2023-2024学年数学人教版九年级上册21.3 一元二次方程的应用(2) 课件(共35张PPT)

(共35张PPT)
一元二次方程的应用——销售问题
第二十一章　一元二次方程
1．利润＝售价－成本
2．总利润＝每件商品的利润×销售量
(1)某件商品的进价是300元，售价是500元，则该商品的单件利润为________元；
(2)某商品的利润为3元/件，销售量为100件，则总利润为_____元．
200　
300　
【例1】某商店购进了一批口罩，若按每个盈利1元销售，每天可售出200个，如果每个口罩的售价上涨1元，则销售量就减少20个，问应将每个口罩涨价多少元时，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为480元？
知识点1
直接给出单件利润，求涨价或降价
解：设应将每个口罩涨价x元．
依题意，得(1＋x)(200－20x)＝480，
整理，得x2－9x＋14＝0，
解得x1＝2，x2＝7.
又∵要让顾客得到实惠，
答：应将每个口罩涨价2元时，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为480元．
∴x＝2.
【变式1】已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利40元．在每个降价幅度不超过10元的情况下，每下降2元，则每天可多售10件．如果每天要盈利1 440元，则每个“冰墩墩”应降价多少元？
解：设每个“冰墩墩”应降价x元．
依题意，得(40－x)(20＋5x)＝1 440，
整理，得x2－36x＋128＝0，
解得x1＝4，x2＝32(不符合题意，舍去)．
答：每个“冰墩墩”应降价4元．
【例2】某超市调查发现，当“玫瑰香”的售价为8元/千克时，每周能售出400千克，售价每上涨1元，每周销售量减少20千克．已知该超市“玫瑰香”的进价为6元/千克，物价部门规定，该水果售价不能超过15元．若使销售“玫瑰香”每周获利2 240元，则售价应上涨多少元？
知识点2
间接给出单件利润，求涨价或降价
解：设售价应上涨y元．
依题意，得(8－6＋y)(400－20y)＝2 240，
整理，得y2－18y＋72＝0，
解得y1＝12，y2＝6.
∵该水果售价不能超过15元，
∴y＝6符合题意．
答：售价应上涨6元．
【变式2】新华商场销售每件进货价为40元的某种商品，市场调研表明：当销售价为80元时，平均每天能售出20件；在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，当销售价每降低3元时，平均每天就能多售出6件．
(1)若降价2元，则平均每天销售数量为________件；
24　
【变式2】新华商场销售每件进货价为40元的某种商品，市场调研表明：当销售价为80元时，平均每天能售出20件；在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，当销售价每降低3元时，平均每天就能多售出6件．
(2)当每件商品定价多少元时，该商场平均每天销售某种商品的利润达到1 200元？
解：设每件商品降价x元，则平均每天可销售(20＋2x)件．
依题意，得(80－40－x)(20＋2x)＝1 200，
整理，得x2－30x＋200＝0，
解得x1＝10，x2＝20.
当x＝20时，40－x＝20＜25，
∴x＝20舍去．
∴定价为80－10＝70(元)．
答：当每件商品定价70元时，该商场平均每天销售某种商品的利润达到1 200元．
课堂总结：
1．营销问题常用的公式：单件利润×销售量＝总利润．
2．营销问题通常设涨价(或降价)为x元，再根据(原单价利润±变化量)×(原销量 变化量)＝总利润．
1．某湿地风景区特色旅游项目：水上游艇，旅游人员消费后风景区可盈利10元/人，每天消费人员为500人，为增加盈利，准备提高票价，经调查发现，在其他条件不变的情况下，票价每涨1元，消费人员就减少20人，现该项目要保证每天盈利6 000元，同时又要旅游者得到实惠，那么票价应涨价多少元？
解：设票价应涨价x元，则每天可售出(500－20x)张票．
根据题意，得(10＋x)(500－20x)＝6 000，
解得x1＝10，x2＝5.
∵要让旅游者得到实惠，
∴x＝5.
