七年级数学下册沪教版 第十四章《三角形》章节复习题（含解析））
文档属性
| 名称 | 七年级数学下册沪教版 第十四章《三角形》章节复习题（含解析）） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 375.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-11 20:44:19 | ||
图片预览
文档简介
第十四章《三角形》章节复习题
一．选择题
1．如图，已知AB＝AC，∠DAB＝∠DAC，那么判定△ABD≌△ACD的依据是（ ）
A．SSS B．AAS C．ASA D．SAS
2．如果∠A＝∠B﹣∠C，那么△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定
3．如图，已知△ABC中，BD、CE分别是△ABC的角平分线，BD与CE交于点O，如果设∠BAC＝n°（0＜n＜180），那么∠BOE的度数是（ ）
A．90°﹣n° B．90°+n° C．45°+n° D．180°﹣n°
4．如图，已知△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，添加下列哪一个条件可以得到△ABC≌△DEF（ ）
A．∠A＝∠D B．∠ACB＝∠F C．AC∥DF D．AB∥DE
5．如图，△ABC经过平移后得到△DEF，下列说法：
①AB∥DE；
②AD＝BE；
③∠ACB＝∠DFE；
④△ABC和△DEF的面积相等；
⑤四边形ACFD和四边形BCFE的面积相等，其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．如图，已知点B、C、E在一直线上，△ABC、△DCE都是等边三角形，联结AE和BD，AC与BD相交于点F，AE与DC相交于点G，下列说法不一定正确的是（ ）
A．BD＝AE B．AF＝FD C．EG＝FD D．FC＝GC
二．填空题
7．在△ABC与△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF，AB＝3cm，AC＝5cm，那么DE＝ cm．
8．已知等腰三角形的底边长为6，一条腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另外一部分长2，则三角形的腰长是 ．
9．在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝60°，∠C＝100°，那么△ABC是 三角形．（填“锐角”、“钝角”或“直角”）
10．如图，已知AB∥CD，CD＝2AB，△ACD的面积为6，那么△ABC的面积为 ．
11．如图，E为△ABC的BC边上一点，点D在BA的延长线上，DE交AC于点F，∠B＝46°，∠C＝30°，∠EFC＝70°，则∠D＝ ．
12．如图，已知直线AD∥BC，如果△BCD的面积是6平方厘米，BC＝4厘米，那么△ABC中BC边上的高是 厘米．
13．如图，在△ABC中，已知点D、点E分别为BC、AD的中点，且△BDE的面积为3，则△ABC的面积是 ．
14．如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝56°，∠2＝29°，则∠A的度数为 度．
15．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在AC、BC上，且CD＝BE，则∠AFD的度数为 度．
16．如图，△ABC的周长为26，点D、E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝10，则DE的长是 ．
17．如图，已知∠B＝∠C，从下列条件中选择一个，则可以证明△OEB全等于△ODC．①AD＝AE，②OB＝OC，③BD＝CE，④∠BEO＝∠CDO，那么这个条件可以是 （写出所有符合条件的序号）．
三．解答题
18．如图，已知AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC．
（1）说明△ABC与△DEF全等的理由；
（2）如果AC＝CF，∠1＝30°，∠D＝105°，求∠AFC的度数．
19．已知：AD平分∠BAC，AD∥CE，AF⊥CE，求证：EF＝CF．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别是AB，BC，AC上的点，并且BD＝CE，BE＝CF，M是DF的中点，求证：EM⊥DF．
21．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，那么△BDC与△CEB全等吗？为什么？
