七年级数学下册沪教版 第14章《三角形》单元复习题（含解析）
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| 名称 | 七年级数学下册沪教版 第14章《三角形》单元复习题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 358.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-11 20:42:31 | ||
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第14章《三角形》单元复习题
一．选择题
1．在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是（ ）
A．0＜AD＜12 B．1＜AD＜6 C．0＜AD＜6 D．2＜AD＜12
2．下列不能作为判定△ABC≌△DEF的条件是（ ）
A．AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E B．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E
C．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D D．∠A＝∠D，AC＝DF，∠B＝∠E
3．已知∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角，下列条件不能确定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝40°，∠B＝50° B．∠A＝90°
C．∠A+∠B＝∠C D．∠A+∠B＝2∠C
4．如图，在△ABC中，AD垂直BC于D，BE垂直AC于E，AD、BE交于点H，且HD＝DC，那么下列结论中，正确的是（ ）
A．AH＝BD B．△AHE≌△BHD C．△ADC≌△BDH D．HE＝EC
二．填空题
5．如图，△ABC的三个顶点分别在直线a、b上，且a∥b，若∠1＝126°，∠2＝80°，则∠3＝ 度．
6．在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC外一点，连接AD、BD、CD，且BD交AC于点O，在BD上取一点E，使得AE＝AD，∠EAD＝∠BAC，若∠ACB＝70°，则∠BDC的度数为 ．
7．在△ABC中，如果AB＝AC，∠A＝∠C，那么△ABC的形状为 ．
8．如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝56°，∠2＝29°，则∠A的度数为 度．
9．若一个三角形的两边长分别是2cm和9cm，且第三边为奇数，则第三边长为 ．
10．如图，在△ABC中，D在边AC上，如果AB＝BD＝DC，且∠C＝40°，那么∠ABD＝ °．
11．如图，已知∠B＝∠C，从下列条件中选择一个，则可以证明△OEB全等于△ODC．①AD＝AE，②OB＝OC，③BD＝CE，④∠BEO＝∠CDO，那么这个条件可以是 （写出所有符合条件的序号）．
12．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，若△ABD的周长为16，△ABC的周长为24，则AD的长为 ．
13．如图，在△ABC和△FED中，AD＝FC，∠A＝∠F，请添加一个条件： ，使△ABC≌△FED．
14．已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，如果D是边BC的中点，那么∠CAD＝ 度．
15．如图，已知直线l1∥l2，等边三角形ABC的顶点A、C分别在直线l1、l2上，如果边AB与直线l1的夹角∠1＝26°，那么边BC与直线l2的夹角∠2＝ 度．
16．如图，已知△ABC≌△ADE，且点B与点D对应，点C与点E对应，点D在BC上，∠BAE＝114°，∠BAD＝40°，则∠E的度数是 °．
三．解答题
17．如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，MF∥DA交BA的延长线于点E，交AC于点F，求证：BE＝CF．
18．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，CE⊥AB，垂足为点E，AD＝DC，CE和AD交于点F，联结BF，试说明∠FBD＝45°．
19．如图，已知在等腰△ABC中AB＝AC，点D，点E和点F分别是BC，AB和AC边上的点，且BE＝DC，∠B＝∠EDF，试说明DE＝DF．
20．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，过点C作直线CE，使CE∥AB，交AD的延长线于点E．试说明AD＝ED的理由．
解：因为CE∥AB（已知），
所以∠BAD＝ （ ）．
因为点D是边BC的中点，
所以 ，
在△ABD和△ECD中，
，
所以△ABD≌△ECD（ ），
所以AD＝ED（ ）．
21．如图，已知∠B＝∠C＝90°，AE⊥ED，AB＝EC，EF⊥AD，试说明点F是AD的中点的理由．
22．如图，在三角形ABC中，已知点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且FD＝DE，BF＝CD，∠FDE＝∠B，那么∠B与∠C相等吗？为什么？
23．如图，已知AD＝BC，AE＝BE，说明AC＝BD的理由．
24．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝BD，∠ADE＝∠B，请说明△ADE是等腰三角形的理由．
25．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC．则线段AB，BE，CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
