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2023-2024北师大版七年级数学（下）第3次月考模拟卷（原卷版）
考试范围：第1章—第5章
一、选择题
1．已知，，则的值为（ ）
A． B．4 C． D．
2．如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分别是∠BAE，∠AED，∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．90° B．180° C．120° D．270°
3．如图是一种轨道示意图，其中和均为半圆，点M，A，C，N依次在同一直线上，且．现有两个机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为和．若移动时间为x，两个机器人之间距离为y，则y与x关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，已知，要说明，需从下列条件中选一个，错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，已知：，，平分，，有下列结论：①；②；③；④.结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图是由7个等边三角形拼成的图形，若要求出阴影部分的面积，则只需要知道（ ）
A．⑤和③的面积差 B．③和②的面积差
C．④和②的面积差 D．⑤和②的面积差
8．已知矩形MNPQ的顶点M，N，P，Q分别在正六边形ABCDEF的边DE，FA，AB，CD上，且．在点从移向（与不重合）的过程中，下列的判断中，正确的是（ ）
A．矩形MNPQ的面积与周长保持不变
B．矩形MNPQ的面积逐渐减小，周长逐渐增大
C．矩形MNPQ的面积与周长均逐渐增大
D．矩形MNPQ的面积与周长均逐渐减小
9．如图，正方形 的面积为 ， 是等边三角形，点 在正方形 内，在对角线 上有一点 ，使 的和最小，则这个最小值为（ ）．
A． B． C． D．
10．如图，在中，，点D为中点，，绕点D旋转，分别与边，交于E，F两点，下列结论：①；②；③；④始终为等腰直角三角形，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．③④ D．①②③④
二、填空题
11．已知，，则的值为 .
12．生活中常见一种折叠拦道闸，如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图2所示，垂直于地面于，平行于地面，则
13． 如图，在平面直角坐标系中，C，A 分别为x轴、y轴正半轴上的点，以 OA，OC为边，在第一象限内作矩形OABC，且将矩形 OABC翻折，使点 B与原点O 重合，折痕为 MN，点C 的对应点 C'落在第四象限，过 M点的反比例函数的图象恰好过MN的中点，则点 C'的坐标为 .
14．在中，∠C=90°，AC=6，BC=8，设P是BC上任一点，P点与B、C不重合，且，若，则与之间的函数关系式是 ，自变量取值范围为 ．
15．如图， 是等边三角形，点D为BC边上一点， ，以点D为顶点作正方形DEFG，且 ，连接AE，AG.若将正方形DEFG绕点D旋转一周，当AE取最小值时，AG的长为 .
三、综合题
16．如图，CA平分，，E为DA延长线上一点．
（1）请说明的理由．
（2）当AB平分，时，求的度数．
17．大自然中的大部分物质具有热胀冷缩现象，而水则具有反膨胀现象，如图所示是当温度在0℃~15℃时，水的密度（单位：）随着温度t（单位：℃）的变化关系图象．看图回答问题．
（1）图中的自变量是什么？因变量是什么？
（2）图中A点表示的意义是什么？
（3）当温度在0℃~15℃变化时，水的密度是如何变化的？
18．如图1，嘉琪想知道一堵墙上点A距地面的高度AO（墙与地面垂直，即 ），但又不便直接测量，于是嘉琪同学设计了下面的方案：
第一步：找一根长度大于OA的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹角 ；
第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到∠______= ．标记此时直杆的底端点D；
第三步：测量______的长度，即为点A的高度．
图1
（1）请你先补全方案，再利用所学的全等三角形的知识说明这样设计的理由．
（2）如图2，设AB与CD交于点E，善于观察和思考的明明同学猜想线段 ，你同意明明的观点吗 说明理由．
图2
19．如图1，有A型、B型、C型三种不同形状的纸板，A型是边长为a的正方形，B型是边长为b的正方形，C型是长为b，宽为a的长方形．现用A型纸板一张，B型纸板一张，C型纸板两张拼成如图2的大正方形．
（1）观察图2，请你用两种方法表示出图2的总面积．
方法1： ；
方法2： ；
请利用图2的面积表示方法，写出一个关于a，b的等式： ．
（2）已知图2的总面积为，一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为，求的值．
（3）用一张A型纸板和一张B型纸板，拼成图3所示的图形，若，，求图3中阴影部分的面积．
20．如图1，在平面直角坐标系 中，抛物线 与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点 的坐标值：
x … 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 0 …
（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2） 是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求 的最小值；
（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作 轴，垂足为F， 的外接圆与 相交于点E.试问：线段 的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.
