2023-2024学年数学人教版九年级上册21.2.4 第二课时　一元二次方程的根与系数的关系 课件 (共16张PPT)

(共16张PPT)
一元二次方程的根与系数的关系
第二十一章　一元二次方程
根与系数的关系：
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1＝，x2＝，请计算x1＋x2与x1x2.结论：x1＋x2＝________＝________．(前提条件：Δ≥0)
－
若x1，x2是关于x的一元二次方程2x2－4x－1＝0的两个实数根，则：
a＝________，b＝________，c＝________．
x1＋x2＝________＝________；x1x2＝________＝________．
2　
－4　
－1　
－　
2　
　
－　
【例1】求下列方程两个根的和与积：
(1)(人教教材母题)3x2＋2＝1－4x；　　　　
知识点1
利用x1＋x2＝－，x1x2＝求两根和与两根积
解：(1)方程化为3x2＋4x＋1＝0.
∴x1＋x2＝－，x1x2＝.
【例1】求下列方程两个根的和与积：
(2)(人教教材母题)7x2－5＝x＋8.
解：(2)方程化为7x2－x－13＝0.
∴x1＋x2＝，x1x2＝－.
【变式1】(1)若方程x2＋3x－1＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2－x1x2＝________．
(2)若矩形的长和宽分别是方程3x2－12x＋10＝0的两个根，则该矩
形的周长为________，面积为________．
－2　
8　
【例2】已知方程2x2－4x－3＝0的两个根分别为x1，x2，求下列代数式的值．
；　　　　 (2).
知识点2
利用根与系数的关系求代数式的值
解：∵x1，x2是方程2x2－4x－3＝0的两个根，
∴x1＋x2＝2，x1x2＝－.
＝(x1＋x2)2－2x1x2＝22－2×＝7.
(2)＝＝＝＝－.
【变式2】已知方程x2＋3x－2＝0的两个根分别为x1，x2，求下列代数式的值．
(1)(x1－x2)2；　　　　 (2)(x1＋3)(x2＋3)．
解：∵x1，x2是方程x2＋3x－2＝0的两个根，
∴x1＋x2＝－3，x1x2＝－2.
(1)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝17.
(2)(x1＋3)(x2＋3)＝x1x2＋3(x1＋x2)＋9＝－2.
【例3】已知关于x的一元二次方程x2－4x＋m＋1＝0有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
知识点3
一元二次方程的根与系数的关系和根的判别式的综合
解：(1)∵关于x的一元二次方程x2－4x＋m＋1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝(－4)2－4(m＋1)＝16－4m－4＞0，
解得m＜3.
【例3】已知关于x的一元二次方程x2－4x＋m＋1＝0有两个不相等的实数根．
(2)若该方程的两个实数根x1，x2满足x1＋x2＝2x1x2，求m的值．
(2)∵该方程的两个实数根为x1，x2，
∴x1＋x2＝4，x1x2＝m＋1.
∵x1＋x2＝2x1x2，
∴2(m＋1)＝4，解得m＝1.
【变式3】已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2－1＝0有两个不相等的实数根x1，x2.
(1)求k的取值范围；
解：(1)∵关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2－1＝0有两个不相等的实数根，
∴(2k＋1)2－4(k2－1)>0，
整理，得4k＋5>0，
解得k>－.
【变式3】已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2－1＝0有两个不相等的实数根x1，x2.
(2)当x1x2＝3时，求k的值．
(2)∵方程的两个根分别为x1，x2，
∴x1x2＝k2－1＝3，
解得k1＝2，k2＝－2.
∵k>－，
∴k＝2.
1．(多维原创)已知关于x的一元二次方程x2＋2x－1＝0有两个实数根x1，x2，则下列等式正确的是 (　　)
A．x1＋x2＝2 B．x1x2＝－2
C．x1＝x2　　　　 ＝6
2．已知α，β满足α＋β＝3，且αβ＝2，写出一个以α，β为两根的一元二次方程：__________________________.
3．已知一元二次方程x2－4x－c＝0的一个根为2＋，则另一个根为________，c＝________．
D　
x2－3x＋2＝0(答案不唯一)　
2－
－1　
4．(中考新动向)已知关于x的一元二次方程x2＋3x＋k－2＝0有实数根．
(1)求实数k的取值范围；
解：(1)∵关于x的一元二次方程x2＋3x＋k－2＝0有实数根，
∴Δ＝32－4×1×(k－2)≥0，
解得k≤.
即k的取值范围是k≤.
4．(中考新动向)已知关于x的一元二次方程x2＋3x＋k－2＝0有实数根．
(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，若(x1＋1)(x2＋1)＝－1，求k的值．
(2)∵方程x2＋3x＋k－2＝0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1＋x2＝－3，x1x2＝k－2.
∵(x1＋1)(x2＋1)＝－1，
∴x1x2＋(x1＋x2)＋1＝－1.
∴k－2＋(－3)＋1＝－1，
解得k＝3，即k的值是3.