新人教A版选择性必修第一册高中数学第3章 圆锥曲线的方程 综合测试题（含解析）

第三章综合测试题
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．抛物线y＝－x2的准线方程是( )
A．x＝　　　　　　　 B．y＝2
C．y＝ D．y＝－2
2．已知0<θ<，则双曲线C1：－＝1与C2：－＝1的( )
A．实轴长相等 B．虚轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
3．焦点在x轴上，短轴长为8，离心率为的椭圆的标准方程是( )
A.＋＝1　　 B．＋＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
4．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且∠F1PF2＝，若△PF1F2的面积为9，则b＝( )
A．9 B．3
C．4 D．8
5．“m>3”是“曲线mx2－(m－2)y2＝1为双曲线”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．已知圆F1：(x＋2)2＋y2＝36，定点F2(2,0)，A是圆F1上的一动点，线段F2A的垂直平分线交半径F1A于点P，则点P的轨迹C的方程是( )
A.＋＝1 B．＋＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
7．(2023·全国甲卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，C的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝( )
A.　　　 B．
C.　　　 D．
8．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的蒙日圆方程为x2＋y2＝a2＋b2，椭圆C的离心率为，M为蒙日圆上一个动点，过点M作椭圆C的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，则△MPQ面积的最大值为( )
A．3b2　　　 B．2b2
C.b2　　　 D．6b2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知方程＋＝1表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是( )
A．当1B．当t>4或t<1时，曲线C是双曲线
C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则1D．若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则t>4
10．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一束平行于x轴的光线l1从点M(3,1)射入，经过抛物线上的点P(x1，y1)反射后，再经抛物线上另一点Q(x2，y2)反射后，沿直线l2射出，则下列结论中正确的是( )
A．x1x2＝1 B．kPQ＝－
C．|PQ|＝ D．l1与l2之间的距离为4
11．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右两焦点分别是F1，F2，其中|F1F2|＝2c，O为坐标原点．直线l：y＝k(x＋c)(k∈R)与椭圆交于A，B两点．则下列说法正确的有( )
A．当k≠0时，△ABF2的周长为4a
B．当k≠0时，若AB的中点为M，则kOM·k＝
C．若·＝3c2，则椭圆的离心率的取值范围是
D．若|AB|的最小值为3c，则椭圆的离心率e＝
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则点M的轨迹方程为 　.
13．椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是 　.
14．已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)，双曲线N：－＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为 　；双曲线N的离心率为_ __.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为2.一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3，求椭圆和双曲线的方程．
16．(本小题满分15分)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点是F(2,0)，离心率e＝2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程．
17．(本小题满分15分)在平面直角坐标系xOy中，点F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，且|BF2|＝，点C是椭圆E上一点，直线CF2交椭圆于点A.
(1)求椭圆E的方程；
(2)求△ABC的面积．
18．(本小题满分17分)(2023·全国高考甲卷)已知椭圆C：＋＝1的离心率为，点A在C上．
(1)求C的方程；
(2)过点的直线交C于点P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点．
19．(本小题满分17分)已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A，B两点，且|AB|＝4.
(1)求p；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，·＝0，求△MFN面积的最小值．
第三章综合测试题
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．抛物线y＝－x2的准线方程是( B )
A．x＝　　　　　　　 B．y＝2
C．y＝ D．y＝－2
[解析]　y＝－x2可化为x2＝－8y，所以抛物线y＝－x2的准线方程为y＝2.
2．已知0<θ<，则双曲线C1：－＝1与C2：－＝1的( D )
A．实轴长相等 B．虚轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
[解析]　双曲线C1和C2的实半轴长分别是sin θ和cos θ，虚半轴长分别是cos θ和sin θ，半焦距都等于1，故选D.
3．焦点在x轴上，短轴长为8，离心率为的椭圆的标准方程是( C )
A.＋＝1　　 B．＋＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
[解析]　由题意知椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
且2b＝8，所以b＝4，所以a2－c2＝b2＝16，
又e＝＝，所以可得c＝3，a＝5，
因此椭圆的标准方程为＋＝1.
4．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且∠F1PF2＝，若△PF1F2的面积为9，则b＝( B )
A．9 B．3
C．4 D．8
[解析]　方法一：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a，(2c)2＝m2＋n2－2mncos＝(m＋n)2－mn，所以4b2＝mn.
又mnsin＝9，所以2b2×＝9，解得b＝3.
方法二：由焦点三角形面积公式得S△F1PF2＝b2tan＝b2tan＝9 b＝3.
5．“m>3”是“曲线mx2－(m－2)y2＝1为双曲线”的( A )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　当m>3时，m－2>0，mx2－(m－2)y2＝1 －＝1，则原方程是双曲线方程；当原方程为双曲线方程时，有m(m－2)>0 m>2或m<0.故“m>3”是“曲线mx2－(m－2)y2＝1为双曲线”的充分不必要条件．故选A.
