8.3 实际问题与二元一次方程组
8.3.1 和差倍分问题与配套问题
【知识要点聚焦】
要点感知1：列二元一次方程组解应用题的一般步骤： 审、设、列、解、验、答 .
要点感知2：解决和差倍分问题的基本等量关系是：
较大量＝较小量＋余量，总量＝倍数×一份的量.
知识点1：和差倍分问题
某学校为进一步开展好劳动教育实践活动，用1580元购进A，B两种劳动工具共145件，A，B两种劳动工具每件分别为10元，12元.设购买A，B两种劳动工具的件数分别为x，y，那么下面列出的方程组中正确的是 （ ）
A. B.
C. D.
2.美术馆举办的一次画展中，展出的油画作品和国画作品共有100幅，其中油画作品的数量比国画作品数量的2倍多7幅，则展出的油画作品有 幅.
3.有一群小鸟，其中一部分在树上唱歌，另一部分在地上觅食.树上的一只小鸟对地上觅食的小鸟说：“若从你们中飞上来一只，则树下的小鸟就是整个鸟群的；若从树上飞下去一只，则树上、树下的小鸟一样多.”你知道树上、树下各有几只小鸟吗？
知识点2：配套问题
4.某车间56名工人，每人每天能生产螺栓16个或螺母24个，设有x名工人生产螺栓，有y名工人生产螺母，每天生产的螺栓和螺母按1∶2配套，所列方程组正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5.一张方桌由一个桌面和四条腿组成，如果1立方米木料可制作方桌的桌面50个或制作桌腿300条，现有5立方米木料，请设计一个方案，用多少木料做桌面，用多少木料做桌腿，恰好配成方桌多少张？
【课堂达标训练】
1.学校阅览室有4条腿的椅子和3条腿的凳子共16个，如果椅子腿和凳子腿数加起来共有60个，那么椅子和凳子的个数分别是 （ ）
A.8，8 B.10，6 C.12，4 D.不能确定
2.某家具生产厂生产桌椅，已知每块板材可做桌子1张或椅子3把，现计划用100块这种板材生产一批桌椅（不考虑板材的损耗）.设用x块板材做桌子，用y块板材做椅子，使得恰好配套（一张桌子配两把椅子），则下列方程组正确的是 （ ）
A. B. C. D.
3.在一年一度的“药王节”市场上，小明的妈妈用280元买了甲、乙两种药材.甲种药材每斤20元，乙种药材每斤60元，且甲种药材比乙种药材多买了2斤.设买了甲种药材x斤，乙种药材y斤，为了求解x和y的值，你认为小明应该列出的方程组是 .
4.列方程组解应用题：
食品安全是关乎民生的问题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加对人体无害且有利于食品的储存和运输.某饮料加工厂生产的A，B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，已知260克该添加剂恰好生产了A，B两种饮料共100瓶，问A，B两种饮料各生产了多少瓶？
【能力提升训练】
5.一个两位数的十位上的数字与个位上的数字之和为8，把这个数减去36后，结果恰好成为十位上的数字与个位上的数字对调后组成的两位数，则这个两位数是 （ ）
A.26 B.62 C.71 D.53
6.有两种药水，一种浓度为60％，另一种浓度为90％，现要配制浓度为70％的药水300克，则浓度为60％的药水需 克，浓度为90％的药水需 克.
7.某包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图①所示的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种上面无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）.
（1）做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需正方形纸板 张，需长方形纸板 张.
（2）若该厂购进正方形纸板162张，长方形纸板338张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？
【拓展创新训练】
8.某校准备购进21套桌椅来筹建一间多功能教学实验室，现有两种桌椅可供选择：甲类桌椅是三角形桌，每桌可坐3人；乙类桌椅是五边形桌，每桌可坐5人.学校分两次进行采购，第一次采购时，甲、乙桌椅均是原价；第二次采购时，甲因原材料上涨提价20％，乙因促销活动恰好降价20％.两次采购的数量和费用如下表：
购买甲类桌椅（套） 购买乙类桌椅（套） 购买总费 用（元）
第一次采购 6 5 1950
第二次采购 3 7 1716
（1）求第一次采购时，甲、乙两类桌椅每套的价格.
（2）若该校每班有学生42人，问：该多功能教学实验室最多能容纳几个班级同时开展活动？
（3）某班42位同学需使用该实验室，为了合理分配学习资源，管理员规定每套桌椅必须坐满，且桌子的使用数量尽量少，请你设计桌椅使用方案.8.3 实际问题与二元一次方程组
8.3.1 和差倍分问题与配套问题
【知识要点聚焦】
要点感知1：列二元一次方程组解应用题的一般步骤： 审、设、列、解、验、答 .
要点感知2：解决和差倍分问题的基本等量关系是：
较大量＝较小量＋余量，总量＝倍数×一份的量.
知识点1：和差倍分问题
某学校为进一步开展好劳动教育实践活动，用1580元购进A，B两种劳动工具共145件，A，B两种劳动工具每件分别为10元，12元.设购买A，B两种劳动工具的件数分别为x，y，那么下面列出的方程组中正确的是 （ A ）
A. B.
C. D.
2.美术馆举办的一次画展中，展出的油画作品和国画作品共有100幅，其中油画作品的数量比国画作品数量的2倍多7幅，则展出的油画作品有 69 幅.
