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湘教版七年级数学下册课件
第4章 相交线与平行线
4.4 平行线的判定
第1课时 平行线的判定（一）
自主学习
自主导学
平行线的判定方法1 两条直线被第三条直线所截，如果________相
等，那么这两条直线平行.
同位角
典例分享
图4.4-1
例 如图4.4-1，已知，.那么与 平
行吗？为什么？
[答案]
与 平行.
理由如下：
因为，所以 （两直线平行，内错角相等）.
因为（已知），所以（等量代换）.所以
（同位角相等，两直线平行）.
方法感悟
1.说明两直线平行的方法很多，一般是通过平行线的判定定理来说明.
2.本例题中要通过说明 ，而题中所给条件不能
直接得出 ，因此要通过中间量来寻找它们的相等关系，这是
使问题得以解决的一种有效方法.
3.解答本例题时，要先对问题中的与 是否平行作出回答，再
说明理由.
轻松达标
图4.4-2
1.如图4.4-2，若 ，则下列结论正确的是
( ) .
B
A. B.
C. D.
图4.4-3
2.直线，，， 的位置如图4.4-3所示，如果
， ， ，那么
( ) .
C
A. B.
C. D.
图4.4-4
3.如图4.4-4，已知 ，当 ____时，
.
图4.4-5
4.如图4.4-5，直线，被直线 所截，若
，则 ______.
图4.4-6
5.如图4.4-6，点是延长线上的点，点 是
延长线上的点.已知 ，那么可
以得到哪些直线平行？依据是什么？
[答案] ， （依据略）
能力提升
图4.4-7
6.如图4.4-7， .
（1）请直接写出图中各角之间的等量关系；
[答案] ， ，
，
（2）若，直线与 平行吗？说说你的理由.
[答案] 直线与 平行，理由略
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第4章 相交线与平行线
4.5 垂 线
第2课时 垂线段
自主学习
自主导学
1.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线______.
2.过直线外一点向直线作垂线，______与这点之间的线段叫做垂线段.
3.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段______.
4.点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的________的长度，叫做
点到直线的距离.
垂直
垂足
最短
垂线段
典例分享
例 有同学说：“画出直线外一点到直线 的距离.”这句话正确吗？为什么？
[答案] 这句话是错误的，因为我们只能画出点到直线 的垂线段，
距离只能用刻度尺度量.
方法感悟
1.正确理解点到直线的距离和垂线段的概念是解决本题的关键.
2.垂线段是几何图形，可以借助画图工具画出来，而点到直线的距
离是指垂线段的长度，它是一个数量，只能用刻度尺去度量.
轻松达标
图4.5-6
1.如图4.5-6，， ，能表示点到直
线（或线段）的距离的线段共有( ) .
A
A.5条 B.4条
C.3条 D.2条
2.已知线段的长为，点，到直线的距离分别为和 ，
则符合条件的 的条数为( ) .
C
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
3.（易错题）若直线上一点与直线外一点相距，则点到直线
的距离( ) .
D
A.小于 B.等于
C.大于 D.小于或等于
图4.5-7
4.如图4.5-7，若于点，， ，则
点到 的距离是___.
6
5.如图4.5-8，过点画直线 的垂线，这样的垂线能画___条，理由是
____________________________________________________.
图4.5-8
1
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
图4.5-9
6.如图4.5-9，要把池水引到处，可过点 作
于点，然后沿 开渠，可使所开渠道最
短，这种设计的依据是________________________
_____________________________.
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
能力提升
7.读语句画图，并回答问题：
图4.5-10
（1）如图4.5-10，画的平分线，在 上
任取一点，画出表示点到， 距离的线段
， .
[答案] 略
（2）分别量出， 的长度，并比较大小，你能得到什么结论？请
试着用一句话概括.
[答案] ，角平分线上的任意一点到角的两边距离相等
中考链接
图4.5-11
8.（2022·河南）如图4.5-11，直线， 相交于
点，，垂足为.若 ，则 的
度数为( ) .
B
A. B. C. D.
9.（2022·常州）如图4.5-12，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过
马路.小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法
体现的数学依据是( ) .
A
图4.5-12
A.垂线段最短
B.两点确定一条直线
C.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
图4.5-13
10.（2020·吉林）如图4.5-13，某单位要在河岸
上建一个水泵房引水到 处，他们的做法是：过
点作于点，将水泵房建在了 处.这样做
最节省水管长度，其数学道理是____________.
垂直段最短
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第4章 相交线与平行线
4.6 两条平行线间的距离
自主学习
自主导学
1.公垂线、公垂线段：与两条平行直线都______的直线，叫做这两条平
行直线的公垂线.这时连接两个垂足的______，叫做这两条平行直线的
公垂线段.
垂直
线段
2.公垂线段的性质：两条平行线的所有__________都相等.
3.两条平行线间的距离：两条平行线的公垂线段的______叫做两条平行
线间的距离.