26．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝45°，过点B作BE⊥AC，垂足为E，在线段BE上截取ED＝EC，AD的延长线交BC于点P，联结DC．
（1）请说明AD＝BC的理由；
（2）请说明BP＝PC的理由．
27．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC，AD＝AB，连接BD并延长，交AC的延长线于点E，求∠ADE的度数．
28．如图，已知直线AB∥CD，∠ACD的平分线CE交AB于点F，∠AFE的平分线交CA延长线于点G．
（1）说明AC＝AF的理由；
（2）若∠FCD＝32°，求∠G的大小．
29．如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．E为BD上一点，且BE＝AD，∠DEF＝∠ADC，EF交BC的延长线于点F．
（1）AD和BC相等吗？为什么？
（2）BF和BD相等吗？为什么？
30．已知在△ABC与△CDE中，AB＝CD，∠B＝∠D，∠ACE＝∠B，点B、C、D在同一直线上，射线AH、EI分别平分∠BAC、∠CED．
（1）如图1，试说明AC＝CE的理由；
（2）如图2，当AH、EI交于点G时，设∠B＝α，∠AGE＝β，求β与α的数量关系，并说明理由；
（3）当AH∥EI时，求∠B的度数．
答案
一．选择题
1．
【分析】作出图形，延长中线AD到E，使DE＝AD，利用“边角边”证明△ACD和△EBD全等，根据全等三角形对应边相等可得AC＝BE，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的范围，再除以2即可得解．
【解答】解：如图，延长中线AD到E，使DE＝AD，
∵AD是三角形的中线，
∴BD＝CD，
在△ACD和△EBD中，
，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴AC＝BE，
∵AB＝5，BE＝AC＝7，
∴7﹣5＜AE＜7+5，
即7﹣5＜2AD＜7+5，
∴1＜AD＜6．
故选：B．
2．
【分析】根据全等三角形的判定方法判断即可．
【解答】解：A、AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E，可以利用SAS判定△ABC≌△DEF，不符合题意；
B、∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E，可以利用ASA判定△ABC≌△DEF，不符合题意；
C、AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D，不能利用SSA判定△ABC≌△DEF，符合题意；
D、∠A＝∠D，AC＝DF，∠B＝∠E，可以利用AAS判定△ABC≌△DEF，不符合题意；
故选：C．
3．
【分析】根据各个选项给出的条件结合三角形内角和定理，即三角形内角和等于180°，推导出三角形中是否存在90°的内角．若存在，则△ABC是直角三角形．若不存在，则△ABC不是直角三角形．
【解答】解：选项A：∵∠A＝40°，∠B＝50°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°．
∴△ABC是直角三角形．
选项B：∵∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
选项C：∵∠A+B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°．
∴∠C＝90°．
∴△ABC是直角三角形．
选项D：∵∠A+∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴3∠C＝180°．
∴∠C＝60°．
∴∠A+∠B＝120°．
∴无法确定△ABC是直角三角形．
故选：D．
4．
【分析】首先根据垂直可得∠ADB＝∠ADC＝90°，然后再证明∠HAE＝∠HBD，然后再利用AAS证明△ADC≌△BDH．
【解答】解：∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠DAE+∠AHE＝90°，
∵BE⊥AC，
∴∠HBD+∠BHD＝90°，
∵∠AHE＝∠BHD，
∴∠HAE＝∠HBD，
在△ADC和△BDH中，
，
∴△ADC≌△BDH（AAS），
故选：C．
二．填空题
5．
【分析】根据平行线的性质及可得到答案．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠1＝∠2+∠3，
∵∠1＝126°，∠2＝80°，
∴∠3＝∠1﹣∠2＝46°，
故答案为：46．
6．
【分析】根据SAS证明△ABE≌△ACD，再利用全等三角形的性质、三角形的外角性质和三角形的内角和解答即可．
【解答】解：∵∠EAD＝∠BAC，
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC，
即∠BAE＝∠CAD，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD （SAS），
∴∠ABD＝∠ACD，
∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角，
∴∠BOC＝∠ABD+∠BAC，∠BOC＝∠ACD+∠BDC，
∴∠ABD+∠BAC＝∠ACD+∠BDC，
∴∠BAC＝∠BDC，
∵∠ACB＝70°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠BDC＝∠BAC＝40°．
故答案为：40°．
7．
【分析】可利用等腰三角形的判定，说明三角形的三条边都相等，亦可利用等腰三角形的性质，说明该三角形的三个角都相等．