22．如图，点A、B、C、D在一条直线上如果AC＝BD，BE＝CF，且BE∥CF，那么AE∥DF．为什么？
解：∵BE∥CF（已知），
∴∠EBC＝∠FCB（ ）．
∵∠EBC+∠EBA＝180°，∠FCB+∠FCD＝180°（平角的意义），
∴∠EBA＝∠FCD（ ）．
∵AC＝BD（已知），
∴AC﹣BC＝BD﹣BC（等式性质），
即 ．（完成以下说理过程）
23．如图，在△ABC中，已知∠ABC＝∠ACB，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，那么△BDC与△CEB全等吗？为什么？
解：因为BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB（已知），
所以∠DBC＝（ ），∠ECB＝（ ）．
由∠ABC＝∠ACB（已知），
所以∠DBC＝∠ECB（ ）．
在△BDC与△CEB中，
，
（ ），
（ ）．
所以△BDC≌△CEB（ASA）．
24．如图，已知∠1＝∠2，AD＝2BC，三角形ABC的面积为3，求△CAD的面积．
25．如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，MF∥DA交BA的延长线于点E，交AC于点F，求证：BE＝CF．
26．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，CE⊥AB，垂足为点E，AD＝DC，CE和AD交于点F，联结BF，试说明∠FBD＝45°．
27．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠A＝2∠C，求证：BC＝AB+AD．
28．阅读并填空：如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点D、E在边BC上，且AD＝AE，说明BD＝CE的理由．
解：因为AB＝AC，
所以 ；（等边对等角）
因为 ，（已知）
所以∠AED＝∠ADE；（等边对等角）
因为∠AED＝∠EAC+∠C，
∠ADE＝∠BAD+∠B，（ ）
所以∠BAD＝∠EAC；（等式性质）
在△ABD与△ACE中，
所以△ABD≌△ACE（A．S．A）
所以 ．（全等三角形的对应边相等）
29．如图，已知BE与CD相交于点O，且BO＝CO，∠ADC＝∠AEB，那么△BDO与△CEO全等吗？为什么？
30．如图，已知∠B＝∠C＝90°，AE⊥ED，AB＝EC，EF⊥AD，试说明点F是AD的中点的理由．
答案
一．选择题
1．
【分析】根据题目中的条件和全等三角形的判定方法，可以写出相应的全等三角形，并写出判定依据．
【解答】解：在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
故选：D．
2．
【分析】由三角形内角和是180°，即∠A+∠B+C＝180°代入即可．
【解答】解：因为∠A+∠B+C＝180°，
且∠A＝∠B﹣∠C，
所以∠B﹣∠C+∠B+C＝180°，
所以∠B＝90°，
所以△ABC是直角三角形．
故选：C．
3．
【分析】利用三角形的内角和定理可求得∠ABC+∠ACB的度数，结合角平分线的定义可求得∠OBC+∠OCB的度数，再利用三角形外角的性质可求解．
【解答】解：∵∠BAC＝n°，
∴∠ABC+∠ACB＝（180﹣n）°，
∵BD、CE分别是△ABC的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB＝＝90°﹣n°，
∴∠BOE＝∠OBC+∠OCB＝90°﹣n°，
故选：A．
4．
【分析】利用AB＝DE，BC＝EF，则根据全等三角形的判定方法只有添加∠B＝∠DEF或AC＝DF时可判断△ABC≌△DEF，由于AB∥DE可得到∠B＝∠DEF，从而可得到正确选项．
【解答】解：∵AB＝DE，BC＝EF，
∴当∠B＝∠DEF时，根据“SAS”可判断△ABC≌△DEF；
当AC＝DF时，根据“SSS”可判断△ABC≌△DEF；
∵由AB∥DE可得到∠B＝∠DEF，
∴D选项符合题意．
故选：D．
5．
【分析】根据平移的性质逐一判断即可．
【解答】解：∵△ABC经过平移后得到△DEF，
∴AB∥DE，故①正确；
AD＝BE，故②正确；
∠ACB＝∠DFE，故③正确；
△ABC和△DEF的面积相等；故④正确；
四边形ACFD和四边形BCFE都是平行四边形，且AD＝CF＝BE，即两个平行四边形的底相等，但高不一定相等，
则四边形ACFD和四边形BCFE的面积不一定相等，故⑤错误．
综上，正确的有4个．
故选：A．
6．
【分析】由“SAS”可证△BCD≌△ACE，可得BD＝AE，由“ASA”可证△BCF≌△ACG，可得FC＝GC，由“SAS”可证△CEG≌△CDF，可得EG＝FD，利用排除法可求解．