公垂线段
长度
典例分享
例 如图4.6-1，已知，，于点，于点 ，
下列说法中，不正确的是( ) .
D
图4.6-1
A.
B.，两点间的距离就是线段 的长度
C.
D.与之间的距离就是线段 的长度
[解析] 因为，所以 ，所以选项A是正确的；
由两点间的距离的定义可知选项B也是正确的；对于选项C，因为
，而，所以，故是两条平行线和 的公垂线段，
同理知也是两条平行线和 的公垂线段，由公垂线段的性质知
，所以选项C正确；因为既不与垂直，也不与 垂直，所
以不是两条平行线和的公垂线段，故它的长度不是两条平行线
和 之间的距离，因此，选项D是错误的.所以答案选D.
方法感悟
1.在解答与概念和性质有关的题目时，熟记并正确理解有关概念及
其性质是解决问题的关键.
2.认真观察图形，结合文字语言逐一分析判断各选项，从而找出符
合要求的选项是解决此类问题比较有效的方法之一.
轻松达标
1.下列说法中错误的是( ) .
A
A.平行线间的距离就是两条平行线间的公垂线
B.两条平行线的所有公垂线段都相等
C.两点之间，线段最短
D.垂线段最短
2.已知直线与直线 平行，那么它们的公垂线可以画出( ) .
A
A.无数条 B.2条 C.1条 D.0条
3.把直线沿某一方向平移后得到直线，则直线与 之间的距离
( ) .
A.等于 B.小于
C.大于 D.等于或小于
D
图4.6-2
4.如图4.6-2，方格纸中每格的边长为1，则两平
行直线， 之间的距离是___.
3
5.已知直线，，是直线上不同的两点，若点到直线 的距离为
，则点到直线的距离是___ .
6.两条平行的铁轨间的枕木的长度都相等，依据的数学原理是________
_________________________.
8
两条平行线的所有公垂线段都相等
图4.6-3
7.如图4.6-3，已知， ，
，，于点 ，
，求和 之间的距离.
[答案] 过点作的垂线，垂足为点 ，利用三角形面积相等求得
即为和 之间的距离
图4.6-4
8.如图4.6-4，已知直线 ，把这条直线平移，使经过平移
所得的图形与直线的距离为，求作直线 平移后所
得的图形.
提示：左右各有一条直线符合条件
能力提升
图4.6-5
9.如图4.6-5，折线 是一片农田中的道路，现
需要把它改成一条直路，并使道路两边的面积保
持不变，道路的一个端点为点 .问：应怎样改？
要求画出示意图，并说明理由.
[答案] 画示意图：①连接；②过点作的平行线交于点 ；③
连接，即为所求的直路（图略）.理由：因为 ，所以三角
形的面积等于三角形 的面积
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第4章 相交线与平行线
4.1 平面上两条直线的位置关系
4.1.1 相交与平行
自主学习
自主导学
1.两条直线相交：如果两条直线有且只有一个________，那么称这两条
直线相交.
2.平行线：在同一平面内，没有________的两条直线叫做平行线.
3.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线______.
4.平行于同一条直线的两条直线______.
公共点
公共点
平行
平行
典例分享
图4.1-1
例 如图4.1-1，是 上一点.
（1）过点作，交于点，过点 作
.
[答案] 画出图形如图4.1-2.
图4.1-2
（2）与 之间有怎样的位置关系？为什么？
[答案] 与之间的位置关系是 .
因为由作图可知，直线与直线都与直线 平行，所以根据
“平行于同一条直线的两条直线平行”可得到 .
方法感悟
1.利用直尺和三角尺过直线外一点画已知直线的平行线，是几何画
图的基本技能之一.
2.对于“过直线外一点画已知直线的平行线”这种几何作图题，要利
用直尺和三角尺按一“靠”，二“推”，三“画”的步骤去画.
3.判断两直线是否平行，可用“平行于同一条直线的两条直线平行”
进行判断，这也是判断三条直线是否平行常用的方法之一.
轻松达标
1.下列叙述的图形是平行线的是( ) .
D
A.在同一平面内，不相交的两条线叫做平行线
B.在同一平面内，不相交的两条线段叫做平行线
C.在同一平面内，不相交的两条射线叫做平行线
D.在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
2.在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系可能是( ) .
C
A.相交或垂直 B.垂直或平行 C.平行或相交 D.不能确定
3.已知直线及一点，若过点作一直线与 平行，那么这样的直线
( ) .
D
A.有且只有一条 B.有两条
C.不存在 D.不存在或者只有一条
4.两条互不重合的直线的交点的个数可能是( ) .
C
A.0 B.1 C.0或1 D.2
5.若直线，，则___ ，理由是___________________________
_____.
//
平行于同一条直线的两条直线平行
6.在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有______和______两种.
7.在同一平面内有三条直线，如果其中两条且只有两条平行，那么它们
的交点有___个.
