辽宁省沈阳市南昌初级中学2023-2024学年九年级下学期开学调研数学试卷

辽宁省沈阳市南昌初级中学2023-2024学年九年级下学期开学调研数学试卷
一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．（2024九下·沈阳开学考）《九章算术》中注“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣8℃表示气温为（　　）
A．零上8℃ B．零下8℃ C．零上2℃ D．零下2℃
【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：根据正负数的定义可知：若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣8℃表示气温为零下8℃.
故答案为：B.
【分析】根据正数与负数可以表示一对具有相反意义的量，故知道了正数所表示的量，即可解答此题了.
2．（2024九下·沈阳开学考）如图是由四个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：几何体从正面看得到的平面图形是.
故答案为：D.
【分析】根据主视图即为从正面看所得到的平面图形，从而找出其主视图中小正方形的行数与列数及各行各列小正方形的个数，即可选出答案.
3．（2022·山西模拟）中国传统纹饰图案不但蕴含了丰富的文化，而且大多数图案还具有对称美．下列纹饰图案中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、是中心对称图形，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据中心对称图形的定义逐项判断即可。
4．（2024九下·沈阳开学考）下列运算结果正确的是（　　）
A．2a+3a＝5a2 B．（﹣ab2）3＝﹣a3b6
C．a3 a3＝a9 D．（a+2b）2＝a2+4b2
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、根据合并同类项的定义可知2a+3a=5a，而不等于5a2，故A选项错误；
B、根据积的乘方运算法则可知 （﹣ab2）3＝（﹣a）3b6 =-a3b6，故B选项正确；
C、根据同底数幂乘法的运算法则a3 a3＝a6，而不等于a9 ，故C选项错误；
D、根据完全平方公式可知 （a+2b）2＝a2+4ab+4b2 ，而不等于a2+4b2 ，故D选项错误.
故答案为：B.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断B选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断C选项；根据完全平方公式的展开式是一个三项式，首平方，尾平方，积的2倍放中央，即可判断D选项.
5．（2024九下·沈阳开学考）关于一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的根的情况，下列判断正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有且只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据一元二次方程根的判别式：△=b2-4ac=（-1）2-4×1×（-2）=1+8=9>0，故该一元二次方程有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，故算出该方程根的判别式的值，即可判断得出答案.
6．（2024九下·沈阳开学考）解分式方程时，将方程两边都乘同一个整式，得到一个一元一次方程，这个整式是（　　）
A．x B．x﹣3 C．x（x﹣3） D．x+（x﹣3）
【答案】C
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解： 分式方程 两边同乘整式x（x﹣3）可得到一个一元一次方程.
故答案为：C.
【分析】根据该分式方程分分母x-3和x没有相同的因式，则该分式方程两边同乘整式x（x﹣3）即可.
7．（2024九下·沈阳开学考）关于一次函数y＝kx+1的图象如图所示，下列说法错误的是（　　）
A．k＜0 B．过点（0，1）
C．y随x的增大而减小 D．当x＞0时，y＜0
【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由图象可知该一次函数y随x的增大而减小，则k<0，故A、C选项正确；
B、将x=0代入该一次函数中得到y=1，则该一次函数经过（0，1）点，故B选项正确；
D、根据图象可知当x＞0时，y可能小于0，也可能大于0，故D选项错误.
故答案为：D.
【分析】一次函数y=kx+b中，当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小，据此可判断A、C选项；根据函数图象上点的坐标特点，将x=0代入解析式算出对应的函数值，即可判断B选项；求x＞0时，函数值y的取值范围，就是看y轴右边图象函数值的取值范围，据此可判断D选项.
8．（2024九下·沈阳开学考）我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗，设清酒有x斗，那么可列方程为（　　）
A．3x+10（5﹣x）＝30 B．
C． D．10x+3（5﹣x）＝30
【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：设清酒有x斗，那么醑酒有(5-x)斗.
根据题意可列方程：10x+3（5﹣x）＝30.
故答案为：D.
【分析】根据题意首先设清酒有x斗，那么醑酒有(5-x)斗，然后根据一斗清酒价值10斗谷子，可得出x斗清酒价值10x斗谷子，再根据一斗醑酒价值3斗谷子可得出(5-x)斗醑酒价值3（5﹣x）斗谷子，最后根据共有30斗谷子，可列方程：10x+3（5﹣x）＝30.
9．（2023·枣庄）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】如图：
根据题意可得：∠BCD=360°÷6=60°，EF//BD，∠ABC=120°，
∴∠BDC=∠1=44°，
∵∠3是△BCD的外角，
∴∠3=∠BDC+∠BCD=104°，
∴∠2=∠ABC-∠3=16°，
故答案为：B.
【分析】先求出∠BDC=∠1=44°，利用三角形外角的性质求出∠3=∠BDC+∠BCD=104°，再利用角的运算求出∠2=∠ABC-∠3=16°即可。
10．（2024九下·沈阳开学考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于点D，再分别以B，D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点E，连接DE．以下结论不正确的是（　　）
A．∠BCE＝36° B．BC＝AE
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠ACB=
根据题意可知CP平分∠ACB.
∴∠BCE=∠ACE=故A选项正确；
∴∠ACE=∠A=36°，
∴AE=CE，
∵∠CEB=∠A+∠ACE=72°.
∴∠B=∠CEB=72°，
∴CB=CE，
∴BC=AE=CE，故B选项正确；
∵△BCE是顶角为36°的等腰三角形，
∴△BCE是黄金三角形，
∴AE∴
∴故D选项正确.
故答案为：C.
【分析】首先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可出∠ABC=∠ACB=72°，再根据题意可知：CP平分∠ACB，由此可得∠BCE=∠ACE=36°，然后根据等量代换得∠A=∠ACE=36°，由此得 AE=CE，再利用三角形的外角性质得∠B=∠CEB=72°，由此得CB=CE，进而可得AE=CE=CB，最后根据黄金三角形的定义得再利用三角形的面积公式得，从而计算出答案选出符合题意的选项即可.
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．（2019·婺城模拟）因式分解m3﹣4m＝　 　.
【答案】m（m+2）（m﹣2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式＝m（m2﹣4）＝m（m+2）（m﹣2），
故答案为：m（m+2）（m﹣2）
【分析】观察此多项式的特点：有两项，这两项的符号相反，含有公因式m，由此先提取公因式，再利用平方差公式分解即可。
12．（2024九下·沈阳开学考）如图，已知A，B的坐标分别为（1，2），（3，0），将△OAB沿x轴正方向平移，使B平移到点E，得到△DCE，若OE＝4，则点C的坐标为 　 　．
【答案】（2，2）
【知识点】平移的性质；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：根据题意，已知A，B的坐标分别为（1，2），（3，0）， 将△OAB沿x轴正方向平移，使B平移到点E，得到△DCE，
∴OB=DE=3，C点纵坐标为2.
∵OE=4.
∴OD=BE=4-3=1.
根据平移的性质可得：C点的横坐标为1+1=2.
故C点坐标为（2，2）.
故答案为：（2，2）.
【分析】根据A，B两点的坐标和OE的长可求出OD的长，再根据平移的性质即可求出C点坐标.