【解答】解：∵△ABC和△DCE均是等边三角形，
∴BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠ACD+∠ECD，∠ACD＝60°，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE＝BD，∠CBD＝∠CAE，故选项A不合题意，
∵∠BCA＝∠ACG＝60°，
在△BCF和△ACG中，
，
∴△BCF≌△ACG（ASA），
∴CF＝GC，故选项D不合题意；
在△CEG和△CDF中，
，
∴△CEG≌△CDF（SAS），
∴EG＝FD，故选项C不合题意，
故选：B．
二．填空题
7．
【分析】根据已知可得△ABC≌△DEF中，从而DE＝AB，即可得到答案．
【解答】解：如图：
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF中（AAS），
∴AB＝DE，
∵AB＝3cm，
∴DE＝3cm，
故答案为：3．
8．
【分析】其中一部分比另外一部分长2，分两种情况：腰比底大2或底比腰大2，分别求出腰即可．
【解答】解：等腰三角形一条腰上的中线把三角形的周长分为两部分，这两部分的差即是腰与底的差的绝对值，
∵其中一部分比另外一部分长2，
∴腰比底大2或底比腰大2，
∴腰为8或4．
故答案为：8或4．
9．
【分析】根据三角形按角的分类可得结论．
【解答】解：在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝60°，∠C＝100°，
∵∠C＝100°＞90°，
∴△ABC是钝角三角形．
故答案为：钝角．
10．
【分析】根据平行线的性质得出△ACD和△ABC的高相等，再加CD＝2AB，得出△ACD的面积是△ABC的面积的两倍，即可求出△ABC的面积．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△ACD和△ABC的高相等，
∵CD＝2AB，
∴，
故答案为3．
11．
【分析】先求∠DAC，再在△ADF可得答案．
【解答】解：∵∠B＝46°，∠C＝30°，
∴∠DAC＝∠B+∠C＝76°，
∵∠EFC＝70°，
∴∠AFD＝70°，
∴∠D＝180°﹣∠DAC﹣∠AFD＝34°，
故答案为：34°．
12．
【分析】根据平行线之间的距离处处相等可得答案．
【解答】解：因为△BCD的面积是6平方厘米，BC＝4厘米，
所以BC边上的高是：2×6÷4＝3（厘米）．
故答案为：3．
13．
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形即可得到答案．
【解答】解：∵点E为AD的中点，△BDE的面积为3，
∴△ABD的面积为3×2＝6，
∵点D为BC的中点，
∴△ABC的面积为6×2＝12．
故答案为：12．
14．
【分析】先根据对顶角的定义得出∠3的度数，再由三角形内角与外角的关系求出∠A的度数．
【解答】解：如图，
∵直线a∥b，
∴∠3＝∠1，
∵∠1＝56°，
∴∠3＝56°，
∵∠3＝∠2+∠A，∠2＝29°，
∴∠A＝∠3﹣∠2＝56°﹣29°＝27°．
故答案为：27．
15．
【分析】抓住题中“等边三角形的每个内角是60度”这一关键点入手，三角形全等后，再利用对应角相等进行等量代换，结合外角的知识，得出∠AFD的大小．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ABE＝∠BCD，∠ABF+∠CBF＝60°，
∴在△ABE和△BCD中，
，
∴△ABE≌△BCD（SAS），
∴∠BAF＝∠CBF，
∴∠AFD＝∠ABF+∠BAF＝∠ABF+∠CBF＝60°．
16．
【分析】证明△ABQ≌△EBQ，根据全等三角形的性质得到BA＝BE，AP＝PD，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵BQ平分∠ABC，
∴∠ABQ＝∠EBQ，
在△ABQ和△EBQ中，
，
∴△ABQ≌△EBQ（ASA），
∴BA＝BE，
同理：AP＝PD，
∵△ABC的周长为26，
∴AB+AC+BC＝26，
∴AB+AC＝16，
∴DE＝BE+CD﹣BC＝16﹣10＝6，
故答案为：6．
17．
【分析】根据全等三角形的判定方法解答即可．
【解答】解：选择①和②可与∠B＝∠C一起得出△ABD≌△ACE（AAS），选择③可与∠B＝∠C一起得出△ABD≌△ACE（AAS），
∴AB＝AC，AD＝AE，
∴BE＝CD，
∴△OEB≌△ODC（AAS）
选择④没有已知的边，不能得到△OEB≌△ODC，
故答案为：①或②或③．
三．解答题
18．（1）证明：∵BF＝EC，
∴BF+CF＝EC+CF，即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）；