相交
平行
2
8.“过直线外一点，画直线，都与直线 平行”，这种说法________
（填“正确”或“不正确”），理由是________________________________
_____________.
不正确
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
图4.1-3
9.如图4.1-3，， ，那么
，为什么？
[答案] 因为，，所以，， 三点在同一条直线上，
所以
能力提升
图4.1-4
10.如图4.1-4，，点为 的中点，过点
画交于点 .
（1）和 的位置关系如何？试说明理由.
[答案] .理由：因为,, 所以 （平行于同
一条直线的两条直线平行）
（2）用刻度尺量一下和 的长度，你能得到什么结论？
[答案]
（3）请你通过测量判断等式 是否成立.
[答案] 成立
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第4章 相交线与平行线
专题练行线的拐点问题
平行线拐点模型的核心是一组平行线与一个或多个点，通过把点与
两条线分别连起来，从而构成拐点模型.解决此类问题的通用思路是：
结合已知条件和图形，通过添加适当的辅助线（一般都是过拐点作平行
线，有多少个拐点就作多少条平行线），由平行线的基本事实及其推论，
利用同位角、内错角或同旁内角来建立起已知和未知间的“桥梁”，从而
达到解决问题的目的.
题型1 拐点在平行线内的计算题
方法点拨 对于拐点在平行线内的计算题，主要是通过拐点作平行
线（有多少个拐点作多少条），然后利用平行线的推论得出若干条直线
互相平行，从而多次利用平行线的性质解决问题.
图1
1.如图1，， ， ，则
的度数为( ) .
B
A. B. C. D.
图2
2.如图2，直线， ，
，比大 ，求 和
的度数.
[答案] ， .提示：过点作，过点
作
题型2 拐点在平行线外的计算题
方法点拨 与拐点在平行线内的计算题的解题方法相类似，即过拐
点作一条平行线,利用平行线的推论得出三条直线互相平行，从而多次
利用平行线的性质解决问题.
图3
3.如图3，已知， ，
，则 的度数为______.
.
提示：过点作
图4
4.如图4，已知， ，
，求 的度数.
[答案] .
提示：过点作，由 ，
，即可求得 的度数.又由
求得的度数，再由得到 ，
，最后利用 求解即可
题型3 与拐点有关的说理题
方法点拨 对于与拐点有关的说理题，一般都是在拐点处作平行线，
从而构造一些相等的角或互补的角，使已知和未知一目了然，达到解题
的目的.
图5
5.如图5，已知 ，试说明 .
提示：过点作，由得 ，
由得, ，结合角之
间的关系即可得出结论
图6
6.如图6，已知，平分， 平分
.试判断与 的位置关系，并说明理由.
[答案] .提示：过点作 ，说明
即可
题型4 与拐点有关的探究题
方法点拨 解决与拐点有关的探究题，一般是过拐点处作平行线，然
后综合运用平行线的判定和性质，通过找相等的角或互补的角，使问题
得到解决.另外，解决此类问题有时还要用到分类讨论的数学思想方法.
7.（1）问题背景：如图7①，已知，点 的位置如图所示，连接
，，试探究与， 之间的数量关系.以下是小露同学的探
索过程，请你结合图形仔细阅读，并在横线上填写理由或数学式子.
解：过点作 .
因为 （已知），
所以 （________________________________）.
所以， （________________________）.
平行于同一条直线的两条直线平行
两直线平行，内错角相等
所以_______ _______（等式的性质），
即，，之间的数量关系是 _________.
图7
（2）类比探究：如图7②，已知，线段与相交于点 ，点
在点右侧.若 ， ，求 的度数.
答图1
[答案] 过点作 ，如答图1.
因为，所以 ，
.所以 ，
.所以
（3）拓展延伸：如图7③，若与的角平分线相交于点 ，请
直接写出与 之间的数量关系 ________________.
.
答图2
提示：由（2）知 .因为
，分别是， 的平分线，所以
， .所以
.
过点作，如答图2，则.因为 ，所以
，所以 .所以
，所以
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第4章 相交线与平行线
4.3 平行线的性质
自主学习
自主导学
1.平行线的性质1 两条平行直线被第三条直线所截，________相等.
2.平行线的性质2 两条平行直线被第三条直线所截，________相等.
3.平行线的性质3 两条平行直线被第三条直线所截，__________互补.
同位角
内错角
同旁内角
典例分享
图4.3-1
例 如图4.3-1，已知，，那么 与
相等吗？为什么？
[答案]
.
理由如下：
因为，所以 （两直线平行，内错角相等）.
又因为，所以 （两直线平行，同位角相等）.所以
（等量代换）.
方法感悟
1.平行线的性质是推导角的数量关系的重要依据之一，在解题过程
中，首先要根据所给图形正确判断截线与被截线，才能准确地得到角与
角之间的数量关系，从而正确地作出解答.
2.两直线平行时，应联想到平行线的三个性质，由两条直线平行的
位置关系得到它们相关角的数量关系.当不能直接看出相关角之间的关
系时，往往通过中间量来寻找它们的关系，使问题得以解决.
