八年级数学下册沪教版 第20章《一次函数》单元复习题（含解析）

第20章《一次函数》单元复习题
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后经过点，则b的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
2．如图，直线与x轴、y轴交于A、B两点，的平分线所在的直线的解析式是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，直线l是一次函数的图象，且直线l过点，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．直线l过坐标为的点
C．若点，在直线l上，则
D．
4．已知，一次函数的图象经过点，下列说法中不正确的是（　　）
A．若x满足，则当时，函数y有最小值
B．该函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为
C．该函数的图象与一次函数的图象相互平行
D．若函数值y满足时，则自变量x的取值范围是
5．A，B两地相距640km，甲、乙两辆汽车从A地出发到B地，均匀速行驶，甲出发1小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距s（km），甲行驶的时间为t（h），s与t的关系如图所示，下列说法：
①甲车行驶的速度是60km/h，乙车行驶的速度是80km/h；
②甲出发4h后被乙追上；
③甲比乙晚到；
④甲车行驶8h或，甲，乙两车相距80km；
其中错误的（ ）
A．序号① B．序号② C．序号③ D．序号④
6．已知直线与直线都经过，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，为轴上任意一点，连接，，有以下说法：
①方程组的解为
②为直角三角形；
③；
④当的值最小时，点的坐标为．
其中正确的说法个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题
7．若直线与直线没有交点，则_____．
8．当时，一次函数的图像不经过第_____象限．
9．已知直线在轴上的截距为，则直线解析式为______．
10．已知直线与坐标轴围成的三角形面积是，且经过，则这条直线的表达式是______．
11．已知一次函数，原点到直线的最大距离为 _____．
12．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，在销售过程中发现，该纪念册每周的销量（本）与每本的售价（元）之间满足一次函数关系：．已知某一周该纪念册的售价为每本30元，那么这一周的盈利是___________元．
13．如果，，则直线不经过______象限．
14．直线经过A（2，4），且交x轴于点B，在x轴上有一点C，令△ABC的面积为12，则C点坐标为___________________．
15．如图，的边在轴上，且，反比例函数的图象与边、分别相交于点、，连接，已知的面积为，若，直线的函数解析式为___________．
16．正方形、、；…按如图放置，其中点、、，…在x轴正半轴上，点、、…在直线上，依此类推，其中的坐标 ___________，点的坐标是 ___________．
17．如图，直线与x轴、y轴分别相交于点A，B两点，将线段绕着点A按顺时针方向旋转，点B恰好落在反比例函数在第一象限图象上的点D．则___________．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于，两点，于点，是线段上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值为______．
三、解答题
19．如图，一次函数的图象和轴交于点，与正比例函数的图象交于点
（1）求和的值；
（2）求的面积；
（3）求不等式的解集是 ．
20．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A，点A的横坐标为4．直线交y轴负半轴于点B，且．
(1)求点B的坐标及直线的函数表达式；
(2)现将直线沿y轴向上平移5个单位长度，交y轴于点C，交直线于点D，试求的面积．
21．如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点，且点的坐标为，
