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2023-2024北师大版七年级数学（下）第四章《三角形》综合复习（原卷版）
一、选择题
1．如图，AC⊥BE，DE⊥BE，若△ABC≌△BDE，AC=5，DE=2，则CE等于（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
2．如图， ，其中 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°．若BD∥AE，∠DBC＝20°，则∠CAE的度数是( )
A．40° B．60° C．70° D．80
4．下列线段中不能组成三角形的是（ ）
A．2，2，1 B．2，3，5 C．3，3，3 D．4，3，5
5．如图，已知△ABC中，AD是BC边上的中线，有以下结论：①AD平分∠BAC；②△ABD的周长－△ACD的周长=AB－AC；③BC=2AD；④△ABD的面积是△ABC面积的一半．其中正确的是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．②④ D．③④
6．如图，甲，乙两军区进行军事演练，乙军区在河东岸 处，因不知河宽，甲军的狙击手在 处很难瞄准乙军军营，于是甲军连长站在西岸的点 处，调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到乙军军营 处，然后他后退到 点，这时他的视点恰好落在 处，此时他只需测量脚站的 点和 点的距高，即可知道狙击手与乙军军营的距离，他判断的依据是（ ）
7．如图，已知：，，平分，，有下列结论：①；②；③；④.结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，在 中， ， ，以 为圆心，任意长为半径画弧分别交 、 于点 和 ，再分别以 、 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ，连结 并延长交 于点 ，则下列说法中正确的个数是（ ）
① 是 的平分线；② ；③ ；④
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线一点，当PA=CQ时，连结PQ交AC于D，则DE的长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，长方形纸片ABCD分别沿着EF、DH折叠后，点A，B，C分别落在点A′，B′，C′的位置，当DA'∥B'C'时，∠1=67°，则∠2=（ ）．
二、填空题
11．如图，平面镜 A 与 B 之间夹角为 120°，光线经过平面镜 A 反射后射在平面镜 B 上，再反射出去，若∠1=∠2，则∠1= 度．
12．如图所示，在中，已知点D、E、F、G分别为边的中点，且，则等于 ．
13．如图，在正方形方格中，各正方形的顶点叫做格点，三个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形。图中 是格点三角形，请你找出方格中所有与 全等，且以A为顶点的格点三角形．这样的三角形共有 个（ 除外）．
14．图1 是一盏可折叠台灯，图 2，图 3 是其平面示意图，固定底座于点，支架与分别可绕点和旋转，台灯灯罩且可绕点旋转调节光线角度，台灯最外侧光线，组成的始终保持不变．如图2，调节台灯使光线，，此时，则 ．现继续调节图2中的支架与灯罩，发现当最外侧光线与水平方向的夹角，且的角平分线与垂直时，光线最适合阅读（如图3），则此时 ．
15．如图1是一个消防云梯，其示意图如图2所示，此消防云梯由救援台AB，延展臂BC（B在C的左侧），伸展主臂CD，支撑臂EF构成，在操作过程中，救援台AB，车身GH及地面MN三者始终保持平行．当∠EFH=55°，BC∥EF时，∠ABC= 度；如图3，为了参与另外一项高空救援工作，需要进行调整，使得延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直，且∠EFH=78°，则这时∠ABC= 度
三、综合题
16．如图，BE是△ABC的角平分线，点D是AB边上一点，且∠DEB＝∠DBE.
（1）
DE与BC平行吗？为什么？
（2）若∠A＝40°，∠ADE＝60°，求∠C的度数.
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB.
（1）求∠CAD的度数；
（2）延长AC至E，使CE=AC，试说明DA=DE.
18．如图，已知直线相交于点O，．
图1 图2
图3
（1）如图1，请直接写出图中3对相等的角；（平角除外）
（2）如图2，作平分，求证：；
（3）如图3，点在上，点在上，连接，作平分交于点，交于点，若，，求的度数。
19．小亮、小颖的手上都有两根长度分别为 、 的木棒，小亮与小颖都想通过转动转盘游戏来获取第三根木棒的长度，如图，一个均匀的转盘平均分成 份，分别标有木棒的长度 ， ， ， ， ， 这 个数，小亮与小颖各转动转盘一次，停止后，指针指向的数字即为转出的第三根木棒的长度，若三根木棒能组成三角形则小亮获胜，三根木棒能组成等腰三角形则小颖获胜.