（2）由（1）得：△ABC≌△DEF，
∴∠BAC＝∠D，
∵∠D＝105°，
∴∠BAC＝105°，
∵∠1＝30°，
∴∠FAC＝∠BAC﹣∠1＝75°，
∵AC＝CF，
∴∠AFC＝∠FAC＝75°．
19．证明：∵AD∥CE，
∴∠BAD＝∠E，∠DAC＝∠ACF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∴∠E＝∠ACF，
∴AC＝AE，
∵AF⊥CE，
∴EF＝CF．
20．证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BDE和△CEF中，
，
∴△BDE≌△CEF（SAS），
∴DE＝EF，
∵点M为DF的中点，
∴EM⊥DF．
21.解：△BDC与△CEB全等，理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠DBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB，
∴∠DBC＝∠ECB，
在△BDC与△CEB中，
，
∴△BDC≌△CEB（ASA）．
22．解：∵BE∥CF（已知），
∴∠EBC＝∠FCB（ 两直线平行，内错角相等）．
∵∠EBC+∠EBA＝180°，∠FCB+∠FCD＝180°（平角的意义），
∴∠EBA＝∠FCD（ 等角的补角相等）．
∵AC＝BD（已知），
∴AC﹣BC＝BD﹣BC（等式性质），
即AB＝CD．
在△ABE和△DCF中
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠A＝∠D，
∴AE∥DF．
故答案为：两直线平行，内错角相等；等角的补角相等；AB＝CD．
23．解：△BDC与△CEB全等，
因为BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB（已知），
所以∠DBC＝（∠ABC），∠ECB＝（∠ACB），
由∠ABC＝∠ACB（已知），
所以∠DBC＝∠ECB（ 等量代换），
在△BDC与△CEB中，
，
所以△BDC≌△CEB（ASA），
故答案为：∠ABC；∠ACB；等量代换；∠DBC＝∠ECB；BC＝CB；公共边；∠ACB＝∠ABC；已知．
24．解：∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC，
∴AD与BC之间的距离相等，
∵AD＝2BC，△ABC的面积为3，
则△CAD的面积为6．
故答案为：6．
25．证明：如图，过点B作BN∥AC交EM的延长线于N，
∴∠MBN＝∠C，∠N＝∠MFC，
∵M为BC的中点，
∴BM＝CM，
在△BMN和△CMF中，
，
∴△BMN≌△CMF（AAS），
∴BN＝CF，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵ME∥AD，
∴∠E＝∠BAD，∠MFC＝∠CAD，
∴∠E＝∠MFC，
∴∠E＝∠N，
∴BE＝BN，
∴BE＝CF．
26．解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°＝∠CEB，
∴∠ABD+∠BAD＝90°＝∠BCE+∠ABD，
∴∠BAD＝∠BCE，
在△ABD和△CFD中，
，
∴△ABD≌△CFD（ASA），
∴BD＝DF，
又∵∠ADB＝90°，
∴∠FBD＝45°．
27．证明：如图，在BC上截取BE＝BA，连接DE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△EBD中，
，
∴△ABD≌△EBD（SAS），
∴∠BED＝∠A，AB＝BE，AD＝DE，
∵∠A＝2∠C，
∴∠BED＝2∠C，
∵∠BED＝∠C+∠EDC，
∴∠C＝∠EDC，
∴EC＝ED，
∴BC＝BE+EC＝AB+AD．
28．解：因为AB＝AC，
所以∠B＝∠C；（等边对等角）
因为 AD＝AE，（已知）
所以∠AED＝∠ADE；（等边对等角）
因为∠AED＝∠EAC+∠C，
∠ADE＝∠BAD+∠B，（ 三角形外角的性质）
所以∠BAD＝∠EAC；（等式性质）
在△ABD与△ACE中，
，
所以△ABD≌△ACE（ASA）
所以 BD＝CE．（全等三角形的对应边相等）
故答案为：∠B＝∠C，AD＝AE，三角形外角的性质，BD＝CE．
29．解：△BDO与△CEO全等，
∵∠BDO＝180°﹣∠ADC，∠CEO＝180°﹣∠AEB，
∵∠ADC＝∠AEB，
∴∠BDO＝∠CEO，
在△BDO与△CEO中，
，
∴△BDO≌△CEO（AAS）．
30．解：∵AE⊥DE，
∴∠AED＝90°，
又∵∠B＝90°，