(1)求的值；
(2)若函数的函数值不大于函数的函数值，直接写出的取值范围______；
(3)求的面积．
22．已知：如图，反比例函数的图象与直线相交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点．
(1)求直线的函数解析式；
(2)求点到直线的距离；
(3)若点是直线上一点，且是直角三角形，求点的坐标．
23．我们研究一个新函数时，常常会借助图像研究新函数的性质，在经历“列表、描点、连线”的步骤后，就可以得到函数图像，请运用这样的方法对函数进行探究：
(1)补全表格中所缺数据，并在所给平面直角坐标系中画出函数图像．
0 1 2 3 4
1 　　 　　 　　 1
(2)根据所画图像，写出该函数的两条性质：①　　；②　　；
(3)结合所画图像回答：当时，的取值范围是什么？
24．定义：叫做关于直线的“分边折叠函数”．
(1)已知“分边折叠函数”
①直接写出该函数与y轴的交点坐标；
②若直线与该函数只有一个交点，求t的取值范围；
(2)已知“分边折叠函数”的图像被直线与y轴所夹的线段长为，则k的值为___________．
25．在2022年卡塔尔世界杯比赛期间，国内某公司接到定制某国国家队的旗帜的任务，要求5天内完成生产53万面旗帜，该公司安排甲，乙两车间共同完成生产任务，乙车间加工过程中停工一段时间维修设备，然后提高效率继续加工，直到与甲车间同时完成加工任务为止．设甲，乙两车间各自生产旗帜y（万面）与甲车间加工时间x（天）之间的关系如图1所示；两车间未生产旗帜z（万面）与甲车间加工时间x（天）之间的关系如图2所示，请结合图象回答下列问题：
(1)甲车间每天生产旗帜___________万面，第一天甲，乙两车间共生产旗帜___________万面，___________；
(2)停工一段时间提高效率后，乙车间每天生产旗帜多少万面？
(3)当x为何值时，两车间生产的旗帜数相同？
26．如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点，与直线交于点E．已知点D的坐标为，点C在A的左侧且．
(1)分别求出直线和直线的表达式；
(2)在直线上，是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在坐标轴上，是否存在一点Q，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
27．如图1，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点．直线：与直线交于点C．
(1)求直线的解析式．
(2)如图2，点P是射线上的任意一点，过点P作轴且与交于点D，连接．当时，求的面积．
(3)如图3，在（2）的条件下，将先向右平移2个单位，再向上平移4个单位，点P的对应点为点F．在x轴上确定一点G，使得以点A，F，G为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出所有符合条件的点G的坐标．
28．在直角坐标系中，的顶点与原点重合，，．
(1)如图1，过点作轴于，过点作轴于，若点的坐标为，求点的坐标．
(2)如图2，将绕点任意旋转．若点的坐标为，求点的坐标．
(3)若点的坐标为，点的坐标为，试求，的值．
29．已知一次函数的图象与坐标轴交于A、B点（如图），AE平分∠BAO，交x轴于点E．
(1)求点B的坐标；
(2)求直线AE的表达式；
(3)过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接OF，试判断△OFB的形状，并求△OFB的面积．
(4)若将已知条件“AE平分∠BAO，交x轴于点E”改变为“点E是线段OB上的一个动点（点E不与点O、B重合）”，过点B作BF⊥AE，垂足为F．设OE=x，BF=y，试求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域．
答案
一、单选题
1．B
【分析】将点，先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到平移后的点，该点一次函数的图象上，利用待定系数法求出b的值即可．
【解析】解：将点，先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点，即，
由题意，得：在一次函数的图象上，
∴，
∴；
故选B．
2．B
