(共40张PPT)
3．1 椭 圆
3．1.1 椭圆及其标准方程
素养目标 定方向
1．理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点)
2．掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)
3．理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)
1．通过椭圆标准方程及椭圆焦点三角形的有关问题的学习，培养数学运算素养．
2．借助轨迹方程的学习，培养逻辑推理及直观想象素养.
必备知识 探新知
椭圆的定义
知识点 1
1.定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于_______(大于|F1F2|)的点的轨迹．
2．焦点：两个定点F1，F2.
3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|.
4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝_______(常数)且2a_____|F1F2|.
常数
2a
>
做一做：(多选题)下列说法中，不正确的是( )
A．到点M(－3,0)，N(3,0)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆
B．到点M(0，－3)，N(0,3)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C．到点M(－3,0)，N(3,0)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
D．到点M(0，－3)，N(0,3)的距离相等的点的轨迹是椭圆
[解析] 选项A中所求点的轨迹不存在，选项B中所求点的轨迹是线段MN，选项C由椭圆的定义知，C选项说法正确，选项D中所求点的轨迹是线段MN的垂直平分线.
ABD
求椭圆的标准方程
知识点 2
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
b2＝a2－c2
思考：能否根据椭圆的标准方程，判定焦点位置？
提示：能．椭圆的焦点在x轴上 标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上 标准方程中含y2项的分母较大．
[解析] 因为169>25，所以焦点在y轴上，且a2＝169，b2＝25，
所以c2＝169－25＝144，c＝12，故焦点坐标为(0，－12)和(0,12)．
y
(0，－12)和(0,12)
2．焦点在x轴上，焦距等于4，且经过点P(6,0)的椭圆的标准方程是
______________.
关键能力 攻重难
1．根据下列条件，求椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；
题型探究
题型一
求椭圆的标准方程
[分析] (1)设出焦点在x轴上的椭圆的标准方程，再根据条件求出a，b的值，即可求得方程；(2)设出焦点在y轴上的椭圆的标准方程，再根据条件求出a，b的值，即可求得方程；(3)焦点位置不确定，可以分两种情况分别求解，也可直接设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
[规律方法] 1.定义法求椭圆方程
利用定义，直接求出a，c，再求出b后根据焦点的位置写出椭圆的方程．
2．待定系数法求椭圆标准方程的步骤
(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上，还是在两个坐标轴上都有可能．
(2)设方程：
②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)．
(3)找关系：依据已知条件，建立关于a，b或m，n的方程组．
(4)得方程：解方程组，将a，b或m，n代入所设方程即为所求．
提醒：求椭圆的标准方程首先要关注焦点位置，焦点位置不同椭圆的方程不同．
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
对点训练
题型二
椭圆中的焦点三角形问题
[分析] (1)由|PF1|＋|PF2|是定值，求|PF1|·|PF2|的最大值，可考虑用基本不等式；(2)求焦点三角形的面积，可考虑用定义|PF1|＋|PF2|＝2a及余弦定理先求|PF1|·|PF2|，再考虑用三角形面积公式求面积．
[规律方法] 焦点三角形的常用公式
(1)焦点三角形的周长L＝2a＋2c.
(2)在△MF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1||MF2|cos θ.
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标．
对点训练
题型三
定义法求轨迹方程
3．一动圆过定点A(2,0)，且与定圆x2＋4x＋y2－32＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
[解析] 将定圆的方程化为标准形式为(x＋2)2＋y2＝62，这时，已知圆的圆心坐标为B(－2,0)，半径为6，如图所示，设动圆圆心M的坐标为(x，y)，由于动圆与已知圆相内切，设切点为C.
∴已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离，
即|BC|－|MC|＝|BM|，而|BC|＝6，
∴|BM|＋|CM|＝6，
又|CM|＝|AM|，∴|BM|＋|AM|＝6，
根据椭圆的定义知M的轨迹是以点B(－2,0)和点A(2,0)为焦点，线段AB的中点O(0,0)为中心的椭圆．
[规律方法] 观察几何图形，根据几何图形的直观性质得到动点轨迹的几何属性，由曲线的定义直接得到动点轨迹的方程．注意要检验是否有要删除的点．
对点训练
课堂检测 固双基
1．设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则动点M的轨迹是( )
A．椭圆 B．直线
C．圆 D．线段
[解析] ∵|MF1|＋|MF2|＝10>|F1F2|＝6，
由椭圆定义，动点M轨迹为椭圆．
A
A．2 B．4
C．6 D．8
[解析] 由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×5＝10，则|PF2|＝10－6＝4.
