新人教A版选择性必修第一册高中数学本册综合测试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 新人教A版选择性必修第一册高中数学本册综合测试题（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 386.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-10 23:19:44 | ||
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文档简介
本册综合测试题
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线l过点(－3,0)，且与直线y＝2x－3垂直，则直线l的方程为( )
A．y＝－(x－3) B．y＝－(x＋3)
C．y＝(x－3) D．y＝(x＋3)
2．已知向量a＝(0,1,1)，b＝(1，－2,1)．若向量a＋b与向量c＝(－2，m，－4)平行，则实数m的值是( )
A．2 B．－2
C．10 D．－10
3．直线l：3x＋4y－1＝0被圆C：x2＋y2－2x－4y－4＝0所截得的弦长为( )
A．2 B．4
C．2 D．2
4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
5．以F(p＞0)为焦点的抛物线C的准线与双曲线x2－y2＝2相交于M，N两点，若△MNF为正三角形，则抛物线C的标准方程为( )
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．x2＝4y D．x2＝2y
6．已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且＝2，则椭圆C的离心率为( )
A. B．
C． D．3
7．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为( )
A. B．
C． D．
8．已知过抛物线C：y2＝4x的焦点F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，Q为AB的中点，P为C上一点，则|PF|＋|PQ|的最小值为( )
A. B．
C．8 D．5
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是( )
A．直线2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0必过定点(1,3)
B．过点P(2,1)作圆x2＋y2＝5的切线，切线方程为2x＋y－5＝0
C．经过点P(1,1)，倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tan θ(x－1)
D．直线2x－y－1＝0在x轴上的截距为，在y轴上的截距为1
10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1，C1D1的中点，则下列结论正确的是( )
A．A1C1∥平面CEF
B．B1D⊥平面CEF
C.＝＋－
D．点D与点B1到平面CEF的距离相等
11．过抛物线x2＝8y的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B作抛物线的切线交于点P.则下列说法正确的是( )
A．若|AB|＝16，则直线AB的倾斜角为
B．点P在直线y＝－2上
C．AP⊥BP
D.的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知l1，l2是分别经过点A(1,1)，B(0，－1)的两条平行直线，则当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是_ __.
13．已知点P是椭圆＋＝1上的一点，点Q，则|PQ|的最小值为 .
14．已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．
(1)求双曲线的方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0.
16．(本小题满分15分)如图所示，点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且＝3，N为PD的中点．
(1)求满足＝x＋y＋z的实数x，y，z的值；
(2)若PA＝AB＝1，AD＝2，求MN的长．
17．(本小题满分15分)已知m>0，n>0，过P(m，n)的直线l与x轴交于A点，与y轴交于B点，记l与坐标轴围成的三角形AOB的面积为S.
(1)若点P的坐标为(2,4)，且＝2，求直线l的方程；
(2)若点A，B都在正半轴上，求S的最小值．
18．(本小题满分17分)(2023·新课标Ⅱ卷)如图，三棱锥A－BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC的中点．
(1)证明：BC⊥DA；
(2)点F满足＝，求二面角D－AB－F的正弦值．
19．(本小题满分17分)(2022·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y＝±x.
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在C上，且x1>x2>0，y1>0.过P且斜率为－的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
本册综合测试题
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线l过点(－3,0)，且与直线y＝2x－3垂直，则直线l的方程为( B )
A．y＝－(x－3) B．y＝－(x＋3)
C．y＝(x－3) D．y＝(x＋3)
[解析] 因为直线y＝2x－3的斜率为2，所以直线l的斜率为－.又直线l过点(－3,0)，故所求直线的方程为y＝－(x＋3)．
2．已知向量a＝(0,1,1)，b＝(1，－2,1)．若向量a＋b与向量c＝(－2，m，－4)平行，则实数m的值是( A )
A．2 B．－2
C．10 D．－10
[解析] a＋b＝(1，－1,2)，由(a＋b)∥c得＝＝，解得m＝2，故选A.
3．直线l：3x＋4y－1＝0被圆C：x2＋y2－2x－4y－4＝0所截得的弦长为( A )
A．2 B．4
C．2 D．2
[解析] 由题意圆心C(1,2)，圆C的半径为3，
故C到l：3x＋4y－1＝0的距离为＝2，
故所求弦长为2＝2.
4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为( C )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
[解析] 双曲线中，e＝＝，c2＝a2＋b2，
所以＝＝＝＝＝，
故该双曲线的渐近线方程为y＝±x.