【解答】解：（法一）在△ABC中，∵∠A＝∠C，
∴BA＝BC．
又∵AB＝AC，
AB＝AC＝BC．
所以△ABC是等边三角形．
故答案为：等边三角形．
（法二）在△ABC中，∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
又∵∠A＝∠C，
∴∠A＝∠B＝∠C．
所以△ABC是等边三角形．
故答案为：等边三角形．
8．
【分析】先根据对顶角的定义得出∠3的度数，再由三角形内角与外角的关系求出∠A的度数．
【解答】解：如图，
∵直线a∥b，
∴∠3＝∠1，
∵∠1＝56°，
∴∠3＝56°，
∵∠3＝∠2+∠A，∠2＝29°，
∴∠A＝∠3﹣∠2＝56°﹣29°＝27°．
故答案为：27．
9．
【分析】根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，再根据第三边是奇数求得第三边的长．
【解答】解：设第三边长xcm．
根据三角形的三边关系，得7＜x＜11．
又∵三角形的第三边长是奇数，因而满足条件的数是9cm．
故答案为：9cm．
10．
【分析】由等腰三角形的性质可得∠DBC＝∠C＝40°，由三角形的内角和定理可得∠BDC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，由邻补角的性质可得∠ADB，易得∠A，从而求得∠ABD．
【解答】解：∵AB＝BD＝DC，∠C＝40°，
∴∠DBC＝∠C＝40°，∠A＝∠ADB，
∴∠BDC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠ADB＝180°﹣100°＝80°，
∴∠A＝80°，
∴∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠A＝180°﹣80°﹣80°＝20°，
故答案为：20．
11．
【分析】根据全等三角形的判定方法解答即可．
【解答】解：选择①和②可与∠B＝∠C一起得出△ABD≌△ACE（AAS），选择③可与∠B＝∠C一起得出△ABD≌△ACE（AAS），
∴AB＝AC，AD＝AE，
∴BE＝CD，
∴△OEB≌△ODC（AAS）
选择④没有已知的边，不能得到△OEB≌△ODC，
故答案为：①或②或③．
12．
【分析】先由等腰三角形三线合一的性质得出BD＝CD，再根据△ABD的周长为16，得到AB+BD+AD＝16，即AB+AC+BC+2AD＝32，再将AB+AC+BC＝24代入，即可求出AD的长．
【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴BD＝CD．
∵△ABD的周长为16，
∴AB+BD+AD＝16，
∴2AB+2BD+2AD＝32，
∴AB+AC+BC+2AD＝32，
∵△ABC的周长为24，
∴AB+AC+BC＝24，
∴24+2AD＝32，
∴AD＝4．
故答案为4
13．
【分析】根据三角形的判定定理：SSS、SAS、AAS进行判断即可．
【解答】解：∵AD＝FC，
∴AC＝FD，
∵∠A＝∠F，
∴添加AB＝FE，利用SAS得出△ABC≌△FED，
添加∠B＝∠E，利用AAS得出△ABC≌△FED，
添加∠ACB＝∠FDE，利用ASA得出△ABC≌△FED，
添加DE∥BC，得出∠EDF＝∠BCA，利用ASA得出△ABC≌△FED，
故答案为：AB＝FE或∠B＝∠E或∠ACB＝∠FDE或DE∥BC．
14．
【分析】首先利用等腰三角形的底角的度数求得另一个底角的度数，然后根据等腰三角形“三线合一”的性质求得答案即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝50°，
∴∠C＝∠B＝50°，
∵D是边BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠CAD＝40°，
故答案为：40．
15．
【分析】由等边三角形的性质得∠BAC＝∠BCA＝60°，再由平行线的性质得∠1+∠BAC+∠BCA+∠2＝180°，则∠1+∠2＝60°，即可求解．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠BCA＝60°，
∵直线l1∥l2，
∴∠1+∠BAC+∠BCA+∠2＝180°，
∴∠1+∠2＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∵∠1＝26°，
∴∠2＝60°﹣26°＝34°，
故答案为：34．
16．
【分析】根据全等三角形的性质得出AB＝AD，∠ABD＝∠ADE，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ABD＝70°，求出∠DAE和∠ADE，再根据三角形内角和定理求出∠E即可．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠BAD＝40°，
∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠BAD）＝70°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠ADE＝∠ABD＝70°，
∵∠BAE＝114°，∠BAD＝40°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝114°﹣40°＝74°，
∴∠E＝180°﹣∠ADE﹣∠DAE＝180°﹣70°﹣74°＝36°，
故答案为：36．
三．解答题
17．证明：如图，过点B作BN∥AC交EM的延长线于N，
∴∠MBN＝∠C，∠N＝∠MFC，
∵M为BC的中点，
∴BM＝CM，
在△BMN和△CMF中，
，
∴△BMN≌△CMF（AAS），
∴BN＝CF，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵ME∥AD，