6．已知圆F1：(x＋2)2＋y2＝36，定点F2(2,0)，A是圆F1上的一动点，线段F2A的垂直平分线交半径F1A于点P，则点P的轨迹C的方程是( B )
A.＋＝1 B．＋＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
[解析]　连接F2P，则|F2P|＝|PA|，
∵|F2P|＋|F1P|＝|PA|＋|F1P|＝|F1A|＝6>|F1F2|＝4，
∴由椭圆的定义可得点P的轨迹为以点F1、F2为焦点，长轴长为6的椭圆，
设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
则a＝3，c＝2，∴b2＝a2－c2＝9－4＝5，
故点P的轨迹C的方程为＋＝1.
7．(2023·全国甲卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，C的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝( D )
A.　　　 B．
C.　　　 D．
[解析]　由e＝，则＝＝1＋＝5，解得＝2，所以双曲线的一条渐近线不妨取y＝2x，
则圆心(2,3)到渐近线的距离d＝＝，
所以弦长|AB|＝2＝2＝.故选D.
8．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的蒙日圆方程为x2＋y2＝a2＋b2，椭圆C的离心率为，M为蒙日圆上一个动点，过点M作椭圆C的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，则△MPQ面积的最大值为( A )
A．3b2　　　 B．2b2
C.b2　　　 D．6b2
[解析]　因为e＝＝＝＝，所以a＝b，所以蒙日圆的方程为x2＋y2＝3b2.
由已知条件可得MP⊥MQ，则PQ为圆x2＋y2＝3b2的一条直径，则|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2＝12b2，
所以S△MPQ＝|MP|·|MQ|≤＝3b2，当且仅当|MP|＝|MQ|＝b时，等号成立．故选A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知方程＋＝1表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是( BC )
A．当1B．当t>4或t<1时，曲线C是双曲线
C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则1D．若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则t>4
[解析]　当曲线C是椭圆时，解得1当曲线C是双曲线时，(4－t)(t－1)<0，解得t>4或t<1，故B正确；
若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则解得1若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则解得10．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一束平行于x轴的光线l1从点M(3,1)射入，经过抛物线上的点P(x1，y1)反射后，再经抛物线上另一点Q(x2，y2)反射后，沿直线l2射出，则下列结论中正确的是( ABC )
A．x1x2＝1 B．kPQ＝－
C．|PQ|＝ D．l1与l2之间的距离为4
[解析]　如图所示，由抛物线的光学性质可知，直线PQ过焦点F(1,0)，
所以x1x2＝＝1，即选项A正确；
由题意可得，点P的坐标为，点Q的坐标为(4，－4)，所以kPQ＝＝－，即选项B正确；
由抛物线的定义可知，|PQ|＝x1＋x2＋p＝＋4＋2＝，即选项C正确；
因为l1与l2平行，所以l1与l2之间的距离d＝|y1－y2|＝5，即选项D错误．
11．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右两焦点分别是F1，F2，其中|F1F2|＝2c，O为坐标原点．直线l：y＝k(x＋c)(k∈R)与椭圆交于A，B两点．则下列说法正确的有( AC )
A．当k≠0时，△ABF2的周长为4a
B．当k≠0时，若AB的中点为M，则kOM·k＝
C．若·＝3c2，则椭圆的离心率的取值范围是
D．若|AB|的最小值为3c，则椭圆的离心率e＝
[解析]　对于A，由椭圆定义得△ABF2的周长为|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝|AF2|＋|AF1|＋|BF1|＋|BF2|＝4a，A正确；
对于B，由消去y并整理得(a2k2＋b2)x2＋2a2ck2x＋a2c2k2－a2b2＝0，
则弦AB的中点M，而k≠0，
则kOM＝－，即kOM·k＝－，B不正确；
对于C，设A(x0，y0)，则y＝b2－x，0≤x≤a2，而F1(－c,0)，F2(c,0)，
于是得·＝(－c－x0，－y0)·(c－x0，－y0)＝x＋y－c2＝x＋b2－c2∈[b2－c2，a2－c2]，
由b2－c2≤3c2≤a2－c2得4c2≤a2≤5c2，解得≤e≤，C正确；
对于D，由椭圆的性质知，椭圆的通径是过焦点的椭圆的最短弦，当3c＝时，即2c2＋3ac－2a2＝0，即2e2＋3e－2＝0，解得e＝，因为直线l不垂直于x轴，则弦AB不能取到，即e≠，D不正确．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则点M的轨迹方程为 ＋＝1　.
[解析]　M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，
∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，∴点M的轨迹是以点C，A为焦点的椭圆，∴a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，∴椭圆的方程为＋＝1.
13．椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是 　.