21．从边长为 a 的正方形剪掉一个边长为 b 的正方形（如图 1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图 2）．
（1）上述操作能验证的等式是_______（请选择正确的一个）
A．a2﹣2ab+b2 ＝（a﹣b）2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2 +ab＝a（a+b）
（2）若 x2 ﹣9y2＝12，x+3y＝4，求 x﹣3y 的值；
（3）计算： ．
22．探究通过维修路段的最短时长．
素材1：如图1，某路段(A-B-C-D 段)需要维修，临时变成双向交替通行，故在A，D处各设置红绿灯指导交通(仅设置红灯与绿灯)．
素材2：甲车先由A→D通行，乙车再由D→A通行，甲车经过AB，BC，CD段的时间分别为10s，10s，8s，它的路程y (m)与时间t(s)的关系如图2所示；两车经过BC段的速度相等，乙车经过AB段的速度是10m/s．
素材3：红绿灯1，2每114秒一个循环，每个循环内红灯、绿灯的时长如图3，且每次双向红灯时，已经进入AD段的车辆都能及时通过该路段．
[任务1]求A-B-C-D段的总路程和甲车经过BC段的速度．
[任务2]在图4中补全乙车通过维修路段时行驶的路程y(m)与时间t(s)之间的函数图象．
[任务3]丙车沿NM方向行驶，经DA段的车速与乙车经过时的速度相同，在DN段等红灯的车辆开始行驶后速度为8m/s，等红灯时车流长度每秒增加2m，问丙车在DN段从开始等待至离开点A至少需要几秒钟？
23．如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数，且，）的图像经过点两点．
（1）m与n的数量关系是 .
A．B．C．D．
（2）如图2，若点A绕x轴上的点P顺时针旋转，恰好与点B重合．
①求点P的坐标及反比例函数的表达式；
②连接、，则的面积为 ▲ ；
（3）若点M在反比例函数的图像上，点N在y轴上，在（2）的条件下，是否存在以A、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
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2023-2024北师大版七年级数学（下）第3次月考模拟卷（答案解析版）
考试范围：第1章—第5章
一、选择题
1．已知，，则的值为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵（x-y）2=（x+y）2-4xy， ，，
∴（x-y）2=（）2-4×=16，
∴x-y=；
故答案为：C.
2．如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分别是∠BAE，∠AED，∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．90° B．180° C．120° D．270°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠4+∠5＝180°，
∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，
∴∠1+∠2+∠3＝180°.
故答案为：B.
3．如图是一种轨道示意图，其中和均为半圆，点M，A，C，N依次在同一直线上，且．现有两个机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为和．若移动时间为x，两个机器人之间距离为y，则y与x关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】动点问题的函数图象；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】由题意可得：机器人(看成点)分别从M， N两点同时出发，设圆的半径为R，
∴两个机器人最初的距离是AM+CN+2R，
∵两个机器人速度相同，
∴同时到达点A，C，
∴两个机器人之间的距离y越来越小， 故排除A、C；
当两个机器人分别沿A→D→C和C→B→A移动时，此时两个机器人之间的距离是2R，保持不变；
当机器人分别沿C→N和A→M移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除B；
故答案为：D.
4．如图，已知，要说明，需从下列条件中选一个，错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：A、在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（ASA）；不符合题意；
B、在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（AAS）；不符合题意；
C、在△ABD和△ACD中，DB=DC，AD=AD，∠1=∠2，用边边角不能判断这两个三角形全等；符合题意；
D、在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SAS）；不符合题意.
故答案为：C.
