2024北京延庆高二（下）期中数学（教师版）（PDF版含答案）

2024北京延庆高二（下）期中
数 学
2024.05
本试卷共 6 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考
试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1 n
（1）等比数列 ，1， 2 ， ， 2 的项数为
2
（A） n 1 （B） n
（C） n + 2 （D） n + 3
（2）由数字1， 2 ， 3， 4 构成的三位数有
（A） 43 个 （B） 43 个
（C） 4 3 2 个 （D）1 2 3 个
（3）在等差数列 an 中， a4 + a5 +a6 = 15，则 a2 + a8 =
（A） 5 （B） 6
（C） 7 （D）10
（4）在 (2 + x)6 的展开式中二项式系数最大的项是
（A）第 3 项和第 4 项 （B）第 4 项和第5 项
（C）第 3 项 （D）第 4 项
（5）随机抛掷一颗均匀的骰子，则所得骰子朝上的点数 X 的数学期望是
（A） 3 （B）3.5
（C）3.3 （D） 4
（6）在 5 张奖券中有 2 张一等奖和 3张二等奖，每次从中抽出1张，抽出后不再放回，
则在第1次抽到一等奖的条件下，第 2 次抽到二等奖的概率为
1 3
（A） （B）
6 10
1 3
（C） （D）
2 4
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4 2 3 4
（7）若 (1+ mx) = a0 + a1x + a2x + a3x + a4x ，且 a1 + a2 + a3 + a4 = 15 ，则实数m 值为
（A）1 （B） 3
（C）1或 3 （D）1或 3
（8）设随机变量 X 的分布列为
X 0 1 2
P 1 1 1
3 2 6
则 D(X ) 的值为
5 17
（A） （B）
6 36
7 13
（C） （D）
6 36
（ *9）设{a n Sn}是等差数列，且公差不为 0 ，其前 项和为 n ，则“ n N , Sn+1 Sn ”是“{an} 为递增
数列”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（10）已知数列 a 的通项公式 a = n2 , n *N ， 设 t = (a1 +1)(a2 +1)(a4 +1) (an n k 1 +1) ， 2
k *N ，若 log2 (t +1) = 256 ，则 k 的值为
（A） 6 （B）8
（C） 7 （D） 9
第二部分 （非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
2 3 2
（11）若Cn = Cn ，则 An = _________．（用数字作答）
1
（12）已知随机变量 X B(4, ) ，则 E(X ) =_________， D(X ) =_________．
4
（13）学校要从 5 名男教师和 2 名女教师中随机选出 3 人去支教，设抽取的人中女教师的人数为 X ，则
E(X ) =_________．
（14）中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复
音的五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有_________种．（用数字
作答）
（15）已知数列 an 的各项均为正数，其前n项和为 Sn 满足 an Sn = 9(n = 1, 2,3 ) .
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给出下列四个结论:
① a 的第 2 3n 项小于 ； ② an 为等比数列；
1
③ an 为递减数列； ④ an 中存在小于 的项.
100
其中所有正确结论的序号是_________．
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（16）（本小题 12 分）
1
在 (2x2 + )6 的展开式中.
x
（Ⅰ）求第 4 项的二项式系数；
3
（Ⅱ）求 x 的系数；
（Ⅲ）求第 5 项.
（17）（本小题 15 分）
某中学有初中学生 1800 人，高中学生 1200 人．为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的
方法，从中抽取了 100 名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两
组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为 5 组： [0,10)， [10,20) ， [20,30) ， [30,40) ， [40,50]，
并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.
0.040
0.035
a
0.030
0.025
0.020
0.005
0.005
O 10 20 30 4 0 50 时间(小时) O 10 20 30 4 0 50 时间(小时)
初中生组
高中生组
（Ⅰ）写出 a的值；
（Ⅱ）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于 30 个小时的学生人数；
（Ⅲ）从阅读时间不足 10 个小时的样本学生中随机抽取 3 人，并用 X 表示其中初中生
的人数，求 X 的分布列和数学期望．
（18）（本小题 14 分）
1 1
甲、乙两人练习投篮，每次投篮命中的概率分别为 ， ，假设两人每次投篮是否命中相互之间没有
3 4
影响.