13．（2024九下·沈阳开学考）一个不透明的箱子里有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除了颜色外其他都相同，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，则摸出的两个球恰好颜色不同的概率为 　 　．
【答案】
【知识点】列表法与树状图法；复合事件概率的计算
【解析】【解答】解：根据题意画树状图：
P（颜色不同）
【分析】根据题意画出树状图，找出可能出现的情况总数，再找出符合题意的情况，最后根据概率公式求出概率即可.
14．（2024九下·沈阳开学考）如图，在 ABCD中，边AB在x轴上，边AD交y轴于点E．反比例函数的图象恰好经过点D，与对角线DB交于点F．若AE＝2ED，DF＝3FB，S△DBC＝14，则k的值为　 　
【答案】4
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，过点D作DG上x轴于点G，过点F作FHLx轴于点H，
设点D(a，)，
则OG=a，DG=，
∵DGx轴，
∴∠AOE=∠AGD=90°，
又∵∠OAE=∠GAD，
∴△AOE~△AGD，
∴
∵AE=2ED，
∴
AO=AG，
∴OG=AG-AO=AG，
∴AG=3OG=3a，
∵DGx轴，FHx轴，
∴∠BHF=∠BGD =90°，
又∵∠FBH=∠DBG，
∴△BFH~△BDG，
∴
∵DF=3FB，
∴
∴FH=DG=，即点F的纵坐标为，
∴F(4a，)，
∵FH⊥x轴，
∴点H的横坐标为4a，
∴GH=4a-a=3a，
∵即BG=4BH，
∴GH= BG-BH= 3BH = 3a，
∴BH=a，
∴BG=GH+BH=4a
∴AB=AG+BG=7a，
∵BD为四边形ABCD的对角线，S△DBC=14，
∴S△ABD=S△DBC=14，即AB x DG=x7a×=14，
解得k= 4，即k的值为4.
故答案为：4.
【分析】首先过点D作DGx轴于点G，过点F作FHx轴于点H，然后设D(a，)，则OG=a，
DG=，证明△AOE~△AGD，结合相似三角形的性质以及AE=2ED可得AG=3a，然后再求证△BFH~△BDG，结合相似三角形的性质以及DF=3FB可得BG= 4a，即AB=AG+BG=7a，最后根据 S△ABD=S△DBC=14，即可求出k的值.
15．（2024九下·沈阳开学考）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，P是对角线AC上的动点，连接DP，将直线DP绕点P顺时针旋转使∠DPG＝∠DAC，且过D作DG⊥PG，连接CG，则CG最小值为　 　．
【答案】
【知识点】矩形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图所示，作DHAC于H，连接HG延长HG交CD于F，作HECD于E.
∵DGPG，DHAC，
∴∠DGP=∠DHA，
∵∠DPG=∠DAH，
∴△ADH~△PDG，
∴∠ADH=∠PDG，
∴∠ADP=∠HDG，
∴△ADP~△DHG，
∴∠DHG = ∠DAP（是一个定值），
∴点G在射线HF上运动，
∴当CGHF时，CG的值最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC = 90°，
∴∠ADH+∠HDF= 90°，
∵∠DAH+∠ADH=90°，
∴∠HDF=∠DAH=∠DHF，
∴FD=FH，
∴∠FCH+∠CDH=90°， ∠FHC+∠FHD=90°，
∴∠FHC=∠FCH，
∴FH=FC=DF=1.5，
在Rt△ADC中，∠ADC =90°，AD = 4，CD=2，
∴AC=
DH=
∴CH=
∴EH=
∵∠CFG=∠HFE，∠CGF=∠HEF =90°，CF=HF，
∴△CGF≌△HEF(AAS)，
∴CG=EH=，
∴CG的最小值为.
故答案为：.
【分析】首先作DHAC于H，连接HG延长HG交CD于F，作HE⊥CD于E.证明△ADP~△DHG，得出∠DHG=∠DAP（是一个定值），得出点G在射线HF上运动，从而得出当 CGHF时，CG的值最小，求出CG的长即可.
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（2024九下·沈阳开学考）计算：
（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中x．
【答案】（1）解：原式=-（-）++1-
=+2+1-
=（-）+3
=3
（2）解：先化简，再求值：，其中x．
=
=
=
=
=
=
将x=代入中得
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）从左向右先计算，再计算=2，最后按照运算顺序计算出答案即可.
（2）根据题意，先将 变形为 ，然后根据乘法分配律和平方差公式将其化简得到：5x-3，最后将 x 代入求值即可.
17．（2024九下·沈阳开学考）为丰富学生课余生活，展示青少年美育学习成效，推动美育教育大发展．惠农区教体局组织开展了“百米长卷绘盛世 笔墨丹青寄未来”绘画活动，某学校为绘画小组购买某种品牌的A、B两种型号的颜料，若购买1盒A种型号的颜料和2盒B种型号的颜料需用56元；若购买2盒A种型号的颜料和1盒B种型号的颜料需用64元．
（1）求每盒A种型号的颜料和每盒B种型号的颜料各多少元；
（2）某中学决定购买以上两种型号的颜料共200盒，总费用不超过3920元，那么该中学最多可以购买多少盒A种型号的颜料？
【答案】（1）解：设每盒A种型号的颜料a元，每盒B种型号的颜料b元，
由题意可得：，
解得，
答：每盒A种型号的颜料24元，每盒B种型号的颜料16元；
（2）解：设购买x盒A种型号的颜料，则购买（200﹣x）盒B种型号的颜料，
∵总费用不超过3920元，
∴24x+16（200﹣x）≤3920，
解得x≤90，
∵x为整数，
∴x的最大值为90，
答：该中学最多可以购买90盒A种型号的颜料．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）首先设每盒A种型号的颜料a元，每盒B种型号的颜料b元，再根据购买1盒A种型号的颜料和2盒B种型号的颜料需用56元；若购买2盒A种型号的颜料和1盒B种型号的颜料需用64元，列出二元一次方程组，求出a，b的值即可；
（2）根据购买a、b两种型号的颜料共200盒，设购买x盒A种型号的颜料，则购买（200﹣x）盒B种型号的颜料，再根据总费用不超过3920元列出不等式求出x的取值范围，根据x为整数，求出最大值即可.
18．（2024九下·沈阳开学考）中考体育测试前，某区教育局为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽测了本区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅不完整的统计图：
请你根据图中的信息，解答下列问题：
（1）写出扇形图中a＝ ▲ %，并补全条形图；
（2）在这次抽测中，测试成绩的众数和中位数分别是 ▲ 个、▲ 个．
（3）该区体育中考选报引体向上的男生共有1800人，如果体育中考引体向上达6个以上（含6个）得满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名？
【答案】（1）解：扇形统计图中a＝1﹣30%﹣15%﹣10%﹣20%＝25%，
设引体向上6个的学生有x人，由题意得
，解得x＝50．
条形统计图补充如下：
（2）解：由条形图可知，引体向上5个的学生有60人，人数最多，所以众数是5；
共200名同学，排序后第100名与第101名同学的成绩都是5个，故中位数为（5+5）÷2＝5
故答案为：5；5；
（3）解：1800＝810（名）．
答：估计该区体育中考选报引体向上的男生能获得满分的同学有810名．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；中位数；众数
【解析】【分析】（1）根据扇形统计图中的其他数值求出a的值填入横线上即可，然后根据测试总人数不变，设引体向上6个的学生有x人，根据题意列出方程求出x的值，然后补全条形统计图即可；
（2）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)，简单的说，就是一组数据中占比最多的那个数，反应的是一组数据的集中趋势的量；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此结合统计图给的信息解题即可；
（3）首先根据题意先算出测试样本中体育中考引体向上得满分的人数占样本总数的百分比，由此估算出1800名学生中得满分的人数即可.