【分析】对于已知直线，分别令与为0求出对应与的值，确定出与的坐标，在轴上取一点，使，连接，由为的平分线，得到，利用得出两三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得到，设，可得出，在中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出坐标，设直线解析式为，将与坐标代入求出与的值，即可确定出直线解析式．
【解析】
解：对于直线，
令，求出；令求出，
，，即，，
根据勾股定理得：，
在轴上取一点，使，连接，
为的平分线，
，
在和中，
，
，
，
设，则，
在中，，
根据勾股定理得：，
解得：，
，即，
设直线解析式为，
将与坐标代入得：，
解得：，
则直线解析式为．
故选：B．
3．D
【分析】根据函数图象可知，即得出，可判断A；将点代入，即得出，即直线l的解析式为，由当时，，即可判断B；由图象可知该函数y的值随x的增大而减小，从而即可得出，可判断C正确；由该函数y的值随x的增大而减小，且当时，，即得出当时，，从而可判断D．
【解析】∵该一次函数的图象经过第二、三、四象限，且与y轴的交点位于x轴下方，
∴，
∴，故A正确，不符合题意；
将点代入，得：，
∴，
∴直线l的解析式为，
当时，，
∴直线l过坐标为的点，故B正确，不符合题意；
由图象可知该函数y的值随x的增大而减小，
又∵，
∴，故C正确，不符合题意；
∵该函数y的值随x的增大而减小，且当时，，
∴当时，，即，故D错误，符合题意．
故选D．
4．A
【分析】根据待定系数法确定一次函数的解析式，再由一次函数的性质及与坐标轴的交点依次判断即可．
【解析】解：一次函数的图象经过点，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴y随x的增大而减小，
A、x满足，则当时，函数y有最大值，选项错误，符合题意；
B、当时，，当时，，
∴与坐标轴的两个交点分别为，，
∴函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为：，选项正确，不符合题意；
C、与，k都为，图象相互平行，选项正确，不符合题意；
D、当时，，解得：；
当时，，解得：；
∴函数值y满足时，则自变量x的取值范围是，选项正确，不符合题意；
故选：A．
5．D
【分析】根据图象可得甲车行驶的速度是，再由甲先出发，乙出发后追上甲，可得到乙车行驶的速度是，故①②正确；根据图象可得当乙到达地时，甲乙相距，从而得到甲比乙晚到，故③正确；然后分两种情况：当乙车在甲车前，且未到达地时和当乙车到达地后时，可得④错误．
【解析】解：①由图可得，甲车行驶的速度是，
根据图象可知：甲先出发，甲出发4h后被乙追上，
∴，
∴，
即乙车行驶的速度是，故①②正确；
③由图可得，当乙到达地时，甲乙相距，
∴甲比乙晚到，故③正确；
④由图可得，当乙车在甲车前，且未到达地时，则
解得；
当乙车到达地后时，，
解得，
∴甲车行驶或，甲，乙两车相距，故④错误；
故选：D．
6．C
【分析】根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解即可判断①；根据一次函数的解析式求得交点坐标，求得和的长，根据三角形面积计算公式，即可得到的面积，即可判断③；根据勾股定理的逆定理即可判断②；根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，即可得到当的值最小时，求得点P的坐标即可判断④，逐一判断即可得出答案．
【解析】解：直线与直线都经过，
方程组的解为：，故①正确；
把代入直线，可得
令，则
把，代入直线，可得
解得：
直线
令，则
，故③错误；
，，
，，
为直角三角形，故②正确；
点A关于轴对称点为
设过点，的直线为，则
解得：
令，则
当的值最小时，点P的坐标为，故④正确
故选C．
二、填空题
7．
【分析】两直线没有交点，说明两条直线平行，k值相等．
【解析】解：由题意可得，k=．
故答案为：．
8．三
【分析】根据k-1＜0，k＞0判断即可．
【解析】∵，
∴k-1＜0，
∴函数图像一定经过第二、第四象限；
∵b=k＞0，
∴图像与y轴交于正半轴，
∴函数图像一定经过第一象限；
∴函数图像一定不经过第三象限；
故答案为：三．
9．
【分析】根据题意，可得，求出的值，即可确定直线解析式．
【解析】解析：解：根据题意，得，
解得，
即直线的解析式为：，
故答案为：．
10．
