3．1.1 椭圆及其标准方程
学习任务
1．理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点)
2．掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)
3．理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)
核心素养
1．通过椭圆标准方程及椭圆焦点三角形的有关问题的学习，培养数学运算素养．
2．借助轨迹方程的学习，培养逻辑推理及直观想象素养.
椭圆的定义
1.定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于_常数__(大于|F1F2|)的点的轨迹．
2．焦点：两个定点F1，F2.
3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|.
4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝_2a__(常数)且2a_>__|F1F2|.
做一做：(多选题)下列说法中，不正确的是( ABD )
A．到点M(－3,0)，N(3,0)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆
B．到点M(0，－3)，N(0,3)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C．到点M(－3,0)，N(3,0)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
D．到点M(0，－3)，N(0,3)的距离相等的点的轨迹是椭圆
[解析] 选项A中所求点的轨迹不存在，选项B中所求点的轨迹是线段MN，选项C由椭圆的定义知，C选项说法正确，选项D中所求点的轨迹是线段MN的垂直平分线.
求椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
图形
焦点坐标 _F1(－c,0)，F2(c,0)__ _F1(0，－c)，F2(0，c)__
a，b，c的关系 _b2＝a2－c2__
思考：能否根据椭圆的标准方程，判定焦点位置？
提示：能．椭圆的焦点在x轴上 标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上 标准方程中含y2项的分母较大．
做一做：1.若椭圆方程为＋＝1，则其焦点在_y__轴上，焦点坐标为_(0，－12)和(0,12)__.
[解析] 因为169>25，所以焦点在y轴上，且a2＝169，b2＝25，
所以c2＝169－25＝144，c＝12，故焦点坐标为(0，－12)和(0,12)．
2．焦点在x轴上，焦距等于4，且经过点P(6,0)的椭圆的标准方程是 ＋＝1 .
[解析] 因为焦距等于4，所以c＝2，
因为经过点P(6,0)，所以a＝6，
所以b2＝a2－c2＝36－4＝32.
因为焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1.第1课时 椭圆的简单几何性质
学习任务
1．掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义．(重点)
2．能根据几何性质求椭圆方程，解决相关问题．(难点、易混点)
核心素养
通过研究椭圆的几何性质，提升直观想象、逻辑推理与数学运算素养.
椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
范围 _－a≤x≤a，－b≤y≤b__ _－b≤x≤b，－a≤y≤a__
顶点 _A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)__ _A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)__
轴长 短轴长＝_2b__，长轴长＝_2a__
焦点 (±，0) (0，±)
焦距 |F1F2|＝2
对称性 对称轴：_x轴、y轴__对称中心：_原点__
离心率 e＝∈_(0,1)__
思考：椭圆上的点到焦点的距离的最大值和最小值分别是多少？
提示：最大值a＋c，最小值a－c.
做一做：1.椭圆＋＝1的长轴长、焦距分别为( B )
A．2,1 B．4,2
C.，1 D．2，2
[解析] 由题意知a2＝4，b2＝3，则c2＝1，
从而2a＝4,2c＝2，故选B.
2．已知椭圆＋＝1，则椭圆的离心率e＝ .
[解析] 由题意知a2＝16，b2＝9，则c2＝7，从而e＝＝.
3．已知椭圆的长轴长为8，离心率为，则椭圆的标准方程为 ＋＝1或＋＝1 .
[解析] 由题意知2a＝8，＝，则c＝1，从而b2＝42－1＝15，
所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.第2课时 椭圆的标准方程的应用及直线与椭圆的位置关系
学习任务
1．进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系．(重点)
2．能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题．(难点)
核心素养
1．通过直线与椭圆位置关系的判断，培养逻辑推理素养．
2．通过弦长、中点弦问题及椭圆综合问题的学习，提升逻辑推理、直观想象及数学运算素养．
点与椭圆的位置关系
点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：
点P在椭圆上 ＋＝1 ；
点P在椭圆内部 ＋<1 ；
点P在椭圆外部 ＋>1 .
做一做：1.点P(2,1)与椭圆＋＝1的位置关系是 点P在椭圆外部 .