3.解答本题时，要先对问题中的与 是否相等作出回答，再
说明理由.
轻松达标
图4.3-2
1.如图4.3-2，在三角形中， ，
过点且平行于，若 ，则
的度数为( ) .
C
A. B. C. D.
图4.3-3
2.如图4.3-3，在三角形中，点是 上任意一
点，，交于点，，交 于点
，则此时图中与 相等的角有( ) .
B
A.4个 B.3个
C.2个 D.1个
图4.3-4
3.如图4.3-4是赛车跑道其中一段的示意图，其中
，测得 ， ，则
的度数为( ) .
C
A. B.
C. D.
图4.3-5
4.（易错题）如图4.3-5，已知 ，下列结
论正确的是( ) .
C
A. B.
C. D.
图4.3-6
5.如图4.3-6，直线，被直线所截，若 ，
，则 的度数是____.
图4.3-7
6.如图4.3-7，已知直线，则 ，理由是
________________________.
两直线平行，内错角相等
图4.3-8
7.如图4.3-8，已知，则 ，理由
是__________________________.
两直线平行，同旁内角互补
8.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的比是 ，则这两个角的
度数分别为___________.
，
图4.3-9
9.如图4.3-9，已知平分， ，
，试求 的度数.
[答案]
图4.3-10
10.如图4.3-10，，直线分别交， 于
点，，平分， ，求 的度数.
[答案]
能力提升
图4.3-11
11.如图4.3-11，， ，
.试猜想 ， 之间的
关系，并说明理由.
[答案] .提示：过点作 ，
点在 上
中考链接
图4.3-12
12.（2023·广西）如图4.3-12，一条公路两
次转弯后又回到与原来相同的方向，如果
，那么 的度数是( ) .
D
A. B. C. D.
图4.3-13
13.（2023·凉山州）光线在不同介质中的传播速度是
不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射.由
于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也
是平行的.如图4.3-13， ， ，则
( ) .
C
A. B. C. D.
图4.3-14
14.（2022·北部湾经济区）如图4.3-14，已知 ，
，则 的度数是( ) .
C
A. B.
C. D.
图4.3-15
15.（2023·永州）如图4.3-15，， ，
，则 _____度.
100
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第4章 相交线与平行线
知识梳理、真题剖析
单元练习
知识梳理4
相交 线与 平行 线 有关 概念 1.两条直线相交：如果两条直线有且只有________个
公共点，那么称这两条直线相交.
2.平行线：在同一平面内，________________的两条
直线叫做平行线.
3.对顶角：有公共______________，且其中一个角的
两边分别是另一个角两边的反向____________，这样的两
个角叫做对顶角.
相交 线与 平行 线 有关 概念 4.同位角、内错角、同旁内角：如图，把具有
__________和 这种位置关系的一对角叫做同位角；把具
有____________和 这种位置关系的一对角叫做内错角；
把具有__________和 这种位置关系的一对角叫做同旁内
角.
_______________________________________
续表
相交 线与 平行 线 有关 概念 5.平移：把图形上所有的点都按同一______________
移动相同的距离，图形的这种变换叫做平移.
6.互相垂直、垂线、垂足：两条直线相交所成的四个
角中，有一个是____________时（易知其余三个角也是直
角），这两条直线叫做互相垂直，其中__________直线叫
做另一条直线的垂线，它们的____________叫做垂足.
7.垂线段：过直线外一点向直线作垂线，__________
与这点之间的线段叫做垂线段.
续表
相交 线与 平行 线 有关 概念 8.点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线
段的____________，叫做点到直线的距离.
9.公垂线、公垂线段：与两条______________直线都
垂直的直线，叫做这两条平行直线的公垂线.这时连接两
个____________的线段，叫做这两条平行直线的公垂线
段.
10.两条平行线间的距离：两条平行线的__________
的长度叫做两条平行线间的距离.
续表
相交 线与 平行 线 有关 性质 对顶角 的性质 对顶角______________.
平移的 性质 1.平移不改变图形的形状和_____________，
平移不改变直线的____________.
2.一个图形和它经过平移所得的图形中，两
组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且__
__________.
续表
相交 线与 平行 线 有关 性质 平行线 的性质 1.过直线外一点有且只有__________条直线
与这条直线平行.
2.平行于同一条直线的两条直线___________
_____.
3.两条平行直线被第三条直线所截，同位角_
_____________.
续表
相交 线与 平行 线 有关 性质 平行线 的性质 4.两条平行直线被第三条直线所截，内错角_
_____________.
5.两条平行直线被第三条直线所截，同旁内
角____________.
续表
相交 线与 平行 线 有关 性质 垂线的 性质 1.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条
直线______________.
2.在同一平面内，如果一条直线垂直于两条
平行线中的一条，那么这条直线____________另
一条.
3.在同一平面内，过一点有且只有______条
直线与已知直线垂直.
