， F (x) F (0) 0 2x ，即 ln(x 1)，而 ln(x 1) 0
x 2
4
2x
所以 x 2 R(x) 1，即 1
ln(x 1) ln(x 1)
R(x)
由①②所以不等式 1恒成立； ………………10 分
ln(x 1)
x
（ii）由 f (x) m( 1)R(x) 1 cos x得 ln(x 1) mx cos x 1 0在（ 1, ) 上恒成立
2
令 h(x) ln(x 1) mx cos x 1,且h(0) 0，所以 x 0 是 h(x) 的极大值点。
h (x) 1又 m sin x，故 h (0) 1 m 0，则m 1 …………12 分
x 1
当m 1时， h(x) ln(x 1) x cos x 1
所以 h (x) 1 sin x 1 sin x x
x 1 x 1
当 x ( 1,0)时, sin x 0, x 0，则 h (x) 0，故h(x) 在（ 1,0)上单调递增，
x 1
所以当 x ( 1,0)时 h(x) h(0) 0 ………………………15 分
当 x (0, )时， h(x) [ln(x 1) x] (cos x 1)
1
令 (x) ln(x 1) x，因为 (x) 1 0，所以 (x) 在 (0, )上单调递减，
x 1
所以 (x) (0) 0又因为在 (0, )上 cos x 1 0
故当 x (0, )时 h(x) [ln(x 1) x] (cosx 1) 0。
x
综上，当m 1时， f (x) m( 1)R(x) 1 cos x恒成立. …………17 分
2
5万州二中教育集团高 2022 级高二（下）期中质量监测
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数学试题·答题卡
15．（本小题满分 13 分） 16．（本小题满分 15 分）
姓名：____________________
考生条形码粘贴处
班级：____________________
准考证号：____________________
一、单选题 （共 40 分）
1 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D]
2 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D]
3 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D]
4 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D]
二、多选题（共 18 分）
09 [A] [B] [C] [D]
10 [A] [B] [C] [D]
11 [A] [B] [C] [D]
三、填空题（每小题 5分，共 15 分）
12．
13．
14．
四、解答题（共 77 分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤）
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17．（本小题满分 15 分） 18．（本小题满分 17 分） 19．（本小题满分 17 分）
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数 学 试 题
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1．已知函数 f x acos x b的导函数为 f x ，若 f 6 1，则a （ ）
A 1．－4 B．－2 C．－1 D．－
2
2.若函数f (x) x 1 2 lim f (1 x) f (1)在 处的导数为 ，则 （ ）
x 0 2 x
A.2 B.1 C. 1 D.4
2
3．某同学参加篮球测试，老师规定每个同学罚篮 10次，每罚进一球记 5 分，不进记 1分，
已知该同学的罚球命中率为 80%，并且各次罚球互不影响，则该同学得分的数学期望为（ ）
A．30 B．36 C．38 D．32
4．黄山是中国著名的旅游胜地，有许多值得打卡的旅游景点，其中包括黄山风景区，齐云山，
宏村，徽州古城等.甲，乙，丙3人准备前往黄山风景区，齐云山，宏村，徽州古城这 4 个
景点游玩，其中甲和乙已经去过黄山风景区，本次不再前往黄山风景区游玩.若甲，乙，
丙每人选择一个或两个景点游玩，则不同的选择有 （ ）
A. 360种 B. 420种 C. 540种 D. 600种
5.在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是 0.6,0.7和 0.5，且
三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前
提条件下，乙没有达优秀等级的概率为( )
A. 15 B. 7 C. 5 D. 17
29 8 8 29
6．若对于任意正数 xy，不等式 x 1 ln x x ln y ay恒成立，则实数 a的取值范围是（ ）
A 1 1． 1 1 1 0, B． , C． , D．3 2 3 ,
e e e e e
7．已知实数 a,b分别满足 ln(a 1) 0.01
1
， eb 1.01，且 c ，则（ ）
101
A． a b c B．b c a C． b a c D． c b a
8．已知函数 f (x) x ex a ，则下列说法错误的是（ ）
A．当a 1时，方程 f x x ln(1 x)无解
B．当a 2时，存在实数 k使得函数h(x) f (x) k(x 1)2 有两个零点
C．若1 x ln x f (x)恒成立，则a 0
2
D．若方程 f x 5 f x 6 0有 3 个不等的实数解，则 2 e
2 a 2
1
二、多选题：本题共 3 小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．已知 A， B是两个随机事件，且0 P(A) 1，下列命题正确的是（ ）
A．若 A,B相互独立，P B A P B B．若事件 A B，则P B A 1
C．若 A,B是互斥事件，则P B A 0 D．若 A,B是对立事件，则P B A 1