19．（2024九下·沈阳开学考）北京市平谷区是中国著名的大桃之乡，有着“山水平谷、森林城市、花果田园、人文胜地”的美誉．平谷大桃久负盛名，已经成为北京特色农业的代表、平谷区的一张名片．经过50多年的发展，大桃产业已成为平谷10万农民增收致富的重要渠道．每年盛夏时节，平谷大桃就会迎来成熟期．平谷某水果店采用线上和线下相结合的方式销售一种水蜜桃，线上可以通过“快团团”APP进行团购拼单购买，线下可以到实体店购买．具体费用标准如下：
①线上销售方式：一律七折销售；
②线下销售方式：不超过5千克，按原价销售；超过5千克时，超出的部分每千克优惠9元；
购买水蜜桃x千克，所需费用y元，y与x之间的函数关系如图所示．
（1）水蜜桃标价为 　 　元/千克；
（2）求出线下销售时所需费用y与x之间的函数关系式；
（3）若想购买20千克水蜜桃，请问采用哪种方式购买更省钱？
【答案】（1）20
（2）解：由题意知，折线为线下销售，
线上销售：y＝20×0.7x＝14x，
线下销售：
当0≤x≤5时，y＝20x，
当x＞5时，y＝20×5+（x﹣5）×（20﹣9）＝11x+45，
∴线下销售y与x之间的函数关系为y．
（3）解：线上销售：y＝20×0.7x＝14x，
当x＝20时，y＝280；
当x＝20时，y＝11×20+45＝265．
∵280＞265，
∴想购买水蜜桃20千克，选择线下购买更省钱．
【知识点】分段函数；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）解：设水蜜桃标价为a元/千克.
6a×0.7=84
6a=84÷0.7
6a=120
a=20
答：水蜜桃标价为20千克.
【分析】（1）根据题意设水蜜桃的标价为a元，根据题意以及图象列出方程求出a的值即可；
（2）根据题意：线下销售不超过5千克，按原价销售；超过5千克时，超出的部分每千克优惠9元；因此分两种情况来讨论：①当0≤x≤5时，②当x＞5时分别列出函数解析式即可；线上销售根据总费用=单价乘以数量×折扣率可列出函数关系式；
（3）根据线上销售的解析式，将x=20代入求出所需费用y的值，然后根据线下销售的解析式，把x=20代入其中求出所需费用y的值，对比两种销售方式哪种更省钱即可.
20．（2024九下·沈阳开学考）如图1，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离方案如下：
课题 检测新生物到皮肤的距离
工具 医疗仪器等
示意图
说明 如图2，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠DBN；再在皮肤上选择距离B处9cm的C处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠ECN．
测量数据 ∠DBN＝35°，∠ECN＝22°，BC＝9cm
请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离．（结果精确到0.1cm）
（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）
【答案】解：过点A作AF⊥MN，垂足为F，
设BF＝xcm，
∵BC＝9cm，
∴CF＝BC+BF＝（x+9）cm，
在Rt△ABF中，∠ABF＝∠DBN＝35°，
∴AF＝BF tan35°≈0.7x（cm），
在Rt△ACF中，∠ACF＝∠ECN＝22°，
∴AF＝CF tan22°≈0.4（x+9）cm，
∴0.7x＝0.4（x+9），
解得：x＝12，
∴AF＝0.7x＝8.4（cm），
∴新生物A处到皮肤的距离约为8.4cm．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】首先过A点作AF⊥MN，垂足为F，然后设BF的长为xcm，CF的长为(x+9) cm，然后在Rt△ABF中，根据∠ABF的正切函数求出AF的长，然后在Rt△ACF中，利用根据∠ACF的正切函数求出AF的长，进而列出关于x的方程，最后计算出结果即可.
21．（2024九下·沈阳开学考）如图，AB是⊙O的直径，点C，点D在⊙O上，，AD与BC相交于点E，AF与⊙O相切于点A，与BC延长线相交于点F．
（1）求证：AE＝AF．
（2）若EF＝12，sin∠ABF，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明：∵AF与⊙O相切于点A，
∴FA⊥AB，
∴∠FAB＝90°，
∴∠F+∠B＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAE+∠CEA＝90°，
∵，
∴∠CAE＝∠D，
∴∠D+∠CEA＝90°，
∵∠D＝∠B，
∴∠B+∠CEA＝90°，
∴∠F＝∠CEA，
∴AE＝AF；
（2）解：∵AE＝AF，∠ACB＝90°，
∴CF＝CEEF＝6，
∵∠ABF＝∠D＝∠CAE，
∴sin∠ABF＝sin∠CAE，
∴，
∴AE＝10，
∴AC8，
∵sin∠ABC，
∴AB，
∴OAAB．
即⊙O的半径为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）首先根据圆的切线性质得出FA⊥AB，进而得出∠F+∠B＝90°，然后根据直径所对的圆周角是90°得出∠ACB＝90°，由此可得出∠CAE+∠CEA＝90°，然后根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得出∠CAE＝∠D，∠D＝∠B，即可得出∠B+∠CEA＝90°，根据同角的余角相等得出∠F＝∠CEA，最后根据等角对等边可得AE＝AF；
（2）首先根据等腰三角形的三线合一得出CF＝CEEF＝6，由等角的同名三角函数值相等，将sin∠ABF=转化成sin∠CAE==，从而可求出AE=10，利用勾股定理求出AC=8，最后根据∠ABC的正弦函数求出该圆的直径AB=，由此即可求出该圆的半径.