5．以F(p＞0)为焦点的抛物线C的准线与双曲线x2－y2＝2相交于M，N两点，若△MNF为正三角形，则抛物线C的标准方程为( C )
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．x2＝4y D．x2＝2y
[解析] 由题意，以F(p＞0)为焦点的抛物线C的准线y＝－，代入双曲线x2－y2＝2，可得x＝±，∵△MNF为正三角形，∴p＝×2，∵p＞0，∴p＝2，∴抛物线C的方程为x2＝4y.
6．已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且＝2，则椭圆C的离心率为( A )
A. B．
C． D．3
[解析] 如图，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，B(0，b)为上顶点，F(c,0)为右焦点，
设D(x，y)，由＝2，
得(c，－b)＝2(x－c，y)，
即解得
所以D.
因为点D在椭圆上，
所以＋＝1，解得a2＝3c2，即e2＝，所以e＝.
7．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为( C )
A. B．
C． D．
[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，设BC＝2，则B(0,2,0)，A(2,0,0)，M(1，1,2)，N(1,0,2)，所以＝(1，－1,2)，＝(－1,0,2)，故BM与AN所成角θ的余弦值cos θ＝＝＝.
8．已知过抛物线C：y2＝4x的焦点F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，Q为AB的中点，P为C上一点，则|PF|＋|PQ|的最小值为( A )
A. B．
C．8 D．5
[解析] 抛物线C：y2＝4x的焦点F(1,0)，准线x＝－1，直线AB：y＝(x－1)，由
消去y并整理得3x2－10x＋3＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，线段AB的中点Q的横坐标xQ＝＝，过点Q作准线x＝－1的垂线，垂足为D，交抛物线C于点P，连接PF，如图，
于是|PF|＋|PQ|＝|PD|＋|PQ|＝|QD|＝，在抛物线C上任取点P′，过P′作准线x＝－1的垂线，垂足为D′，连接P′F，P′Q，D′Q，
则有|P′F|＋|P′Q|＝|P′D′|＋|P′Q|≥|D′Q|≥|QD|，当且仅当点P′与点P重合时取等号，
所以|PF|＋|PQ|的最小值为.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是( AB )
A．直线2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0必过定点(1,3)
B．过点P(2,1)作圆x2＋y2＝5的切线，切线方程为2x＋y－5＝0
C．经过点P(1,1)，倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tan θ(x－1)
D．直线2x－y－1＝0在x轴上的截距为，在y轴上的截距为1
[解析] 对于A选项，2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝(2x－3y＋7)＋m(2x＋y－5)＝0，
故直线2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0过2x－3y＋7＝0与2x＋y－5＝0的交点，联立得x＝1，y＝3，即直线2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0必过定点(1,3)，故正确；对于B选项，点P(2,1)在圆x2＋y2＝5上，圆心为(0,0)，所以切线的斜率为k＝－2，所以切线方程为y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0，故正确；对于C选项，经过点P(1,1)，倾斜角θ≠时，直线方程为y－1＝tanθ(x－1)，当θ＝时，直线方程为x＝1，故错误；对于D选项，令x＝0得y＝－1，令y＝0得x＝，所以直线2x－y－1＝0在x轴上的截距为，在y轴上的截距为－1，故错误．
10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1，C1D1的中点，则下列结论正确的是( AC )
A．A1C1∥平面CEF
B．B1D⊥平面CEF
C.＝＋－
D．点D与点B1到平面CEF的距离相等
[解析] 建立空间直角坐标系，如图所示，设AB＝2，平面CEF的法向量为n＝(x，y，z)．
∵E，F分别是A1D1，C1D1的中点，∴EF∥A1C1，
又EF 平面CEF，A1C1 平面CEF，∴A1C1∥平面CEF，故选项A正确；
C(0,2,0)，E(1,0,2)，F(0,1,2)，B1(2,2,2)，D(0,0,0)．
DB1＝(2,2,2)，＝(－1,1,0)，＝(0，－1,2)，
∴即
令x＝2，则∴n＝(2,2,1)，
∵DB1＝(2,2,2)，∴DB1与n不平行，
∴B1D不垂直平面CEF，故选项B错误；
＝＋＋＝＋＋
＝＋－，故选项C正确；
＝(0,2,0)，设点D到平面CEF的距离为d1，
则d1＝＝＝，
＝(－2,0，－2)，设B1到平面CEF的距离为d2，则d2＝＝＝2≠，故选项D错误．故选AC.