∴∠E＝∠BAD，∠MFC＝∠CAD，
∴∠E＝∠MFC，
∴∠E＝∠N，
∴BE＝BN，
∴BE＝CF．
18．解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°＝∠CEB，
∴∠ABD+∠BAD＝90°＝∠BCE+∠ABD，
∴∠BAD＝∠BCE，
在△ABD和△CFD中，
，
∴△ABD≌△CFD（ASA），
∴BD＝DF，
又∵∠ADB＝90°，
∴∠FBD＝45°．
19．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠B＝∠EDF，
∴∠C＝∠EDF，
∵∠EDC＝∠B+∠BED＝∠EDF+∠FDC，
∴∠BED＝∠CDF，
在△BDE和△CFD中，
，
∴△BDE≌△CFD（ASA），
∴DE＝DF．
20．解：因为CE∥AB（已知），
所以∠BAD＝∠E（两直线平行，内错角相等）．
因为点D是边BC的中点，
所以BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，
所以△ABD≌△ECD（AAS），
所以AD＝ED（全等三角形的对应边相等）．
故答案为∠E，两直线平行，内错角相等；∠BAD＝∠E，对顶角相等，BD＝CD；AAS；全等三角形的对应边相等．
21．解：∵AE⊥DE，
∴∠AED＝90°，
又∵∠B＝90°，
∴∠B＝∠AED，
∵∠AEC＝∠B+∠BAE，
即∠AED+∠DEC＝∠B+∠BAE，
∴∠BAE＝∠DEC，
在△ABE与△ECD中，
，
∴△ABE≌△ECD（ASA），
∴AE＝ED，
∵EF⊥AD，
∴点F是AD的中点．
22．解：∠B与∠C相等，
理由：∵∠FDC＝∠FDE+∠EDC，
又∵∠FDC＝∠B+∠BFD，
∴∠FDE+∠EDC＝∠B+∠BFD，
又∵∠FDE＝∠B，
∴∠BFD＝∠EDC，
在△BFD和△CDE中
，
∴△BFD≌△CDE（SAS），
∴∠B＝∠C．
23．证明：∵AD＝BC，AE＝BE，
∴AD﹣AE＝BC﹣BE，
即DE＝CE，
在△ACE与△BDE中，
，
∴△ACE≌△BDE（SAS），
∴AC＝BD．
24．解：∵AB＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA，
∵∠ADE＝∠B，∠ADE+∠BAD+∠AED＝180°，∠B+∠BDA+∠BAD＝180°，
∴∠AED＝∠BAD，
∴ED＝AD，
∴△ADE为等腰三角形．
25．解：AB+BE＝CD，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠EDC，
在△ABD和△EDC中，
，
∴△ABD≌△EDC（AAS），
∴AB＝DE，BD＝CD，
∵DE+BE＝BD，
∴AB+BE＝CD．
26．解：（1）∵BE⊥AC，∠BAC＝45°，
∴∠ABE＝90°﹣45°＝45°，
∴BE＝AE，
在△BCE和△ADE中，
，
∴△BCE≌△ADE（SAS），
∴AD＝BC．
（2）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BE⊥AC，BE＝AE，EC＝ED，
∴∠DCE＝∠CDE＝∠EBA＝∠BAE＝45°，
∴∠ABC﹣∠EBA＝∠ACB﹣∠DCE，即∠DBC＝∠DCB，
∴BD＝CD，
∴PD为线段BC的垂直平分线，
∴BP＝PC．
27．解：∵AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝40°，
∵AD＝AB，
∴∠BDA＝×（180°﹣40°）＝70°，
∴∠ADE＝180°﹣∠BDA＝180°﹣70°＝110°．
28．（1）证明：∵∠ACD的平分线CE交AB于点F，
∴∠ACF＝∠DCF，
∵AB∥CD，
∴∠AFC＝∠DCF，
∴∠ACF＝∠AFC，
∴AC＝AF；
（2）解：∵∠FCD＝32°，AB∥CD，
∴∠ACD＝∠GAF＝64°，∠AFC＝32°，
∵∠AFE的平分线交CA延长线于点G．
∴∠AFG＝∠GFE＝AFE＝，
∴∠G＝180°﹣∠GAF﹣∠AFG＝180°﹣64°﹣74°＝42°．
29．解：（1）AD＝CB，理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠ABD＝∠CDB，
同理可得，∠ADB＝∠CBD，
在△ABD与△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB（ASA），
∴AD＝CB；
（2）BF＝BD，理由如下：
∵AD＝CB，BE＝AD，
∴BC＝BE，
∵∠DEF＝∠ADC，
∴∠DEF﹣∠DBF＝∠ADC﹣∠ADB，
即∠EFB＝∠CDB，
在△EFB与△CDB中，
，
∴△EFB≌△CDB（ASA），
∴FB＝DB．
30．（1）证明：∵∠ACD＝∠ACE+∠ECD＝∠A+∠B，
又∠B＝∠ACE，
∴∠A＝∠ECD．
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（ASA）．
∴AC＝CE．
（2）解：3α﹣2β＝180°．理由如下：
如图1所示，连接GC并延长至点K．
∵AH、EI分别平分∠BAC、∠DEC，
则设∠CAH＝∠BAH＝a，∠CEI＝∠DEI＝b，
∵∠ACK为△ACG的外角，
∴∠ACK＝a+∠AGC，
同理可得∠ECK＝b+∠EGC，
∴∠ACE＝∠ACK+∠ECK＝∠B＝α
＝（a+∠AGC）+（b+∠EGC）＝a+b+∠AGE＝a+b+β，
即α＝a+b+β，
∴a+b＝α﹣β．
又由（1）中证明可知∠ECD＝∠BAC＝2a，
由三角形内角和公式可得∠ECD+∠DEC+∠D＝180°，
即2a+2b+α＝180°，
∴2（a+b）+α＝180°，
∴3α﹣2β＝180°．
（3）当AH∥EI时，如图2所示，
过点C作MN∥AH，则MN∥AH∥EI．
∴∠CAH＝∠ACM＝a，∠CEI＝∠ECM＝b，