B
3．已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
B
48(共41张PPT)
3．1 椭 圆
3.1.2 椭圆的简单几何性质
第1课时 椭圆的简单几何性质
素养目标 定方向
1．掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义．(重点)
2．能根据几何性质求椭圆方程，解决相关问题．(难点、易混点)
通过研究椭圆的几何性质，提升直观想象、逻辑推理与数学运算素养.
必备知识 探新知
椭圆的简单几何性质
知识点
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
2b
2a
x轴、y轴
原点
(0,1)
思考：椭圆上的点到焦点的距离的最大值和最小值分别是多少？
提示：最大值a＋c，最小值a－c.
[解析] 由题意知a2＝4，b2＝3，则c2＝1，
从而2a＝4,2c＝2，故选B.
B
关键能力 攻重难
题型探究
题型一
椭圆的主要几何量
[规律方法] 根据椭圆方程研究其几何性质的步骤
(1)将椭圆方程化为标准形式．
(2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论)
(3)求出a，b，c.
(4)写出椭圆的几何性质．
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质．
对点训练
题型二
由椭圆的几何性质求标准方程
2．求适合下列条件的椭圆的标准方程．
[规律方法] 1.已知椭圆的几何性质，求其标准方程主要采用待定系数法，解题步骤为：(1)确定焦点所在的位置，以确定椭圆标准方程的形式；(2)确立关于a、b、c的方程(组)，求出参数a、b、c；(3)写出标准方程．
2．注意事项：当椭圆的焦点位置不确定时，通常要分类讨论，分别设出标准方程求解，可确定类型的量有焦点、顶点；而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率、焦距．
对点训练
C
题型三
求椭圆的离心率的值(或范围)
A
C
(1)已知椭圆的焦距不小于短轴长，求椭圆的离心率的取值范围；
对点训练
易错警示
[辨析] 上述解法没有讨论焦点的位置，而默认了椭圆的焦点在x轴上．
课堂检测 固双基
1．经过点P(3,0)，Q(0,2)的椭圆的标准方程为( )
A
D
A(共38张PPT)
3．1 椭 圆
3.1.2 椭圆的简单几何性质
第2课时 椭圆的标准方程的应用及直线与
椭圆的位置关系
素养目标 定方向
1．进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系．(重点)
2．能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题．(难点)
1．通过直线与椭圆位置关系的判断，培养逻辑推理素养．
2．通过弦长、中点弦问题及椭圆综合问题的学习，提升逻辑推理、直观想象及数学运算素养．
必备知识 探新知
点与椭圆的位置关系
知识点 1
点P在椭圆上 ______________；
点P在椭圆内部 ______________；
点P在椭圆外部 ______________.
点P在椭圆外部
直线与椭圆的位置关系
知识点 2
位置关系 解的个数 Δ的取值
相交 两解 Δ_____0
相切 一解 Δ_____0
相离 无解 Δ_____0
>
＝
<
做一做：判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大．( )
√
×
√
直线与椭圆相交弦长
知识点 3
|x1－x2|
|y1－y2|
关键能力 攻重难
1. (多选题)中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器．中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发表．如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨
题型探究
题型一
实际生活中的椭圆问题
道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是( )
BD
[规律方法] 解决和椭圆有关的实际问题的思路(数学抽象)
(1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题．
(2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解．
(3)用解得的结果说明原来的实际问题．
中国是世界上最古老的文明中心之一，对世界最重要的贡献之一就是发明了瓷器．中国陶瓷是世界上独一无二的，它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术．陶瓷形状各式各样，从不同角度诠释了数学中几何的形式之美．现有一椭圆形明代瓷盘，经测量得到图中数据，则该椭圆瓷盘的焦距为( )
对点训练
C
题型二
直线与椭圆的位置关系
(1)有两个不同的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点？
[规律方法] 直线与椭圆位置关系的判断方法
对点训练
题型三
弦长及中点弦问题
(1)求此弦所在的直线方程；
(2)求此弦长．
对点训练
课堂检测 固双基
A．相离 B．相切
C．相交 D．相交或相切
A
2．直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，则该椭圆的离心率为( )
D
C
4．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，当直线与椭圆有公共点
时，则实数m的取值范围是__________________.