11．过抛物线x2＝8y的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B作抛物线的切线交于点P.则下列说法正确的是( BCD )
A．若|AB|＝16，则直线AB的倾斜角为
B．点P在直线y＝－2上
C．AP⊥BP
D.的最小值为
[解析] 由题可得，抛物线的焦点坐标为F(0,2)，
对于选项A，设AB：y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则与抛物线x2＝8y联立方程消元化简得x2－8kx－16＝0，所以x1＋x2＝8k，
所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4＝8k2＋4，
所以|AB|＝y1＋y2＋4＝8k2＋8＝16，解得k＝±1，
所以可知当|AB|＝16时，直线AB的倾斜角为或，所以选项A错误；设A，B，
设在A点处的切线方程为y＝k1x＋b1，由得x1＝4k1，即在点A处的切线斜率为，所以AP：y－＝(x－x1)，
即为y＝－，
同理可得BP：y＝－，
由
解得yP＝，由上知，x1x2＝－16，所以yP＝－2，
所以点P在直线y＝－2上，所以选项B正确；
因为kAP＝，kBP＝，
所以kAP·kBP＝＝－1，
所以AP⊥BP，
所以选项C正确；
因为P，
即为P(4k，－2)，
所以|PF|＝＝4，
因为|AB|＝y1＋y2＋4＝8k2＋8，
所以＝
＝2＋，
令t＝≥1，则原式＝2t＋.
因为函数y＝2t＋在[1，＋∞)上单调递增，
所以当t＝1，即k＝0时取到最小值，其最小值为，所以选项D正确．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知l1，l2是分别经过点A(1,1)，B(0，－1)的两条平行直线，则当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是_x＋2y－3＝0__.
[解析] 当直线AB与l1，l2均垂直时，l1，l2间的距离最大．∵A(1,1)，B(0，－1)，
∴kAB＝＝2，∴kl1＝－.
∴直线l1的方程为y－1＝－(x－1)，
即x＋2y－3＝0.
13．已知点P是椭圆＋＝1上的一点，点Q，则|PQ|的最小值为 .
[解析] 设P(x，y)，则|PQ|2＝2＋y2＝2＋3＝(x－1)2＋.
所以当x＝1时，|PQ|的最小值为＝.
14．已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于 .
[解析] 如图，建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为1.
A(1,0,0)，E，F，
所以＝，＝，
易知平面ABC的一个法向量为n1＝(0,0,1)．
设平面AEF的一个法向量为n2＝(x，y，z)，
则即
取x＝1，则y＝－1，z＝3，故n2＝(1，－1,3)．
所以cos〈n1，n2〉＝＝.
所以平面AEF与平面ABC所成的二面角的平面角α满足cos α＝，
则sin α＝，所以tan α＝.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．
(1)求双曲线的方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0.
[解析] (1)由双曲线的离心率为，可知双曲线为等轴双曲线，设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，又双曲线过点(4，－)，代入解得λ＝6，故双曲线的方程为x2－y2＝6.
(2)证明：由双曲线的方程为x2－y2＝6，可得a＝b＝，c＝2，所以F1(－2，0)，F2(2，0)．由点M(3，m)，得＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)，又点M(3，m)在双曲线上，所以9－m2＝6，解得m2＝3，所以·＝m2－3＝0.
16．(本小题满分15分)如图所示，点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且＝3，N为PD的中点．
(1)求满足＝x＋y＋z的实数x，y，z的值；
(2)若PA＝AB＝1，AD＝2，求MN的长．
[解析] (1)取PC的中点E，连接NE，则＝－＝－(－)＝－＝－＝－－(－＋＋)＝－－＋，所以x＝－，y＝－，z＝.
(2)因为PA＝AB＝1，AD＝2，且PA⊥AB，AB⊥AD，PA⊥AD，
而||2＝2
＝2＋2＋2
＝＋＋＝，
所以||＝.故MN的长为.
17．(本小题满分15分)已知m>0，n>0，过P(m，n)的直线l与x轴交于A点，与y轴交于B点，记l与坐标轴围成的三角形AOB的面积为S.
(1)若点P的坐标为(2,4)，且＝2，求直线l的方程；
(2)若点A，B都在正半轴上，求S的最小值．
[解析] (1)由题意可设A(a,0)，B(0，b)，因为P(2，4)，
所以＝(a－2，－4)，＝(－2，b－4)，
因为＝2，所以解得
故所求直线方程为＋＝1，即x－y＋2＝0.
(2)因为点A，B都在正半轴上，由(1)可得a>0，b>0，
设直线l的方程为＋＝1，将P(m，n)代入得＋＝1，
又m>0，n>0，所以>0，>0，
因此1＝＋≥2，即ab≥4mn，
所以直线l与坐标轴围成的三角形AOB的面积S△AOB＝ab≥2mn.
