2023-2024学年北京市东城区汇文中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2023-2024学年北京市东城区汇文中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某几何体的三视图如图，则该几何体是( )
A. 三棱柱
B. 长方体
C. 圆柱
D. 圆锥
2.下列图形中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是( )
A. 赵爽弦图 B. 科克曲线
C. 河图幻方 D. 谢尔宾斯基三角形
3.将一把直尺与一块直角三角板如图放置，如果，那么的度数为( )
A.
B.
C.
D.
4.无理数的值在( )
A. 在和之间 B. 在和之间 C. 在和之间 D. 在和之间
5.在如图三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是( )
A. 图 B. 图与图 C. 图与图 D. 图与图
6.如图，为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标点，在近岸取点，，，，使得，与共线，，与共线，且直线与河岸垂直，直线，均与直线垂直．经测量，得到，，的长度，设的长为，则下列等式成立的是
( )
A. B. C. D.
7.已知二次函数的与的部分对应值如表：
根据表格中的信息，得到了如下的结论：
二次函数可改写为的形式；
二次函数的图象开口向下；
关于的一元二次方程的两个根为或；
若，则；
其中所有正确的结论为( )
A. B. C. D.
8.如图，点为正六边形对角线的交点，机器人置于该正六边形的某顶点处，柱柱同学操控机器人以每秒个单位长度的速度在图中给出线段路径上运行，柱柱同学将机器人运行时间设为秒，机器人到点的距离设为，得到函数图象如图，通过观察函数图象，可以得到下列推断：该正六边形的边长为；当时，机器人一定位于点；机器人一定经过点；机器人一定经过点；其中正确的有( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.函数中，自变量的取值范围是______．
10.方程的解是______．
11.如图，、、是多边形的三个外角，边、的延长线交于点，如果，那么的度数是______．
12.如图，四边形是平行四边形，经过点，，，与交于点，连接，若，则
13.如图，在中，，点的坐标为写出一个反比例函数，使它的图象与有两个不同的交点，这个函数的表达式为______．
14.一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字，，随机摸出一个小球不放回，其数字记为，再随机摸出另一个小球，其数字记为，则满足关于的方程有实数根的概率是______．
15.如图是，二次函数的图象，若关于的一元二次方程为实数在的范围内有解，则的取值范围是______．
16.在一次数学活动课上，某数学老师将共十个整数依次写在十张不透明的卡片上每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲、乙、丙、丁、戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：；乙：；丙：；丁：；戊：，则丙同学手里拿的卡片的数字是 ．
三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：．
18.本小题分
解不等式组并求该不等式组的非负整数解．
19.本小题分
下面是“已知斜边作一个直角三角形”的尺规作图过程．
已知：线段．
求作：一个直角三角形，使线段为斜边．
作法：如图，过任意作一条射线；
在射线上任取两点，；
分别以点，为圆心，，长为半径作弧，两弧相交于点；
作射线交射线于点．
所以就是所求作的直角三角形理由______．
思考：
按上述方法，以线段为斜边还可以作______个直角三角形；
这些直角三角形的直角顶点所形成的图形是______．
20.本小题分
已知，求代数式的值．
21.本小题分
如图，四边形是边长为的菱形，，分别是，的中点，连接，，延长交延长线于．
补全图形并证明：；
若，求的面积．
22.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与函数的图象交于点．
求的值；
过点作轴的平行线，直线与直线交于点，与函数的图象交于点，与轴交于点．
当点是线段的中点时，求的值；
当时，直接写出的取值范围．
23.本小题分
如图，在中，，以为直径的分别交，于点，，过点作的切线，交的延长线于点．
求证：；
若，，求的长．
24.本小题分
小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为轴方向，为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从轴上的点出手，运动路径可看作抛物线，在点处达到最高位置，落在轴上的点处．小明某次试投时的数据如图所示．
在图中画出铅球运动路径的示意图；
根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式；
若铅球投掷距离铅球落地点与出手点的水平距离的长度不小于，成绩为优秀．请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀．