3.有一群小鸟，其中一部分在树上唱歌，另一部分在地上觅食.树上的一只小鸟对地上觅食的小鸟说：“若从你们中飞上来一只，则树下的小鸟就是整个鸟群的；若从树上飞下去一只，则树上、树下的小鸟一样多.”你知道树上、树下各有几只小鸟吗？
解：设树上有x只小鸟，树下有y只小鸟.根据题意，得解得
故树上有7只小鸟，树下有5只小鸟.
知识点2：配套问题
4.某车间56名工人，每人每天能生产螺栓16个或螺母24个，设有x名工人生产螺栓，有y名工人生产螺母，每天生产的螺栓和螺母按1∶2配套，所列方程组正确的是 （ A ）
A. B.
C. D.
5.一张方桌由一个桌面和四条腿组成，如果1立方米木料可制作方桌的桌面50个或制作桌腿300条，现有5立方米木料，请设计一个方案，用多少木料做桌面，用多少木料做桌腿，恰好配成方桌多少张？
解：设用x立方米木料做桌面，用y立方米木料做桌腿，则恰好配成方桌50x张.依题意，得解得
∴50x＝150.
答：用3立方米木料做桌面，用2立方米木料做桌腿，恰好配成方桌150张.
【课堂达标训练】
1.学校阅览室有4条腿的椅子和3条腿的凳子共16个，如果椅子腿和凳子腿数加起来共有60个，那么椅子和凳子的个数分别是 （ C ）
A.8，8 B.10，6 C.12，4 D.不能确定
2.某家具生产厂生产桌椅，已知每块板材可做桌子1张或椅子3把，现计划用100块这种板材生产一批桌椅（不考虑板材的损耗）.设用x块板材做桌子，用y块板材做椅子，使得恰好配套（一张桌子配两把椅子），则下列方程组正确的是 （ C ）
A. B. C. D.
3.在一年一度的“药王节”市场上，小明的妈妈用280元买了甲、乙两种药材.甲种药材每斤20元，乙种药材每斤60元，且甲种药材比乙种药材多买了2斤.设买了甲种药材x斤，乙种药材y斤，为了求解x和y的值，你认为小明应该列出的方程组是 .
4.列方程组解应用题：
食品安全是关乎民生的问题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加对人体无害且有利于食品的储存和运输.某饮料加工厂生产的A，B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，已知260克该添加剂恰好生产了A，B两种饮料共100瓶，问A，B两种饮料各生产了多少瓶？
解：设A饮料生产了x瓶，B饮料生产了y瓶.
依题意，得解得
答：A饮料生产了40瓶，B饮料生产了60瓶.
【能力提升训练】
5.一个两位数的十位上的数字与个位上的数字之和为8，把这个数减去36后，结果恰好成为十位上的数字与个位上的数字对调后组成的两位数，则这个两位数是 （ B ）
A.26 B.62 C.71 D.53
6.有两种药水，一种浓度为60％，另一种浓度为90％，现要配制浓度为70％的药水300克，则浓度为60％的药水需 200 克，浓度为90％的药水需 100 克.
【解析】设浓度为60％的药水需x克，浓度为90％的药水需y克.根据题意，得解得故浓度为60％的药水需200克，浓度为90％的药水需100克.
7.某包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图①所示的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种上面无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）.
（1）做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需正方形纸板 5 张，需长方形纸板 10 张.
（2）若该厂购进正方形纸板162张，长方形纸板338张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？
解：设竖式纸盒加工x个，横式纸盒加工y个.
根据题意，得解得
答：竖式纸盒加工38个，横式纸盒加工62个，恰好能将购进的纸板全部用完.
【拓展创新训练】
8.某校准备购进21套桌椅来筹建一间多功能教学实验室，现有两种桌椅可供选择：甲类桌椅是三角形桌，每桌可坐3人；乙类桌椅是五边形桌，每桌可坐5人.学校分两次进行采购，第一次采购时，甲、乙桌椅均是原价；第二次采购时，甲因原材料上涨提价20％，乙因促销活动恰好降价20％.两次采购的数量和费用如下表：
购买甲类桌椅（套） 购买乙类桌椅（套） 购买总费 用（元）
第一次采购 6 5 1950
第二次采购 3 7 1716
（1）求第一次采购时，甲、乙两类桌椅每套的价格.
（2）若该校每班有学生42人，问：该多功能教学实验室最多能容纳几个班级同时开展活动？
（3）某班42位同学需使用该实验室，为了合理分配学习资源，管理员规定每套桌椅必须坐满，且桌子的使用数量尽量少，请你设计桌椅使用方案.
解：（1）设第一次采购时，甲类桌椅每套的价格为x元，乙类桌椅每套的价格为y元.由题意，得
解得故第一次采购时，甲类桌椅每套的价格为150元，乙类桌椅每套的价格为210元.
（2）由题意，得甲类桌椅两次共采购了9套，乙类桌椅两次共采购了12套，可容纳的总人数为3×9＋5×12＝87（人）.而＝2，∴该多功能教学实验室最多能容纳2个班级同时开展活动.
（3）设使用m套甲类桌椅，n套乙类桌椅.由题意，得42－3m＝5n.∴n＝.∵m，n都是正整数，且m≤9，n≤12，∴当m＝4，n＝6或m＝9，n＝3时，每套桌椅都坐满.又桌子的使用数量尽量少，而4＋6＜9＋3，∴方案为使用4套甲类桌椅，6套乙类桌椅.