22．（2024九下·沈阳开学考）根据以下素材，探索完成任务．
如何选择合适的跳台高度？
素材1 跳台滑雪是运动员借助速度和弹跳力，沿着跳台下滑，并从起跳点腾空，在空中沿抛物线飞行至着陆坡．图1是某小型跳台滑雪训练场的实物图，图2是其横截面示意图，以地面的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，其最左端位于点O的正上方米处，最右端在水平线上，且最高点在距O点水平距离8米处．
素材2 小雪从点O正上方米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y＝a（x 7）2+8运动．该滑雪场有若干个跳台高度不同，小山坡完全相同的训练场地，在不同场地滑行时，小雪滑行的抛物线形状不变．
（1）任务1 确定滑行路径 求a的值；
（2）任务2 确定山坡形状 当小雪滑行到离A处的水平距离为11米时，恰好落在小山坡上，求抛物线C1的函数表达式；
（3）任务3 选择跳台高度 若小雪选择的跳台高度增加了米，请判断在该训练场地滑行时是否会落在小山坡上．
【答案】（1）解：把（0，）代入抛物线C2：y＝a（x 7）2+8得，
a（0﹣7）2+8，
解得a；
（2）解：由（1）知，抛物线C2：y（x 7）2+8，
当x＝11时，y（11﹣7）2+816+8＝6，
∴小雪在小山坡的落地点坐标为（11，6），
设抛物线C1的解析式为y＝m（x﹣8）2+k，
把（0，），（11，6）代入y＝m（x﹣8）2+k得，
，
解得，
∴抛物线C1的解析式为y（x﹣8）2；
（3）解：小雪在该训练场地滑行时会落在小山坡上．
∵跳台高度增加了米，相当于把抛物线C2向上平移了个单位长度，
∴平移后的解析式为y（x﹣7）2+8，
令y＝0，则（x﹣7）2+80，
解得x1＝16，x2＝﹣2（舍去），
∴小雪落地时距O点16米；
对于抛物线C1：令y＝0，则（x﹣8）20，
解得x＝17或x＝﹣1（舍去），
∵17＞16，
∴小雪在该训练场地滑行时会落在小山坡上．
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】( 1 )根据题意，将（0，）代入抛物线C2：y＝a（x 7）2+8求出a的值即可；
（2）首先设抛物线的解析式为：y=m(x-8)2 +k，再根据抛物线C2求出小雪在小山坡的落地点的坐标为(11，6)，然后再把(0，)，(11，6)两点代入y= m(x-8)2+k中，可得关于字母m、k的方程组，从而得到C1的解析式即可；
（3）先求出跳台增高后的抛物线解析式，然后当y=0时，求出x的值；再令抛物线中 y=0，求出x的值，最后即可得出结论.
23．（2024九下·沈阳开学考）下面是平顶山某初中数学小组对某教材P198一道习题的探究，请仔细阅读，并完成任务．
“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在探索中，有人曾利用过如图所示的图形，其中，ABCD是长方形，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，并且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F．你能证明∠ECB∠ACB吗？
小明：经过分析，得出结论：点G是线段EF的中点，且EF＝2AC；
小丽：你的结论正确，若把条件“G是CF上一点，并且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F”去掉，并把你的结论当成已知条件，也能完成三等分角的证明，有异曲同工之妙．
（1）任务一：请你根据小丽的思路，将下面的“已知”和“求证”补充完整，并写出“证明”过程．
已知：ABCD是矩形，F是DA延长线上一点，点G是EF的中点，且EF=2AC；
求证：∠ECB∠ACB；
（2）任务二：如图，在矩形ABCD中，对角线AC的延长线与∠CBE的平分线交于点F，若BFAC，CF＝4，求BF的长．
（3）任务三：如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=12，点P在线段BC上，点D在线段AC上，CD=2，∠PDC=3∠PAC，求△ADP的面积。
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，AD∥BC，
∵点G是EF的中点，
∴AG＝EG＝GF，
∵EF＝2AC，
∴AC＝AG，
∴∠ACG＝∠AGC，
∴∠ACG＝∠AGC＝∠F+∠GAF＝2∠F，
∵AD∥BC，
∴∠F＝∠BCF，
∴∠ACG＝2∠BCF，
∴∠ACB＝3∠BCF，
∴；
（2）解：取AC的中点H，连接BH，过点C作CG⊥BF 于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵点H是AC的中点，
∴AH＝CH＝BH，
∴∠HAB＝∠HBA，
设∠HAB＝∠HBA＝x，
∴∠BHF＝2x，
∵，
∴BH＝BF，
∴∠F＝∠BHF＝2x，
∵∠CBE＝90°，BF平分∠CBE，
∴∠FBE＝∠CBF＝45°，
∵∠FBE＝∠HAB+∠F，
∴x+2x＝45°，
∴x＝15°，
∴∠F＝30°，
∵CG⊥BF，CF＝4，
∴CG＝2，
∴FG2，
∵∠CBF＝45°＝∠BCG＝45°，
∴CG＝BG＝2，
∴．
（3）解：
【知识点】四边形的综合
【解析】【解答】（3）解：在AP上取一点G，连接DG，使AG=DG，过点G作G⊥AC于点E，
设∠PAC=x，∠PDC=3x，
∴∠DPC=90°-∠PDC=90°-3x，∠APC=90°-∠PAC=90°-x
∴∠GPD=∠APC-∠DPC=90°-x-（90°-3x）=2x
∵AG=DG
∴∠GAD=∠GDA=x
∴∠PGD=∠GAD+∠GDA=x+x=2x
∵∠GPD=2x
∴∠PGD=∠GPD=2x
∴DG=PD
∴DG=PD=AG
∵GEAD
∴AE=DE===
设AG=DG=DP=a
∴GE==
在△AEG和△ACP中
∴△AEG△ACP
∴
∴
∴PC=
在Rt△PCD中，∠PCD=90°
∴（）2+22=a2
∴
∴a2-144+4=a2
∴a2=140
∴a2=140×=
∴PC=
∴AD×PC
=（AC-CD）×PC
=（12-2）×
=5×
=.
【分析】（1）首先根据矩形的性质得出∠DAB=90°，AD∥BC，然后根据直角三角形斜边中线性质得到AG=EG=GF，根据等边对等角及三角形外角性质可得∠ACG＝∠AGC＝∠F+∠GAF＝2∠F，根据平行线性质得到∠F=∠BCF，即可证明出∠ECB=∠ACB；
（2）首先取AC的中点H，连接BH，过点C作CGBF于点G，根据矩形的性质得到∠ABC=90°，根据直角三角形斜边中线性质得到AH=CH=BH，由等边对等角得∠HAB=∠HBA，设∠HAB=∠HBA=x，由三角形外角性质得到∠BHF=2x，由已知易得 BH＝BF， 由等边对等角得∠F＝∠BHF＝2x， 根据角平分线的定义得到∠FBE=∠CBF=45°，结合三角形外角爱哦这求出∠F=30°，再根据含30°角直角三角形的性质得CG=2，根据勾股定理算出FG，由等角直角三角形的性质得CG＝BG＝2，最后根据BF=BG+FG可算出答案；
（3）在AP上取一点G，连接DG，使AG=DG，过点G作G⊥AC于点E，设∠PAC=x，∠PDC=3x，根据三角形内角和定理得∠DPC=90°-∠PDC=90°-3x，∠APC=90°-∠PAC=90°-x，由角的构成可得∠GPD=2x，进而由等边对等角及三角形外角性质可推出∠PGD=∠GPD=2x，由等角对等边得DG=PD=AG，由等腰三角形的三线合一得AE=DE=5，设AG=DG=DP=a，由勾股定理表示出GE；由有两组角对应相等的两个三角形相似得△AEG∽△ACP，由相似三角形对应边建立方程可表示出PC，在Rt△PCD中，利用勾股定理建立方程可求出a2的值，从而可求出PC的长，最后根据三角形面积计算公式可算出△ADP的面积.