25.本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线．
若函数图象对称轴为轴，直接写出的值；
点是抛物线上一点，当，存在最小值．
若，直接写出的值______；
若，结合函数图象，求的取值范围．
26.本小题分
已知正方形中与交于点，点在线段上，作直线交直线于，过作于，设直线交于．
如图，当在线段上时，求证：；
如图，当在线段上，连接，当时，求证：；
在图，当在线段上，连接，当时，求证：．
27.本小题分
在平面直角坐标系中，对于线段的“三等分变换”，给出如下定义：如图，点，为线段的三等分点，即，将线段以点为旋转中心顺时针旋转得到，将线段以点为旋转中心顺时针旋转得到，则称线段进行了三等分变换，其中，记为点，三等分变换后的对应点．
例如：如图，线段，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，那么线段三等分变换后，可得：的坐标为，点的坐标为．
若点的坐标为，点的坐标为，直接写出点与点的坐标；
若点的坐标是，点在轴正半轴上，点在第二象限．当线段的长度为符合条件的最小整数时，求的长；
若点的坐标为，点的坐标为，直接写出点与点的坐标；
点是以原点为圆心，为半径的圆上的一个定点，点的坐标为当点在圆内部或圆上时，求线段的取值范围及取最大值时点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：几何体的主视图和左视图都是宽度相等的长方形，
该几何体是一个柱体，
又俯视图是一个三角形，
该几何体是一个三棱柱．
故选：．
根据一个空间几何体的主视图和左视图都是宽度相等的长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断柱体侧面形状，得到答案．
本题考查的知识点是由三视图判断几何体，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，图形绕对称中心旋转度后与原图形重合．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】
解：、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选B．
3.【答案】
【解析】解：如图，由三角形的外角性质得，，
直尺的两边互相平行，
．
故选：．
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，再根据两直线平行，同位角相等可得．
本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：，，
，
的值在和之间，
故选：．
把化成，根据，即可求解．
本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．
5.【答案】
【解析】解：根据基本作图可判断图中为的平分线，图中为边上的中线，图中为的平分线．
故选：．
利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：由题意可得：∽，
则，
故，
故选：．
直接利用相似三角形的应用，正确得出∽，进而得出比例式即可得出答案．
此题主要考查了相似三角形的应用，正确掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
7.【答案】
【解析】解：和时的函数值相同，都是，
抛物线的对称轴为直线，
当时，，
抛物线的顶点为，
可改写为的形式，
所以正确；
由表格可知时函数的值最小，
抛物线的开口向上，
故错误；
与关于对称轴对称，
时，，时，，
的两个根为或，
故正确；
抛物线的开口向上，和时，，
若，则或，
故错误；
故选：．
根据表格数据求出顶点坐标，即可判断；根据二次函数的图象与一元二次方程的关系可判断；根据函数的图象和性质可以判断．
本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
8.【答案】
【解析】解：由图象可知，机器人距离点个单位长度，可能在或点，则正六边形边长为故正确；
观察图象在之间时，图象具有对称性则可知，机器人在或上，
则当时，机器人距离点距离为个单位长度，机器人一定位于点，故正确；
所有点中，只有点到距离为个单位，故正确；
因为机器人可能在点或点出发，当从出发时，不经过点，故错误．
故选：．
根据图象起始位置猜想点或为起点，则可以判断正确，错误．结合图象判断图象的对称性可以判断正确．结合图象易得正确．
本题为动点问题的函数图象探究题，解答时要注意动点到达临界前后时图象的变化趋势．
9.【答案】
【解析】解：根据题意得，
解得故答案为．
求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不等于．
本题主要考查分式有意义的条件，当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为．
10.【答案】
【解析】解：
，
，
经检验：是原方程的解，
原方程的解为．
故答案为：．
解分式方程的步骤：去分母；解整式方程；检验．
本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：多边形的外角和为，