5．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠C=∠A=90°
由折叠的性质可得：C'D=CD=AB；∠C'=∠C=∠A
在△ABE与△C'ED中
∴△ABE≌△C'ED（AAS）
∴DE=BE
设DE=BE=x，则AE=8-x，AB=4，在直角三角形ABE中，
解得x=5
故答案为：C.
6．如图，已知：，，平分，，有下列结论：①；②；③；④.结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】垂线；平行公理及推论；平行线的性质；直角三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，CD∥EF，
∴AB∥EF，故①正确；
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠1，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠2=180°，即2∠1+∠2=180°（1），
∵AC⊥CE，
∴∠ACE=∠2+∠4=90°（2），
∴（1）-（2）得2∠1-∠4=90°，故②正确；
∵AB∥EF，
∴∠BAE+∠3=180°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠1，
∴∠1+∠3=180°，
∴2∠1+2∠3=360°（3），
∴（3）-（1）得2∠3-∠2=180°，故③正确；
∵CD∥EF，
∴∠CEF+∠4=180°，
∴∠3+∠CEA+∠4=180°，
∵∠ACE=90°，
∴∠AEC=90°-∠1，
∴∠3+∠4+90°-∠1=180°，即∠3+∠4-∠1=90°，
∵2∠1-∠4=90°，
∴∠1=45°+∠4，
∴∠3+∠4=135°，故④正确，
综上正确的有①②③④共4个.
故答案为：D.
7．如图是由7个等边三角形拼成的图形，若要求出阴影部分的面积，则只需要知道（ ）
A．⑤和③的面积差 B．③和②的面积差
C．④和②的面积差 D．⑤和②的面积差
【答案】C
【知识点】列式表示数量关系；整式的混合运算；三角形的面积；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：设7个等边三角形的边长依次为a，b，c，d，e，f，g，
∴S阴影=（c-b）·c=c·（c-b），
S④-S②=d·d-b·b=（d2-b2）=（d+b）（d-b），
∵a+b=c，a+c=d，
∴d+b=2c，d-b=2a
∴S④-S②=×2c·2a=c·a，
又∵a=c-b，
∴S④-S②=c·（c-b），
∴S④-S②=4S阴影，
∴只要知道④和②的面积之差就能求出阴影部分的面积.
故答案为：C.
8．已知矩形MNPQ的顶点M，N，P，Q分别在正六边形ABCDEF的边DE，FA，AB，CD上，且．在点从移向（与不重合）的过程中，下列的判断中，正确的是（ ）
A．矩形MNPQ的面积与周长保持不变
B．矩形MNPQ的面积逐渐减小，周长逐渐增大
C．矩形MNPQ的面积与周长均逐渐增大
D．矩形MNPQ的面积与周长均逐渐减小
【答案】D
【知识点】正多边形的性质；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】正六边形为轴对称图形，以EF之间的对称轴为y轴，以直线AD上的对称轴为x轴，建立平面直角坐标系．
设六边形的边长为2，
则，，
设直线ED的解析式为y=kx+b，
解得，
故ED的解析式为，
点M在线段ED上，故设M（x，y），
矩形NMQP中，N与M关于y轴对称，∴N（-x，y），
Q与M关于x轴对称，∴Q（x，-y），
∴，，
∴ 矩形的周长C=2（NM+MQ）=2(2x+2y)= =，
由于，故C的值会随x的增大而减小，点M从E移动到D的过程中，x不断增大，所以周长会不断减小；
矩形的面积
∵<0，抛物线开后向下，当x>1时，S随x的增大而减小，所以面积也会逐渐减小．
故答案为：D．
9．如图，正方形 的面积为 ， 是等边三角形，点 在正方形 内，在对角线 上有一点 ，使 的和最小，则这个最小值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】连接 、 、 关于 AC 对称．
∴ ．
∴ ，当 、 、 三点共线得 最小．
∴ ，选C．
10．如图，在中，，点D为中点，，绕点D旋转，分别与边，交于E，F两点，下列结论：①；②；③；④始终为等腰直角三角形，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：连接CD， 在中，，点D为中点 ，
∴AC=BC=AB，CD=BD，∠ACD=∠B=45°，∠CDB=90°，
∵ ，∠CDF+∠FDB=90°，
∴∠CDE=∠FDB，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴CE=BF，DE=DF，S△CDE≌S△BDF，
同理可证△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF，
∴AE+BF=AE+CE=AC=AB，△DEF为等腰直角三角形，
，
故①③④正确；
在Rt△CEF中，CE2+CF2=BF2+AE2=EF2，故②正确，
综上，正确的有①②③④.