∴∠ACE＝∠ACM+∠ECM＝a+b＝α，即α＝a+b．
由（1）中证明可得∠ECD＝∠BAC＝2a，∠D＝∠B＝α．
在△CED中，根据三角形内角和定理有∠ECD+∠CED+∠D＝180°，
即2a+2b+α＝180°，
即2（a+b）＝180°﹣α，
即3α＝180°，解得：α＝60°．
故∠B＝60°．
一．选择题
1．在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是（ ）
A．0＜AD＜12 B．1＜AD＜6 C．0＜AD＜6 D．2＜AD＜12
2．下列不能作为判定△ABC≌△DEF的条件是（ ）
A．AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E B．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E
C．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D D．∠A＝∠D，AC＝DF，∠B＝∠E
3．已知∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角，下列条件不能确定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝40°，∠B＝50° B．∠A＝90°
C．∠A+∠B＝∠C D．∠A+∠B＝2∠C
4．如图，在△ABC中，AD垂直BC于D，BE垂直AC于E，AD、BE交于点H，且HD＝DC，那么下列结论中，正确的是（ ）
A．AH＝BD B．△AHE≌△BHD C．△ADC≌△BDH D．HE＝EC
二．填空题
5．如图，△ABC的三个顶点分别在直线a、b上，且a∥b，若∠1＝126°，∠2＝80°，则∠3＝ 度．
6．在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC外一点，连接AD、BD、CD，且BD交AC于点O，在BD上取一点E，使得AE＝AD，∠EAD＝∠BAC，若∠ACB＝70°，则∠BDC的度数为 ．
7．在△ABC中，如果AB＝AC，∠A＝∠C，那么△ABC的形状为 ．
8．如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝56°，∠2＝29°，则∠A的度数为 度．
9．若一个三角形的两边长分别是2cm和9cm，且第三边为奇数，则第三边长为 ．
10．如图，在△ABC中，D在边AC上，如果AB＝BD＝DC，且∠C＝40°，那么∠ABD＝ °．
11．如图，已知∠B＝∠C，从下列条件中选择一个，则可以证明△OEB全等于△ODC．①AD＝AE，②OB＝OC，③BD＝CE，④∠BEO＝∠CDO，那么这个条件可以是 （写出所有符合条件的序号）．
12．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，若△ABD的周长为16，△ABC的周长为24，则AD的长为 ．
13．如图，在△ABC和△FED中，AD＝FC，∠A＝∠F，请添加一个条件： ，使△ABC≌△FED．
14．已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，如果D是边BC的中点，那么∠CAD＝ 度．
15．如图，已知直线l1∥l2，等边三角形ABC的顶点A、C分别在直线l1、l2上，如果边AB与直线l1的夹角∠1＝26°，那么边BC与直线l2的夹角∠2＝ 度．
16．如图，已知△ABC≌△ADE，且点B与点D对应，点C与点E对应，点D在BC上，∠BAE＝114°，∠BAD＝40°，则∠E的度数是 °．
三．解答题
17．如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，MF∥DA交BA的延长线于点E，交AC于点F，求证：BE＝CF．
18．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，CE⊥AB，垂足为点E，AD＝DC，CE和AD交于点F，联结BF，试说明∠FBD＝45°．
19．如图，已知在等腰△ABC中AB＝AC，点D，点E和点F分别是BC，AB和AC边上的点，且BE＝DC，∠B＝∠EDF，试说明DE＝DF．
20．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，过点C作直线CE，使CE∥AB，交AD的延长线于点E．试说明AD＝ED的理由．
解：因为CE∥AB（已知），
所以∠BAD＝ （ ）．
因为点D是边BC的中点，
所以 ，
在△ABD和△ECD中，
，
所以△ABD≌△ECD（ ），
所以AD＝ED（ ）．
21．如图，已知∠B＝∠C＝90°，AE⊥ED，AB＝EC，EF⊥AD，试说明点F是AD的中点的理由．
22．如图，在三角形ABC中，已知点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且FD＝DE，BF＝CD，∠FDE＝∠B，那么∠B与∠C相等吗？为什么？
23．如图，已知AD＝BC，AE＝BE，说明AC＝BD的理由．
24．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝BD，∠ADE＝∠B，请说明△ADE是等腰三角形的理由．
25．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC．则线段AB，BE，CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
26．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝45°，过点B作BE⊥AC，垂足为E，在线段BE上截取ED＝EC，AD的延长线交BC于点P，联结DC．
（1）请说明AD＝BC的理由；