即S的最小值为2mn，当且仅当＝＝时取得最小值．
18．(本小题满分17分)(2023·新课标Ⅱ卷)如图，三棱锥A－BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC的中点．
(1)证明：BC⊥DA；
(2)点F满足＝，求二面角D－AB－F的正弦值．
[解析] (1)证明：如图，连接DE，AE，
因为DC＝DB，且E为BC的中点，所以DE⊥BC.
因为∠ADB＝∠ADC＝60°，DA＝DA，DC＝DB，
所以△ADB≌△ADC(SAS)．
可得AC＝AB，故AE⊥BC.
因为DE∩AE＝E，DE，AE 平面ADE，所以BC⊥平面ADE.
又DA 平面ADE，所以BC⊥DA.
(2)由(1)知，DE⊥BC，AE⊥BC.
不妨设DA＝DB＝DC＝2，因为∠ADB＝∠ADC＝60°，所以AB＝AC＝2.
由题可知△DBC为等腰直角三角形，故DE＝EB＝EC＝.
因为AE⊥BC，所以AE＝＝.
在△ADE中，AE2＋ED2＝AD2，所以AE⊥ED.
以E为坐标原点，ED所在直线为x轴，EB所在直线为y轴，EA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图，则D(，0,0)，B(0，，0)，A(0,0，)，＝(－，0，)，＝(0，－，)．
设F，因为＝，所以＝(－，0，)，可得F(－，0，)．
所以＝(，0,0)．
设平面DAB的法向量为m＝，
则即取x＝1，则y＝z＝1，m＝(1,1,1)．
设平面ABF的法向量为n＝，
则即得x＝0，取y＝1，则z＝1，n＝(0,1,1)．
所以cos〈m，n〉＝＝＝.
记二面角D－AB－F的大小为θ，则sin θ＝＝＝，
故二面角D－AB－F的正弦值为.
19．(本小题满分17分)(2022·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y＝±x.
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在C上，且x1>x2>0，y1>0.过P且斜率为－的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
[解析] (1)由题意得c＝2 ①.
因为双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，所以＝ ②.
又c2＝a2＋b2 ③，
所以联立①②③得a＝1，b＝，
所以双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)由题意知直线PQ的斜率存在且不为0，设直线PQ的方程为y＝kx＋b(k≠0)，将直线PQ的方程代入C的方程，整理得(3－k2)x2－2kbx－b2－3＝0，则x1＋x2＝，
x1x2＝－>0，
所以3－k2<0，
所以x1－x2＝
＝.
设点M的坐标为(xM, yM)，则
两式相减，得y1－y2＝2xM－(x1＋x2)，
又y1－y2＝(kx1＋b)－(kx2＋b)＝k(x1－x2)，
所以2xM＝k(x1－x2)＋(x1＋x2)，解得xM＝；
两式相加，得2yM－(y1＋y2)＝(x1－x2)，
又y1＋y2＝(kx1＋b) ＋(kx2＋b)＝k(x1＋x2) ＋2b，
所以2yM＝k(x1＋x2)＋(x1－x2)＋2b，
解得yM＝＝xM.
因此，点M的轨迹为直线y＝x，其中k为直线PQ的斜率．
若选择①②：因为PQ∥AB，所以直线AB的方程为y＝k(x－2)，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
不妨令点A在直线y＝x上，
则由
解得xA＝，yA＝，
同理可得xB＝，
yB＝－，
所以xA＋xB＝，yA＋yB＝.
点M的坐标满足
得xM＝＝，
yM＝＝，
故M为AB的中点，即|MA|＝|MB|.
若选择①③：当直线AB的斜率不存在时，点M即为点F(2,0)，
此时M不在直线y＝x上，矛盾．
当直线AB的斜率存在时，易知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为y＝m(x－2)(m≠0)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，
不妨令点A在直线y＝x上，
则由
解得xA＝，
yA＝，
同理可得xB＝，yB＝－，
因为M在AB上，且|MA|＝|MB|，所以xM＝＝，
yM＝＝，
又点M在直线y＝x上，
所以＝·，
解得k＝m，因此PQ∥AB.
若选择②③：因为PQ∥AB，所以直线AB的方程为y＝k(x－2)，
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
不妨令点A在直线y＝x上，
则由
解得xA＝，yA＝，
同理可得xB＝，yB＝－.
设AB的中点为C(xC, yC)，则xC＝＝，
yC＝＝.