故答案为：D.
【分析】连接CD，根据等腰直角三角形的性质得AC=BC=AB，CD=BD，∠ACD=∠B=45°，∠CDB=90°，用ASA证明△CDE≌△BDF，得CE=BF，DE=DF，S△CDE≌S△BDF，同理证△ADE≌△CDF，得AE=CF，进而根据线段的和差结合图形面积的计算方法割补法及勾股定理分别判断即可.
二、填空题
11．已知，，则的值为 .
【答案】17
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】根据题意，
代入m-n和mn
故答案为：17
12．生活中常见一种折叠拦道闸，如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图2所示，垂直于地面于，平行于地面，则
【答案】270
【知识点】角的运算；平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：过点B作BF∥AE，如图，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：270.
【分析】过点B作BF∥AE，则BF∥AE∥CD，由平行线的性质可得∠BCD+∠CBF=180°，根据垂直的概念可得∠ABF=90°，然后根据∠ABC+∠BCD=∠ABF+∠CBF+∠BCD进行计算.
13． 如图，在平面直角坐标系中，C，A 分别为x轴、y轴正半轴上的点，以 OA，OC为边，在第一象限内作矩形OABC，且将矩形 OABC翻折，使点 B与原点O 重合，折痕为 MN，点C 的对应点 C'落在第四象限，过 M点的反比例函数的图象恰好过MN的中点，则点 C'的坐标为 .
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】解：连接，交于点Q，如图所示：
∵矩形翻折，使点B与原点重合，折痕为，
∴，，
∵，
∴，
在和中
∴，
∴，即点Q是的中点，
∴点Q是反比例函数上的点，
过点Q作于点H，则是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∵点M是反比例函数上的点，
∴，
∵，
∴，
设，
则，
在中，根据勾股定理可得，
，
则
解得（负值已舍去），
则，，，
连接，作于G，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得，
∴，
∵点第四象限，
∴的坐标为，
故答案为：．
【分析】如图，连接，交于点Q，根据矩形的性质和平行线的性质可证，进而可知Q是的中点，根据反比例函数比例系数k的几何意义可知，由是的中位线可得，进而可得，结合计算可求得，根据和的面积关系得到，设，在中运用勾股定理并结合可求出，连接，作于G，通过已知条件可证，根据和面积相等的关系可求得，在中运用勾股定理求得，最后确定点所在象限即可求解。
14．在中，∠C=90°，AC=6，BC=8，设P是BC上任一点，P点与B、C不重合，且，若，则与之间的函数关系式是 ，自变量取值范围为 ．
【答案】y=24-3x；0＜x＜8
【知识点】函数自变量的取值范围；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】
解：（1）如图：在△APB中，
PB看作底边，则高是AC，
∵BC=8，CP=x，
∴BP=8-x，
∴S△ABP=×BP AC
=×（8-x）×6
=24-3x，
即y=24-3x。
故填：y=24-3x
（2）∵P点与B、C不重合，
∴0＜x＜8
故填： 0＜x＜8
【分析】（1）根据题意画出图形，利用三角形的面积公式即可得出y与x之间的函数关系式；
（2）由P点与B、C不重合得出自变量取值范围。
15．如图， 是等边三角形，点D为BC边上一点， ，以点D为顶点作正方形DEFG，且 ，连接AE，AG.若将正方形DEFG绕点D旋转一周，当AE取最小值时，AG的长为 .
【答案】8
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：过点A作 于M，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
当正方形DEFG绕点D旋转到点E、A、D在同一条直线上时， ，
即此时AE取最小值，
在 中， ，
∴在 中， ；
故答案为：8.