，
，
．
故答案是：．
利用多边形的外角和为，结合三角形的内角和为即可求解．
本题考查了多边形的外角和和三角形的内角和定理．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和，圆内接四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
根据平行四边形的性质得到，根据圆内接四边形的性质得到，由三角形的内角和即可得到结论．
【解答】
解：四边形是平行四边形，，
，
四边形是圆内接四边形，
，，
，
故答案为．
13.【答案】答案不唯一
【解析】解：，点的坐标为，反比例函数，使它的图象与有两个不同的交点，
这个函数的表达式为：答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
根据题意可得，点的坐标的乘积大于小于，据此即可求解．
本题考查了求反比例函数的解析式，理解的范围是解决本题的关键．
14.【答案】
【解析】解：由题意，列表为

， ，
， ，
， ，
通过列表可以得出共有种情况，其中能使关于的方程有实数根的有种情况，
满足关于x的方程x+px+q=0有实数根．
故答案为：
通过列表求出、的所有可能，再由根的判别式就可以求出满足条件的概率
本题考查了列表法或树状图求概率的运用，根的判别式的运用，解答时运用列表求出所有可能的情况是关键．
15.【答案】
【解析】解：，
当时，有最大值，
当时，，
关于的一元二次方程为实数在的范围内有解可看作抛物线与在内有公共点，
所以的范围为．
故答案为．
先利用二次函数的性质得到时，有最大值，再计算出时，，由于关于的一元二次方程为实数在的范围内有解可看作抛物线与在内有公共点，然后利用函数图象可得到的范围．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
16.【答案】和
【解析】解：由题意可知，一共十张卡片十个数，五个人每人两张卡片，
每人手里的数字不重复．
由甲：，可知甲手中的数字可能是和，和，和，和，和；
由乙：，可知乙手中的数字只有和；
由丙：，可知丙手中的数字可能是和，和，和；
由丁：，可知丁手中的数字可能是和，和，和；
由戊：，可知戊手中的数字可能是和，和；
丁只能是和，甲只能是和，丙只能是和，戊只能是和．
故答案为：和．
根据两数之和结果确定，对两个加数的不同情况进行分类讨论，列举出所有可能的结果后，再逐一根据条件进行推理判断，最后确定出正确结果即可．
本题考查的是有理数加法的应用，关键是把所有可能的结果列举出来，再进行推理．
17.【答案】解：原式
．
【解析】根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值，绝对值的意义以及立方根的知识点化简计算即可．
本题考查了实数的运算，细心化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18.【答案】解：，
解得，
解得，
不等式组的解集为，
该不等式组的非负整数解为，，．
【解析】分别解两个不等式，得到不等式组的解集，即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握计算法则是解题的关键．
19.【答案】到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 无数 以为直径的圆点、除外
【解析】解：由作图知，，故DE是线段是垂直平分线，
，
是直角三角形，理由是到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；
故答案为：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；
过点可以作无数条射线，
以线段为斜边还可以作无数个直角三角形，
故答案为：无数；
这些直角三角形的直角顶点所形成的图形是以为直径的圆点、除外，理由是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
故答案为：以为直径的圆点、除外．
根据线段的垂直平分线的逆定理分析可知．
由于过点可作无数条射线，利用作法可得到无数个直角三角形；
利用圆周角定理可判断这些直角三角形的直角顶点所形成的图形．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
20.【答案】解：
，
原式，
，
．
【解析】根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题基础题型．
21.【答案】解：补全图形如下图所示：
如下图，连接，
四边形是菱形，
，
，分别是，的中点，
，
．
四边形是菱形，
，，
，
是等边三角形，
是的中点，
，
，
，
即是直角三角形，且，
是的中点，
，
，
，，
≌，
，
，
．
【解析】按要求画出图形即可；连接，由已知条件可知是的中位线，由此可得，由菱形的性质可得，从而可得；
由已知条件易得是等边三角形，结合点是的中点可得，结合可得，在中由已知条件求得的长，证明≌，得出，从而可得的长，这样即可由，求出其面积了．
