2023-2024学年北京市朝阳区陈经纶中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2023-2024学年北京市朝阳区陈经纶中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某市年上半年统计机动车保有量为辆，将用科学记数法表示应为( )
A. B. C. D.
2.下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3.数，，在数轴上对应的点如图所示，化简( )
A. B. C. D.
4.一把直尺和一块三角板其中，摆放位置如图所示，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点，点，另一边与三角板的两直角边分别交于点，点，且，那么的大小为( )
A. B. C. D.
5.若正整数按如图所示的规律排列，则第行第列的数字是( )
A. B. C. D.
6.已知，则代数式的值为( )
A. B. C. D.
7.罚球是篮球比赛中得分的一个组成部分，罚球命中率的高低对篮球比赛的结果影响很大．如图是对某球员罚球训练时命中情况的统计：
下面三个推断：
当罚球次数是时，该球员命中次数是，所以“罚球命中”的概率是；
随着罚球次数的增加，“罚球命中”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该球员“罚球命中”的概率是；
由于该球员“罚球命中”的频率的平均值是，所以“罚球命中”的概率是．
其中合理的是( )
A. B. C. D.
8.对称轴为直线的抛物线为常数，且如图所示，小明同学得出了以下结论：，，，，为任意实数，当时，随的增大而减小其中结论正确的个数为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.分解因式：______．
10.已知正五边形内接于，连接，则的度数是______．
11.有五张看上去无差别的卡片，正面分别写着，，，，背面朝上混合后随机抽取一张，取出的卡片正面的数字是无理数的概率是______．
12.关于的一元二次方程根的情况是______．
13.如图，过点分别作轴于点，轴于点，、分别交反比例函数的图象于点、，则四边形的面积为______．
14.中国古代数学著作算法统宗中记载了这样一个题目：九百九十文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：九百九十文钱共买一千个苦果和甜果，其中四文钱可买苦果七个，十一文钱可买甜果九个．问苦、甜果各几个？设苦果个，甜果个，则可列方程为______．
15.如图，正方形的面积为，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若：：，则四边形的外接圆的半径为______．
16.学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动，已知某木艺艺术品加工完成共需、、、、、、七道工序，加工要求如下：工序、须在工序完成后进行，工序须在工序、都完成后进行，工序须在工序、都完成后进行；一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；各道工序所需时间如下表所示：
工序
所需时间分钟
若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要的时间是______分钟．
三、计算题：本大题共2小题，共10分。
17.计算：．
18.已知，求代数式的值．
四、解答题：本题共10小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
解不等式组：．
20.本小题分
下面是小华设计的“作一个角等于已知角的倍”的尺规作图过程．
已知：．
求作：，使得．
作法：如图，
在射线上任取一点；
作线段的垂直平分线，交于点，交于点；
连接；
所以即为所求作的角．
根据小华设计的尺规作图过程，
使用直尺和圆规补全图形保留作图痕迹；
完成下面的证明说明：括号里填写推理的依据．
证明：是线段的垂直平分线，
____________
．
______
．
21.本小题分
如图，平行四边形的对角线，交于点，为的中点连接并延长至点，使得连接，．
求证：四边形为平行四边形；
若，求证：四边形为矩形．
22.本小题分
在平面直角坐标系中，直线与反比例函数图象的一个交点为点．
当点的坐标为时，求的值；
当时，对于的每一个值，都有，求的取值范围．
23.本小题分
为增强居民的反诈骗意识，，两个小区的居委会组织小区居民进行了有关反诈骗知识的有奖问答活动现从，小区参加这次有奖问答活动居民的成绩中各随机抽取个数据，分别对这个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
小区参加有奖问答活动的名居民成绩的数据的频数分布直方图如下数据分成组：，，，，；
小区参加有奖问答活动的名居民成绩的数据在这一组的是：
小区参加有奖问答活动的名居民成绩的数据如表：
分数
人数
根据以上信息，解答下列问题：
补全中频数分布直方图；
小区参加有奖问答活动的名居民成绩的数据的中位数是______；小区参加有奖问答活动的名居民成绩的数据的众数是______；
为鼓励居民继续关注反诈骗宣传，对在这次有奖问答活动中成绩大于或等于分的居民颁发小奖品已知，两个小区各有名居民参加这次活动，估计这两个小区的居委会一共需要准备多少份小奖品．
24.本小题分
如图，为外一点，，是的切线，，为切点，点在上，连接，，．
求证：；
连接，若，的半径为，，求的长．