三、综合题
16．如图，CA平分，，E为DA延长线上一点．
（1）请说明的理由．
（2）当AB平分，时，求的度数．
【答案】（1）证明：∵CA平分∠BCD，
∴∠BCA=∠ACD，
∵∠CAD=∠ACD，
∴∠BCA=∠CAD，
∴AD∥BC.
（2）解：∵，
∴，，
∵AB平分∠EAC，
∴，
又∵∠CAD=∠ACD，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由角平分线定义得∠BCA=∠ACD，再与∠CAD=∠ACD，等量代换得∠BCA=∠CAD，即内错角相等，两直线平行，即可证明；
（2）根据平行线线性质得，，由角平分线定义得，结合∠CAD=∠ACD，可推出，即可求得∠D的度数.
17．大自然中的大部分物质具有热胀冷缩现象，而水则具有反膨胀现象，如图所示是当温度在0℃~15℃时，水的密度（单位：）随着温度t（单位：℃）的变化关系图象．看图回答问题．
（1）图中的自变量是什么？因变量是什么？
（2）图中A点表示的意义是什么？
（3）当温度在0℃~15℃变化时，水的密度是如何变化的？
【答案】（1）解：图中的自变量是温度t，因变量是水的密度．
（2）解：图中A点表示当温度℃时，水的密度为．
（3）解：由图可知，当温度在0℃~4℃时，水的密度逐渐增大；当温度在4℃~15℃时，水的密逐渐减小．
【知识点】函数的图象；通过函数图象获取信息并解决问题；用图象表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）根据自变量和因变量的定义直接求解即可；
（2）图中纵坐标是指水的密度（单位：） ，横坐标是指温度t（单位：℃） ，因此点A表示的意义是当温度℃时，水的密度为；
（3）当温度在0℃~4℃时，水的体积就是逐渐变小，根据公式可知水的密度随着温度的增大而增大；当温度在4℃~15℃时，水的体积就是逐渐增大，水的密度随着温度的增大而减小.
18．如图1，嘉琪想知道一堵墙上点A距地面的高度AO（墙与地面垂直，即 ），但又不便直接测量，于是嘉琪同学设计了下面的方案：
第一步：找一根长度大于OA的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹角 ；
第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到∠______= ．标记此时直杆的底端点D；
第三步：测量______的长度，即为点A的高度．
图1
（1）请你先补全方案，再利用所学的全等三角形的知识说明这样设计的理由．
（2）如图2，设AB与CD交于点E，善于观察和思考的明明同学猜想线段 ，你同意明明的观点吗 说明理由．
图2
【答案】（1）解：DCO|OD
理由如下：
∵AO⊥OD
∴∠AOB＝∠DOC＝90°
在△AOB与△DOC中
，
∴△AOB≌△DOC（AAS），
∴OA＝OD，
故答案为：DCO，OD；
（2）解：同意
理由：∵△AOB≌△DOC （已证）
∴OB＝OC， OA＝OD，∠OAB＝∠ODC，
∴OA－OC＝OD－OB，
即AC＝DB，
在△ACE与△DBE中，
，
∴△ACE≌△DBE（AAS），
∴AE＝DE．
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据 AO⊥OD ，得出 ∠AOB＝∠DOC＝90° ，证明 △AOB≌△DOC（AAS）， 即可得出结论；
（2） 同意 ，根据 ∵△AOB≌△DOC （已证） ，得出 AC＝DB， 再证明 △ACE≌△DBE（AAS）， 即可得出结论。
19．如图1，有A型、B型、C型三种不同形状的纸板，A型是边长为a的正方形，B型是边长为b的正方形，C型是长为b，宽为a的长方形．现用A型纸板一张，B型纸板一张，C型纸板两张拼成如图2的大正方形．
（1）观察图2，请你用两种方法表示出图2的总面积．
方法1： ；
方法2： ；
请利用图2的面积表示方法，写出一个关于a，b的等式： ．
（2）已知图2的总面积为，一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为，求的值．
（3）用一张A型纸板和一张B型纸板，拼成图3所示的图形，若，，求图3中阴影部分的面积．
【答案】（1）；；
（2）解：由题意得：，，
；
（3）解：由题意得，图中阴影部分的面积为：，
，，
图中阴影部分的面积为：．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）根据所给的图形判断求解即可；
（2）根据图2的总面积为，一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为， 求出 ，， 再求解即可；
（3）先求出 ，， 再求阴影部分的面积即可。
20．如图1，在平面直角坐标系 中，抛物线 与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点 的坐标值：
x … 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 0 …
（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2） 是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求 的最小值；
（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作 轴，垂足为F， 的外接圆与 相交于点E.试问：线段 的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.