10．现将8把椅子排成一排， 4位同学随机就座，则下列说法中正确的是（ ）
A．4个空位全都相邻的坐法有120种 B．4个空位中只有3个相邻的坐法有 240种
C．4个空位均不相邻的坐法有180种 D．4 个空位中至多有 2 个相邻的坐法有1080种
11．甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等
可能地将球传给另外三个人中的任何一人，下列说法正确的是（ ）
A 1 2．2 次传球后球在丙手上的概率是 4 B．2 次传球后球在乙手上的概率是 9
C 2 1
1 1
n 1
． 次传球后球在甲手上的概率是 3 D．n 次传球后球在甲手上的概率是
1
4 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15分。
12. 若x8 a0 a1(x 1) a
2 8 1 1 1
2(x 1) a8(x 1) , 则a1 a2 2a3 a ______2 2 27 8
13.如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木
钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在
下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底
部的格子中，格子从左到右分别编号为 1，2，3，……，6，用 X 表示小球
落入格子的号码，则下面结论中正确的序号是_ __
1 5
① P X 1 P X 6 ；② P X 2 P X 5 ；
64 32
③ P X 3 P 5 7X 4 ；④ E X ．
16 2
14.在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为 DD,Dd,dd,其中 D 为显性基因，d为隐性基因，且
这三种基因型的比为 1:2:1，如果在子二代中任意选取 2 株豌豆进行杂交试验，则子三代中基
因型为 Dd的概率_____.
四、解答题: 本题共 5 小题，共 77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分 13 分）
（1）计算a=C2n 1 A4n 55n 9 n (n N*)的值，并求7
2023除以8的余数m;
3
(2) 1以（1）为条件，若等差数列{an}的首项为a, 公差d是（ 7 x 4)
m的常数项，
7x
求数列{an}前n项和的最小值。
2
16.（本小题满分 15 分）
学校食堂为了减少排队时间，从开学第1天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套
餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了米
1
饭套餐，则第 2天选择米饭套餐的概率为 ；若他前1天选择了面食套餐，则第 2天选择
3
2 2
米饭套餐的概率为 .已知他开学第1天中午选择米饭套餐的概率为 3 .3
（1）求该同学开学第 2天中午选择米饭套餐的概率；
*
（2）记该同学开学第 n n N 天中午选择米饭套餐的概率为 Pn .
14
证明：当 n 2时， Pn .27
17.(本小题满分 15 分)
已知函数 f (x) ln x ax2 3x．
(1)若函数 f (x) 的图象在点 1, f 1 处的切线方程为 y= 2，求函数 f (x) 的极小值；
2m x x(2)若 a 1，对于任意 x1, x2 1,3 ，当 x1 x2时，不等式 f x1 f x
2 1
2 x x 恒成立，求实数1 2
m的取值范围．
18（本小题满分 17 分）
第 22届亚运会将于 2023年9月 23日至10月8日在我国杭州举行，这是我国继北京后第二次举
办亚运会．为迎接这场体育盛会，浙江某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市A 社区举办
了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表A 社
区参加市亚运知识竞赛．已知A 社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次
1 1 1 1
为 ， ， ，通过初赛后再通过决赛的概率均为 ，假设他们之间通过与否互不影响．
2 3 3 3
(1)求这3人中至多有 2人通过初赛的概率；
(2)求这3人中至少有1人参加市知识竞赛的概率；
(3)某品牌商赞助了A 社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了两种奖励方案：
1
方案一：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖1次，每次中奖的概率均为 ，且每次
2
抽奖互不影响，中奖一次奖励600 元；
方案二：只参加了初赛的选手奖励 200元，参加了决赛的选手奖励500元．
若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择
哪种方案更好．
3
19.（本小题满分 17 分）
帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个
正整数m ,n，函数 f (x) 在 x 0处的[m,n]阶帕德近似定义为：
R(x) a0 a1x a x
m
m n ，且满足：1 b1x bnx
f (0) R(0) ， f (0) R (0) ， f (0) R (0) ，……， f (m n) (0) R(m n) (0)
注： f (x) [ f (x)] ， f (x) [ f (x)] ， f（4）(x) [ f (x)] ， f（5）(x) [ f（4）(x)] ，……
已知函数 f (x) ln(x 1) .
（1）求函数 f (x) ln(x 1)在 x 0处的[1,1]阶帕德近似 R(x)，并求 ln1.1的近似数（精确
到 0.001）；
（2）在（1）的条件下：
R(x)
（i）求证： 1ln(x 1) ；
（ii）若 f (x) m(
x
1)R(x) 1 cos x恒成立，求实数m的取值范围.
2
4