续表
相交 线与 平行 线 有关 性质 垂线的 性质 4.直线外一点与直线上各点连接的所有线段
中，垂线段________.
公垂线 段的性 质 两条平行线的所有公垂线段都____________
__.
续表
相交 线与 平行 线 平行 线的 判定 方法 1.方法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角__
______，那么这两条直线平行.
2.方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角__
______，那么这两条直线平行.
3.方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角
______，那么这两条直线平行.
续表
真题剖析4
考点1 相交线的有关概念与性质
图1
例1 （2019·广州）如图1，点，，在直线
上，，， ，
，则点到直线的距离是___ .
5
[解析] 点到直线的距离，就是点到直线的垂线段，所以只有 符合.
因为 ，
所以点到直线的距离是 .
故答案为5.
考点1 变式
图2
（2022·山东）如图2，， ，则点
到 的距离是线段( ) 的长度.
A
A. B.
C. D.
考点2 同位角、内错角、同旁内角
图3
例2 （2020·河池）如图3，直线，被直线 所截，
则与 的位置关系是( ) .
A
A.同位角 B.内错角
C.同旁内角 D.邻补角
[解析] 因为两条直线，被直线所截形成的角中，和 两个角都在
两被截直线和同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，所以 和
是同位角.故选A.
考点2 变式
图4
（2021·贺州）如图4，下列两个角是同旁内角的
是( ) .
B
A.与 B.与
C.与 D.与
考点3 平行线的性质
图5
例3 （2022·柳州）如图5，直线，被直线 所
截，若， ，则 的度数是
( ) .
C
A. B. C. D.
[解析] 因为 ，
所以 .
故选C.
考点3 变式
图6
（2023·怀化）如图6，平移直线至 ，直线
，被直线所截， ，则 的度
数为( ) .
B
A. B. C. D.
考点4 平行线的判定
图7
例4 （2020·郴州）如图7，直线，被直线， 所
截，下列条件能判定 的是( ) .
D
A. B.
C. D.
[解析] A.当时，，不能判定 ，故此选项不合题意；
B.当 时，，不能判定 ，故此选项不合题意；
C.当时，，不能判定 ，故此选项不合题意；
D.当时， ，故此选项符合题意.
故选D.
考点4 变式
图8
（2022·郴州）如图8，直线，且直线， 被
直线，所截，则下列条件不能判定直线 的
是( ) .
C
A. B.
C. D.
考点5 平移的概念与性质
图9
例5 （2022·湖州）如图9，将三角形沿
方向平移得到对应的三角形 .若
，则 的长是( ) .
C
A. B.
C. D.
[解析] 因为三角形沿方向平移 ，
所以 .
因为 ，
所以 .
故选C.
考点5 变式
图10
（2023·南充）如图10，将三角形沿 向右
平移得到三角形，若， ，则
的长是( ) .
A
A.2 B.2.5
C.3 D.5
单元练习4
一、选择题
1.下列画出的直线与 不一定平行的是( ) .
A
A. B.
C. D.
图1
2.如图1，点到直线 的距离是( ) .
D
A.线段 的长度
B.线段 的长度
C.线段 的长度
D.线段 的长度
图2
3.如图2，直线，交于点，射线 平分
，若 ，则 等于( ) .
C
A. B. C. D.
4.下列说法不正确的是( ) .
A
A.若两个相等的角有一边平行，则另一边也互相平行
B.两条直线相交，所成的两组对顶角的平分线互相垂直
C.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直
D.在同一平面内，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线垂直
图3
5.如图3，直线，相交于点，过点 作射
线 ，则图中的互补的角一共有( ) .
A
A.6对 B.5对
C.4对 D.3对
图4
6.如图4，下列说法错误的是( ) .
B
A.与 是同位角
B.与 是内错角
C.与 是同旁内角
D.与 是同旁内角
图5
7.如图5，下列条件不能判定直线 的是
( ) .
C
A. B.
C. D.
图6
8.如图6，一条公路修到湖边时，需拐弯绕
道而过，如果第一次拐的角 ，
第二次拐的角 ，第三次拐的角
是 ，这时的道路恰好和第一次拐弯之前
的道路平行，则 是( ) .
D
A. B. C. D.
图7
9.如图7，甲、乙两只蚂蚁以相同的速度沿两条
不同的路径，同时从出发爬到 ，则( ) .
A
A.甲和乙同时到 B.甲比乙先到
C.乙比甲先到 D.无法确定谁先到
图8
10.如图8，给出下列条件：① ；
②；③且 .其中
能得出 的条件个数是( ) .
C
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
二、填空题
11.已知，，为平面内三条不同的直线，若，，则与 的
位置关系是______.
12.将一条水平放置的长为的线段向上平移 后，连接对应点
得到的图形的周长是_______.
13.如果直线，，则直线与 的位置关系是________，
理由是________________________________.