【答案】（1）解：由表格数据可知，顶点坐标为（1，4）
设抛物线解析式为： ，
将点（0，3）代入解析式得：3=a+4，
∴ ，
∴抛物线解析式为： ，顶点坐标 .
（2）解：由表格可知，抛物线经过点A（-1，0），C（0，3），
如图3，将A点向上平移一个单位，得到 ，
则
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
作 关于MQ的对称点E，则
∴ ，
∴ ，
当P、E、C三点共线时， 最短，
设直线CE的解析式为： ，
将C、E两点坐标代入解析式可得： ，
∴ ，
∴直线CE的解析式为： ，
令 ，则 ，
∴当 时，P、E、C三点共线，此时 最短，
∴ 的最小值为 .
（3）解：是；
理由：设 ，
因为A、B两点关于直线x=1对称，
所以圆心位于该直线上，
所以可设 的外接圆的圆心为 ，
作 ，垂足为点N，则 ，
由 轴，
∴ ，
∵ ，且由表格数据可知
∴ ，
化简得： ，
∵点D是第四象限内抛物线上一动点，且抛物线解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 的长不变，为1.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）根据顶点坐标 （1，4） 可设抛物线顶点式： ， 将点（0，3）代入解析式可得结果；
（2） 由表格可知，抛物线经过点A（-1，0），C（0，3），将A点向上平移一个单位，得到 ，作 关于MQ的对称点E，则 当P、E、C三点共线时， 最短，根据点C、E坐标易得直线CE的解析式，由点P在对称轴上可得点P坐标，根据勾股定理可得结果；
（3）由抛物线的对称性可得圆心位于直线x=1上，设 的外接圆的圆心为 ，作 ，垂足为点N，则 、 ， 由 可得e、p、q关系式，再根据点D在抛物线上可整理，即可得点E坐标，可得结果.
21．从边长为 a 的正方形剪掉一个边长为 b 的正方形（如图 1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图 2）．
（1）上述操作能验证的等式是_______（请选择正确的一个）
A．a2﹣2ab+b2 ＝（a﹣b）2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2 +ab＝a（a+b）
（2）若 x2 ﹣9y2＝12，x+3y＝4，求 x﹣3y 的值；
（3）计算： ．
【答案】（1）B
（2）解：∵
∴
∵
∴
∴ ；
（3）解：
【知识点】代数式求值；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】（1）根据阴影部分的面积可得
故上述操作能验证的等式是B；
【分析】（1）结合图1和图2阴影部分面积建立等式即可；（2）利用平方差公式计算即可；（3）利用平方差公式展开计算化简，最后求值即可。
22．探究通过维修路段的最短时长．
素材1：如图1，某路段(A-B-C-D 段)需要维修，临时变成双向交替通行，故在A，D处各设置红绿灯指导交通(仅设置红灯与绿灯)．
素材2：甲车先由A→D通行，乙车再由D→A通行，甲车经过AB，BC，CD段的时间分别为10s，10s，8s，它的路程y (m)与时间t(s)的关系如图2所示；两车经过BC段的速度相等，乙车经过AB段的速度是10m/s．
素材3：红绿灯1，2每114秒一个循环，每个循环内红灯、绿灯的时长如图3，且每次双向红灯时，已经进入AD段的车辆都能及时通过该路段．
[任务1]求A-B-C-D段的总路程和甲车经过BC段的速度．
[任务2]在图4中补全乙车通过维修路段时行驶的路程y(m)与时间t(s)之间的函数图象．
[任务3]丙车沿NM方向行驶，经DA段的车速与乙车经过时的速度相同，在DN段等红灯的车辆开始行驶后速度为8m/s，等红灯时车流长度每秒增加2m，问丙车在DN段从开始等待至离开点A至少需要几秒钟？
【答案】解：[任务1]由图象可知A-B-C-D段的总路程220m，BC段路程长为（140-60）m，甲车通过BC段的时间是10秒，
∴ 甲车经过BC段的速度 （140-60）÷10=8米每秒；
答： A-B-C-D段的总路程是220m，甲车经过BC段的速度是8米每秒；
[任务2]由图象可得AB段长为60m，BC段长为（140-60）=80m，CD段长为（220-140）=80m，乙车经过AB段的时间为60÷10=6秒，
补全函数图象如图
[任务3]设红绿灯2由绿灯变成红灯后x秒丙车到达，则丙车需等待[114-（88-58）-x]秒，记丙车在DN段等待红灯至离开点A需要y秒，
则y=+84-x+26=x+110，
∵y随x的增大而减小，0≤x≤84，
∴当x=84时，y取得最小值，最小值为×84+110=47秒，
即丙车在DN段等待红灯至离开点A至少需要47秒钟.