1 / 1辽宁省沈阳市南昌初级中学2023-2024学年九年级下学期开学调研数学试卷
一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．（2024九下·沈阳开学考）《九章算术》中注“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣8℃表示气温为（　　）
A．零上8℃ B．零下8℃ C．零上2℃ D．零下2℃
2．（2024九下·沈阳开学考）如图是由四个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（　　）
A． B． C． D．
3．（2022·山西模拟）中国传统纹饰图案不但蕴含了丰富的文化，而且大多数图案还具有对称美．下列纹饰图案中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024九下·沈阳开学考）下列运算结果正确的是（　　）
A．2a+3a＝5a2 B．（﹣ab2）3＝﹣a3b6
C．a3 a3＝a9 D．（a+2b）2＝a2+4b2
5．（2024九下·沈阳开学考）关于一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的根的情况，下列判断正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有且只有一个实数根 D．没有实数根
6．（2024九下·沈阳开学考）解分式方程时，将方程两边都乘同一个整式，得到一个一元一次方程，这个整式是（　　）
A．x B．x﹣3 C．x（x﹣3） D．x+（x﹣3）
7．（2024九下·沈阳开学考）关于一次函数y＝kx+1的图象如图所示，下列说法错误的是（　　）
A．k＜0 B．过点（0，1）
C．y随x的增大而减小 D．当x＞0时，y＜0
8．（2024九下·沈阳开学考）我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗，设清酒有x斗，那么可列方程为（　　）
A．3x+10（5﹣x）＝30 B．
C． D．10x+3（5﹣x）＝30
9．（2023·枣庄）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．（2024九下·沈阳开学考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于点D，再分别以B，D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点E，连接DE．以下结论不正确的是（　　）
A．∠BCE＝36° B．BC＝AE
C． D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．（2019·婺城模拟）因式分解m3﹣4m＝　 　.
12．（2024九下·沈阳开学考）如图，已知A，B的坐标分别为（1，2），（3，0），将△OAB沿x轴正方向平移，使B平移到点E，得到△DCE，若OE＝4，则点C的坐标为 　 　．
13．（2024九下·沈阳开学考）一个不透明的箱子里有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除了颜色外其他都相同，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，则摸出的两个球恰好颜色不同的概率为 　 　．
14．（2024九下·沈阳开学考）如图，在 ABCD中，边AB在x轴上，边AD交y轴于点E．反比例函数的图象恰好经过点D，与对角线DB交于点F．若AE＝2ED，DF＝3FB，S△DBC＝14，则k的值为　 　
15．（2024九下·沈阳开学考）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，P是对角线AC上的动点，连接DP，将直线DP绕点P顺时针旋转使∠DPG＝∠DAC，且过D作DG⊥PG，连接CG，则CG最小值为　 　．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（2024九下·沈阳开学考）计算：
（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中x．
17．（2024九下·沈阳开学考）为丰富学生课余生活，展示青少年美育学习成效，推动美育教育大发展．惠农区教体局组织开展了“百米长卷绘盛世 笔墨丹青寄未来”绘画活动，某学校为绘画小组购买某种品牌的A、B两种型号的颜料，若购买1盒A种型号的颜料和2盒B种型号的颜料需用56元；若购买2盒A种型号的颜料和1盒B种型号的颜料需用64元．
（1）求每盒A种型号的颜料和每盒B种型号的颜料各多少元；
（2）某中学决定购买以上两种型号的颜料共200盒，总费用不超过3920元，那么该中学最多可以购买多少盒A种型号的颜料？
18．（2024九下·沈阳开学考）中考体育测试前，某区教育局为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽测了本区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅不完整的统计图：
请你根据图中的信息，解答下列问题：
（1）写出扇形图中a＝ ▲ %，并补全条形图；
（2）在这次抽测中，测试成绩的众数和中位数分别是 ▲ 个、▲ 个．
（3）该区体育中考选报引体向上的男生共有1800人，如果体育中考引体向上达6个以上（含6个）得满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名？
19．（2024九下·沈阳开学考）北京市平谷区是中国著名的大桃之乡，有着“山水平谷、森林城市、花果田园、人文胜地”的美誉．平谷大桃久负盛名，已经成为北京特色农业的代表、平谷区的一张名片．经过50多年的发展，大桃产业已成为平谷10万农民增收致富的重要渠道．每年盛夏时节，平谷大桃就会迎来成熟期．平谷某水果店采用线上和线下相结合的方式销售一种水蜜桃，线上可以通过“快团团”APP进行团购拼单购买，线下可以到实体店购买．具体费用标准如下：
①线上销售方式：一律七折销售；
②线下销售方式：不超过5千克，按原价销售；超过5千克时，超出的部分每千克优惠9元；
购买水蜜桃x千克，所需费用y元，y与x之间的函数关系如图所示．
（1）水蜜桃标价为 　 　元/千克；
（2）求出线下销售时所需费用y与x之间的函数关系式；
（3）若想购买20千克水蜜桃，请问采用哪种方式购买更省钱？
20．（2024九下·沈阳开学考）如图1，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离方案如下：
课题 检测新生物到皮肤的距离
工具 医疗仪器等
示意图
说明 如图2，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠DBN；再在皮肤上选择距离B处9cm的C处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠ECN．
测量数据 ∠DBN＝35°，∠ECN＝22°，BC＝9cm
请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离．（结果精确到0.1cm）
（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）
21．（2024九下·沈阳开学考）如图，AB是⊙O的直径，点C，点D在⊙O上，，AD与BC相交于点E，AF与⊙O相切于点A，与BC延长线相交于点F．
（1）求证：AE＝AF．
（2）若EF＝12，sin∠ABF，求⊙O的半径．
22．（2024九下·沈阳开学考）根据以下素材，探索完成任务．
如何选择合适的跳台高度？
素材1 跳台滑雪是运动员借助速度和弹跳力，沿着跳台下滑，并从起跳点腾空，在空中沿抛物线飞行至着陆坡．图1是某小型跳台滑雪训练场的实物图，图2是其横截面示意图，以地面的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，其最左端位于点O的正上方米处，最右端在水平线上，且最高点在距O点水平距离8米处．
素材2 小雪从点O正上方米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y＝a（x 7）2+8运动．该滑雪场有若干个跳台高度不同，小山坡完全相同的训练场地，在不同场地滑行时，小雪滑行的抛物线形状不变．
（1）任务1 确定滑行路径 求a的值；
（2）任务2 确定山坡形状 当小雪滑行到离A处的水平距离为11米时，恰好落在小山坡上，求抛物线C1的函数表达式；
（3）任务3 选择跳台高度 若小雪选择的跳台高度增加了米，请判断在该训练场地滑行时是否会落在小山坡上．
23．（2024九下·沈阳开学考）下面是平顶山某初中数学小组对某教材P198一道习题的探究，请仔细阅读，并完成任务．
“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在探索中，有人曾利用过如图所示的图形，其中，ABCD是长方形，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，并且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F．你能证明∠ECB∠ACB吗？
小明：经过分析，得出结论：点G是线段EF的中点，且EF＝2AC；
小丽：你的结论正确，若把条件“G是CF上一点，并且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F”去掉，并把你的结论当成已知条件，也能完成三等分角的证明，有异曲同工之妙．
（1）任务一：请你根据小丽的思路，将下面的“已知”和“求证”补充完整，并写出“证明”过程．
已知：ABCD是矩形，F是DA延长线上一点，点G是EF的中点，且EF=2AC；
求证：∠ECB∠ACB；
（2）任务二：如图，在矩形ABCD中，对角线AC的延长线与∠CBE的平分线交于点F，若BFAC，CF＝4，求BF的长．
（3）任务三：如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=12，点P在线段BC上，点D在线段AC上，CD=2，∠PDC=3∠PAC，求△ADP的面积。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：根据正负数的定义可知：若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣8℃表示气温为零下8℃.