25.本小题分
小云在学习过程中遇到一个函数下面是小云对其探究的过程，请补充完整：
当时，对于函数，即，当时，随的增大而______，且；对于函数，当时，随的增大而______，且；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数，当时，随的增大而______．
当时，对于函数，当时，与的几组对应值如下表：
综合上表，进一步探究发现，当时，随的增大而增大在平面直角坐标系中，画出当时的函数的图象．
过点作平行于轴的直线，结合的分析，解决问题：若直线与函数的图象有两个交点，则的最大值是______．
26.本小题分
在平面直角坐标系中，，，在抛物线上．
抛物线的对称轴为直线 ______，直接写出和的大小关系 ______；
若，且，则的值是______；
若对于任意，都有，求的取值范围．
27.本小题分
在中，，，过点作的垂线，垂足为，为射线上一动点不与点重合，连接，以点为中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接，与直线交于点．
如图，当点在线段上时，
依题意补全图形；
求证：点为的中点．
如图，当点在线段的延长线上时，用等式表示，，之间的数量关系，并证明．
28.本小题分
，是上的两个点，点在的内部．若为直角，则称为关于的内直角，特别地，当圆心在边含顶点上时，称为关于的最佳内直角．如图，是关于的内直角，是关于的最佳内直角．在平面直角坐标系中．
如图，的半径为，，是上两点．
已知，，，在，，，中，是关于的内直角的是______；
若在直线上存在一点，使得是关于的内直角，求的取值范围．
点是以为圆心，为半径的圆上一个动点，与轴交于点点在点的右边现有点，，对于线段上每一点，都存在点，使是关于的最佳内直角，请直接写出的最大值，以及取得最大值时的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．据此解答即可．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
2.【答案】
【解析】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
3.【答案】
【解析】解：根据数轴上点的位置得：，且，
所以，，，
则．
故选：．
根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义计算即可．
此题考查了整式的加减，数轴，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4.【答案】
【解析】解：由图可得，，，
，
又，
，
，
，
故选：．
先根据，得出，再根据，即可得到，最后根据，即可得出的大小．
本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
5.【答案】
【解析】【分析】
此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用规律解决问题．
观察数据的排列规律得到每一行的第一列的数字为行数的平方，每列的数从第一列开始依次减小，据此可得．
【解答】
解：由题意可得每行的第一列数字为行数的平方，
所以第行第列的数字为，
则第行第列的数字是，
故选：．
6.【答案】
【解析】解：，
，
则，
，即，
则原式
，
故选：．
由利用分式的加减运算法则得出，代入原式计算可得．
本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式的加减运算法则和整体代入思想的运用．
7.【答案】
【解析】解：当罚球次数是时，该球员命中次数是，所以此时“罚球命中”的频率是：，但“罚球命中”的概率不一定是，故错误；
随着罚球次数的增加，“罚球命中”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该球员“罚球命中”的概率是故正确；
虽然该球员“罚球命中”的频率的平均值是，但是“罚球命中”的概率不是，故错误．
故选：．
根据图形和各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．
本题考查利用频率估计概率，算术平均数，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答．
8.【答案】
【解析】解：由图象可知：，，
对称轴为直线：，
，
，故正确；
抛物线与轴有两个交点，
，
，故正确；
对称轴为直线，则与的函数值相等，
当时，，故错误；
当时，，
，故正确；
当时，取到最小值，此时，，
而当时，，
所以，
故，即，故正确，
当时，随的增大而减小，故正确，
综上，正确的是共个，
故选：．
由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，结合对称轴判断，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况判断，根据对称性求得时的函数值小于，判断；根据时的函数值，结合，代入即可判断，根据顶点坐标即可判断，根据函数图象即可判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点确定，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．运用平方差公式进行因式分解的多项式的特征：二项式；两项的符号相反；每项都能化成平方的形式．先提取公因式，再对余下的项利用平方差公式分解因式．
【解答】
解：，
，
．
故答案为．
10.【答案】
【解析】解：五边形为正五边形，