平行于同一条直线的两条直线平行
图9
14.如图9，已知，比大 ，则 ____.
图10
15.如图10，直线，，垂足为，与 相
交于点，若 ，则 ______.
图11
16.如图11，直线分别与直线， 相交于点
，，平分，交直线于点 ，若
，射线于点 ，则
的度数为___________.
或
三、解答题
图12
17.如图12，点，，分别在，， 上，
且， .下面写出了说明
“ ”的过程，请你填空：
因为， ，
所以 ___， ___（______________
__________）.
两直线平行，同位角相等
因为 ，
所以 ___（________________________）.
因为 ，
所以 ___（________________________）.
所以 （等量代换）.
因为 ，
所以 （等量代换）.
4
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同位角相等
图13
18.观察如图13所示网
格中的图形，将网格
中的左图沿水平方向
向右平移，使点 移至
点 处，作出平移后
的图形.
[答案] 略
图14
19.如图14，已知是直线 上的一点，
， ，，
平分.求与 的度数.
[答案] ,
图15
20.如图15，已知于点， 于点
，，若 ，求
的度数.
[答案]
图16
21.如图16，已知分别与，交于点， ，
， .
（1）试判断与 的位置关系，并说明理由；
[答案] .理由如下：因为 ， ，所
以 ，所以
（2）若，探索与 的数量关系，并说明理由.
[答案] .理由如下：因为，所以 .因为
，所以，所以，所以
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第4章 相交线与平行线
4.2 平 移
自主学习
自主导学
1.平移：把图形上所有的点都按同一方向移动相同的______，图形的这
种变换叫做平移.
距离
2.平移的性质：
（1）平移不改变______的形状和大小，平移不改变______的方向.
（2）一个图形和它经过平移所得的图形中，____________的连线平行
（或在同一条直线上）且相等.
图形
直线
两组对应点
典例分享
图4.2-1
例 如图4.2-1，四边形 是由四
边形向右平移 得到的.
（1）线段，，， 之间的位置和大小有什么关系？
[答案] 根据平移的概念和性质可知，线段，，， 都是
平行且相等的，长度都为 .
（2）与 相等吗？为什么？
[答案] 与相等.因为四边形是由四边形 向右平移得
到的，而平移不改变图形的形状和大小，所以与 相等.
（3）如果 ，求 的度数.
[答案] 根据平移的性质可知，平移不改变图形的形状和大小，所以
.
方法感悟
1.牢记图形平移的概念和性质是解决平移问题的关键.
2.图形平移有两个主要特征：①不改变图形的形状和大小；②两组
对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等.
3.对于平移作图，首先要找出图形的几个关键点，再根据平移的方
向和距离，作出关键点平移后的对应点，然后连接相应的点，即可得到
平移后的图形.
轻松达标
1.下列说法中错误的是( ) .
C
A.平移中图形上任意一点的移动方向都相同
B.平移后图形上任意一点移动的距离都相同
C.平移后的图形与原来的图形大小不同、形状相同
D.平移后两组对应点的连线平行且相等
2.将长度为的线段向上平移了 ，所得线段的长度是( ) .
C
A. B. C. D.
图4.2-2
3.在方格纸中将图4.2-中的图形
平移后的位置如图4.2- 所示，那么下
面平移中正确的是( ) .
C
A.先向下移动1格，再向左移动1格 B.先向下移动1格，再向左移动2格
C.先向下移动2格，再向左移动1格 D.先向下移动2格，再向左移动2格
图4.2-3
4.如图4.2-3，若线段是由线段 平移而得到
的，则线段与 的关系是______________且
____________.
图4.2-4
5.如图4.2-4，是 经平移得到
的，若 ，则 ____.
图4.2-5
6.如图4.2-5，把三角形 由甲处平移到乙处，
若，，，则三角形 由
甲处平移到乙处的距离是___.
5
图4.2-6
7.如图4.2-6，已知线段由线段 平移而
得，， ，则三角
形 的周长是_______.
图4.2-7
8.如图4.2-7，平移四边形，使点移动到点 ，
画出平移后的四边形 .问：平移前后的两个
图形的周长和面积会发生变化吗？
[答案] 图略. 不变
能力提升
图4.2-8
9.如图4.2-8，将直角三角形沿 方向平移
的距离后，得到直角三角形 ，已知
，， ，求阴影部分的面积.
提示:由平移知识得
中考链接
图4.2-9
10.（2023·郴州）下列图形中，能由图4.2-9通过平移得到
的是( ) .
B
A. B. C. D.
图4.2-10
11.（2022·怀化）如图4.2-10，三角形 沿
方向平移后的像为三角形 ，已知
， ，则平移的距离是( ) .
C
A.1 B.2
C.3 D.4
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第4章 相交线与平行线
4.5 垂 线
第1课时 垂 线
自主学习
自主导学
1.两条直线相交所成的四个角中，有一个是______时，就说这两条直线
互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的______，它们的交点叫做
______.
直角
垂线
垂足
2.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线______.