[解析] 由＋>1知，点P(2,1)在椭圆的外部．
2．若点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是 (－，) .
[解析] 因为点A在椭圆内部，
所以＋＜1，所以a2＜2，所以－＜a＜.
直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系判断方法：由消去y(或x)得到一个一元二次方程.
位置关系 解的个数 Δ的取值
相交 两解 Δ_>__0
相切 一解 Δ_＝__0
相离 无解 Δ_<__0
做一做：判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大．( √ )
(2)已知椭圆＋＝1(a>b>0)与点P(b,0)，过点P可作出该椭圆的一条切线．( × )
(3)直线y＝k(x－a)(k≠0)与椭圆＋＝1的位置关系是相交．( √ )
提示：(1)根据椭圆的对称性可知，直线过椭圆的中心时，弦长最大．
(2)因为P(b,0)在椭圆内部，过点P作不出椭圆的切线．
(3)直线y＝k(x－a)(k≠0)过点(a,0)且斜率存在，所以直线y＝k(x－a)与椭圆＋＝1的位置关系是相交.
直线与椭圆相交弦长
设直线斜率为k，直线与椭圆两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝_|x1－x2|__＝_|y1－y2|__，一般地，|x1－x2|＝用根与系数关系求解．
做一做：椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为 .
[解析] 由
消去y并化简得x2＋2x－6＝0.设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6.
所以弦长|MN|＝|x1－x2|
＝＝
＝.3．2.1 双曲线及其标准方程
学习任务
1．理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.(重点)
2．掌握双曲线的标准方程及其求法.(重点)
3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.(难点)
核心素养
1．通过双曲线概念的学习，培养数学抽象素养.
2．通过双曲线标准方程的求解、与双曲线有关的轨迹问题的学习，提升数学运算、逻辑推理及数学抽象素养.
双曲线的定义
1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的_绝对值__等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.
2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}.
3．焦点：两个_定点F1，F2__.
4．焦距：_两焦点间__的距离，表示为|F1F2|.
思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
(2)双曲线的定义中，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？
提示：(1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在.
(2)点M在双曲线的右支上.
做一做：1.已知平面上定点F1，F2及动点M，命题甲：||MF1|－|MF2||＝2a(a为常数)，命题乙：点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，则甲是乙的( B )
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 根据双曲线的定义知甲 乙，乙 甲，因此甲是乙的必要条件，故选B.
2．已知A(0，－5)，B(0,5)，|PA|－|PB|＝2a，当a＝3或5时，P点的轨迹为( D )
A．双曲线或一条直线
B．双曲线或两条直线
C．双曲线一支或一条直线
D．双曲线一支或一条射线
[解析] 当a＝3时，2a＝6，此时|AB|＝10，
∴点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B).
当a＝5时，2a＝10，此时|AB|＝10，
∴点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线.
双曲线标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
焦点 _(－c,0)，(c,0)__ _(0，－c)，(0，c)__
a，b，c的关系 c2＝_a2＋b2__
做一做：1.设动点M到点A(0，－5)的距离与它到点B(0,5)的距离的差等于6，则M点的轨迹方程是( C )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1(y>0) D.－＝1(x>0)
[解析] 因为||MA|－|MB||＝6<10＝|AB|，
所以M点轨迹是焦点在y轴上的双曲线的上半支，其中a＝3，c＝5，所以b＝＝4，
所以M点轨迹方程为－＝1(y>0).
2．若双曲线方程为－＝1，则其焦点在_x__轴上，焦点坐标为_(6,0)和(－6,0)__.
[解析] 因为方程中x2的系数>0，所以焦点在x轴上，且a2＝16，b2＝20，从而c2＝16＋20＝36，c＝6，故焦点坐标为(6,0)和(－6,0).第1课时 双曲线的简单几何性质
学习任务
1．掌握双曲线的简单几何性质.(重点)
2．理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程.(难点)
核心素养
1．通过学习双曲线的简单几何性质，培养直观想象、数学运算素养.
2．通过求解双曲线离心率、取值范围和渐近线方程培养数学运算素养.