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息并解决问题；用图象表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）任务1：根据图象提供的信息，读出图象最末点的纵坐标，就是A-B-C-D段的总路程；根据图象提供的信息找出BC段的长度，利用速度=路程除以时间即可求出甲车经过BC段的速度；
（2）任务2：根据图象提供的信息，分别找出AB段、BC段、CD段的路程，根据路程除以速度等于时间，算出乙车经过AB段的时间，进而即可补全图象；
（3）任务3：设红绿灯2由绿灯变成红灯后x秒丙车到达，则丙车需等待[114-（88-58）-x]秒，丙车开过增加车流的长度需要的时间为秒，记丙车在DN段等待红灯至离开点A需要y秒，进而根据y=丙车等待时间+通过DA段的时间+丙车开过增加车流的长度需要的时间建立出函数关系式，进而根据所得函数的性质即可解决问题.
23．如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数，且，）的图像经过点两点．
（1）m与n的数量关系是 .
A．B．C．D．
（2）如图2，若点A绕x轴上的点P顺时针旋转，恰好与点B重合．
①求点P的坐标及反比例函数的表达式；
②连接、，则的面积为 ▲ ；
（3）若点M在反比例函数的图像上，点N在y轴上，在（2）的条件下，是否存在以A、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）B
（2）解：①过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，
∴，
∴，
∵点A绕x轴上的点P顺时针旋转90°，恰好与点B重合
∴，，
∴，
∴，
∵在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵反比例函数的表达式为过，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
②8.
（3）解：∵M在反比例函数的图象上，点N在y轴上，
∴设，
∵以A、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形，
∴以A、B、M、N为顶点的四边形对角线互相平分，
①当为对角线时，
，解得：，
∴；
②当为对角线时，
，解得：，
∴；
∵，
∴不符合题意，舍去
③当为对角线时，
，解得：，
∴
综上：存在，或．
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；旋转的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（1） ∵点都在中，
∴k=-6m=-2n，即n=3m，
故答案为：B.
（2）②连接OA、OB，
则四边形ACOB的面积=△BOD的面积+梯形ACDB的面积=△AOB的面积+△AOC的面积，
∵点A（-6，1），B（-2，3）都在上，
∴△ACO的面积=△BDODE面积，CD=4，AC=1，BD=3，
∴△AOB的面积=梯形ACDB的面积=×（3+1）×4=8，
故答案为：8.
【分析】（1）将点代入得k=-6m=-2n，据此判断即可；
（2）①过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，则，由旋转可得，，从而得出，即得，根据AAS证明△ACP≌△PDB，可得，，，，由可得n+m+2=6，结合n=3m求出m、n的值，即得P、A、B的坐标，将点A坐标代入解析式中即可求解；
②连接OA、OB，可推出△AOB的面积=梯形ACDB的面积，利用梯形的面积公式计算即可；
（3）分三种情况：①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时，根据平行四边形的性质分别求解即可.
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