故答案为：B.
【分析】根据正数与负数可以表示一对具有相反意义的量，故知道了正数所表示的量，即可解答此题了.
2．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：几何体从正面看得到的平面图形是.
故答案为：D.
【分析】根据主视图即为从正面看所得到的平面图形，从而找出其主视图中小正方形的行数与列数及各行各列小正方形的个数，即可选出答案.
3．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、是中心对称图形，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据中心对称图形的定义逐项判断即可。
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、根据合并同类项的定义可知2a+3a=5a，而不等于5a2，故A选项错误；
B、根据积的乘方运算法则可知 （﹣ab2）3＝（﹣a）3b6 =-a3b6，故B选项正确；
C、根据同底数幂乘法的运算法则a3 a3＝a6，而不等于a9 ，故C选项错误；
D、根据完全平方公式可知 （a+2b）2＝a2+4ab+4b2 ，而不等于a2+4b2 ，故D选项错误.
故答案为：B.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断B选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断C选项；根据完全平方公式的展开式是一个三项式，首平方，尾平方，积的2倍放中央，即可判断D选项.
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据一元二次方程根的判别式：△=b2-4ac=（-1）2-4×1×（-2）=1+8=9>0，故该一元二次方程有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，故算出该方程根的判别式的值，即可判断得出答案.
6．【答案】C
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解： 分式方程 两边同乘整式x（x﹣3）可得到一个一元一次方程.
故答案为：C.
【分析】根据该分式方程分分母x-3和x没有相同的因式，则该分式方程两边同乘整式x（x﹣3）即可.
7．【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由图象可知该一次函数y随x的增大而减小，则k<0，故A、C选项正确；
B、将x=0代入该一次函数中得到y=1，则该一次函数经过（0，1）点，故B选项正确；
D、根据图象可知当x＞0时，y可能小于0，也可能大于0，故D选项错误.
故答案为：D.
【分析】一次函数y=kx+b中，当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小，据此可判断A、C选项；根据函数图象上点的坐标特点，将x=0代入解析式算出对应的函数值，即可判断B选项；求x＞0时，函数值y的取值范围，就是看y轴右边图象函数值的取值范围，据此可判断D选项.
8．【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：设清酒有x斗，那么醑酒有(5-x)斗.
根据题意可列方程：10x+3（5﹣x）＝30.
故答案为：D.
【分析】根据题意首先设清酒有x斗，那么醑酒有(5-x)斗，然后根据一斗清酒价值10斗谷子，可得出x斗清酒价值10x斗谷子，再根据一斗醑酒价值3斗谷子可得出(5-x)斗醑酒价值3（5﹣x）斗谷子，最后根据共有30斗谷子，可列方程：10x+3（5﹣x）＝30.
9．【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】如图：
根据题意可得：∠BCD=360°÷6=60°，EF//BD，∠ABC=120°，
∴∠BDC=∠1=44°，
∵∠3是△BCD的外角，
∴∠3=∠BDC+∠BCD=104°，
∴∠2=∠ABC-∠3=16°，
故答案为：B.
【分析】先求出∠BDC=∠1=44°，利用三角形外角的性质求出∠3=∠BDC+∠BCD=104°，再利用角的运算求出∠2=∠ABC-∠3=16°即可。
10．【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠ACB=
根据题意可知CP平分∠ACB.
∴∠BCE=∠ACE=故A选项正确；
∴∠ACE=∠A=36°，
∴AE=CE，
∵∠CEB=∠A+∠ACE=72°.
∴∠B=∠CEB=72°，
∴CB=CE，
∴BC=AE=CE，故B选项正确；
∵△BCE是顶角为36°的等腰三角形，
∴△BCE是黄金三角形，
∴AE∴
∴故D选项正确.
故答案为：C.
【分析】首先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可出∠ABC=∠ACB=72°，再根据题意可知：CP平分∠ACB，由此可得∠BCE=∠ACE=36°，然后根据等量代换得∠A=∠ACE=36°，由此得 AE=CE，再利用三角形的外角性质得∠B=∠CEB=72°，由此得CB=CE，进而可得AE=CE=CB，最后根据黄金三角形的定义得再利用三角形的面积公式得，从而计算出答案选出符合题意的选项即可.
11．【答案】m（m+2）（m﹣2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式＝m（m2﹣4）＝m（m+2）（m﹣2），
故答案为：m（m+2）（m﹣2）
【分析】观察此多项式的特点：有两项，这两项的符号相反，含有公因式m，由此先提取公因式，再利用平方差公式分解即可。
12．【答案】（2，2）
【知识点】平移的性质；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：根据题意，已知A，B的坐标分别为（1，2），（3，0）， 将△OAB沿x轴正方向平移，使B平移到点E，得到△DCE，
∴OB=DE=3，C点纵坐标为2.
∵OE=4.
∴OD=BE=4-3=1.
根据平移的性质可得：C点的横坐标为1+1=2.
故C点坐标为（2，2）.
故答案为：（2，2）.
【分析】根据A，B两点的坐标和OE的长可求出OD的长，再根据平移的性质即可求出C点坐标.
13．【答案】
【知识点】列表法与树状图法；复合事件概率的计算
【解析】【解答】解：根据题意画树状图：
P（颜色不同）
【分析】根据题意画出树状图，找出可能出现的情况总数，再找出符合题意的情况，最后根据概率公式求出概率即可.
14．【答案】4
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，过点D作DG上x轴于点G，过点F作FHLx轴于点H，
设点D(a，)，
则OG=a，DG=，
∵DGx轴，
∴∠AOE=∠AGD=90°，
又∵∠OAE=∠GAD，
∴△AOE~△AGD，
∴
∵AE=2ED，
∴
AO=AG，
∴OG=AG-AO=AG，
∴AG=3OG=3a，
∵DGx轴，FHx轴，
∴∠BHF=∠BGD =90°，
又∵∠FBH=∠DBG，
∴△BFH~△BDG，
∴
∵DF=3FB，
∴
∴FH=DG=，即点F的纵坐标为，
∴F(4a，)，
∵FH⊥x轴，
∴点H的横坐标为4a，
∴GH=4a-a=3a，
∵即BG=4BH，
∴GH= BG-BH= 3BH = 3a，
∴BH=a，
∴BG=GH+BH=4a
∴AB=AG+BG=7a，
∵BD为四边形ABCD的对角线，S△DBC=14，
∴S△ABD=S△DBC=14，即AB x DG=x7a×=14，
解得k= 4，即k的值为4.