答：票价应涨价5元．
2．(核心素养)有一种新型高科技设备，每台设备成本价为25万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量y(台)和销售单价x(万元)满足如图所示的一次函数关系．
(1)求月销售量y与销售单价x之间的函数关系式(不写x的取值范围)；
解：(1)设月销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0).
将(28，60)，(32，40)代入y＝kx＋b，
得解得
∴月销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y＝－5x＋200.
2．(核心素养)有一种新型高科技设备，每台设备成本价为25万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量y(台)和销售单价x(万元)满足如图所示的一次函数关系．
(2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于28万元．如果该公司想获得70万元的月利润，那么该设备的销售单价应是多少万元？
解：(2)依题意，得(x－25)(－5x＋200)＝70，
整理，得x2－65x＋1 014＝0，
解得x1＝26，x2＝39(不符合题意，舍去)．
答：该设备的销售单价应是26万元．
一元二次方程的应用——循环问题
第二十一章　一元二次方程
1．(1)3人互赠礼物，每人要送______份礼物，共送______份礼物；
(2)4人互赠礼物，每人要送_______份礼物，共送_______份礼物；
(3)x人互赠礼物，每人要送_______份礼物，共送_______份礼物；
2．(1)3人两两握手，每个人要握______次手，共要握______次手；
(2)4人两两握手，每个人要握_______次手，共要握_______次手；
(3)x人两两握手，每个人要握_______次手，共要握_______次手．
2　
6　
3　
12　
(x－1)　
x(x－1) 　
2　
3　
3　
6　
(x－1)　
　
【例1】在一次会议上，参加会议的人之间互送名片，一共送出了30张名片，求参加这次会议的人数.
知识点1
双循环问题
解：设参加这次会议的人数为x人.
根据题意，得x(x－1)＝30，
解得x1＝6，x2＝－5(不符合题意，舍去)．
答：参加这次会议的的人数6人．
【变式1】(人教教材母题)参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？
解：设共有x个队参加比赛．
根据题意，得x(x－1)＝90，
整理，得x2－x－90＝0，
解得x1＝10，x2＝－9(不符合题意，舍去)．
答：共有10个队参加比赛．
【例2】某班同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手28次，则参加聚会的人数是________.
知识点2
单循环问题
8　
【变式2】(人教教材母题)参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？
解：设有x家公司参加商品交易会．
依题意，得x(x－1)＝45，
整理，得x2－x－90＝0，
解得x1＝10，x2＝－9(不符合题意，舍去)．
答：共有10家公司参加商品交易会．
课堂总结：
1．双循环问题(甲 乙)：x人互赠礼物，则x(x－1)＝总数．
2．单循环问题(甲→乙)：x人握手，则＝总数．
1．(人教教材母题)要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
解：设比赛组织者应邀请x个队参赛．
依题意，得＝4×7，
解得x1＝8，x2＝－7(不符合题意，舍去)．
答：比赛组织者应邀请8个队参赛．
2．(易错)北京与上海的铁路沿线沿途有多个火车停靠站(包括北京站、上海站)，至少能产生30种不同行程的火车票，求共有多少个停靠站．
解：设共有n个停靠站，则每个停靠站可以开出(n－1)种行程的火车票．
依题意，得 n(n－1)＝30，
解得n1＝6，n2＝－5(不符合题意，舍去)．
答：共有6个停靠站．
3．如图，同一平面内两条直线相交最多有一个交点，三条直线两两相交最多有三个交点．
(1)四条直线两两相交最多有________个交点；
6　
3．如图，同一平面内两条直线相交最多有一个交点，三条直线两两相交最多有三个交点．
(2)多少条直线两两相交最多有28个交点？
解：n条直线两两相交，最多有个交点(n为正整数，且n≥2)．
依题意，得＝28，
解得n＝8或n＝－7(不符合题意，舍去)．
答：8条直线两两相交最多有28个交点．
4．(1)四边形有________条对角线，五边形有________条对角线，六边形有________条对角线，n边形有________条对角线；
(2)若一个多边形有20条对角线，求这个多边形的边数．
解：设该多边形的边数为n.