（1）小亮获胜的概率是 ；
（2）小颖获胜的概率是 ；
（3）请你用这个转盘设计一个游戏，使得对小亮与小颖均是公平的.
20．如图，已知∠DCE=90°，∠DAC=90°，BE⊥AC于B，且DC=EC.
（1）∠D和∠ECB相等吗？若相等，请说明理由；
（2）△ADC≌△BCE吗？若全等，请说明理由；
（3）能否找到与AB+AD相等的线段，并说明理由。
21．将直角三角板OMN的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分∠AON．
（1）如图，若∠BON＝60°，求∠AOM的度数；
（2）若∠AOM＝2∠COM，求∠AON的度数；
（3）将直角三角板OMN绕顶点O按逆时针方向旋转，在旋转过程中：当∠BON＝120°时，求∠COM的度数．
22．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．(温馨提示：本题可能用到知识点：三角形三角和为180°)
（1）如图1，若∠A=40°，求∠C的度数；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，说明：∠ABD=∠C；
（3）如图3，在(2)问的条件下，点E、F在射线DM上，连结BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF= 180° ，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数。
23．如图所示，是某城市街道示意图，已知 与 均是等边三角形（即三条边都相等，三个角都相等的三角形），点 为公交车停靠站，且点 在同一条直线上.
（1）图中 与 全等吗？请说明理由；
（2）连接 ，写出 与 的大小关系；
（3）公交车甲从 出发，按照 的顺序到达F站；公交车乙从B出发，按照 的顺序到达F站.若甲，乙两车分别从 两站同时出发，在各站停靠的时间相同，两车的平均速度也相同，则哪一辆公交车先到达指定站？为什么？
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2023-2024北师大版七年级数学（下）第四章《三角形》综合复习（答案解析版）
一、选择题
1．如图，AC⊥BE，DE⊥BE，若△ABC≌△BDE，AC=5，DE=2，则CE等于（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△BDE，AC=5，DE=2，
∴BE＝AC＝5，BC＝DE＝2，
∴CE＝BE－BC＝3，
故答案为：B
【分析】由△ABC≌△BDE，可得BE＝AC＝5，BC＝DE＝2，即可求解．
2．如图， ，其中 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴∠C= ，
∴∠B=180°-24°-36°=120°.故答案为：B.
【分析】根据全等三角形的性质可求∠C= ，然后根据三角形内角和计算即可.
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°．若BD∥AE，∠DBC＝20°，则∠CAE的度数是( )
A．40° B．60° C．70° D．80
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】过点C作CF∥BD，根据两直线平行，内错角相等即可求解．
【解答】解：
过点C作CF∥BD，则CF∥BD∥AE．
∴∠BCF=∠DBC=20°，
∵∠C=90°，
∴∠FCA=90-20=70°．
∵CF∥AE，
∴∠CAE=∠FCA=70°．
所以本题选C。
4．下列线段中不能组成三角形的是（ ）
A．2，2，1 B．2，3，5 C．3，3，3 D．4，3，5
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】根据三角形的三边关系依次分析各项即可判断。
【解答】A.1+2>2，C.3+3>3，D.3+4>5，均能组成三角形，不符合题意；
B.2+3=5，不能组成三角形，符合题意，
故选B.