（2）请说明BP＝PC的理由．
27．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC，AD＝AB，连接BD并延长，交AC的延长线于点E，求∠ADE的度数．
28．如图，已知直线AB∥CD，∠ACD的平分线CE交AB于点F，∠AFE的平分线交CA延长线于点G．
（1）说明AC＝AF的理由；
（2）若∠FCD＝32°，求∠G的大小．
29．如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．E为BD上一点，且BE＝AD，∠DEF＝∠ADC，EF交BC的延长线于点F．
（1）AD和BC相等吗？为什么？
（2）BF和BD相等吗？为什么？
30．已知在△ABC与△CDE中，AB＝CD，∠B＝∠D，∠ACE＝∠B，点B、C、D在同一直线上，射线AH、EI分别平分∠BAC、∠CED．
（1）如图1，试说明AC＝CE的理由；
（2）如图2，当AH、EI交于点G时，设∠B＝α，∠AGE＝β，求β与α的数量关系，并说明理由；
（3）当AH∥EI时，求∠B的度数．
答案
一．选择题
1．
【分析】作出图形，延长中线AD到E，使DE＝AD，利用“边角边”证明△ACD和△EBD全等，根据全等三角形对应边相等可得AC＝BE，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的范围，再除以2即可得解．
【解答】解：如图，延长中线AD到E，使DE＝AD，
∵AD是三角形的中线，
∴BD＝CD，
在△ACD和△EBD中，
，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴AC＝BE，
∵AB＝5，BE＝AC＝7，
∴7﹣5＜AE＜7+5，
即7﹣5＜2AD＜7+5，
∴1＜AD＜6．
故选：B．
2．
【分析】根据全等三角形的判定方法判断即可．
【解答】解：A、AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E，可以利用SAS判定△ABC≌△DEF，不符合题意；
B、∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E，可以利用ASA判定△ABC≌△DEF，不符合题意；
C、AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D，不能利用SSA判定△ABC≌△DEF，符合题意；
D、∠A＝∠D，AC＝DF，∠B＝∠E，可以利用AAS判定△ABC≌△DEF，不符合题意；
故选：C．
3．
【分析】根据各个选项给出的条件结合三角形内角和定理，即三角形内角和等于180°，推导出三角形中是否存在90°的内角．若存在，则△ABC是直角三角形．若不存在，则△ABC不是直角三角形．
【解答】解：选项A：∵∠A＝40°，∠B＝50°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°．
∴△ABC是直角三角形．
选项B：∵∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
选项C：∵∠A+B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°．
∴∠C＝90°．
∴△ABC是直角三角形．
选项D：∵∠A+∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴3∠C＝180°．
∴∠C＝60°．
∴∠A+∠B＝120°．
∴无法确定△ABC是直角三角形．
故选：D．
4．
【分析】首先根据垂直可得∠ADB＝∠ADC＝90°，然后再证明∠HAE＝∠HBD，然后再利用AAS证明△ADC≌△BDH．
【解答】解：∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠DAE+∠AHE＝90°，
∵BE⊥AC，
∴∠HBD+∠BHD＝90°，
∵∠AHE＝∠BHD，
∴∠HAE＝∠HBD，
在△ADC和△BDH中，
，
∴△ADC≌△BDH（AAS），
故选：C．
二．填空题
5．
【分析】根据平行线的性质及可得到答案．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠1＝∠2+∠3，
∵∠1＝126°，∠2＝80°，
∴∠3＝∠1﹣∠2＝46°，
故答案为：46．
6．
【分析】根据SAS证明△ABE≌△ACD，再利用全等三角形的性质、三角形的外角性质和三角形的内角和解答即可．
【解答】解：∵∠EAD＝∠BAC，
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC，
即∠BAE＝∠CAD，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD （SAS），
∴∠ABD＝∠ACD，
∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角，
∴∠BOC＝∠ABD+∠BAC，∠BOC＝∠ACD+∠BDC，
∴∠ABD+∠BAC＝∠ACD+∠BDC，
∴∠BAC＝∠BDC，
∵∠ACB＝70°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠BDC＝∠BAC＝40°．
故答案为：40°．
7．
【分析】可利用等腰三角形的判定，说明三角形的三条边都相等，亦可利用等腰三角形的性质，说明该三角形的三个角都相等．
【解答】解：（法一）在△ABC中，∵∠A＝∠C，
∴BA＝BC．
又∵AB＝AC，
AB＝AC＝BC．
所以△ABC是等边三角形．
故答案为：等边三角形．
（法二）在△ABC中，∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
又∵∠A＝∠C，