，
，
，
，
故答案为：．
根据多边形内角和定理、正五边形的性质求出、，根据等腰三角形的性质求出，计算即可．
本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系、多边形内角和等于是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：数据，，，，中无理数有：，，
则取出的卡片正面的数字是无理数的概率是，
故答案为：．
根据题目中的数据，可以写出其中的无理数，然后即可计算出取出的卡片正面的数字是无理数的概率．
本题考查概率公式、无理数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
12.【答案】有两个不相等的实数根
【解析】解：，
，，，
，
，
，
即方程有两个不相等的实数根，
故答案为：有两个不相等的实数根．
利用根的判别式，得到，再结合偶次方的非负性，即可得到答案．
本题考查了一元二次方程根和系数的关系，非负数的性质，解题关键是掌握方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
13.【答案】
【解析】解：矩形面积，
．
．
故答案为：．
根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去一个值即可．
本题考查了反比例函数值的几何意义，反比例函数的值就是图形上任意一点与坐标轴围成的长方形的面积．
14.【答案】
【解析】解：共买了一千个苦果和甜果，
；
共花费九百九十九文钱，且四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，
．
可列方程组为．
故答案为：．
利用总价单价数量，结合用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：如图，连接，
正方形∽正方形，：：，
又正方形的面积为，
正方形的面积为，
，
，
，
正方形的外接圆的半径为，
故答案为：．
连接利用相似多边形的性质求出正方形的面积，求出边长，再求出可得结论．
本题考查位似变换，相似多边形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
16.【答案】
【解析】解：假设这两名学生为甲，乙，
工序、须在工序完成后进行，工序须在工序、都完成后进行，且工序，都需要分钟完成，
甲学生做工序，乙学生做工序，需要分钟，
然后甲学生做工序，同时乙学生做工序，
乙学生工序完成后接着做工序，
此时需要分钟，
最后甲学生做工序，乙学生同时做工序，
此时需要分钟，
则分钟，
即若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要分钟．
故答案为：．
假设这两名学生为甲、乙，推导出甲学生做工序，乙学生做工序，需要分钟，然后甲学生做工序，同时乙学生做工序，乙学生工序完成后接着做工序，最后甲学生做工序，乙学生同时做工序，据此进一步解答．
本题考查有理数的运算，结合题意进行正确的推理是解题的关键．
17.【答案】解：原式．
【解析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】解：原式
，
，
，
原式
．
【解析】利用完全平方公式，平方差公式计算乘方，乘法，然后合并同类项进行化简，再利用整体思想代入求值．
本题考查整式的混合运算，掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键．
19.【答案】解：解不等式，得，
解不等式，得，
不等式组的解集为．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20.【答案】解：如图，即为所求作；
；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；三角形任意一个外角等于与它不相邻的两内角的和．
【解析】解：见答案；
证明：是线段的垂直平分线，
线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等
．
三角形任意一个外角等于与它不相邻的两内角的和
．
故答案为：；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；三角形任意一个外角等于与它不相邻的两内角的和．
根据几何语言画出对应的几何图形；
先根据线段垂直平分线的性质得到，则根据等腰三角形的性质得到然后根据三角形外角性质得到．
本题考查了设计作图结合了几何图形的性质和基本作图方法作一条线段的垂直平分线．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质尺规作图．
21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
是的中位线，
，，
为的中点，
，
，
四边形为平行四边形；
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形，
，
，
由可知，四边形为平行四边形，
平行四边形为矩形．
【解析】由三角形中位线定理得，，再证，即可得出结论；
证，得，再证平行四边形是菱形，得，然后由矩形的判定即可得出结论．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、三角形中位线定理以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定和菱形的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】解：将点代入，