5．如图，已知△ABC中，AD是BC边上的中线，有以下结论：①AD平分∠BAC；②△ABD的周长－△ACD的周长=AB－AC；③BC=2AD；④△ABD的面积是△ABC面积的一半．其中正确的是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．②④ D．③④
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵△ABC中，AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，但AD不一定平分∠BAC，故①不符合题意；
∵△ABD的周长=AB＋BD＋AD，△ACD的周长=AC＋CD＋AD
∴△ABD的周长－△ACD的周长=（AB＋BD＋AD）－（AC＋CD＋AD）
= AB－AC，故②符合题意；
∵AD是BC边上的中线，
∴BC=2BD，但BD不一定等于AD，
∴BC不一定等于2AD，故③不符合题意；
设点A到BC的距离为h，
∴S△ABD= BD·h，S△ABC= BC·h= ×2BD·h= BD·h
∴△ABD的面积是△ABC面积的一半，故④符合题意．
故正确的结论有②④．
故答案为：C．
6．如图，甲，乙两军区进行军事演练，乙军区在河东岸 处，因不知河宽，甲军的狙击手在 处很难瞄准乙军军营，于是甲军连长站在西岸的点 处，调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到乙军军营 处，然后他后退到 点，这时他的视点恰好落在 处，此时他只需测量脚站的 点和 点的距高，即可知道狙击手与乙军军营的距离，他判断的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：根据题意知AB＝PO，AO∥PQ，
∴∠AOB＝∠PQO，
又∵AB⊥BO，PO⊥BQ，
∴∠ABO＝∠POQ＝90°，
在△ABO和△POQ中，
，
∴△ABO≌△POQ（AAS），
∴BO＝OQ，
故答案为：B.
7．如图，已知：，，平分，，有下列结论：①；②；③；④.结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】垂线；平行公理及推论；平行线的性质；直角三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，CD∥EF，
∴AB∥EF，故①正确；
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠1，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠2=180°，即2∠1+∠2=180°（1），
∵AC⊥CE，
∴∠ACE=∠2+∠4=90°（2），
∴（1）-（2）得2∠1-∠4=90°，故②正确；
∵AB∥EF，
∴∠BAE+∠3=180°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠1，
∴∠1+∠3=180°，
∴2∠1+2∠3=360°（3），
∴（3）-（1）得2∠3-∠2=180°，故③正确；
∵CD∥EF，
∴∠CEF+∠4=180°，
∴∠3+∠CEA+∠4=180°，
∵∠ACE=90°，
∴∠AEC=90°-∠1，
∴∠3+∠4+90°-∠1=180°，即∠3+∠4-∠1=90°，
∵2∠1-∠4=90°，
∴∠1=45°+∠4，
∴∠3+∠4=135°，故④正确，
综上正确的有①②③④共4个.
故答案为：D.
【分析】由平行于同一直线的两条直线互相平行，得AB∥EF，故①正确；由角平分线的定义及二直线平行，同旁内角互补，可得2∠1+∠2=180°（1），由垂直的定义得∠2+∠4=90°（2），从而用（1）-（2）即可判断②正确；由角平分线的定义及二直线平行，同旁内角互补，可得2∠1+2∠3=360°（3），从而用（3）-（1）可判断③正确；由二直线平行，同旁内角互补，及直角三角形的量锐角互余可得∠3+∠4-∠1=90°，再由②得结论得∠1=45°+∠4，从而将两式相加可判断④正确.
8．如图，在 中， ， ，以 为圆心，任意长为半径画弧分别交 、 于点 和 ，再分别以 、 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ，连结 并延长交 于点 ，则下列说法中正确的个数是（ ）
① 是 的平分线；② ；③ ；④
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；三角形全等的判定；直角三角形的性质
【解析】【解答】①证明：连接NP，MP，
在△ANP与△AMP中，
∵ ，
∴△ANP≌△AMP，
则∠CAD=∠BAD，
故AD是∠BAC的平分线，故此选项符合题意；
②证明：∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2= ∠CAB=30°，
∴∠3=90° ∠2=60°，∠ADC=60°，故此选项符合题意；
③证明：∵∠1=∠B=30°，
∴AD=BD，故此选项符合题意；
④证明：∵在Rt△ACD中，∠2=30°，
∴CD= AD，
∴BC=BD+CD=AD+ AD= AD， = AC CD= AC AD，
∴ = AC BC= AC AD= AC AD，
∴ =1：3，故此选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】①连接NP，MP，根据SSS定理可得△ANP≌△AMP，故可得出结论；
②先根据三角形内角和定理求出∠CAB的度数，再由AD是∠BAC的平分线得出∠1=∠2=30°，
根据直角三角形的性质可知∠ADC=60°；
③根据∠1=∠B可知AD=BD，故可得出结论；
④先根据直角三角形的性质得出∠2=30°，CD= AD，再由三角形的面积公式即可得出结论．
9．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线一点，当PA=CQ时，连结PQ交AC于D，则DE的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F．
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，
∴AP=PF=AF，
∵PE⊥AC，
∴AE=EF，
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ．
∵在△PFD和△QCD中，
∠PDF＝∠QDC，∠PFD＝∠QCD，PF＝CQ，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD，
∵AE=EF，
∴EF+FD=AE+CD，
∴AE+CD=DE= AC，
∵AC=1，
∴DE= ．
故答案为：A.