∴∠A＝∠B＝∠C．
所以△ABC是等边三角形．
故答案为：等边三角形．
8．
【分析】先根据对顶角的定义得出∠3的度数，再由三角形内角与外角的关系求出∠A的度数．
【解答】解：如图，
∵直线a∥b，
∴∠3＝∠1，
∵∠1＝56°，
∴∠3＝56°，
∵∠3＝∠2+∠A，∠2＝29°，
∴∠A＝∠3﹣∠2＝56°﹣29°＝27°．
故答案为：27．
9．
【分析】根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，再根据第三边是奇数求得第三边的长．
【解答】解：设第三边长xcm．
根据三角形的三边关系，得7＜x＜11．
又∵三角形的第三边长是奇数，因而满足条件的数是9cm．
故答案为：9cm．
10．
【分析】由等腰三角形的性质可得∠DBC＝∠C＝40°，由三角形的内角和定理可得∠BDC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，由邻补角的性质可得∠ADB，易得∠A，从而求得∠ABD．
【解答】解：∵AB＝BD＝DC，∠C＝40°，
∴∠DBC＝∠C＝40°，∠A＝∠ADB，
∴∠BDC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠ADB＝180°﹣100°＝80°，
∴∠A＝80°，
∴∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠A＝180°﹣80°﹣80°＝20°，
故答案为：20．
11．
【分析】根据全等三角形的判定方法解答即可．
【解答】解：选择①和②可与∠B＝∠C一起得出△ABD≌△ACE（AAS），选择③可与∠B＝∠C一起得出△ABD≌△ACE（AAS），
∴AB＝AC，AD＝AE，
∴BE＝CD，
∴△OEB≌△ODC（AAS）
选择④没有已知的边，不能得到△OEB≌△ODC，
故答案为：①或②或③．
12．
【分析】先由等腰三角形三线合一的性质得出BD＝CD，再根据△ABD的周长为16，得到AB+BD+AD＝16，即AB+AC+BC+2AD＝32，再将AB+AC+BC＝24代入，即可求出AD的长．
【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴BD＝CD．
∵△ABD的周长为16，
∴AB+BD+AD＝16，
∴2AB+2BD+2AD＝32，
∴AB+AC+BC+2AD＝32，
∵△ABC的周长为24，
∴AB+AC+BC＝24，
∴24+2AD＝32，
∴AD＝4．
故答案为4
13．
【分析】根据三角形的判定定理：SSS、SAS、AAS进行判断即可．
【解答】解：∵AD＝FC，
∴AC＝FD，
∵∠A＝∠F，
∴添加AB＝FE，利用SAS得出△ABC≌△FED，
添加∠B＝∠E，利用AAS得出△ABC≌△FED，
添加∠ACB＝∠FDE，利用ASA得出△ABC≌△FED，
添加DE∥BC，得出∠EDF＝∠BCA，利用ASA得出△ABC≌△FED，
故答案为：AB＝FE或∠B＝∠E或∠ACB＝∠FDE或DE∥BC．
14．
【分析】首先利用等腰三角形的底角的度数求得另一个底角的度数，然后根据等腰三角形“三线合一”的性质求得答案即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝50°，
∴∠C＝∠B＝50°，
∵D是边BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠CAD＝40°，
故答案为：40．
15．
【分析】由等边三角形的性质得∠BAC＝∠BCA＝60°，再由平行线的性质得∠1+∠BAC+∠BCA+∠2＝180°，则∠1+∠2＝60°，即可求解．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠BCA＝60°，
∵直线l1∥l2，
∴∠1+∠BAC+∠BCA+∠2＝180°，
∴∠1+∠2＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∵∠1＝26°，
∴∠2＝60°﹣26°＝34°，
故答案为：34．
16．
【分析】根据全等三角形的性质得出AB＝AD，∠ABD＝∠ADE，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ABD＝70°，求出∠DAE和∠ADE，再根据三角形内角和定理求出∠E即可．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠BAD＝40°，
∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠BAD）＝70°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠ADE＝∠ABD＝70°，
∵∠BAE＝114°，∠BAD＝40°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝114°﹣40°＝74°，
∴∠E＝180°﹣∠ADE﹣∠DAE＝180°﹣70°﹣74°＝36°，
故答案为：36．
三．解答题
17．证明：如图，过点B作BN∥AC交EM的延长线于N，
∴∠MBN＝∠C，∠N＝∠MFC，
∵M为BC的中点，
∴BM＝CM，
在△BMN和△CMF中，
，
∴△BMN≌△CMF（AAS），
∴BN＝CF，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵ME∥AD，
∴∠E＝∠BAD，∠MFC＝∠CAD，
∴∠E＝∠MFC，
∴∠E＝∠N，
∴BE＝BN，
∴BE＝CF．
18．解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°＝∠CEB，
∴∠ABD+∠BAD＝90°＝∠BCE+∠ABD，
∴∠BAD＝∠BCE，