因为|MA|＝|MB|，所以M在AB的垂直平分线上，即点M在直线y－yC＝－(x－xC)，
即y－＝－上，
与y＝x联立，得xM＝＝xC，yM＝＝yC，
即点M恰为AB的中点，故点M在直线AB上．
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线l过点(－3,0)，且与直线y＝2x－3垂直，则直线l的方程为( )
A．y＝－(x－3) B．y＝－(x＋3)
C．y＝(x－3) D．y＝(x＋3)
2．已知向量a＝(0,1,1)，b＝(1，－2,1)．若向量a＋b与向量c＝(－2，m，－4)平行，则实数m的值是( )
A．2 B．－2
C．10 D．－10
3．直线l：3x＋4y－1＝0被圆C：x2＋y2－2x－4y－4＝0所截得的弦长为( )
A．2 B．4
C．2 D．2
4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
5．以F(p＞0)为焦点的抛物线C的准线与双曲线x2－y2＝2相交于M，N两点，若△MNF为正三角形，则抛物线C的标准方程为( )
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．x2＝4y D．x2＝2y
6．已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且＝2，则椭圆C的离心率为( )
A. B．
C． D．3
7．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为( )
A. B．
C． D．
8．已知过抛物线C：y2＝4x的焦点F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，Q为AB的中点，P为C上一点，则|PF|＋|PQ|的最小值为( )
A. B．
C．8 D．5
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是( )
A．直线2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0必过定点(1,3)
B．过点P(2,1)作圆x2＋y2＝5的切线，切线方程为2x＋y－5＝0
C．经过点P(1,1)，倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tan θ(x－1)
D．直线2x－y－1＝0在x轴上的截距为，在y轴上的截距为1
10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1，C1D1的中点，则下列结论正确的是( )
A．A1C1∥平面CEF
B．B1D⊥平面CEF
C.＝＋－
D．点D与点B1到平面CEF的距离相等
11．过抛物线x2＝8y的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B作抛物线的切线交于点P.则下列说法正确的是( )
A．若|AB|＝16，则直线AB的倾斜角为
B．点P在直线y＝－2上
C．AP⊥BP
D.的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知l1，l2是分别经过点A(1,1)，B(0，－1)的两条平行直线，则当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是_ __.
13．已知点P是椭圆＋＝1上的一点，点Q，则|PQ|的最小值为 .
14．已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．
(1)求双曲线的方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0.
16．(本小题满分15分)如图所示，点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且＝3，N为PD的中点．
(1)求满足＝x＋y＋z的实数x，y，z的值；
(2)若PA＝AB＝1，AD＝2，求MN的长．
17．(本小题满分15分)已知m>0，n>0，过P(m，n)的直线l与x轴交于A点，与y轴交于B点，记l与坐标轴围成的三角形AOB的面积为S.
(1)若点P的坐标为(2,4)，且＝2，求直线l的方程；
(2)若点A，B都在正半轴上，求S的最小值．
18．(本小题满分17分)(2023·新课标Ⅱ卷)如图，三棱锥A－BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC的中点．
(1)证明：BC⊥DA；
(2)点F满足＝，求二面角D－AB－F的正弦值．
19．(本小题满分17分)(2022·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y＝±x.
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在C上，且x1>x2>0，y1>0.过P且斜率为－的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
本册综合测试题
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线l过点(－3,0)，且与直线y＝2x－3垂直，则直线l的方程为( B )
A．y＝－(x－3) B．y＝－(x＋3)
C．y＝(x－3) D．y＝(x＋3)
[解析] 因为直线y＝2x－3的斜率为2，所以直线l的斜率为－.又直线l过点(－3,0)，故所求直线的方程为y＝－(x＋3)．
2．已知向量a＝(0,1,1)，b＝(1，－2,1)．若向量a＋b与向量c＝(－2，m，－4)平行，则实数m的值是( A )
A．2 B．－2
C．10 D．－10
[解析] a＋b＝(1，－1,2)，由(a＋b)∥c得＝＝，解得m＝2，故选A.
3．直线l：3x＋4y－1＝0被圆C：x2＋y2－2x－4y－4＝0所截得的弦长为( A )
A．2 B．4
C．2 D．2
[解析] 由题意圆心C(1,2)，圆C的半径为3，
故C到l：3x＋4y－1＝0的距离为＝2，
故所求弦长为2＝2.
4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为( C )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
[解析] 双曲线中，e＝＝，c2＝a2＋b2，
所以＝＝＝＝＝，
故该双曲线的渐近线方程为y＝±x.