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（Ⅰ）如果甲、乙两人各投篮1次，求两人中至少有1人投篮命中的概率；
（Ⅱ）如果甲投篮 4 次，求甲至多有 2 次投篮命中的概率；
（Ⅲ）如果乙投篮10次，求乙投篮命中几个球的概率最大？直接写出结论.
（19）（本小题 15 分）
已 知 Sn 为 数 列 an 的 前 n 项 和 ， 满 足 Sn = 2an 1 ， n
*
N . 数 列 bn 是 等 差 数 列 ， 且
b1 = a1 , b2 + b4 = 10 .
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列 an + bn 的前 n项和Tn ；
（Ⅲ）设Cn = a1 a3 a2n 1，且Cn = 4096 ，求 n .
（20）（本小题 15 分）
x2 y2
已知椭圆 E : + =1 (a b 0) 经过直线 l : x + 2y 2 = 0 与坐标轴的两个交点.
a2 b2
（Ⅰ）求椭圆 E 的方程；
（Ⅱ） A为椭圆 E 的右顶点，过点 (2,1) 的直线交椭圆 E 于点 M , N ，过点 M 作 x轴的垂线分别与直线
PQ
l，AN 交于点 P,Q ，求 的值.
MQ
（21）（本小题 14 分）
已知数列 An ： a1， a2 ， ， a n≥2n （ ）满足：
a
① a =1；② k+11 = 2（ k =1， 2 ， ， n 1）. 记 S(An ) = a1 + a2 + + an .
ak
（Ⅰ）直接写出 S (A3 )的所有可能值；
（Ⅱ）证明： S (An ) 0 的充要条件是 an 0；
（Ⅲ）若 S (An ) 0 ，求 S (An )的所有可能值的和.
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参考答案
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
（1）C （2）A （3）D （4）D （5） B
（6）D （7）C （8）B （9）A （10）B
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
3 6
（11） 20 （12）1， （注：对一空 3 分，对两空 2 分） （13）
4 7
（14） 36 （15）①③④（注：对一个 2 分，对 2 个 4 分，对 5 个 5 分，选②0 分）
三、解答题（共 6 小题，共 85 分）
（16）(本小题 12 分)
3 6! 6 5 4
（Ⅰ）解：第 4 项的二项式系数为C = = = 20 ………4 分 6
(6 3)! 3! 3 2 1
k 2 6 k 1 k 6 k k 12 3k
（Ⅱ）解：展开式中的第 k +1项为Tk+1 =C6 (2x ) (x ) = 2 C6 x ………6 分
6 3 3 12 3 3 3
由已知，令12 3k = 3，则 k = 3，则T4 = 2 C6 x =160x ………8 分
则 x
3
的系数为160 ………9 分
6 k k 12 3k
（Ⅲ）解：因为Tk+1 = 2 C6 x ………10 分
T = 26 4求第 5 项，即 k = 4 时， 4+1 C
4x12 3 46 = 60 ………11 分
所以第 5 项为60 ………12 分
（18）（本小题 15 分）
（Ⅰ）解： a = 0.03 . ………2 分
（Ⅱ）解：由分层抽样，知抽取的初中生有 60 名，高中生有 40 名. ………4 分
因为初中生中，阅读时间不小于 30 个小时的学生频率为 (0.02+ 0.005) 10 = 0.25，
学生约有0.25 1800 = 450人， ………5 分
同理，高中生中，阅读时间不小于 30 个小时的学生频率为 (0.03+ 0.005) 10 = 0.35，
学生人数约有0.35 1200 = 420人. ………6 分
所以该校所有学生中，阅读时间不小于 30 个小时的
学生人数约有 450+ 420 = 870 人. ………7 分
（Ⅲ）解：初中生中，阅读时间不足 10 个小时的学生频率为0.005 10 = 0.05，
样本人数为0.05 60 = 3人. ………8 分
同理，高中生中，阅读时间不足 10 个小时的学生
样本人数为 (0.005 10) 40 = 2人. ………9 分
故 X的可能取值为 1，2，3.