在△ABD和△CFD中，
，
∴△ABD≌△CFD（ASA），
∴BD＝DF，
又∵∠ADB＝90°，
∴∠FBD＝45°．
19．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠B＝∠EDF，
∴∠C＝∠EDF，
∵∠EDC＝∠B+∠BED＝∠EDF+∠FDC，
∴∠BED＝∠CDF，
在△BDE和△CFD中，
，
∴△BDE≌△CFD（ASA），
∴DE＝DF．
20．解：因为CE∥AB（已知），
所以∠BAD＝∠E（两直线平行，内错角相等）．
因为点D是边BC的中点，
所以BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，
所以△ABD≌△ECD（AAS），
所以AD＝ED（全等三角形的对应边相等）．
故答案为∠E，两直线平行，内错角相等；∠BAD＝∠E，对顶角相等，BD＝CD；AAS；全等三角形的对应边相等．
21．解：∵AE⊥DE，
∴∠AED＝90°，
又∵∠B＝90°，
∴∠B＝∠AED，
∵∠AEC＝∠B+∠BAE，
即∠AED+∠DEC＝∠B+∠BAE，
∴∠BAE＝∠DEC，
在△ABE与△ECD中，
，
∴△ABE≌△ECD（ASA），
∴AE＝ED，
∵EF⊥AD，
∴点F是AD的中点．
22．解：∠B与∠C相等，
理由：∵∠FDC＝∠FDE+∠EDC，
又∵∠FDC＝∠B+∠BFD，
∴∠FDE+∠EDC＝∠B+∠BFD，
又∵∠FDE＝∠B，
∴∠BFD＝∠EDC，
在△BFD和△CDE中
，
∴△BFD≌△CDE（SAS），
∴∠B＝∠C．
23．证明：∵AD＝BC，AE＝BE，
∴AD﹣AE＝BC﹣BE，
即DE＝CE，
在△ACE与△BDE中，
，
∴△ACE≌△BDE（SAS），
∴AC＝BD．
24．解：∵AB＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA，
∵∠ADE＝∠B，∠ADE+∠BAD+∠AED＝180°，∠B+∠BDA+∠BAD＝180°，
∴∠AED＝∠BAD，
∴ED＝AD，
∴△ADE为等腰三角形．
25．解：AB+BE＝CD，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠EDC，
在△ABD和△EDC中，
，
∴△ABD≌△EDC（AAS），
∴AB＝DE，BD＝CD，
∵DE+BE＝BD，
∴AB+BE＝CD．
26．解：（1）∵BE⊥AC，∠BAC＝45°，
∴∠ABE＝90°﹣45°＝45°，
∴BE＝AE，
在△BCE和△ADE中，
，
∴△BCE≌△ADE（SAS），
∴AD＝BC．
（2）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BE⊥AC，BE＝AE，EC＝ED，
∴∠DCE＝∠CDE＝∠EBA＝∠BAE＝45°，
∴∠ABC﹣∠EBA＝∠ACB﹣∠DCE，即∠DBC＝∠DCB，
∴BD＝CD，
∴PD为线段BC的垂直平分线，
∴BP＝PC．
27．解：∵AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝40°，
∵AD＝AB，
∴∠BDA＝×（180°﹣40°）＝70°，
∴∠ADE＝180°﹣∠BDA＝180°﹣70°＝110°．
28．（1）证明：∵∠ACD的平分线CE交AB于点F，
∴∠ACF＝∠DCF，
∵AB∥CD，
∴∠AFC＝∠DCF，
∴∠ACF＝∠AFC，
∴AC＝AF；
（2）解：∵∠FCD＝32°，AB∥CD，
∴∠ACD＝∠GAF＝64°，∠AFC＝32°，
∵∠AFE的平分线交CA延长线于点G．
∴∠AFG＝∠GFE＝AFE＝，
∴∠G＝180°﹣∠GAF﹣∠AFG＝180°﹣64°﹣74°＝42°．
29．解：（1）AD＝CB，理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠ABD＝∠CDB，
同理可得，∠ADB＝∠CBD，
在△ABD与△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB（ASA），
∴AD＝CB；
（2）BF＝BD，理由如下：
∵AD＝CB，BE＝AD，
∴BC＝BE，
∵∠DEF＝∠ADC，
∴∠DEF﹣∠DBF＝∠ADC﹣∠ADB，
即∠EFB＝∠CDB，
在△EFB与△CDB中，
，
∴△EFB≌△CDB（ASA），
∴FB＝DB．
30．（1）证明：∵∠ACD＝∠ACE+∠ECD＝∠A+∠B，
又∠B＝∠ACE，
∴∠A＝∠ECD．
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（ASA）．
∴AC＝CE．
（2）解：3α﹣2β＝180°．理由如下：
如图1所示，连接GC并延长至点K．
∵AH、EI分别平分∠BAC、∠DEC，
则设∠CAH＝∠BAH＝a，∠CEI＝∠DEI＝b，
∵∠ACK为△ACG的外角，
∴∠ACK＝a+∠AGC，
同理可得∠ECK＝b+∠EGC，
∴∠ACE＝∠ACK+∠ECK＝∠B＝α
＝（a+∠AGC）+（b+∠EGC）＝a+b+∠AGE＝a+b+β，
即α＝a+b+β，
∴a+b＝α﹣β．
又由（1）中证明可知∠ECD＝∠BAC＝2a，
由三角形内角和公式可得∠ECD+∠DEC+∠D＝180°，
即2a+2b+α＝180°，
∴2（a+b）+α＝180°，
∴3α﹣2β＝180°．
（3）当AH∥EI时，如图2所示，
过点C作MN∥AH，则MN∥AH∥EI．
∴∠CAH＝∠ACM＝a，∠CEI＝∠ECM＝b，
∴∠ACE＝∠ACM+∠ECM＝a+b＝α，即α＝a+b．
由（1）中证明可得∠ECD＝∠BAC＝2a，∠D＝∠B＝α．
在△CED中，根据三角形内角和定理有∠ECD+∠CED+∠D＝180°，
即2a+2b+α＝180°，
即2（a+b）＝180°﹣α，
即3α＝180°，解得：α＝60°．
故∠B＝60°．