5．以F(p＞0)为焦点的抛物线C的准线与双曲线x2－y2＝2相交于M，N两点，若△MNF为正三角形，则抛物线C的标准方程为( C )
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．x2＝4y D．x2＝2y
[解析] 由题意，以F(p＞0)为焦点的抛物线C的准线y＝－，代入双曲线x2－y2＝2，可得x＝±，∵△MNF为正三角形，∴p＝×2，∵p＞0，∴p＝2，∴抛物线C的方程为x2＝4y.
6．已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且＝2，则椭圆C的离心率为( A )
A. B．
C． D．3
[解析] 如图，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，B(0，b)为上顶点，F(c,0)为右焦点，
设D(x，y)，由＝2，
得(c，－b)＝2(x－c，y)，
即解得
所以D.
因为点D在椭圆上，
所以＋＝1，解得a2＝3c2，即e2＝，所以e＝.
7．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为( C )
A. B．
C． D．
[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，设BC＝2，则B(0,2,0)，A(2,0,0)，M(1，1,2)，N(1,0,2)，所以＝(1，－1,2)，＝(－1,0,2)，故BM与AN所成角θ的余弦值cos θ＝＝＝.
8．已知过抛物线C：y2＝4x的焦点F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，Q为AB的中点，P为C上一点，则|PF|＋|PQ|的最小值为( A )
A. B．
C．8 D．5
[解析] 抛物线C：y2＝4x的焦点F(1,0)，准线x＝－1，直线AB：y＝(x－1)，由
消去y并整理得3x2－10x＋3＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，线段AB的中点Q的横坐标xQ＝＝，过点Q作准线x＝－1的垂线，垂足为D，交抛物线C于点P，连接PF，如图，
于是|PF|＋|PQ|＝|PD|＋|PQ|＝|QD|＝，在抛物线C上任取点P′，过P′作准线x＝－1的垂线，垂足为D′，连接P′F，P′Q，D′Q，
则有|P′F|＋|P′Q|＝|P′D′|＋|P′Q|≥|D′Q|≥|QD|，当且仅当点P′与点P重合时取等号，
所以|PF|＋|PQ|的最小值为.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是( AB )
A．直线2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0必过定点(1,3)
B．过点P(2,1)作圆x2＋y2＝5的切线，切线方程为2x＋y－5＝0
C．经过点P(1,1)，倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tan θ(x－1)
D．直线2x－y－1＝0在x轴上的截距为，在y轴上的截距为1
[解析] 对于A选项，2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝(2x－3y＋7)＋m(2x＋y－5)＝0，
故直线2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0过2x－3y＋7＝0与2x＋y－5＝0的交点，联立得x＝1，y＝3，即直线2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0必过定点(1,3)，故正确；对于B选项，点P(2,1)在圆x2＋y2＝5上，圆心为(0,0)，所以切线的斜率为k＝－2，所以切线方程为y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0，故正确；对于C选项，经过点P(1,1)，倾斜角θ≠时，直线方程为y－1＝tanθ(x－1)，当θ＝时，直线方程为x＝1，故错误；对于D选项，令x＝0得y＝－1，令y＝0得x＝，所以直线2x－y－1＝0在x轴上的截距为，在y轴上的截距为－1，故错误．
10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1，C1D1的中点，则下列结论正确的是( AC )
A．A1C1∥平面CEF
B．B1D⊥平面CEF
C.＝＋－
D．点D与点B1到平面CEF的距离相等
[解析] 建立空间直角坐标系，如图所示，设AB＝2，平面CEF的法向量为n＝(x，y，z)．
∵E，F分别是A1D1，C1D1的中点，∴EF∥A1C1，
又EF 平面CEF，A1C1 平面CEF，∴A1C1∥平面CEF，故选项A正确；
C(0,2,0)，E(1,0,2)，F(0,1,2)，B1(2,2,2)，D(0,0,0)．
DB1＝(2,2,2)，＝(－1,1,0)，＝(0，－1,2)，
∴即
令x＝2，则∴n＝(2,2,1)，
∵DB1＝(2,2,2)，∴DB1与n不平行，
∴B1D不垂直平面CEF，故选项B错误；
＝＋＋＝＋＋
＝＋－，故选项C正确；
＝(0,2,0)，设点D到平面CEF的距离为d1，
则d1＝＝＝，
＝(－2,0，－2)，设B1到平面CEF的距离为d2，则d2＝＝＝2≠，故选项D错误．故选AC.