∴∠B＝∠AED，
∵∠AEC＝∠B+∠BAE，
即∠AED+∠DEC＝∠B+∠BAE，
∴∠BAE＝∠DEC，
在△ABE与△ECD中，
，
∴△ABE≌△ECD（ASA），
∴AE＝ED，
∵EF⊥AD，
∴点F是AD的中点．
一．选择题
1．如图，已知AB＝AC，∠DAB＝∠DAC，那么判定△ABD≌△ACD的依据是（ ）
A．SSS B．AAS C．ASA D．SAS
2．如果∠A＝∠B﹣∠C，那么△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定
3．如图，已知△ABC中，BD、CE分别是△ABC的角平分线，BD与CE交于点O，如果设∠BAC＝n°（0＜n＜180），那么∠BOE的度数是（ ）
A．90°﹣n° B．90°+n° C．45°+n° D．180°﹣n°
4．如图，已知△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，添加下列哪一个条件可以得到△ABC≌△DEF（ ）
A．∠A＝∠D B．∠ACB＝∠F C．AC∥DF D．AB∥DE
5．如图，△ABC经过平移后得到△DEF，下列说法：
①AB∥DE；
②AD＝BE；
③∠ACB＝∠DFE；
④△ABC和△DEF的面积相等；
⑤四边形ACFD和四边形BCFE的面积相等，其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．如图，已知点B、C、E在一直线上，△ABC、△DCE都是等边三角形，联结AE和BD，AC与BD相交于点F，AE与DC相交于点G，下列说法不一定正确的是（ ）
A．BD＝AE B．AF＝FD C．EG＝FD D．FC＝GC
二．填空题
7．在△ABC与△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF，AB＝3cm，AC＝5cm，那么DE＝ cm．
8．已知等腰三角形的底边长为6，一条腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另外一部分长2，则三角形的腰长是 ．
9．在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝60°，∠C＝100°，那么△ABC是 三角形．（填“锐角”、“钝角”或“直角”）
10．如图，已知AB∥CD，CD＝2AB，△ACD的面积为6，那么△ABC的面积为 ．
11．如图，E为△ABC的BC边上一点，点D在BA的延长线上，DE交AC于点F，∠B＝46°，∠C＝30°，∠EFC＝70°，则∠D＝ ．
12．如图，已知直线AD∥BC，如果△BCD的面积是6平方厘米，BC＝4厘米，那么△ABC中BC边上的高是 厘米．
13．如图，在△ABC中，已知点D、点E分别为BC、AD的中点，且△BDE的面积为3，则△ABC的面积是 ．
14．如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝56°，∠2＝29°，则∠A的度数为 度．
15．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在AC、BC上，且CD＝BE，则∠AFD的度数为 度．
16．如图，△ABC的周长为26，点D、E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝10，则DE的长是 ．
17．如图，已知∠B＝∠C，从下列条件中选择一个，则可以证明△OEB全等于△ODC．①AD＝AE，②OB＝OC，③BD＝CE，④∠BEO＝∠CDO，那么这个条件可以是 （写出所有符合条件的序号）．
三．解答题
18．如图，已知AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC．
（1）说明△ABC与△DEF全等的理由；
（2）如果AC＝CF，∠1＝30°，∠D＝105°，求∠AFC的度数．
19．已知：AD平分∠BAC，AD∥CE，AF⊥CE，求证：EF＝CF．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别是AB，BC，AC上的点，并且BD＝CE，BE＝CF，M是DF的中点，求证：EM⊥DF．
21．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，那么△BDC与△CEB全等吗？为什么？
22．如图，点A、B、C、D在一条直线上如果AC＝BD，BE＝CF，且BE∥CF，那么AE∥DF．为什么？
解：∵BE∥CF（已知），
∴∠EBC＝∠FCB（ ）．
∵∠EBC+∠EBA＝180°，∠FCB+∠FCD＝180°（平角的意义），