得，
，
点坐标为，
；
如图所示：
当时，当时，对于的每一个值，都有，
当时，时，，
解得，
综上所述，满足条件的的取值范围是或．
【解析】将点代入，求出的值，再将点坐标代入反比例函数解析式求的值即可；
根据反比例函数图象上点的坐标特征，分情况讨论：当时，当时，分别求解即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：由题意可知，小区“”的频数为：，
补全中频数分布直方图如下：
小区参加有奖问答活动的名居民成绩的数据的中位数是：；
小区参加有奖问答活动的名居民成绩的数据的众数是．
故答案为：；；
份，
答：估计这两个小区的居委会大约一共需要准备份小奖品．
用样本容量减去其他四组的频数，可得“”的频数，进而补全中频数分布直方图；
根据中位数和众数的定义解答即可；
用分别乘样本中，两个小区大于或等于分所占比例即可．
本题考查的是频数分布直方图．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
24.【答案】证明：过作于，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
，
；
解：连接，延长交于，
，是的切线，
，，
，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，
，，
，
，
．
【解析】过作于，得到，根据切线的性质得到，根据余角的性质得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
连接，延长交于，根据切线的性质得到，，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
25.【答案】减小 减小 减小
【解析】解：当时，对于函数，即，当时，随的增大而减小，且；对于函数，当时，随的增大而减小，且；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数，当时，随的增大而减小．
故答案为：减小，减小，减小；
函数图象如图所示：
观察图象可知，时，的值最大，最大值，
故答案为：．
利用一次函数或二次函数的性质解决问题即可．
利用描点法画出函数图象即可．
观察图象可知，时，的值最大．
本题考查二次函数与不等式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
26.【答案】
【解析】解：抛物线的解析式为：，
抛物线开口向下，对称轴为直线：，
当时，随的增大而增大，
，
；
故答案为：，；
当时，，
抛物线的对称轴为直线：，
，
故答案为：；
由题意可知，抛物线开口向下，对称轴为直线，
点关于对称轴的对称点，关于对称轴的对称点，
对于任意，都有，
或，
解得或．
的取值范围为：或．
将代入抛物线中，利用抛物线的对称轴公式和抛物线的性质可得出结论；
根据抛物线的对称性先求出关于对称轴的对称点，再根据二次函数的性质可得出结论．
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合法解答是解题的关键．
27.【答案】解：如图：
证明：如图，连接，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
为的中点．
理由如下：
如图，连接，
由可知：≌，
，为的中点仍然成立，
且，
设，，
则，
，
，
在中，由勾股定理可得：，
，，，
．
【解析】根据题意画图即可，由条件可证≌，得到，从而有，再通过平行线分线段成比例即可证出为的中点；
由知≌，可得，为的中点仍然成立，设，，表示出，，即可发现它们之间的数量关系．
本题主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，以及勾股定理等知识，表示出，，的长度是解决问题的关键．
28.【答案】解：如图，
，，，
，，，
不在以为直径的圆弧上，
故不是关于的内直角，
，，，
，，，
，
，
是关于的内直角，
同理可得，，
是关于的内直角，
故答案为：，；
是关于的内直角，
，且点在的内部，
满足条件的点形成的图形为如图中的半圆点，均不能取到，
过点作轴于点，
，，
，，
并可求出直线的解析式为，
当直线过直径时，，
连接，作直线交半圆于点，过点作直线，交轴于点，
，，
，
，
是半圆的切线．
，，
∽，
，
，
，
，，
≌，
，
，直线的解析式为，
直线的解析式为，此时，
的取值范围是．
对于线段上每一个点，都存在点，使是关于的最佳内直角，
点一定在的边上，
，，线段上任意一点不包含点都必须在以为直径的圆上，该圆的半径为，
当点在该圆的最高点时，有最大值，
即的最大值为．
分两种情况：
若点不与点重合，那么点必须在边上，此时，
点在以为直径的圆上，
如图，当与相切时，，
，，
，
，，，
≌，
，
，
，
当与重合时，，
此时的取值范围是，
若点与点重合时，临界位置有两个，一个是当点与重合时，，另一个是当时，，
此时的取值范围是，
综合以上可得，的取值范围是．
【解析】本题是圆的综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，利用数形结合的思想，正确理解最佳内直角的意义是解本题的关键．
判断点，，是否在以为直径的圆弧上即可得出答案；
求得直线的解析式，当直线与弧相切时为临界情况，证明∽，可求出此时，则答案可求出；
可知线段上任意一点不包含点都必须在以为直径的圆上，该圆的半径为，则当点在该圆的最高点时，有最大值，再分点不与点重合，点与点重合两种情况求出临界位置时的值即可得解．
第1页，共1页