3.在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条
直线也________另一条.
平行
垂直于
典例分享
图4.5-1
例 如图4.5-1，已知，， ，
，那么与 垂直吗？试说明理由.
[答案] .
理由如下：
因为，，所以 .
所以 （同位角相等，两直线平行）.所以
（两直线平行，内错角相等）.
又因为（已知），所以（等量代换）.所以
（同位角相等，两直线平行）.所以 （两直线平行，同位
角相等）.
因为，所以 .所以 .所以 .
方法感悟
1.理解垂直的概念和灵活运用平行线的判定及性质是解决本题的关键.
2.直线与直线之间的位置关系是由角与角之间的数量关系决定的，
因此，要说明直线与直线互相垂直，就要联想到两直线相交是否构成
角；要说明两直线平行，就要联想到其同位角或内错角是否相等，
或同旁内角是否互补等.
3.解答本例题时，要先对问题中的与 是否垂直作出回答，再
说明理由.
轻松达标
图4.5-2
1.如图4.5-2，直线与直线相交于点， 是
内一点，已知， ，则
的度数是( ) .
C
A. B.
C. D.
2.已知三条直线，， ，下列说法错误的是( ) .
B
A.过一点能画出无数条直线与已知直线相交
B.如果，，那么
C.如果，，那么
D.如果，，那么
3.已知，，则 的度数是( ) .
A
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
图4.5-3
4.如图4.5-3，已知为平角的平分线， 平分
，平分 ，则图中的垂直关系有
____________________，共有___对互余的角.
,
6
图4.5-4
5.如图4.5-4,已知，， 三点在同一条直线上，当
与满足______________时， .
能力提升
图4.5-5
6.如图4.5-5，直线与直线相交于点 ，
，且平分 .
（1）若 ，求 的度数.
[答案]
（2）设 ， ，请探究 与 的数量关系
（要求写出过程）.
[答案]
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第4章 相交线与平行线
4.1 平面上两条直线的位置关系
4.1.2 相交直线所成的角
自主学习
自主导学
1.对顶角：有________顶点，且其中一个角的两边分别是另一个角两边
的______延长线，这样的两个角叫做对顶角.
2.对顶角的性质：对顶角______.
共同的
反向
相等
图4.1-5
3.同位角、内错角、同旁内角：如图4.1-5，把具有
和____这种位置关系的一对角叫做同位角；把具
有 和____这种位置关系的一对角叫做内错角；把
具有 和____这种位置关系的一对角叫做同旁内角.
典例分享
例 如图4.1-6，指出下列各组角是由哪两条直线被哪一条直线所截而得
到的，并说出它们的名称.
图4.1-6
（1）和 ；
[答案] 和是由直线和直线被直线 所截形成的同位角.
（2）和 ；
[答案] 和是由直线和直线被直线 所截形成的同旁内角.
（3）和 ；
[答案] 和是由直线和直线被直线 所截形成的同旁内角.
（4）和 ；
[答案] 和是由直线和直线被直线 所截形成的同旁内角.
（5）和 ；
[答案] 和是由直线和直线被直线 所截形成的内错角.
（6）和 ；
[答案] 和是由直线和直线被直线 所截形成的同旁内角.
（7）和 ；
[答案] 和是由直线和直线被直线 所截形成的内错角.
（8）和 .
[答案] 和是由直线和直线被直线 所截形成的内错角.
方法感悟
1.“三线八角”图形的训练是平面几何入门的很重要的一环，当图形
较复杂时可用不同颜色或不同标记描出两角.
2.凡是涉及“三线八角”的问题都存在三种角：同位角、内错角、同
旁内角.
3.判断三种线的方法：一是“分离图形法”，即从复杂的图形中，把
某两个角相关的直线分离出来加以判别；二是“扯三拽两法”，即先找第
三条直线，再找被截的两条直线，方法是两个角各有一边在同一直线上，
则该直线为第三条直线，两角的另两边即为被截直线.
轻松达标
1.下列图形中，与 是对顶角的是( ) .
C
A. B.
C. D.
图4.1-7
2.如图4.1-7，能与 构成同位角的角有( ) .
B
A.4个 B.3个
C.2个 D.1个
图4.1-8
3.如图4.1-8，下列说法错误的是( ) .
C
A.与 是对顶角
B.与 是同位角
C.与 是内错角
D.与 是同旁内角
图4.1-9
4.如图4.1-9，三条直线，，相交于点 ，
若， ，则 的
度数为( ) .
B
A. B. C. D.
5.（易错题）下列图形中，和 不是同旁内角的是( ) .
B
A. B. C. D.
图4.1-10
6.如图4.1-10，直线，，相交于点 ，则
______.
图4.1-11
7.如图4.1-11，直线，被直线所截， 与____是
同位角，与____是内错角， 与____是同旁内角.