∴∠EBA＝∠FCD（ ）．
∵AC＝BD（已知），
∴AC﹣BC＝BD﹣BC（等式性质），
即 ．（完成以下说理过程）
23．如图，在△ABC中，已知∠ABC＝∠ACB，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，那么△BDC与△CEB全等吗？为什么？
解：因为BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB（已知），
所以∠DBC＝（ ），∠ECB＝（ ）．
由∠ABC＝∠ACB（已知），
所以∠DBC＝∠ECB（ ）．
在△BDC与△CEB中，
，
（ ），
（ ）．
所以△BDC≌△CEB（ASA）．
24．如图，已知∠1＝∠2，AD＝2BC，三角形ABC的面积为3，求△CAD的面积．
25．如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，MF∥DA交BA的延长线于点E，交AC于点F，求证：BE＝CF．
26．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，CE⊥AB，垂足为点E，AD＝DC，CE和AD交于点F，联结BF，试说明∠FBD＝45°．
27．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠A＝2∠C，求证：BC＝AB+AD．
28．阅读并填空：如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点D、E在边BC上，且AD＝AE，说明BD＝CE的理由．
解：因为AB＝AC，
所以 ；（等边对等角）
因为 ，（已知）
所以∠AED＝∠ADE；（等边对等角）
因为∠AED＝∠EAC+∠C，
∠ADE＝∠BAD+∠B，（ ）
所以∠BAD＝∠EAC；（等式性质）
在△ABD与△ACE中，
所以△ABD≌△ACE（A．S．A）
所以 ．（全等三角形的对应边相等）
29．如图，已知BE与CD相交于点O，且BO＝CO，∠ADC＝∠AEB，那么△BDO与△CEO全等吗？为什么？
30．如图，已知∠B＝∠C＝90°，AE⊥ED，AB＝EC，EF⊥AD，试说明点F是AD的中点的理由．
答案
一．选择题
1．
【分析】根据题目中的条件和全等三角形的判定方法，可以写出相应的全等三角形，并写出判定依据．
【解答】解：在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
故选：D．
2．
【分析】由三角形内角和是180°，即∠A+∠B+C＝180°代入即可．
【解答】解：因为∠A+∠B+C＝180°，
且∠A＝∠B﹣∠C，
所以∠B﹣∠C+∠B+C＝180°，
所以∠B＝90°，
所以△ABC是直角三角形．
故选：C．
3．
【分析】利用三角形的内角和定理可求得∠ABC+∠ACB的度数，结合角平分线的定义可求得∠OBC+∠OCB的度数，再利用三角形外角的性质可求解．
【解答】解：∵∠BAC＝n°，
∴∠ABC+∠ACB＝（180﹣n）°，
∵BD、CE分别是△ABC的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB＝＝90°﹣n°，
∴∠BOE＝∠OBC+∠OCB＝90°﹣n°，
故选：A．
4．
【分析】利用AB＝DE，BC＝EF，则根据全等三角形的判定方法只有添加∠B＝∠DEF或AC＝DF时可判断△ABC≌△DEF，由于AB∥DE可得到∠B＝∠DEF，从而可得到正确选项．
【解答】解：∵AB＝DE，BC＝EF，
∴当∠B＝∠DEF时，根据“SAS”可判断△ABC≌△DEF；
当AC＝DF时，根据“SSS”可判断△ABC≌△DEF；
∵由AB∥DE可得到∠B＝∠DEF，
∴D选项符合题意．
故选：D．
5．
【分析】根据平移的性质逐一判断即可．
【解答】解：∵△ABC经过平移后得到△DEF，
∴AB∥DE，故①正确；
AD＝BE，故②正确；
∠ACB＝∠DFE，故③正确；
△ABC和△DEF的面积相等；故④正确；
四边形ACFD和四边形BCFE都是平行四边形，且AD＝CF＝BE，即两个平行四边形的底相等，但高不一定相等，
则四边形ACFD和四边形BCFE的面积不一定相等，故⑤错误．
综上，正确的有4个．
故选：A．
6．
【分析】由“SAS”可证△BCD≌△ACE，可得BD＝AE，由“ASA”可证△BCF≌△ACG，可得FC＝GC，由“SAS”可证△CEG≌△CDF，可得EG＝FD，利用排除法可求解．
【解答】解：∵△ABC和△DCE均是等边三角形，
∴BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠ACD+∠ECD，∠ACD＝60°，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE＝BD，∠CBD＝∠CAE，故选项A不合题意，