依题意，得＝20，
整理，得n2－3n－40＝0，
解得n1＝8，n2＝－5(不符合题意，舍去)．
答：这个多边形的边数为8.
2　　
5　　
9　　
　
一元二次方程的应用——其他问题
第二十一章　一元二次方程
1．两个连续奇数的积为35，设较小的数为x，则较大的数为________，列方程为____________________．
2．(人教教材母题)一个菱形两条对角线长的和是10 cm，面积是12 cm2.设较短的对角线为x cm，则可列方程为________________.
x＋2　
x(x＋2)＝35　
x(10－x)＝12　
【例1】(人教教材母题)两个相邻偶数的积是168，求这两个偶数．
知识点1
数字问题
解：设较小的偶数为x，则另一个偶数为(x＋2)．
依题意，得x(x＋2)＝168，
解得x1＝12，x2＝－14.
∴x＋2＝14或－12.
答：这两个偶数分别为12，14或－14，－12.
【变式1】(人教教材母题改编)两个数的和为2，积为0.96.求这两个数．
解：设一个数为x，则另一个数为2－x.
依题意，得x(2－x)＝0.96，
解得x1＝1.2，x2＝0.8.
答：这两个数分别为0.8，1.2.
【例2】(人教教材母题)如图，把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，求小圆形场地的半径．
知识点2
图形问题
解：设小圆形场地的半径为x m，则大圆形场地的半径为(x＋5)m.
根据题意，得π(x＋5)2＝2πx2，
解得x＝5＋5或x＝5－5(不符合题意，舍去)．
答：小圆形场地的半径为(5＋5)m.
【变式2】(人教教材母题)如图，线段AB的长为1，线段AB上的点C满足关系式AC2＝BC·AB，求线段AC的长度．
解：设AC＝x，则BC＝AB－AC＝1－x.
∵AC2＝BC·AB，
∴x2＝1×(1－x)，
整理，得x2＋x－1＝0，
解得x1＝，x2＝(不符合题意，舍去)．
答：线段AC的长度为.
1．(人教教材母题)一个直角梯形的下底比上底长2 cm，高比上底短1 cm，面积是8 cm2.求这个梯形的上、下底．
解：设梯形的上底为x cm，则下底为(x＋2)cm，高为(x－1)cm.
依题意，得·(x－1)＝8，
整理，得x2＝9，
解得x1＝3，x2＝－3(不符合题意，舍去)．
当x＝3时，x＋2＝5.
答：直角梯形的上底为3 cm，下底为5 cm.
2．(人教教材母题改编)某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降至1.44%，平均每次降息的百分率是多少？
解：设平均每次降息的百分率为x.
依题意，得2.25%(1－x)2＝1.44%，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8(不符合题意，舍去)．
答：平均每次降息的百分率为20%.
3．(人教教材母题)一个长方体的长与宽的比为5∶2，高为5 cm，表面积为40 cm2.求这个长方体的宽.
解：设这个长方体的宽为2x cm，长为5x cm.
依题意，得2(5x·2x＋5·5x＋5·2x)＝40，
整理，得2x2＋7x－4＝0，
解得x1＝，x2＝－4(不符合题意，舍去).
∴2x＝1.
答：这个长方体的宽为1 cm.
4．(人教教材母题)如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有 2个点……第n行有n个点……
(1)容易发现，10是三角点阵中前4行的点数和．你能发现300是前多少行的点数的和吗？
解：(1)设三角点阵中前n行的点数的和为300.
依题意，得n(n＋1)＝300.
整理，得n2＋n－600＝0，
解得n1＝24，n2＝－25(不符合题意，舍去)．
即三角点阵中前24行的点数的和是300.
4．(人教教材母题)如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有 2个点……第n行有n个点……
(2)三角点阵中前n行的点数和能是600吗？若能，求出n；若不能，用一元二次方程说明理由．
解：(2)三角点阵中前n行的点数和不能为600.理由如下：
依题意，得＝600，
整理，得n2＋n－1 200＝0，
此方程无正整数解，
∴三角点阵中前n行的点数和不可能是600.