图4.1-12
8.如图4.1-12，已知直线，被直线截于 ，
两点，则 的同位角是_______，内错角是
_______，同旁内角是_______，对顶角是_______.
图4.1-13
9.如图4.1-13，直线与相交于点 ，若
，则 ______.
图4.1-14
10.如图4.1-14，已知直线，相交于点，
平分，平分， ，求
的度数.
[答案]
能力提升
图4.1-15
11.如图4.1-15，直线，，相交于点 ，且
平分，那么平分 吗？为什么？
[答案] 平分，根据角平分线的定义及对顶角的性质可以说明
中考链接
图4.1-16
12.（2022·贺州）如图4.1-16，直线， 被直
线 所截，下列各组角是同位角的是( ) .
B
A.与 B.与
C.与 D.与
图4.1-17
13.（2022·苏州）如图4.1-17，直线与 相交
于点， ， ，则 的度数
是( ) .
D
A. B.
C. D.
图4.1-18
14.（2022·青海）数学
课上老师用双手形象地
表示了“三线八角”图形，
D
A.同旁内角、同位角、内错角 B.同位角、内错角、对顶角
C.对顶角、同位角、同旁内角 D.同位角、内错角、同旁内角
如图4.1-18所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）.从左至右依
次表示 ( ) .
图4.1-19
15.（2022·桂林）如图4.1-19，直线， 相交于点
， ，则____ .
70
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第4章 相交线与平行线
4.4 平行线的判定
第2课时 平行线的判定（二）
自主学习
自主导学
1.平行线的判定方法2 两条直线被第三条直线所截，如果________相等，
那么这两条直线平行.
2.平行线的判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果__________互
补，那么这两条直线平行.
内错角
同旁内角
典例分享
图4.4-8
例 如图4.4-8，直线和被直线所截， 平
分，平分.那么与 应满足什么条
件时， ？
[答案]
当与互余时， .
理由如下：
因为平分，平分，所以， .
因为 ，所以 .所以
（同旁内角互补，两直线平行）.
方法感悟
1.“逆向思维”——在本例题中，要满足 ，则必须有
.而， ，则有
，即与 互余.
2.在数学题求解、说理的过程中，有时要从题目的结论出发，分析
所要说明的结论能成立必须具备哪些条件，再看这些条件成立又需具备
什么条件，直到追溯到已知条件为止，这种思考方法叫分析法.
3.平行线的三种判定方法都是由角的关系来判定直线平行的，需要
注意的是，利用同旁内角时，用到的条件是同旁内角互补，不要误记为
同旁内角相等.
轻松达标
图4.4-9
1.如图4.4-9，下列条件不能判定 的是( ) .
C
A. B.
C. D.
图4.4-10
2.如图4.4-10，下列判定不正确的是( ) .
D
A.因为，所以
B.因为，所以
C.因为，所以
D.因为 ，所以
图4.4-11
3.如图4.4-11， ，有下列结论：①若
,则；②若 ,则
；③若 ，则 ；④若
，则 .其中正确的有( ) .
B
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
图4.4-12
4.（易错题）如图4.4-12，能判定 的条件是
( ) .
D
A. B.
C. D.
图4.4-13
5.如图4.4-13，直线与直线，相交，形成 ，
， ， ，请填上你认为适合的一个条件，使
，这个条件是_______________________.
答案不唯一，如
图4.4-14
6.如图4.4-14， ， ，则____//
____，理由是__________________________.
同旁内角互补，两直线平行
图4.4-15
7.如图4.4-15，已知直线与相交于点 ，在
①，②，③ ，
④ ，⑤
中，能判定 的条件是______（填序号）.
②⑤
图4.4-16
8.如图4.4-16，当与， 满足
_________________的条件时，可以判断
.
图4.4-17
9.如图4.4-17，已知是它的补角的3倍， 的
大小等于它的余角，那么 吗？为什么？
[答案] .提示：根据题意求得
，
图4.4-18
10.如图4.4-18，已知点，， 在同一条直线
上， ， ，
试说明 .
提示：由已知易得 ，从而有
即可得结论
能力提升
图4.4-19
11.如图4.4-19，已知 ，
，试确定直线与 的位置关
系，并说明理由.
[答案] .理由：因为，所以
（内错角相等，两直线平行）.因为
,所以 （同旁内角互补，两
直线平行），即 （都与第三条直线平行的
两条直线互相平行）
中考链接
图4.4-20
12.（2020·梧州）如图4.4-20，已知直线，被直线
所截，下列条件不能判定 的是( ) .
D
A. B.
C. D.
图4.4-21
13.（2022·江苏）如图4.4-21，直线， 被
直线所截， ，当_____
时， .
130
图4.4-22
14.（2022·山东）如图4.4-22，如果要使 ，那么
需要添加的一个条件是__________________________
（只要写出一个即可）.
（答案不唯一）
图4.4-23
15.（2021·桂林）如图4.4-23，直线，被直线
所截，当___时，.（用“ ”“ ”或“ ”
填空）.
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