10．如图，长方形纸片ABCD分别沿着EF、DH折叠后，点A，B，C分别落在点A′，B′，C′的位置，当DA'∥B'C'时，∠1=67°，则∠2=（ ）．
A．23° B．46° C．56° D．67°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，延长DA'交AB于点M，
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A=∠B=90°，
由折叠得∠A=∠DA'H=90°，∠B=∠B'=90°，∠BFE=∠EFB'，
∴∠EFB'=∠BFE=180°-∠1=113°，∠HA'M=90°，
∴∠B'FG=∠EFB'-∠1=46°，
∴∠C'GA=∠B'GF=90°-∠B'FG=44°，
∵ DA'∥B'C' ，
∴∠A'MH=∠C'GM=44°，
∴∠2=90°-∠A'MH=90°-44°=46°.
故答案为：B.
二、填空题
11．如图，平面镜 A 与 B 之间夹角为 120°，光线经过平面镜 A 反射后射在平面镜 B 上，再反射出去，若∠1=∠2，则∠1= 度．
【答案】30
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图所示，作出入射光线的法线，
根据“入射角等于反射角”可知∠1=∠3，∠2=∠4，
∵∠1=∠2，∠AOB=120°，
∴1=∠2=（180°﹣120°）÷2=30°．
故答案为：30．
12．如图所示，在中，已知点D、E、F、G分别为边的中点，且，则等于 ．
【答案】0.5cm2
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：点D、E、F、G分别为边、、、的中点
．
故答案为：0.5cm2．
13．如图，在正方形方格中，各正方形的顶点叫做格点，三个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形。图中 是格点三角形，请你找出方格中所有与 全等，且以A为顶点的格点三角形．这样的三角形共有 个（ 除外）．
【答案】5
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；作图-三角形
【解析】【解答】解：如图，，AB=1.
一共有5个.
故答案为：5.
14．图1 是一盏可折叠台灯，图 2，图 3 是其平面示意图，固定底座于点，支架与分别可绕点和旋转，台灯灯罩且可绕点旋转调节光线角度，台灯最外侧光线，组成的始终保持不变．如图2，调节台灯使光线，，此时，则 ．现继续调节图2中的支架与灯罩，发现当最外侧光线与水平方向的夹角，且的角平分线与垂直时，光线最适合阅读（如图3），则此时 ．
【答案】；
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作，过点B作，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图，过点A作，过点作交于点，
，
，
，平分，
，
，
，
，
角平分线与垂直，
，
，
，
故答案为：；．
15．如图1是一个消防云梯，其示意图如图2所示，此消防云梯由救援台AB，延展臂BC（B在C的左侧），伸展主臂CD，支撑臂EF构成，在操作过程中，救援台AB，车身GH及地面MN三者始终保持平行．当∠EFH=55°，BC∥EF时，∠ABC= 度；如图3，为了参与另外一项高空救援工作，需要进行调整，使得延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直，且∠EFH=78°，则这时∠ABC= 度
【答案】125；168
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，过点B作BK∥EH，
∵BC∥EF，BK∥EH，
∴∠CBK=∠EFH=55°，
∴∠ABC=180°-∠CBK=125°；
如图，延长EF、BC交于点G，再延长AB与EF的延长线交于点K，
∵延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直，
∴BG⊥FK，
∵AK∥FH，
∴∠K=∠EFH=78°，
∴∠GBK=90°-∠K=12°，
∴∠ABC=180°-12°=168°，
故答案为：125；168.
三、综合题
16．如图，BE是△ABC的角平分线，点D是AB边上一点，且∠DEB＝∠DBE.
（1）
DE与BC平行吗？为什么？
（2）若∠A＝40°，∠ADE＝60°，求∠C的度数.
【答案】（1） 与 平行.