【分析】先根据面积求出三角形在轴上边的长度，再分正半轴和负半轴两种情况讨论求解．
【解析】解：根据题意，设与轴交点坐标为
则，
解得，
，
当时，与轴交点为
∴，解得，
函数解析式为；
当时，与轴的交点为
∴解得，
函数解析式为．
这个一次函数的解析式是或．
故答案为：或．
11．
【分析】当时，，一次函数的图象过定点，设原点到直线的距离为d，点，根据斜边大于直角边，得到，求出的长，即为所求．
【解析】解：根据题意，设原点到直线的距离为d，
∵直线，当时，，
∴直线恒过定点，设，
则，
∴原点到直线的距离的最大值等于，
故答案为：．
12．200
【分析】将代入中得到每周的销量，再乘以单件利润即可得到答案；
【解析】解：将代入中得，
（件），
∴当纪念册的售价为每本30元，这一周的盈利是：（元）；
故答案为：200．
13．第二
【分析】由，得到，，然后根据一次函数图象与系数的关系易得直线经过第一、三、四象限．
【解析】解：，，
，
，，
，，
直线经过第一、三、四象限．
故答案为：第二．
14．
【分析】将点A（2，4）代入y=kx+2，求出k，得到点B的坐标，设点C（m，0），BC=，根据△ABC的面积为12，得到，求出m，由此得到点C坐标．
【解析】解：将点A（2，4）代入y=kx+2，得2k+2=4，
解得k=1，
∴y=x+2，
当y=0时，得x+2=0，
得x=-2，
∴B（-2，0），
设点C（m，0），
∴BC=，
∵△ABC的面积为12，
∴，
解得m=4或m=-8，
∴点C的坐标为，
故答案为．
15．
【分析】连接，过作于，依据，即可得到，即可得到反比例函数为，设，则点，依据的面积为，可得，即可得出，进而得到直线的函数表达式为
【解析】解：如图，连接，过作于，
∵的面积为
∴，，
∵反比例函数的图象经过点C，
∴，
又∵，
∴，
∴反比例函数为，
∵，
∴，
∴，
∴
∴为的中点，
∴，
设，则点，
∴，
∴，
∴，即，
设的表达式为，则，即，
直线的函数表达式为
故答案为：
16．
【分析】先根据直线的解析式以及正方形的性质，设的坐标是，再根据，得出一元一次方程，解出即可得出的坐标，然后分别得出，…的坐标，据此得出点的坐标规律，即可得出答案．
【解析】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵点在直线上，
∴设的坐标是，
∴，
解得：，
∴的坐标是，
∴点的坐标为，
∵是正方形，
∴，
∵点在直线上，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
同理，，
可得点的坐标为，
依此类推，，
∴的坐标为．
故答案为：，．
17.3
【分析】先求出点，可得，过点D作轴于点C，证明，可得，可求出点，即可求解．
【解析】解：对于，
令，则，
令，则，
解得：，
∴点，
∴，
如图，过点D作轴于点C，
根据题意得：，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点，
把代入得：．
故答案为：3
18．
【分析】由点的运动确定的运动轨迹是在与轴垂直的一段线段，当线段与垂直时，线段的值最小．
【解析】解：由已知可得，
三角形是等腰直角三角形，
，
，
又是线段上动点，将线段绕点逆时针旋转，
在线段上运动，所以的运动轨迹也是线段，
当在点时和在点时分别确定的起点与终点，
的运动轨迹是在与轴垂直的一段线段，
当线段与垂直时，线段的值最小，
在中，，，
，
又是等腰直角三角形，
，
．
故答案为．
三、解答题
19．（1）把代入得
所以点坐标为
把代入得得，解得
即和的值分别为；
（2）把代入得
所以点坐标为
所以的面积
（3）由图可知，因为点P的坐标为（2，3），
所以不等式x＞-x+m的解集是x＞2；
故答案为：x＞2．
20．（1）解：点的横坐标为4，
，
点的坐标是，
，
，
，
点的坐标是，
设直线的表达式是，
则，
解得，
直线的函数表达式是；
（2）将直线沿轴向上平移5个单位长度得，
∴点C坐标为，
解得交点的横坐标为6，
．
21．（1）解：把点的坐标为代入得：
，
，
点的坐标为，
将点，点代入得：
，
解得，
一次函数的解析式为，
的值为2，的值为3，的值为；
（2）解：由（1）得点的坐标为，
由图象可得：当时，函数的函数值不大于函数的函数值，
故答案为：；
（3）解：如图所示，过点作轴交轴于点，
则点的坐标为，
函数的图象与轴交于点，
当时，，
点的坐标为，
一次函数的图象与轴交于点，
当时，，
解得，
点的坐标为，
，
的面积为．