11．过抛物线x2＝8y的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B作抛物线的切线交于点P.则下列说法正确的是( BCD )
A．若|AB|＝16，则直线AB的倾斜角为
B．点P在直线y＝－2上
C．AP⊥BP
D.的最小值为
[解析] 由题可得，抛物线的焦点坐标为F(0,2)，
对于选项A，设AB：y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则与抛物线x2＝8y联立方程消元化简得x2－8kx－16＝0，所以x1＋x2＝8k，
所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4＝8k2＋4，
所以|AB|＝y1＋y2＋4＝8k2＋8＝16，解得k＝±1，
所以可知当|AB|＝16时，直线AB的倾斜角为或，所以选项A错误；设A，B，
设在A点处的切线方程为y＝k1x＋b1，由得x1＝4k1，即在点A处的切线斜率为，所以AP：y－＝(x－x1)，
即为y＝－，
同理可得BP：y＝－，
由
解得yP＝，由上知，x1x2＝－16，所以yP＝－2，
所以点P在直线y＝－2上，所以选项B正确；
因为kAP＝，kBP＝，
所以kAP·kBP＝＝－1，
所以AP⊥BP，
所以选项C正确；
因为P，
即为P(4k，－2)，
所以|PF|＝＝4，
因为|AB|＝y1＋y2＋4＝8k2＋8，
所以＝
＝2＋，
令t＝≥1，则原式＝2t＋.
因为函数y＝2t＋在[1，＋∞)上单调递增，
所以当t＝1，即k＝0时取到最小值，其最小值为，所以选项D正确．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知l1，l2是分别经过点A(1,1)，B(0，－1)的两条平行直线，则当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是_x＋2y－3＝0__.
[解析] 当直线AB与l1，l2均垂直时，l1，l2间的距离最大．∵A(1,1)，B(0，－1)，
∴kAB＝＝2，∴kl1＝－.
∴直线l1的方程为y－1＝－(x－1)，
即x＋2y－3＝0.
13．已知点P是椭圆＋＝1上的一点，点Q，则|PQ|的最小值为 .
[解析] 设P(x，y)，则|PQ|2＝2＋y2＝2＋3＝(x－1)2＋.
所以当x＝1时，|PQ|的最小值为＝.
14．已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于 .
[解析] 如图，建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为1.
A(1,0,0)，E，F，
所以＝，＝，
易知平面ABC的一个法向量为n1＝(0,0,1)．
设平面AEF的一个法向量为n2＝(x，y，z)，
则即
取x＝1，则y＝－1，z＝3，故n2＝(1，－1,3)．
所以cos〈n1，n2〉＝＝.
所以平面AEF与平面ABC所成的二面角的平面角α满足cos α＝，
则sin α＝，所以tan α＝.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．
(1)求双曲线的方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0.
[解析] (1)由双曲线的离心率为，可知双曲线为等轴双曲线，设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，又双曲线过点(4，－)，代入解得λ＝6，故双曲线的方程为x2－y2＝6.
(2)证明：由双曲线的方程为x2－y2＝6，可得a＝b＝，c＝2，所以F1(－2，0)，F2(2，0)．由点M(3，m)，得＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)，又点M(3，m)在双曲线上，所以9－m2＝6，解得m2＝3，所以·＝m2－3＝0.
16．(本小题满分15分)如图所示，点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且＝3，N为PD的中点．
(1)求满足＝x＋y＋z的实数x，y，z的值；
(2)若PA＝AB＝1，AD＝2，求MN的长．
[解析] (1)取PC的中点E，连接NE，则＝－＝－(－)＝－＝－＝－－(－＋＋)＝－－＋，所以x＝－，y＝－，z＝.
(2)因为PA＝AB＝1，AD＝2，且PA⊥AB，AB⊥AD，PA⊥AD，
而||2＝2
＝2＋2＋2
＝＋＋＝，
所以||＝.故MN的长为.
17．(本小题满分15分)已知m>0，n>0，过P(m，n)的直线l与x轴交于A点，与y轴交于B点，记l与坐标轴围成的三角形AOB的面积为S.
(1)若点P的坐标为(2,4)，且＝2，求直线l的方程；
(2)若点A，B都在正半轴上，求S的最小值．
[解析] (1)由题意可设A(a,0)，B(0，b)，因为P(2，4)，
所以＝(a－2，－4)，＝(－2，b－4)，
因为＝2，所以解得
故所求直线方程为＋＝1，即x－y＋2＝0.
(2)因为点A，B都在正半轴上，由(1)可得a>0，b>0，
设直线l的方程为＋＝1，将P(m，n)代入得＋＝1，
又m>0，n>0，所以>0，>0，
因此1＝＋≥2，即ab≥4mn，
所以直线l与坐标轴围成的三角形AOB的面积S△AOB＝ab≥2mn.