是 的角平分线 ，
（2）
∴
中：
【分析】
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由 BE是△ABC的角平分线可得 ，且 ∠DEB＝∠DBE 易得 可得结果；
（2）由（1）可得 DE∥BC ，即可得 ，根据三角形内角和可得结果.
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB.
（1）求∠CAD的度数；
（2）延长AC至E，使CE=AC，试说明DA=DE.
【答案】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90 ，∠B＝30 ，
∴∠B＝30 ，
∴∠CAB＝60 .
又∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝ ∠CAB＝30 ，即∠CAD＝30 ；
（2）解：∵∠ACD＋∠ECD＝180 ，且∠ACD＝90 ，
∴∠ECD＝90 ，
∴∠ACD＝∠ECD.
在△ACD与△ECD中，
，
∴△ACD≌△ECD（SAS），
∴DA＝DE.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用“直角三角形的两个锐角互余”的性质和角平分的性质进行解答；（2）通过证△ACD≌△ECD来推知DA＝DE.
18．如图，已知直线相交于点O，．
图1 图2
图3
（1）如图1，请直接写出图中3对相等的角；（平角除外）
（2）如图2，作平分，求证：；
（3）如图3，点在上，点在上，连接，作平分交于点，交于点，若，，求的度数。
【答案】（1）解：∠AOC=∠BOD；∠AOD=∠BOC；∠AOE=∠BOE
∵
∴∠AOE=∠BOE，
∵∠AOC和∠BOD为对顶角，
∴∠AOC=∠BOD，
∴
∴∠AOD=∠BOC.
（2）解：设∠BOD=α，
∴∠AOC=∠BOD=α，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE=∠BOE=90°，
∴∠EOD=90°-α，
∵∠COE+∠EOD=180°，
∴∠COE=90°+α ，
∵OF平分∠COE，
∴∠COF=∠COE=45°+α，
∴∠AOF=∠COF-∠AOC=45°-α ，
∴2∠AOF=90°-α，
∴∠EOD=2∠AOF.
（3）解：∵NP平分∠MNO，
∴∠PNO=∠MNP=∠MNO，
∴∠PND=180°-∠PNO=180°-∠MNO，
∵∠PND-∠AOF=135°，
∴180°-∠MNO-∠AOF=135°，
∴∠MNO+∠AOF=90°，
∵∠EOF+∠AOF=90°，
∴∠MNO=∠EOF，
∵OF平分∠COE，
∴∠EOF=∠FOC，
∴∠MNO=∠FOC ，
∴MN∥OF，作QK∥MN，
∴QK∥OF，
∴∠NQK=∠MNQ，∠OQK=∠POQ，
∴∠OQN=∠MNQ+∠POQ，
∵∠EOF=3∠BOD，OF平分∠COE，
∴∠COF=∠EOF=3∠BOD，
∵∠AOC=∠BOD，
∴∠AOF=2∠BOD，
∵∠AOF+2∠EOF=90°，
∴5∠BOD=90°，
∴∠BOD=18°，
∴∠EOF=54°，
∴∠MNO=54°，
∴∠MNQ=∠MNO=27°，
∴∠OQN=54°+27°=81°.
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；对顶角及其性质；邻补角；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义、对顶角的性质以及等式的性质即可求解；
（2）设∠BOD=α，利用分别表示出∠EOD和∠AOF的度数，进而即可求解；
（3）根据角平分线的定义和∠PND-∠AOF=135°，即可得到：∠MNO+∠AOF=90°，进而得到：∠MNO=∠EOF，然后可证明MN∥OF，作QK∥MN，即可得到∠OQN=∠MNQ+∠POQ，根据∠EOF=3∠BOD，OF平分∠COE，得到∠COF=∠EOF=3∠BOD，进而求出∠BOD的度数，进而即可求解.
19．小亮、小颖的手上都有两根长度分别为 、 的木棒，小亮与小颖都想通过转动转盘游戏来获取第三根木棒的长度，如图，一个均匀的转盘平均分成 份，分别标有木棒的长度 ， ， ， ， ， 这 个数，小亮与小颖各转动转盘一次，停止后，指针指向的数字即为转出的第三根木棒的长度，若三根木棒能组成三角形则小亮获胜，三根木棒能组成等腰三角形则小颖获胜.