22．（1）解：设点，
∵点是的中点，，
∴，
解得：，
∴点，
把点代入得：，
解得：，
∴直线的函数解析式为；
（2）设点到直线的距离为h，
由（1）得：点，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
点到直线的距离为；
（3）设点D的坐标为，
∵点，
∴，，，
由题意知，则分两种情况讨论：
①当是以为斜边的直角三角形，
∴，
∴，
解得：，
∴点D的坐标为；
②当是以为斜边的直角三角形，
∴，
∴，
解得：，
∵当时，与重合，故舍去，
∴点D的坐标为．
综上所述：点D的坐标为，．
23．（1）当时，，
当时，，
当时，，
画出函数的图象如图：
故答案为：0，，0；
（2）由图象可知：①当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，②的最小值是；
故答案为：①当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，②的最小值是；
（3）由图象可得，当时，的取值范围是．
24．（1）解：①∵，，
∴当时，
∴函数与y轴的交点坐标为；
②令，代入得，
令经过点，
∴，
∴，
同理，令，代入得，
令经过点，
∴，
∴，
综上分析所得，当或时，与该函数只有一个交点；
（2）解：∵，
∴函数与y轴的交点坐标为，与直线的交点坐标为，
∵“分边折叠函数”的图像被直线与y轴所夹的线段长为，
∴，
∴，
∴（m等于0时，直线与y轴重合，不符合题意），
解得．
25．（1）由图象2可知，第一天甲乙共加工（万面），
第二天，乙停止工作，甲单独加工（万面），
则乙一天加工（万面）．
∴，
故答案为：5，9，4；
（2）
=
=8（万面）
所以，停工一段时间提高效率后，乙车间每天生产旗帜8万面；
（3）设乙车间维修设备后，乙车间生产旗帜数量y（万面）与x（天）之间函数关系式为
把，代入，得，
解得，，
∴；
设甲车间生产旗帜数量y（万面）与x（天）之间函数关系式为
把代入得，
∴；
联立方程组，
∴，解得，
所以，当时，两车间生产的旗帜数相同
26．（1）解：将，代入直线：，得：
，解得：，
∴直线：，
∵，，
∴，
设直线：()
将，代入直线：，得：
，解得：，
∴直线：．
（2）解：联立，解得：，
∴，
∴，
①若点P在右侧，
∵，
∴，
∴，解得，
∴
②若点P在左侧，
∵S△BEP=8，
∴，
∴，解得，
当时，，
∴．
（3）解：分两种情况：①当时，交x轴于Q，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当时，交x轴于Q，
同理，
∴，
∵，，
∴，
由勾股定理，得，
∴，
∴，
综上，存在，或．
27．（1）把，代入，得
，解得，
∴直线的解析式为；
（2）∵直线：与直线交于点C，
∴，
解得，
∴点C的横坐标为，
∴，
∵，
∴；
（3）设点，
∵轴，
∴点，
∴，
∵点P是射线上的任意一点，
解得，
∴点，
∵将先向右平移2个单位，再向上平移4个单位，点P的对应点为点F，
∴，
设，
∴，
以点A，F，G为顶点的三角形是等腰三角形有三种情况，讨论如下：
当时，即，
解得，
∴点G坐标为或；
当时，即，
解得或6（舍），
∴点G坐标为；
当时，即，
解得，
∴点G坐标为；
综上，点G坐标为或或或．
28．（1）∵，∴，．
∵轴，轴，∴．
∵，∴．
∴．
∵，∴．
∴，．
∴点的坐标为．
（2）作轴于，作轴于．
如图2，若点在第一象限，则，．
由（1），同理可证．则，．
则第四象限点为．
同理，若点在第二象限，则第一象限点为．
若点在第三象限，则第二象限点为．
若点在第四象限，则第三象限点为．
综上，若点的坐标为，点的坐标为．
（3）由（2），可得
由①，解得．
把代入②，得．
解得．检验符合．
∴，．
29．
（1）
解：对于，
当时，；当时，，
，，
在中，根据勾股定理得：，
则，；
（2）
解：过点作，垂足为（如图1所示），
平分，，，
，
在和中，
，
，
，
设，则有，，
在中，，，，
根据勾股定理得：，
解得：，
，
设直线的表达式为，
将，代入得：
，
解得：，
则直线的表达式为；
（3）
解：延长交轴于点（如图2所示），
平分，
，
又，
，
在和中，
，
，
，即为的中点，
又为直角三角形，
，
为等腰三角形，
过点作，垂足为（如图2所示），
，，
，
点的横坐标为，
设，将代入，得：，
，
则；
（4）
解：在中，，，
根据勾股定理得：，
又，（等积法），
，又，
则．