故答案为：4.
【分析】首先过点D作DGx轴于点G，过点F作FHx轴于点H，然后设D(a，)，则OG=a，
DG=，证明△AOE~△AGD，结合相似三角形的性质以及AE=2ED可得AG=3a，然后再求证△BFH~△BDG，结合相似三角形的性质以及DF=3FB可得BG= 4a，即AB=AG+BG=7a，最后根据 S△ABD=S△DBC=14，即可求出k的值.
15．【答案】
【知识点】矩形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图所示，作DHAC于H，连接HG延长HG交CD于F，作HECD于E.
∵DGPG，DHAC，
∴∠DGP=∠DHA，
∵∠DPG=∠DAH，
∴△ADH~△PDG，
∴∠ADH=∠PDG，
∴∠ADP=∠HDG，
∴△ADP~△DHG，
∴∠DHG = ∠DAP（是一个定值），
∴点G在射线HF上运动，
∴当CGHF时，CG的值最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC = 90°，
∴∠ADH+∠HDF= 90°，
∵∠DAH+∠ADH=90°，
∴∠HDF=∠DAH=∠DHF，
∴FD=FH，
∴∠FCH+∠CDH=90°， ∠FHC+∠FHD=90°，
∴∠FHC=∠FCH，
∴FH=FC=DF=1.5，
在Rt△ADC中，∠ADC =90°，AD = 4，CD=2，
∴AC=
DH=
∴CH=
∴EH=
∵∠CFG=∠HFE，∠CGF=∠HEF =90°，CF=HF，
∴△CGF≌△HEF(AAS)，
∴CG=EH=，
∴CG的最小值为.
故答案为：.
【分析】首先作DHAC于H，连接HG延长HG交CD于F，作HE⊥CD于E.证明△ADP~△DHG，得出∠DHG=∠DAP（是一个定值），得出点G在射线HF上运动，从而得出当 CGHF时，CG的值最小，求出CG的长即可.
16．【答案】（1）解：原式=-（-）++1-
=+2+1-
=（-）+3
=3
（2）解：先化简，再求值：，其中x．
=
=
=
=
=
=
将x=代入中得
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）从左向右先计算，再计算=2，最后按照运算顺序计算出答案即可.
（2）根据题意，先将 变形为 ，然后根据乘法分配律和平方差公式将其化简得到：5x-3，最后将 x 代入求值即可.
17．【答案】（1）解：设每盒A种型号的颜料a元，每盒B种型号的颜料b元，
由题意可得：，
解得，
答：每盒A种型号的颜料24元，每盒B种型号的颜料16元；
（2）解：设购买x盒A种型号的颜料，则购买（200﹣x）盒B种型号的颜料，
∵总费用不超过3920元，
∴24x+16（200﹣x）≤3920，
解得x≤90，
∵x为整数，
∴x的最大值为90，
答：该中学最多可以购买90盒A种型号的颜料．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）首先设每盒A种型号的颜料a元，每盒B种型号的颜料b元，再根据购买1盒A种型号的颜料和2盒B种型号的颜料需用56元；若购买2盒A种型号的颜料和1盒B种型号的颜料需用64元，列出二元一次方程组，求出a，b的值即可；
（2）根据购买a、b两种型号的颜料共200盒，设购买x盒A种型号的颜料，则购买（200﹣x）盒B种型号的颜料，再根据总费用不超过3920元列出不等式求出x的取值范围，根据x为整数，求出最大值即可.
18．【答案】（1）解：扇形统计图中a＝1﹣30%﹣15%﹣10%﹣20%＝25%，
设引体向上6个的学生有x人，由题意得
，解得x＝50．
条形统计图补充如下：
（2）解：由条形图可知，引体向上5个的学生有60人，人数最多，所以众数是5；
共200名同学，排序后第100名与第101名同学的成绩都是5个，故中位数为（5+5）÷2＝5
故答案为：5；5；
（3）解：1800＝810（名）．
答：估计该区体育中考选报引体向上的男生能获得满分的同学有810名．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；中位数；众数
【解析】【分析】（1）根据扇形统计图中的其他数值求出a的值填入横线上即可，然后根据测试总人数不变，设引体向上6个的学生有x人，根据题意列出方程求出x的值，然后补全条形统计图即可；
（2）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)，简单的说，就是一组数据中占比最多的那个数，反应的是一组数据的集中趋势的量；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此结合统计图给的信息解题即可；
（3）首先根据题意先算出测试样本中体育中考引体向上得满分的人数占样本总数的百分比，由此估算出1800名学生中得满分的人数即可.
19．【答案】（1）20
（2）解：由题意知，折线为线下销售，
线上销售：y＝20×0.7x＝14x，
线下销售：
当0≤x≤5时，y＝20x，
当x＞5时，y＝20×5+（x﹣5）×（20﹣9）＝11x+45，
∴线下销售y与x之间的函数关系为y．
（3）解：线上销售：y＝20×0.7x＝14x，
当x＝20时，y＝280；
当x＝20时，y＝11×20+45＝265．
∵280＞265，
∴想购买水蜜桃20千克，选择线下购买更省钱．
【知识点】分段函数；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）解：设水蜜桃标价为a元/千克.
6a×0.7=84
6a=84÷0.7
6a=120
a=20
答：水蜜桃标价为20千克.
【分析】（1）根据题意设水蜜桃的标价为a元，根据题意以及图象列出方程求出a的值即可；
（2）根据题意：线下销售不超过5千克，按原价销售；超过5千克时，超出的部分每千克优惠9元；因此分两种情况来讨论：①当0≤x≤5时，②当x＞5时分别列出函数解析式即可；线上销售根据总费用=单价乘以数量×折扣率可列出函数关系式；
（3）根据线上销售的解析式，将x=20代入求出所需费用y的值，然后根据线下销售的解析式，把x=20代入其中求出所需费用y的值，对比两种销售方式哪种更省钱即可.
20．【答案】解：过点A作AF⊥MN，垂足为F，
设BF＝xcm，
∵BC＝9cm，
∴CF＝BC+BF＝（x+9）cm，
在Rt△ABF中，∠ABF＝∠DBN＝35°，
∴AF＝BF tan35°≈0.7x（cm），
在Rt△ACF中，∠ACF＝∠ECN＝22°，
∴AF＝CF tan22°≈0.4（x+9）cm，
∴0.7x＝0.4（x+9），
解得：x＝12，
∴AF＝0.7x＝8.4（cm），
∴新生物A处到皮肤的距离约为8.4cm．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】首先过A点作AF⊥MN，垂足为F，然后设BF的长为xcm，CF的长为(x+9) cm，然后在Rt△ABF中，根据∠ABF的正切函数求出AF的长，然后在Rt△ACF中，利用根据∠ACF的正切函数求出AF的长，进而列出关于x的方程，最后计算出结果即可.