双曲线的性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
性质 范围 _x≥a或x≤－a__ _y≤－a或y≥a__
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝ ，e∈(1，＋∞)，其中c＝
a，b，c间的关系 c2＝_a2＋b2__(c>a>0，c>b>0)
思考：双曲线的离心率对双曲线的形状有何影响？
提示：以双曲线－＝1(a>0，b>0)为例.e＝＝＝，故当的值越大，渐近线y＝x的斜率越大，双曲线的开口越大，e也越大，所以e反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大.
做一做：1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”).
(1)双曲线的离心率越大，它的开口越小.( × )
(2)双曲线的离心率的取值范围是(1，＋∞).( √ )
(3)当已知双曲线的渐近线时，双曲线的标准方程就是确定的.( × )
提示：(1)双曲线的离心率越大，它的开口越开阔.
(3)具有相同的渐近线的双曲线有无数支，因此方程不能确定.
2．双曲线x2－4y2＝1的焦点坐标是 ， ；中心坐标为_(0,0)__；顶点坐标为_(－1,0)__，_(1,0)__；实轴长为_2__，虚轴长为_1__，渐近线方程为y＝±x，离心率为 .
[解析] 将x2－4y2＝1化为标准方程x2－＝1，
由此可得实半轴长a＝1，虚半轴长b＝，半焦距c＝，离心率为e＝.
所以双曲线的焦点坐标是，，中心坐标为(0,0)，顶点坐标为(－1,0)，(1,0)，实轴长为2，虚轴长为1，渐近线方程为y＝±x.
等轴双曲线
实轴和虚轴_等长__的双曲线，它的渐近线方程是
_y＝±x__，离心率为.
做一做：(2023·北京卷)已知双曲线C的焦点为(－2,0)和(2,0)，离心率为，则C的方程为 －＝1 .
[解析] 令双曲线C的实半轴、虚半轴长分别为a，b，显然双曲线C的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距c＝2，
由双曲线C的离心率为，得＝，解得a＝，则b＝＝，
所以双曲线C的方程为－＝1.
故答案为：－＝1.第2课时 直线与双曲线的位置关系
学习任务
1．理解直线与双曲线的位置关系.(重点)
2．会求解有关弦长问题.(重点、难点)
核心素养
1．借助直线与双曲线的位置关系及判定方法培养直观想象、数学运算素养.
2．借助双曲线几何性质的应用及直线与双曲线位置关系的应用，提升数学运算及逻辑推理素养.
直线与双曲线的位置关系
设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①
双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，②
把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线_平行__，直线与双曲线_相交于一点__.
(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，
Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2).
Δ>0 直线与双曲线有_两__个公共点；
Δ＝0 直线与双曲线有_一__个公共点；
Δ<0 直线与双曲线有_0__个公共点.
思考：直线与双曲线只有一个交点，是不是直线与双曲线相切？
提示：不是.当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点.
做一做：直线l过点(，0)且与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有( C )
A.1条 B．2条
C.3条 D．4条
[解析] 根据双曲线方程可知，点(，0)即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点.故过点(，0)且与双曲线仅有一个公共点的直线有3条.
弦长公式
若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝ .
做一做：已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x2－＝1交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则实数m的值是 ±1 .
[解析] 由消去y得x2－2mx－m2－2＝0.
则Δ＝4m2＋4m2＋8＝8m2＋8>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m，
所以线段AB的中点坐标为(m,2m).
又点(m,2m)在x2＋y2＝5上，
所以m2＋(2m)2＝5，得m＝±1.3．3.1 抛物线及其标准方程
学习任务
1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.(重点)
2．会求抛物线的标准方程，并能应用它解决有关问题.(难点)
核心素养
通过研究抛物线的定义、图形及标准方程，提升数学抽象及数学运算素养.
抛物线的定义
1．定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)的_距离相等__的点的轨迹.
2．焦点：定点F.
3．准线：定直线l.
思考1：抛物线的定义中，为什么要加条件l不经过点F？
提示：若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线.