本题主要考查了菱形的性质，平行线的性质和判定，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，解直角三角形，中位线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，作出辅助线．
22.【答案】解：把代入函数中，
．
；
过点作轴的垂线，交直线于点，交轴于点．
当点是线段的中点时，
．
点的纵坐标为，
把代入函数中，
得．
点的坐标为，
把代入函数中得：，
得，
当时，．
【解析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求反比例的解析式，求得点的坐标是解题的关键．
根据待定系数法求得即可；
根据题意求得点的坐标，然后根据待定系数法即可求得的值；
当在上方时，且时，即点是线段的中点时，同理可得点纵坐标为，
点横坐标为，即点的坐标为，
把代入函数中得：，，
当时，．
23.【答案】证明： 为的直径，
．
，
，
．
为 的切线，
．
．
；
解：连接，
为的直径，
．
，
．
．
．
，
，
设，则，
在中，，由勾股定理得．
，，
在中，，
．
．
．
【解析】由圆周角定理得出，得到，由切线性质得出，即可证得，由等腰三角形的性质得出，即可证得结论；
易证得，从而证得，设，则，由勾股定理证得，，然后根据射影定理得到，即可求得，进而求得．
本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理以及射影定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．
24.【答案】解：如图所示；
解：依题意，抛物线的顶点的坐标为，点的坐标为．
设该抛物线的表达式为，
由抛物线过点，有．
解得，
该抛物线的表达式为；
解：令，得．
解得，在轴正半轴，故舍去．
点的坐标为．
．
由，可得．
小明此次试投的成绩达到优秀．
【解析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确建立平面直角坐标系、熟练掌握待定系数法及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
根据题意画出图象即可；
设该抛物线的表达式为，由抛物线过点得到求得，于是得到结论；
根据题意解方程即可得到结论．
25.【答案】
【解析】解：函数图象对称轴为轴，
，
解得：．
当时，解析式为，
当时随的增大而减小，
，
当时最小，
．
故答案为：；
对称轴为直线，
当，即，
，
当时，有最小值，
，
，
，
；
当，即时，
当时，有最小值，
，
，
，
，
，
，
；
当，即，
当时，有最小值，
，
，
，
，
综上所述，．
根据对称轴公式求解即可；
先求二次函数的对称轴，从而确定当时最小，据此求解即可；分类讨论，当对称轴在直线左边，在直线右边，在直线和之间三种情况，再利用二次函数的性质计算即可．
本题主要考查了二次函数的性质，求不等式组的解集，二次函数的最值问题，熟知二次函数的性质是解题的关键．
26.【答案】解：正方形的对角线，相交于，
，，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
；
连接，
，
，，
，同的方法得，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
设
，
，
，
，
，
，
设，
，
根据勾股定理得，，
同的方法得，，
，
，，
∽，
，
，
已舍去不符合题意的
，，
，
，
．
【解析】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，平行四边形，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出四边形是菱形是解的关键，判断出∽是解的关键．
先判断出，，再利用同角的余角相等判断出，判断出≌即可得出结论；
先判断出四边形是菱形，进而判断出，即可判断出，即可得出结论；
设，进而表示出，，设，进而表示，根据勾股定理得，，
同的方法得，，得出，进而判断出∽，得出，进而得出，即可表示出，，，即可得出结论．
27.【答案】解：，根据“三等分变换”的定义，可知 ， ， ．
当时，
在中，如图中，

点在轴负半轴上，不在第二象限
不符合题意．
当时
，
此时，点在第二象限符合题意．
如图中，由图象可知， ， ， ．
如图中，过点作轴于点．
在中，由勾股定理，，
在中，，
点在内部或在上运动，当为直径时，最大
，
的取值范围：，
由对称性可知
过点作轴于点，过点作轴于点
易证≌，
，

，
又，
四边形是平行四边形，对角线的交点为，设
则，
则有，，
解得，，
点的坐标为
【解析】根据“三等分变换”的定义，可知 ， ， ；
根据的长度为符合条件的最小整数时，分或讨论即可解决问题；
画出图形即可解决问题；
如图中，过点作轴于点在中，由勾股定理，，在中，， ，推出点在内部或在上运动，当为直径时，最大，推出推出，推出的取值范围：，由，由对称性可知，再根据平行四边形的性质求出点坐标即可．
本题考查圆综合题、平行四边形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、中点坐标公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
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