2023-2024学年数学人教版九年级上册第二十一章 微专题2 教材经典母题及变式 课件(共29张PPT)

(共29张PPT)
微专题2　教材经典母题及变式
第二十一章　一元二次方程
【例1】(人教教材母题)方程4x2－6x＝0的解为________________.
【变式1】方程4x2－3x－1＝0的解为________________.
x＝0或x＝
核心母题1　解一元二次方程
x＝－或x＝1　
【例2】(人教教材母题改编)已知关于x的方程(x－1)(x－2)＝p2.
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
核心母题2　一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系
解：(1)证明:∵关于x的方程(x－1)(x－2)－p2＝0，
∴－3x＋2－p2＝0.
∴Δ＝9－8＋4p2＝1＋4p2＞0.
∴方程总有两个不相等的实数根．
【例2】(人教教材母题改编)已知关于x的方程(x－1)(x－2)＝p2.
(2)方程的两根可能互为相反数吗？为什么？
(2)由(1)知x2－3x＋2－p2＝0，
∴方程的两根和为3.
∴方程的两根不可能互为相反数．
【变式2】已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2＋m＝0有实数根．
(1)求m的取值范围；
解：(1)根据题意，得Δ＝(2m)2－4(m2＋m)≥0，
解得m≤0.
∴m的取值范围是m≤0.
【变式2】已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2＋m＝0有实数根．
(2)若该方程的两个实数根分别为x1，x2，且＝12，求m的值．
(2)根据题意，得x1＋x2＝－2m，x1x2＝m2＋m.
∵＝(x1＋x2)2－2x1x2＝12，
∴(－2m)2－2(m2＋m)＝12，
即m2－m－6＝0，
解得m1＝－2，m2＝3(不符合题意，舍去)．
∴m的值为－2.
【例3】(人教教材母题)2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”的销售日益火爆．据统计，某店2021年10月的销量为3万件，2021 年12月的销量为3.63万件．
(1)求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；
核心母题3　一元二次方程的应用(增长率问题)
解：(1)设月平均增长率为x.
根据题意，得3(1＋x)2＝3.63，
解得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(不符合题意，舍去)．
答：该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为10%.
【例3】(人教教材母题)2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”的销售日益火爆．据统计，某店2021年10月的销量为3万件，2021 年12月的销量为3.63万件．
(2)假设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，则2022年1月“冰墩墩”的销量有没有超过4万件？请利用计算说明．
(2)假设保持相同的月平均增长率，那么2022年1月“冰墩墩”的销量为3.63×(1＋10%)＝3.63×1.1＝3.993(万件)．
∵3.993＜4，
∴没有超过．
答：2022年1月“冰墩墩”的销量没有超过4万件．
【变式3】(人教教材母题改编)有一个人患了流感，经过两轮传染后共有144个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了________个人．
11　
【例4】(人教教材母题改编)参加一次聚会的每两人都握了一次手，若所有人共握手10次，有多少人参加聚会？
核心母题4　一元二次方程的应用(握手、互赠问题)
解：设有x人参加聚会．
根据题意，得x(x－1)＝10，
整理，得x2－x－20＝0，
解得x1＝5，x2＝－4(不符合题意，舍去)．
答：有5人参加聚会．
【变式4】某学习小组的成员互赠新年贺卡，共用去72张贺卡，则该学习小组有________名成员．
9　
【例5】某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元，经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m(0＜m＜1)元．
(1)零售单价下降0.2元后，该店平均每天可卖出________只粽子，每天获取的利润为________元；
500　
核心母题5　一元二次方程的应用(销售问题)
400　
【例5】某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元，经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m(0＜m＜1)元．
(2)在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是400元并且卖出的粽子更多？
解：依题意，得
(1－m)＝400，
整理，得10m2－7m＋1＝0，
解得m1＝0.2，m2＝0.5.
又∵要求卖出的粽子更多，
∴m＝0.5.
答：当m定为0.5时，才能使该店每天获取的利润是400元并且卖出的粽子更多．
【变式5】一商场以每台430元的价格购进一批微波炉，计划以每台500元销售．在销售过程中发现：每月微波炉的销售量y(台)与每台微波炉上涨价格x(元)之间满足一次函数关系，如图是y与x的函数图象．
(1)求y与x之间的函数解析式；
解：(1)设y与x之间的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)．
将(35，650)，(50，500)代入y＝kx＋b，得
解得
∴y与x之间的函数解析式为y＝－10x＋1 000.
【变式5】一商场以每台430元的价格购进一批微波炉，计划以每台500元销售．在销售过程中发现：每月微波炉的销售量y(台)与每台微波炉上涨价格x(元)之间满足一次函数关系，如图是y与x的函数图象．
(2)若该商场要求微波炉的月销售量不少于750台，并且每月销售微波炉的利润率不低于20%，当该商场每月微波炉的销售利润为71 250元时，微波炉的销售单价应定为多少？
解：(2)依题意，得(500＋x－430)(－10x＋1 000)＝71 250，
整理，得x2－30x＋125＝0，
解得x1＝5，x2＝25.
当x＝5时，－10x＋1 000＝－10×5＋1 000
＝950＞750，
利润率为×100%≈17.44%＜20%，不符合题意，舍去；
当x＝25时，－10x＋1 000＝－10×25＋1 000＝750，
利润率为×100%≈22.09%＞20%，符合题意．
∴500＋x＝500＋25＝525(元)．
答：微波炉的销售单价应定为525元.