即S的最小值为2mn，当且仅当＝＝时取得最小值．
18．(本小题满分17分)(2023·新课标Ⅱ卷)如图，三棱锥A－BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC的中点．
(1)证明：BC⊥DA；
(2)点F满足＝，求二面角D－AB－F的正弦值．
[解析] (1)证明：如图，连接DE，AE，
因为DC＝DB，且E为BC的中点，所以DE⊥BC.
因为∠ADB＝∠ADC＝60°，DA＝DA，DC＝DB，
所以△ADB≌△ADC(SAS)．
可得AC＝AB，故AE⊥BC.
因为DE∩AE＝E，DE，AE 平面ADE，所以BC⊥平面ADE.
又DA 平面ADE，所以BC⊥DA.
(2)由(1)知，DE⊥BC，AE⊥BC.
不妨设DA＝DB＝DC＝2，因为∠ADB＝∠ADC＝60°，所以AB＝AC＝2.
由题可知△DBC为等腰直角三角形，故DE＝EB＝EC＝.
因为AE⊥BC，所以AE＝＝.
在△ADE中，AE2＋ED2＝AD2，所以AE⊥ED.
以E为坐标原点，ED所在直线为x轴，EB所在直线为y轴，EA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图，则D(，0,0)，B(0，，0)，A(0,0，)，＝(－，0，)，＝(0，－，)．
设F，因为＝，所以＝(－，0，)，可得F(－，0，)．
所以＝(，0,0)．
设平面DAB的法向量为m＝，
则即取x＝1，则y＝z＝1，m＝(1,1,1)．
设平面ABF的法向量为n＝，
则即得x＝0，取y＝1，则z＝1，n＝(0,1,1)．
所以cos〈m，n〉＝＝＝.
记二面角D－AB－F的大小为θ，则sin θ＝＝＝，
故二面角D－AB－F的正弦值为.
19．(本小题满分17分)(2022·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y＝±x.
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在C上，且x1>x2>0，y1>0.过P且斜率为－的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
[解析] (1)由题意得c＝2 ①.
因为双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，所以＝ ②.
又c2＝a2＋b2 ③，
所以联立①②③得a＝1，b＝，
所以双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)由题意知直线PQ的斜率存在且不为0，设直线PQ的方程为y＝kx＋b(k≠0)，将直线PQ的方程代入C的方程，整理得(3－k2)x2－2kbx－b2－3＝0，则x1＋x2＝，
x1x2＝－>0，
所以3－k2<0，
所以x1－x2＝
＝.
设点M的坐标为(xM, yM)，则
两式相减，得y1－y2＝2xM－(x1＋x2)，
又y1－y2＝(kx1＋b)－(kx2＋b)＝k(x1－x2)，
所以2xM＝k(x1－x2)＋(x1＋x2)，解得xM＝；
两式相加，得2yM－(y1＋y2)＝(x1－x2)，
又y1＋y2＝(kx1＋b) ＋(kx2＋b)＝k(x1＋x2) ＋2b，
所以2yM＝k(x1＋x2)＋(x1－x2)＋2b，
解得yM＝＝xM.
因此，点M的轨迹为直线y＝x，其中k为直线PQ的斜率．
若选择①②：因为PQ∥AB，所以直线AB的方程为y＝k(x－2)，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
不妨令点A在直线y＝x上，
则由
解得xA＝，yA＝，
同理可得xB＝，
yB＝－，
所以xA＋xB＝，yA＋yB＝.
点M的坐标满足
得xM＝＝，
yM＝＝，
故M为AB的中点，即|MA|＝|MB|.
若选择①③：当直线AB的斜率不存在时，点M即为点F(2,0)，
此时M不在直线y＝x上，矛盾．
当直线AB的斜率存在时，易知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为y＝m(x－2)(m≠0)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，
不妨令点A在直线y＝x上，
则由
解得xA＝，
yA＝，
同理可得xB＝，yB＝－，
因为M在AB上，且|MA|＝|MB|，所以xM＝＝，
yM＝＝，
又点M在直线y＝x上，
所以＝·，
解得k＝m，因此PQ∥AB.
若选择②③：因为PQ∥AB，所以直线AB的方程为y＝k(x－2)，
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
不妨令点A在直线y＝x上，
则由
解得xA＝，yA＝，
同理可得xB＝，yB＝－.
设AB的中点为C(xC, yC)，则xC＝＝，
yC＝＝.
因为|MA|＝|MB|，所以M在AB的垂直平分线上，即点M在直线y－yC＝－(x－xC)，
即y－＝－上，
与y＝x联立，得xM＝＝xC，yM＝＝yC，
即点M恰为AB的中点，故点M在直线AB上．