（1）小亮获胜的概率是 ；
（2）小颖获胜的概率是 ；
（3）请你用这个转盘设计一个游戏，使得对小亮与小颖均是公平的.
【答案】（1）
（2）
（3）解：小亮转动转盘一次，停止后指针指向的数字即为转出的第三根木棒的长度.若三根木棒能组成三角形则小亮获胜；
小颖转动转盘一次，停止后指针指向的数字为偶数，则小颖获胜，
∵在2，3，5，8，10，12这6个数字中，数字为偶数的有2、8、10、12这四个，
∴小颖获胜的概率是 ；
∴小亮获胜与小颖获胜的概率相等，是公平的.
【知识点】三角形三边关系；概率的简单应用
【解析】【解答】解：（1）设构成三角形的第三根木棒的长度为 ，
则 ，即 ，
∵在2，3，5，8，10，12这6个数字中，能与5、8构成三角形的有5、8、10、12这四个，
∴小亮获胜的概率是 ；
故答案为： ；
（ 2 ）∵在2，3，5，8，10，12这6个数字中，能与5、8构成等腰三角形的有5，8这两个，
∴小颖获胜的概率是 ；
故答案为： ；
【分析】（1）设构成三角形的第三根木棒的长度为x，则3＜x＜13，由在2，3，5，8，10，12这6个数字中，能构成三角形的有5、8、10、12这四个，利用概率公式计算可得；
（2）由2，3，5，8，10，12这6个数字中，能构成等腰三角形的有5，8这两个，利用概率公式计算可得；
（3）只要是两人获胜的概率相等即可得.
20．如图，已知∠DCE=90°，∠DAC=90°，BE⊥AC于B，且DC=EC.
（1）∠D和∠ECB相等吗？若相等，请说明理由；
（2）△ADC≌△BCE吗？若全等，请说明理由；
（3）能否找到与AB+AD相等的线段，并说明理由。
【答案】（1）相等； ∠D=∠ECB
∵∠D+∠ACD=90°，∠ECB+∠ACD=90°
∴∠D=∠ECB
（2）全等，AAS
∵∠D=∠ECB，∠EBC=∠A=90°，DC=EC
∴△ADC≌△BCE
（3）BE、AC
∵△ADC≌△BCE
∴AD=BC
∴AB+AD=AB+BC=AC=BE
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等，即可得到答案；
（2）由三角形全等的判定定理进行证明即可；
（3）根据三角形全等的性质，即可得到AB+AD等于AC，等于BE。
21．将直角三角板OMN的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分∠AON．
（1）如图，若∠BON＝60°，求∠AOM的度数；
（2）若∠AOM＝2∠COM，求∠AON的度数；
（3）将直角三角板OMN绕顶点O按逆时针方向旋转，在旋转过程中：当∠BON＝120°时，求∠COM的度数．
【答案】（1）解：∵∠MON=90°，∠BON=60°，
∴∠AOM=180°-∠MON-∠BON=180°-90°-60°=30°.
（2）解：∵射线OC平分∠AON，
∴∠AON=2∠AOC，
设∠COM=x，则∠AOM=2x，
∴∠CON=∠AOC=∠COM+∠AOM=x+2x=3x，
∵∠COM+∠CON=90°，
∴x+3x=90°，
解之：x=22.5°；
∴∠AON=6x=6×22.5°=135°
（3）解：当NO在直线AB的上方时，
∵∠AON=180°-∠BON，
∴∠AON=60°，
∵OC平分∠AON，
∴∠CON=∠AON=30°，
∵∠MON=90°，
∴∠COM=∠MON-∠CON=90°-30°=60°；
当ON在直线AB的下方时，
∵∠AON=180°-∠BON，
∴∠AON=60°，
∵OC平分∠AON，
∴∠CON=30°，
∴∠COM=∠MON+∠CON=90°+30°=120°；
∴∠COM的度数为60°或120°
【知识点】旋转的性质；线段的计算；邻补角；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据∠AOM=180°-∠MON-∠BON，代入计算求出∠AOM的度数.
（2）利用角平分线的定义可证得∠AON=2∠AOC，设∠COM=x，可表示出∠AOM，∠CON的度数；再根据∠COM+∠CON=90°，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，然后求出∠AON的度数.