做一做：1.若动点P到点(3,0)的距离和它到直线x＝－3的距离相等，则动点P的轨迹是( B )
A.椭圆 B．抛物线
C.直线 D．双曲线
[解析] 由抛物线定义知，动点P的轨迹是抛物线，故选B.
2．平面内到点A(2,3)和直线l：x＋2y－8＝0距离相等的点的轨迹是( A )
A.直线 B．抛物线
C.椭圆 D．圆
[解析] 由题意知，直线l经过点A，则点的轨迹是过点A且垂直于直线l的一条直线，故选A.
抛物线的标准方程
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
_y2＝2px(p>0)__ x＝－
_y2＝－2px(p>0)__ x＝
_x2＝2py(p>0)__ y＝－
_x2＝－2py(p>0)__ y＝
思考2：抛物线的标准方程中p(p>0)的几何意义是什么？
提示：p的几何意义是焦点到准线的距离.
做一做：判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)抛物线y2＝－2px(p>0)中p是焦点到准线的距离.( √ )
(2)方程x2＝2ay(a≠0)表示开口向上的抛物线.( × )
(3)抛物线y2＝x的准线方程为x＝.( × )第1课时 抛物线的简单几何性质
学习任务
1．掌握抛物线的几何性质．(重点)
2．掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点)
3．能利用方程及数形结合思想解决焦点弦等问题．(难点)
核心素养
1．通过抛物线几何性质的应用，培养数学运算素养．
2．通过直线与抛物线的位置关系、焦点弦等问题的学习，提升逻辑推理、直观想象及数学运算素养．
抛物线的简单几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴
焦点坐标 F F F F
准线方程 x＝ － x＝ y＝ － y＝
顶点坐标 O(0,0)
离心率 e＝_1__
通径长 _2p__
做一做：1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)抛物线关于顶点对称．( × )
(2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．( √ )
(3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．( √ )
2．抛物线y＝－x2的焦点坐标为( D )
A. B．(－4,0)
C. D．(0，－4)
[解析] 因为抛物线y＝－x2，所以x2＝－16y，
所以抛物线的焦点坐标为(0，－4).
直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线有三种位置关系：_相离__、_相切__和_相交__.
设直线y＝kx＋m与抛物线y2＝2px(p＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，将y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.
①k＝0时，直线与抛物线只有_一个__交点；
②k≠0时，Δ＞0 直线与抛物线_相交__ 有_两__个公共点．
Δ＝0 直线与抛物线_相切__ 只有_一__个公共点．
Δ＜0 直线与抛物线_相离__ _没有__公共点．
想一想：直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？
提示：可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点．
做一做：若直线y＝kx＋2与y2＝x只有一个公共点，则实数k的值为 0或 .
[解析] 由消去x得ky2－y＋2＝0，若k＝0，直线与抛物线只有一个交点，则y＝2，符合题意；若k≠0，则Δ＝1－8k＝0，所以k＝.
综上，k＝0或.
直线与抛物线相交的弦长问题
(1)一般弦长
设斜率为k的直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝ · 或|AB|＝ (k≠0)．
(2)焦点弦长
已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，则称AB为抛物线的焦点弦．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知，|AF|＝x1＋，|BF|＝ x2＋ ，故|AB|＝_x1＋x2＋p__.
做一做：过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝10，则弦AB的长度为( C )
A．16 B．14
C．12 D．10
[解析] 抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，
则|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝x1＋x2＋2＝12，故选C.第2课时 直线与抛物线的位置关系
学习任务
1．会解决与抛物线有关的轨迹问题和中点弦问题．(重点)
2．能解决一些与抛物线有关的综合问题．(难点)
核心素养
通过解决与抛物线有关的综合问题，提升逻辑推理、数学运算素养.
抛物线的焦点弦的相关结论
过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
①y1y2＝－p2，x1x2＝；
②|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为直线AB的倾斜角)；
③＋＝；
④S△AOB＝(α为直线AB的倾斜角)；
⑤以AB为直径的圆必与准线l相切．
做一做：直线l过抛物线x2＝4y的焦点F，与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝6，则|BF|＝ .
[解析] 由＋＝，得＋＝1，解得|BF|＝.
素美目标·定方向
必备知识·探新知