∵∠BCA＝∠ACG＝60°，
在△BCF和△ACG中，
，
∴△BCF≌△ACG（ASA），
∴CF＝GC，故选项D不合题意；
在△CEG和△CDF中，
，
∴△CEG≌△CDF（SAS），
∴EG＝FD，故选项C不合题意，
故选：B．
二．填空题
7．
【分析】根据已知可得△ABC≌△DEF中，从而DE＝AB，即可得到答案．
【解答】解：如图：
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF中（AAS），
∴AB＝DE，
∵AB＝3cm，
∴DE＝3cm，
故答案为：3．
8．
【分析】其中一部分比另外一部分长2，分两种情况：腰比底大2或底比腰大2，分别求出腰即可．
【解答】解：等腰三角形一条腰上的中线把三角形的周长分为两部分，这两部分的差即是腰与底的差的绝对值，
∵其中一部分比另外一部分长2，
∴腰比底大2或底比腰大2，
∴腰为8或4．
故答案为：8或4．
9．
【分析】根据三角形按角的分类可得结论．
【解答】解：在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝60°，∠C＝100°，
∵∠C＝100°＞90°，
∴△ABC是钝角三角形．
故答案为：钝角．
10．
【分析】根据平行线的性质得出△ACD和△ABC的高相等，再加CD＝2AB，得出△ACD的面积是△ABC的面积的两倍，即可求出△ABC的面积．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△ACD和△ABC的高相等，
∵CD＝2AB，
∴，
故答案为3．
11．
【分析】先求∠DAC，再在△ADF可得答案．
【解答】解：∵∠B＝46°，∠C＝30°，
∴∠DAC＝∠B+∠C＝76°，
∵∠EFC＝70°，
∴∠AFD＝70°，
∴∠D＝180°﹣∠DAC﹣∠AFD＝34°，
故答案为：34°．
12．
【分析】根据平行线之间的距离处处相等可得答案．
【解答】解：因为△BCD的面积是6平方厘米，BC＝4厘米，
所以BC边上的高是：2×6÷4＝3（厘米）．
故答案为：3．
13．
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形即可得到答案．
【解答】解：∵点E为AD的中点，△BDE的面积为3，
∴△ABD的面积为3×2＝6，
∵点D为BC的中点，
∴△ABC的面积为6×2＝12．
故答案为：12．
14．
【分析】先根据对顶角的定义得出∠3的度数，再由三角形内角与外角的关系求出∠A的度数．
【解答】解：如图，
∵直线a∥b，
∴∠3＝∠1，
∵∠1＝56°，
∴∠3＝56°，
∵∠3＝∠2+∠A，∠2＝29°，
∴∠A＝∠3﹣∠2＝56°﹣29°＝27°．
故答案为：27．
15．
【分析】抓住题中“等边三角形的每个内角是60度”这一关键点入手，三角形全等后，再利用对应角相等进行等量代换，结合外角的知识，得出∠AFD的大小．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ABE＝∠BCD，∠ABF+∠CBF＝60°，
∴在△ABE和△BCD中，
，
∴△ABE≌△BCD（SAS），
∴∠BAF＝∠CBF，
∴∠AFD＝∠ABF+∠BAF＝∠ABF+∠CBF＝60°．
16．
【分析】证明△ABQ≌△EBQ，根据全等三角形的性质得到BA＝BE，AP＝PD，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵BQ平分∠ABC，
∴∠ABQ＝∠EBQ，
在△ABQ和△EBQ中，
，
∴△ABQ≌△EBQ（ASA），
∴BA＝BE，
同理：AP＝PD，
∵△ABC的周长为26，
∴AB+AC+BC＝26，
∴AB+AC＝16，
∴DE＝BE+CD﹣BC＝16﹣10＝6，
故答案为：6．
17．
【分析】根据全等三角形的判定方法解答即可．
【解答】解：选择①和②可与∠B＝∠C一起得出△ABD≌△ACE（AAS），选择③可与∠B＝∠C一起得出△ABD≌△ACE（AAS），
∴AB＝AC，AD＝AE，
∴BE＝CD，
∴△OEB≌△ODC（AAS）
选择④没有已知的边，不能得到△OEB≌△ODC，
故答案为：①或②或③．
三．解答题
18．（1）证明：∵BF＝EC，
∴BF+CF＝EC+CF，即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）；
（2）由（1）得：△ABC≌△DEF，
∴∠BAC＝∠D，
∵∠D＝105°，
∴∠BAC＝105°，
∵∠1＝30°，
∴∠FAC＝∠BAC﹣∠1＝75°，