21．【答案】（1）证明：∵AF与⊙O相切于点A，
∴FA⊥AB，
∴∠FAB＝90°，
∴∠F+∠B＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAE+∠CEA＝90°，
∵，
∴∠CAE＝∠D，
∴∠D+∠CEA＝90°，
∵∠D＝∠B，
∴∠B+∠CEA＝90°，
∴∠F＝∠CEA，
∴AE＝AF；
（2）解：∵AE＝AF，∠ACB＝90°，
∴CF＝CEEF＝6，
∵∠ABF＝∠D＝∠CAE，
∴sin∠ABF＝sin∠CAE，
∴，
∴AE＝10，
∴AC8，
∵sin∠ABC，
∴AB，
∴OAAB．
即⊙O的半径为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）首先根据圆的切线性质得出FA⊥AB，进而得出∠F+∠B＝90°，然后根据直径所对的圆周角是90°得出∠ACB＝90°，由此可得出∠CAE+∠CEA＝90°，然后根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得出∠CAE＝∠D，∠D＝∠B，即可得出∠B+∠CEA＝90°，根据同角的余角相等得出∠F＝∠CEA，最后根据等角对等边可得AE＝AF；
（2）首先根据等腰三角形的三线合一得出CF＝CEEF＝6，由等角的同名三角函数值相等，将sin∠ABF=转化成sin∠CAE==，从而可求出AE=10，利用勾股定理求出AC=8，最后根据∠ABC的正弦函数求出该圆的直径AB=，由此即可求出该圆的半径.
22．【答案】（1）解：把（0，）代入抛物线C2：y＝a（x 7）2+8得，
a（0﹣7）2+8，
解得a；
（2）解：由（1）知，抛物线C2：y（x 7）2+8，
当x＝11时，y（11﹣7）2+816+8＝6，
∴小雪在小山坡的落地点坐标为（11，6），
设抛物线C1的解析式为y＝m（x﹣8）2+k，
把（0，），（11，6）代入y＝m（x﹣8）2+k得，
，
解得，
∴抛物线C1的解析式为y（x﹣8）2；
（3）解：小雪在该训练场地滑行时会落在小山坡上．
∵跳台高度增加了米，相当于把抛物线C2向上平移了个单位长度，
∴平移后的解析式为y（x﹣7）2+8，
令y＝0，则（x﹣7）2+80，
解得x1＝16，x2＝﹣2（舍去），
∴小雪落地时距O点16米；
对于抛物线C1：令y＝0，则（x﹣8）20，
解得x＝17或x＝﹣1（舍去），
∵17＞16，
∴小雪在该训练场地滑行时会落在小山坡上．
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】( 1 )根据题意，将（0，）代入抛物线C2：y＝a（x 7）2+8求出a的值即可；
（2）首先设抛物线的解析式为：y=m(x-8)2 +k，再根据抛物线C2求出小雪在小山坡的落地点的坐标为(11，6)，然后再把(0，)，(11，6)两点代入y= m(x-8)2+k中，可得关于字母m、k的方程组，从而得到C1的解析式即可；
（3）先求出跳台增高后的抛物线解析式，然后当y=0时，求出x的值；再令抛物线中 y=0，求出x的值，最后即可得出结论.
23．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，AD∥BC，
∵点G是EF的中点，
∴AG＝EG＝GF，
∵EF＝2AC，
∴AC＝AG，
∴∠ACG＝∠AGC，
∴∠ACG＝∠AGC＝∠F+∠GAF＝2∠F，
∵AD∥BC，
∴∠F＝∠BCF，
∴∠ACG＝2∠BCF，
∴∠ACB＝3∠BCF，
∴；
（2）解：取AC的中点H，连接BH，过点C作CG⊥BF 于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵点H是AC的中点，
∴AH＝CH＝BH，
∴∠HAB＝∠HBA，
设∠HAB＝∠HBA＝x，
∴∠BHF＝2x，
∵，
∴BH＝BF，
∴∠F＝∠BHF＝2x，
∵∠CBE＝90°，BF平分∠CBE，
∴∠FBE＝∠CBF＝45°，
∵∠FBE＝∠HAB+∠F，
∴x+2x＝45°，
∴x＝15°，
∴∠F＝30°，
∵CG⊥BF，CF＝4，
∴CG＝2，
∴FG2，
∵∠CBF＝45°＝∠BCG＝45°，
∴CG＝BG＝2，
∴．
（3）解：
【知识点】四边形的综合
【解析】【解答】（3）解：在AP上取一点G，连接DG，使AG=DG，过点G作G⊥AC于点E，
设∠PAC=x，∠PDC=3x，
∴∠DPC=90°-∠PDC=90°-3x，∠APC=90°-∠PAC=90°-x
∴∠GPD=∠APC-∠DPC=90°-x-（90°-3x）=2x
∵AG=DG
∴∠GAD=∠GDA=x
∴∠PGD=∠GAD+∠GDA=x+x=2x
∵∠GPD=2x
∴∠PGD=∠GPD=2x
∴DG=PD
∴DG=PD=AG
∵GEAD
∴AE=DE===
设AG=DG=DP=a
∴GE==
在△AEG和△ACP中
∴△AEG△ACP
∴
∴
∴PC=
在Rt△PCD中，∠PCD=90°
∴（）2+22=a2
∴
∴a2-144+4=a2
∴a2=140
∴a2=140×=
∴PC=
∴AD×PC
=（AC-CD）×PC
=（12-2）×
=5×
=.
【分析】（1）首先根据矩形的性质得出∠DAB=90°，AD∥BC，然后根据直角三角形斜边中线性质得到AG=EG=GF，根据等边对等角及三角形外角性质可得∠ACG＝∠AGC＝∠F+∠GAF＝2∠F，根据平行线性质得到∠F=∠BCF，即可证明出∠ECB=∠ACB；
（2）首先取AC的中点H，连接BH，过点C作CGBF于点G，根据矩形的性质得到∠ABC=90°，根据直角三角形斜边中线性质得到AH=CH=BH，由等边对等角得∠HAB=∠HBA，设∠HAB=∠HBA=x，由三角形外角性质得到∠BHF=2x，由已知易得 BH＝BF， 由等边对等角得∠F＝∠BHF＝2x， 根据角平分线的定义得到∠FBE=∠CBF=45°，结合三角形外角爱哦这求出∠F=30°，再根据含30°角直角三角形的性质得CG=2，根据勾股定理算出FG，由等角直角三角形的性质得CG＝BG＝2，最后根据BF=BG+FG可算出答案；
（3）在AP上取一点G，连接DG，使AG=DG，过点G作G⊥AC于点E，设∠PAC=x，∠PDC=3x，根据三角形内角和定理得∠DPC=90°-∠PDC=90°-3x，∠APC=90°-∠PAC=90°-x，由角的构成可得∠GPD=2x，进而由等边对等角及三角形外角性质可推出∠PGD=∠GPD=2x，由等角对等边得DG=PD=AG，由等腰三角形的三线合一得AE=DE=5，设AG=DG=DP=a，由勾股定理表示出GE；由有两组角对应相等的两个三角形相似得△AEG∽△ACP，由相似三角形对应边建立方程可表示出PC，在Rt△PCD中，利用勾股定理建立方程可求出a2的值，从而可求出PC的长，最后根据三角形面积计算公式可算出△ADP的面积.
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