（3）分情况讨论：当NO在直线AB的上方时，利用邻补角的定义可求出∠AON的度数，利用角平分线的定义求出∠CON的度数，根据∠COM=∠MON-∠CON，代入计算求出∠COM的度数；当ON在直线AB的下方时，可求出∠AON，∠CON的度数，根据∠COM=∠MON+∠CON，代入计算求出∠COM的度数；综上所述可得到∠COM的度数.
22．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．(温馨提示：本题可能用到知识点：三角形三角和为180°)
（1）如图1，若∠A=40°，求∠C的度数；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，说明：∠ABD=∠C；
（3）如图3，在(2)问的条件下，点E、F在射线DM上，连结BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF= 180° ，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数。
【答案】（1）解：如图1，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∠ADB=180°-90°-∠A=50°
∵AM∥CN，
∴∠C=∠ADB=50°
（2）解：如图2，过点B作BG∥ DM，
∵BD⊥AM，
∴DB⊥BG，
∴∠DBG= 90°，
∴∠ABD+∠ABG = 90°，
∵AB⊥BC，
∴∠CBG+∠ABG=90°，
∴∠ABD=∠CBG，
∵AM//CN，
∴∠C=∠CBG，
∴∠ABD=∠C
（3）解：如图3，过点B作BG∥DM，
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，
由(2)知∠ABD=∠CBG，
∴∠ABF=∠GBF，
设∠DBE=α，∠ABF=β，
则∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，
∠GBF=∠AFB=β，
∠BFC=3∠DBE= 3α，
∴∠AFC=3α+β，
∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，
∴∠FCB=∠AFC=3α+β，
△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得：
2α+β+3α+3α+β=180° ，
∵AB⊥BC，
∴β+β+2a=90°，
∴α= 15°，
∴∠ABE=15°，
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°
【知识点】垂线；平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用垂直的定义可证得∠ABC=90°，由此可求出∠ADB的度数；再利用两直线平行，同位角相等，可求出∠C的度数.
（2）过点B作BG∥ DM，∠DBG= 90°，由此可推出∠ABD+∠ABG = 90°；再利用垂直的定义可证得∠CBG+∠ABG=90°，利用余角的性质可得到∠ABD=∠CBG，然后根据两直线平行，内错角相等可证得∠C=∠CBG，即可证得结论.
（3）过点B作BG∥DM，利用角平分线的定义可得到∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，可推出∠ABF=∠GBF，设∠DBE=α，∠ABF=β，可分别表示出∠ABE、∠ABD、∠GBF、∠AFB、结合已知条件可表示出∠BFC、∠AFC、∠BCF；然后利用三角形的内角和定理和垂直的定义建立关于α和β的方程组，解方程组求出α和β的值，即可得到∠ABE的度数，根据∠EBC=∠ABE+∠ABC，代入计算可求解》
23．如图所示，是某城市街道示意图，已知 与 均是等边三角形（即三条边都相等，三个角都相等的三角形），点 为公交车停靠站，且点 在同一条直线上.
（1）图中 与 全等吗？请说明理由；
（2）连接 ，写出 与 的大小关系；
（3）公交车甲从 出发，按照 的顺序到达F站；公交车乙从B出发，按照 的顺序到达F站.若甲，乙两车分别从 两站同时出发，在各站停靠的时间相同，两车的平均速度也相同，则哪一辆公交车先到达指定站？为什么？
【答案】（1）解： ，
理由如下：
因为 与 均是等边三角形，
所以 ， ， .
所以 ，即 .
在 和 中，因为 ， ， .
所以 .
（2）解：如图，连接
由(1)
∴
∵
∵
∴
∴
∴
（3）解：公交车甲行驶路程为： .
公交车乙行驶路程为： .
由（1）知 ， ，
所以 ，（全等三角形的对应边相等）.
所以两车行驶的路程相等.
因为甲，乙两车分别从 两站同时出发，行驶的路程相等，在各站停靠的时间相同，两车的平均速度也相同，所以两公交车同时到达指定站.
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据SAS判定 ；
（2）先证明 即可判定 与 的大小关系；
（3）利用等边三角形的性质及全等三角形的对应边相等，从而推出两车同时到达.
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