∵AC＝CF，
∴∠AFC＝∠FAC＝75°．
19．证明：∵AD∥CE，
∴∠BAD＝∠E，∠DAC＝∠ACF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∴∠E＝∠ACF，
∴AC＝AE，
∵AF⊥CE，
∴EF＝CF．
20．证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BDE和△CEF中，
，
∴△BDE≌△CEF（SAS），
∴DE＝EF，
∵点M为DF的中点，
∴EM⊥DF．
21.解：△BDC与△CEB全等，理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠DBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB，
∴∠DBC＝∠ECB，
在△BDC与△CEB中，
，
∴△BDC≌△CEB（ASA）．
22．解：∵BE∥CF（已知），
∴∠EBC＝∠FCB（ 两直线平行，内错角相等）．
∵∠EBC+∠EBA＝180°，∠FCB+∠FCD＝180°（平角的意义），
∴∠EBA＝∠FCD（ 等角的补角相等）．
∵AC＝BD（已知），
∴AC﹣BC＝BD﹣BC（等式性质），
即AB＝CD．
在△ABE和△DCF中
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠A＝∠D，
∴AE∥DF．
故答案为：两直线平行，内错角相等；等角的补角相等；AB＝CD．
23．解：△BDC与△CEB全等，
因为BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB（已知），
所以∠DBC＝（∠ABC），∠ECB＝（∠ACB），
由∠ABC＝∠ACB（已知），
所以∠DBC＝∠ECB（ 等量代换），
在△BDC与△CEB中，
，
所以△BDC≌△CEB（ASA），
故答案为：∠ABC；∠ACB；等量代换；∠DBC＝∠ECB；BC＝CB；公共边；∠ACB＝∠ABC；已知．
24．解：∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC，
∴AD与BC之间的距离相等，
∵AD＝2BC，△ABC的面积为3，
则△CAD的面积为6．
故答案为：6．
25．证明：如图，过点B作BN∥AC交EM的延长线于N，
∴∠MBN＝∠C，∠N＝∠MFC，
∵M为BC的中点，
∴BM＝CM，
在△BMN和△CMF中，
，
∴△BMN≌△CMF（AAS），
∴BN＝CF，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵ME∥AD，
∴∠E＝∠BAD，∠MFC＝∠CAD，
∴∠E＝∠MFC，
∴∠E＝∠N，
∴BE＝BN，
∴BE＝CF．
26．解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°＝∠CEB，
∴∠ABD+∠BAD＝90°＝∠BCE+∠ABD，
∴∠BAD＝∠BCE，
在△ABD和△CFD中，
，
∴△ABD≌△CFD（ASA），
∴BD＝DF，
又∵∠ADB＝90°，
∴∠FBD＝45°．
27．证明：如图，在BC上截取BE＝BA，连接DE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△EBD中，
，
∴△ABD≌△EBD（SAS），
∴∠BED＝∠A，AB＝BE，AD＝DE，
∵∠A＝2∠C，
∴∠BED＝2∠C，
∵∠BED＝∠C+∠EDC，
∴∠C＝∠EDC，
∴EC＝ED，
∴BC＝BE+EC＝AB+AD．
28．解：因为AB＝AC，
所以∠B＝∠C；（等边对等角）
因为 AD＝AE，（已知）
所以∠AED＝∠ADE；（等边对等角）
因为∠AED＝∠EAC+∠C，
∠ADE＝∠BAD+∠B，（ 三角形外角的性质）
所以∠BAD＝∠EAC；（等式性质）
在△ABD与△ACE中，
，
所以△ABD≌△ACE（ASA）
所以 BD＝CE．（全等三角形的对应边相等）
故答案为：∠B＝∠C，AD＝AE，三角形外角的性质，BD＝CE．
29．解：△BDO与△CEO全等，
∵∠BDO＝180°﹣∠ADC，∠CEO＝180°﹣∠AEB，
∵∠ADC＝∠AEB，
∴∠BDO＝∠CEO，
在△BDO与△CEO中，
，
∴△BDO≌△CEO（AAS）．
30．解：∵AE⊥DE，
∴∠AED＝90°，
又∵∠B＝90°，
∴∠B＝∠AED，
∵∠AEC＝∠B+∠BAE，
即∠AED+∠DEC＝∠B+∠BAE，
∴∠BAE＝∠DEC，
在△ABE与△ECD中，
，
∴△ABE≌△ECD（ASA），
∴AE＝ED，
∵EF⊥AD，
∴点F是AD的中点．