2023-2024学年数学人教版九年级上册21.2.4　一元二次方程的根的判别式 课件(共15张PPT)

(共15张PPT)
第二十一章　一元二次方程
第6课时　一元二次方程的根的判别式
方程 求根公式 根的判别式 方程的根与Δ的关系
ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) x＝ ____________ Δ＝______ ①Δ>0 方程有_____________实数根；
②Δ___0 方程有两个相等的实数根；
③Δ<0 方程____实数根；
④Δ___0 方程有两个实数根．
(1)已知一元二次方程2x2＋3x＋1＝0，则根的判别式Δ的值为______，方程有__________________根． (2)若关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有两个相等的实数根，则m＝____.
b2－4ac　
两个不相等的　
＝　
没有　
≥　
1　　
两个不相等的实数　　
1　
【例1】(人教教材母题)利用判别式判断下列方程的根的情况：
(1)2x2－3x－＝0；　　　　　　　　　　　
(2)3x2＋10＝2x2＋8x.
知识点1
计算判别式(Δ)，判断方程根的情况
解：(1)∵Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×2×＝21>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
(2)∵Δ＝b2－4ac＝(－8)2－4×10＝24>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
【变式1】(1)一元二次方程2x2＋x－1＝0的根的情况是 (　　)
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
(2)一元二次方程x2＋x＋＝0的根的情况是 (　　)
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根
A　
C　
【例2】已知关于x的一元二次方程x2＋mx－2＝0，求证：无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根．
知识点2
计算判别式(Δ)，证明方程根的情况
证明：∵Δ＝m2－4×1×(－2)＝m2＋8>0，
∴无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根．
【变式2】(人教教材母题)无论p取何值，方程(x－3)(x－2)－p2＝0总有两个不相等的实数根吗？说明理由．
解：无论p取何值，方程(x－3)(x－2)－p2＝0总有两个不相等的实数根．
理由如下：(x－3)(x－2)－p2＝0整理，得x2－5x＋6－p2＝0，
∴Δ＝b2－4ac＝25－4(6－p2)＝1＋4p2≥1.
∴方程(x－3)(x－2)－p2＝0总有两个不相等的实数根．
【例3】已知关于x的一元二次方程x2－3x＋m＋1＝0有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
知识点3
已知方程的根的情况，利用判别式求未知数的值或取值范围
解：(1)由题意，可知Δ＝9－4(m＋1)＞0，
解得m＜.
【例3】已知关于x的一元二次方程x2－3x＋m＋1＝0有两个不相等的实数根．
(2)当m＝－1时，求出此时方程的两个根．
(2)当m＝－1时，Δ＝9.
由求根公式可知x＝，
即x1＝0，x2＝3.
【变式3】已知关于x的一元二次方程x2－4x＋m＋2＝0有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
解：(1)∵方程x2－4x＋m＋2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝(－4)2－4(m＋2) ＝8－4m>0,
解得m<2.
【变式3】已知关于x的一元二次方程x2－4x＋m＋2＝0有两个不相等的实数根．
(2)若m为正整数，求此时方程的根．
(2)∵m为正整数，且m<2，
∴m＝1.
当m＝1时，方程为x2－4x＋3＝0，
∴x1＝1，x2＝3.
1．关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x－1＝0有实数根，则m的取值范围是 (　　)
A．m≤2，且m≠1 B．m≥0
C．m≥0且m≠1 D．m<0且m≠1
C　
2．已知关于x的一元二次方程x2＋(m－2)x－2m＝0.
(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；
解：(1)证明：∵方程为x2＋(m－2)x－2m＝0，
∴Δ＝(m－2)2＋8m＝(m＋2)2≥0.
∴不论m为何值，该方程总有两个实数根.
2．已知关于x的一元二次方程x2＋(m－2)x－2m＝0.
(2)当方程有两个相等的实数根时，求出m的值及方程的根．
(2)由题意，得b2－4ac＝0，
即(m－2)2＋8m＝0，
解得m＝－2.
∴方程为x2－4x＋4＝0，
解得x1＝x2＝2.
3．已知a，b，4是等腰三角形的三边长，且a，b是关于x的方程x2－6x＋m＋6＝0的两个实数根，求m的值．
解：①当腰长为4时，把x＝4代入原方程，得16－24＋m＋6＝0，
解得m ＝2.
∴原方程为x2－6x＋8＝0，
解得x1＝4，x2＝2.
∵4＋2>4
∴能构成三角形；
②当底边为4时，那么x的方程x2－6x＋m＋6＝0的两根是相等的，
∴Δ＝(－6)2－4(m＋6)＝0，
解得m＝3.
∴原方程为x2－6x＋9＝0.
∴方程的两根为x1＝x2＝3.
∵3＋3>4，
∴能构成三角形．
综上，m的值是2或3.