[解析]　如图，设右焦点为F′，连接MF′，NF′，
因为△FMN的周长|MF|＋|NF|＋|MN|＝2a－|MF′|＋2a－|NF′|＋|MN|＝4a＋|MN|－|MF′|－|NF′|，且|MN|≤|MF′|＋|NF′|，当M，N，F′三点共线，即m＝1时，等号成立，所以当△FMN的周长最大时，|MN|＝＝，所以△FMN的面积S＝××2＝.
14．已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)，双曲线N：－＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为 －1　；双曲线N的离心率为_2__.
[解析]　如图，六边形ABF1CDF2为正六边形，
直线OA、OB是双曲线的渐近线，则△AOF2是正三角形，∴直线OA的倾斜角为，∴其斜率k＝＝，∴双曲线的离心率e1＝＝＝2；连接F1A，∵正六边形的边长为c，∴|F1A|＝c.由椭圆的定义得|F1A|＋|F2A|＝2a，即c＋c＝2a，∴椭圆的离心率e2＝＝＝－1.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为2.一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3，求椭圆和双曲线的方程．
[解析]　①焦点在x轴上，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，且c＝.
设双曲线为－＝1(m>0，n>0)，m＝a－4.
因为＝，所以＝，解得a＝7，m＝3.
因为椭圆和双曲线的半焦距为，
所以b2＝36，n2＝4.所以椭圆方程为＋＝1，
双曲线方程为－＝1.
②焦点在y轴上，椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.
16．(本小题满分15分)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点是F(2,0)，离心率e＝2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程．
[解析]　(1)由已知得c＝2，e＝2，所以a＝1，b＝，所以所求双曲线方程为x2－＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，点M(x1，y1)，N(x2，y2)．
联立整理得2x2－2mx－m2－3＝0.(*)
设MN的中点为(x0，y0)，则x0＝＝，y0＝x0＋m＝，所以线段MN垂直平分线的方程为y－＝－，即x＋y－2m＝0，
与坐标轴的交点分别为(0,2m)，(2m,0)，
可得|2m|·|2m|＝4，得m2＝2，m＝±，此时(*)的判别式Δ>0，
故直线l的方程为y＝x±.
17．(本小题满分15分)在平面直角坐标系xOy中，点F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，且|BF2|＝，点C是椭圆E上一点，直线CF2交椭圆于点A.
(1)求椭圆E的方程；
(2)求△ABC的面积．
[解析]　(1)因为顶点B的坐标为(0，b)，|BF2|＝，所以|BF2|＝＝a＝，
因为点C在椭圆上，
所以＋＝1，解得b2＝1，
故所求椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)因为点C的坐标为，点F2的坐标为(1,0)，所以直线CF2的斜率k＝＝1，所以直线CF2的方程为y＝x－1，
由得，3x2－4x＝0，
所以或
所以点A的坐标为(0，－1)，所以|AB|＝2，所以S△ABC＝×2×＝.
18．(本小题满分17分)(2023·全国高考甲卷)已知椭圆C：＋＝1的离心率为，点A在C上．
(1)求C的方程；
(2)过点的直线交C于点P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点．
[解析]　(1)因为点A(－2,0)在C上，所以＝1，得b2＝4.
因为椭圆的离心率e＝＝，所以c2＝a2，
又a2＝b2＋c2＝4＋a2，所以a2＝9，c2＝5，
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由题意知，直线PQ的斜率存在且不为0，设lPQ：y－3＝k(x＋2)，P，Q，
由得x2＋x＋16k2＋48k＝0，
则Δ＝2－4＝－36×48k>0，故x1＋x2＝－，x1x2＝.
直线AP：y＝(x＋2)，令x＝0，解得yM＝，同理得yN＝，
则yM＋yN＝2
＝2
＝2
＝2
＝2×
＝6.
所以MN的中点的纵坐标为＝3，所以MN的中点为定点(0,3)．
19．(本小题满分17分)已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A，B两点，且|AB|＝4.
(1)求p；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，·＝0，求△MFN面积的最小值．
[解析]　(1)设A，B，
由可得，y2－4py＋2p＝0，所以yA＋yB＝4p，yAyB＝2p，
所以＝
＝＝×＝4，
即2p2－p－6＝0，因为p>0，解得p＝2.
(2)因为F，显然直线MN的斜率不可能为零，设直线MN：x＝my＋n，M，N，
由可得，y2－4my－4n＝0，
所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n，
Δ＝16m2＋16n>0 m2＋n>0，
因为·＝0，所以＋y1y2＝0，
即＋y1y2＝0，
亦即y1y2＋m＋2＝0，将y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n代入得，
4m2＝n2－6n＋1,4＝2>0，
所以n≠1，且n2－6n＋1≥0，解得n≥3＋2或n≤3－2.
设点F到直线MN的距离为d，所以d＝，
＝＝·＝
＝
＝2，
所以△MFN的面积S＝××d＝××2＝2，
而n≥3＋2或n≤3－2，所以当n＝3－2时，△MFN的面积Smin＝2＝12－8.