类型1　靠墙围矩形问题
【例6】如图，EF是一面长为18 m的墙，用总长为30 m的木栅栏(图中的虚线)围一个矩形场地ABCD，中间用栅栏隔成同样大小的三块小矩形，且在AB中间开一道2 m宽的门．
(1)若要围成的矩形ABCD的面积为60 m2，求AB的长；
核心母题6　一元二次方程的应用(面积问题)
解：(1)如图，设与墙垂直的边AD长为x m，则BC＝MN＝PQ＝x m，AB＝30－AD－MN－PQ－BC＋2＝(32－4x)m.
根据题意，得x(32－4x)＝60，
解得x＝3或x＝5.
当x＝3时，AB＝32－4x＝20＞18，不符合题意，舍去；
当x＝5时，AB＝32－4x＝12＜18，符合题意．
答：AB的长为12 m.
【例6】如图，EF是一面长为18 m的墙，用总长为30 m的木栅栏(图中的虚线)围一个矩形场地ABCD，中间用栅栏隔成同样大小的三块小矩形，且在AB中间开一道2 m宽的门．
(2)能围成面积为72 m2的矩形ABCD吗？请说明理由．
(2)不能围成面积为72 m2的矩形ABCD.理由如下：
假设能围成面积为72 m2的矩形ABCD，
根据题意，得x(32－4x)＝72，
整理，得x2－8x＋18＝0.
∵Δ＝(－8)2－4×1×18＝－8＜0，
∴此方程无实数根．
∴不能围成面积为72 m2的矩形ABCD.
【变式6】如图，利用一面墙(墙长25米)，用总长度49米的栅栏(图中实线部分)围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留有两个1米宽的小门，设栅栏BC长为x米．
(1)AB＝__________米；(用含x的代数式表示)
(51－3x)　
【变式6】如图，利用一面墙(墙长25米)，用总长度49米的栅栏(图中实线部分)围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留有两个1米宽的小门，设栅栏BC长为x米．
(2)若矩形围栏ABCD的面积为210平方米，求栅栏BC的长；
解：(2)依题意，得(51－3x)x＝210，
整理，得x2－17x＋70＝0，
解得x1＝7，x2＝10.
当x＝7时，AB＝51－3x＝30＞25，不符合题意，舍去；
当x＝10时，AB＝51－3x＝21，符合题意.
答：栅栏BC的长为10米．
【变式6】如图，利用一面墙(墙长25米)，用总长度49米的栅栏(图中实线部分)围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留有两个1米宽的小门，设栅栏BC长为x米．
(3)矩形围栏ABCD的面积是否有可能达到 240 平方米？若有可能，求出相应x的值，若不可能，请说明理由．
(3)不可能.理由如下：
依题意，得(51－3x)x＝240，
整理，得x2－17x＋80＝0.
∵Δ＝(－17)2－4×1×80＝－31＜0，
∴方程没有实数根．
∴矩形围栏ABCD的面积不可能达到240平方米．
类型2　无盖长方体问题
【例7】如图1，一张长为40 cm，宽为25 cm的长方形硬纸片裁去角上四个小正方形之后，折成如图2的无盖纸盒，若纸盒的底面积是450 cm2，则纸盒的高是________．
5 cm　
【变式7】　如图，某小区有一块长为30 m，宽为24 m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480 m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为___m.
2　
类型3　小路、通道问题
【例8】(人教教材母题改编)如图是一块长为5 m，宽为4 m的地毯，为了美观，设计了两横、两纵的配色条纹(图中阴影部分)，已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的.
(1)求配色条纹的宽度；
解：(1)设配色条纹的宽度为x m.
依题意，得2x×5＋2x×4－4x2＝×5×4，
解得x1＝(不符合题意，舍去)，x2＝.
答：配色条纹的宽度为 m.
【例8】(人教教材母题改编)如图是一块长为5 m，宽为4 m的地毯，为了美观，设计了两横、两纵的配色条纹(图中阴影部分)，已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的.
(2)如果地毯配色条纹部分每平方米的造价为200元，其余部分每平方米的造价为100元，求地毯的总造价．
(2)条纹造价：×5×4×200＝850(元)，
其余部分造价：×4×5×100＝1 575(元)，
∴总造价：850＋1 575＝2 425(元)．
答：地毯的总造价是2 425元．
类型4　动点问题
【例9】(人教教材母题改编)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8 cm，BC＝10 cm.点P由点A出发，沿边AB以2 cm/s的速度向点B移动；点Q从点B出发，沿边BC以3 cm/s的速度向点C移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问：
(1)经过几秒后，△PBQ的面积等于9 cm2
解：(1)设经过x秒后，△PBQ的面积等于9 cm2，则BP＝(8－2x) cm，BQ＝3x cm.
依题意，得(8－2x)×3x＝9，
整理，得x2－4x＋3＝0，
解得x1＝1，x2＝3.
答：经过1秒或3秒后，△PBQ的面积等于9 cm2.
【例9】(人教教材母题改编)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8 cm，BC＝10 cm.点P由点A出发，沿边AB以2 cm/s的速度向点B移动；点Q从点B出发，沿边BC以3 cm/s的速度向点C移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问：
(2)经过几秒后，P，Q两点间的距离是2 cm
(2)设经过y秒后，P，Q两点间的距离是2 cm，
则BP＝(8－2y)cm，BQ＝3y cm.
依题意，得(8－2y)2＋(3y)2＝(2)2，
整理，得13y2－32y＋12＝0，
解得y1＝，y2＝2.
答：经过秒或2秒后，P，Q两点间的距离是2 cm.