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C1 2
则 P(X =1) = 3
C2 3
= ， ……… 103 分 C5 10
C2 C1 3
P(X = 2) = 3 2 = ， 3 ……… 11 分 C5 5
C3
P(X = 3) = 3
1
=
3 . ……… 12 分 C5 10
所以 X 的分布列为：
X 1 2 3
3 3 1
P
10 5 10
……… 13 分
3 3 1 9
所以 E(X ) =1 + 2 + 3 = . ………15 分
10 5 10 5
（18）(本小题 14 分)
（Ⅰ）解：记“甲投篮 1 次，且命中”为事件 A
记“乙投篮 1 次，且命中”为事件 B
记“甲、乙两人各投篮1次，求两人中至少有1人投篮命中” 为事件 C
1 2
由已知 P(A) = ， P(A) = ………1 分
3 3
1 3
由已知 P(B) = ， P(B) = ………2 分
4 4
1 3 1
法一： P (AB) = = ………3 分
3 4 4
2 1 1
P (AB) = = ………4 分
3 4 6
1 1 1
P (AB) = = ………5 分
3 4 12
则甲、乙两人各投篮1次，两人中至少有1人投篮命中概率为
1 1 1 1
P(C) = + + = ………6 分
4 6 12 2
1
答：甲、乙两人各投篮1次，求两人中至少有1人投篮命中的概率
2
2 3 1
法二：所以 P (AB) = = ………4 分
3 4 2
2 3 1
P(C) =1 P (AB) =1 = ………6 分
3 4 2
1
答：甲、乙两人各投篮1次，求两人中至少有1人投篮命中的概率
2
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（Ⅱ）解：记“甲投篮 4 次，且至多有 2 次投篮命中”为事件 D
1
因为甲每次投篮命中的概率为 P(A) = ，
3
记投篮命中次数为 X ,则 X 的取值范围是 0,1, 2 ………7 分
4
0 1 16P(X = 0) =C 1 = ， ………8 分 4
3 81
3
1 1 1 32P(X =1) =C4 1 = ………9 分
3 3 81
2 2
2 1 1 24P(X = 2) =C4 1 = ………10 分
3 3 81
16 32 24 8
所以 P (D) = + + = ………11 分
81 81 81 9
8
答：甲投篮 4 次，且至多有 2 次投篮命中的概率为
9
（Ⅲ）乙投篮命中 2 个球的概率最大. ………14 分
（19）（本小题 15 分）
（Ⅰ）解：当 n =1时， S1 = 2a1 1= a1 得 a1 =1 . ………1 分
由已知 Sn = 2an 1①
当 n≥2,n *N 时， Sn 1 = 2an 1 1 , ②
①-②得 an = 2an 2an 1 . ………2 分
所以 an = 2an 1 ………3 分.
所以数列{an}为等比数列，且公比为 q = 2.
因为 a =1，所以 a = a qn 11 n 1 = 2
n 1 (n *N ) . ………4 分
设数列 bn 公差为 d ，
b1 = 1, b2 + b4 = (b1 + d )+ (b1 + 3d ) = 2b1 + 4d = 10, ………5 分
b1 = 1,
由 得 d = 2. ………6 分
b 1 + 2d = 5
所以bn = b1 + (n 1)d = 1+ (n 1) ( 2) = 2n +1(n
*
N ) . ………7 分
（Ⅱ）解：设 c = a + b = 2n 1n n n + ( 2n +1) ，前 n项和
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Tn = (1+ 2+ 4+ + 2
n 1) 2 (1+ 2+ 3+ + n) + n
1 2n n(n +1)
= 2 + n ………10 分
1 2 2
= 2n n2 1.
(0+2n 2)n
（Ⅲ）解：Cn = a1 a3 a
0
2n 1 = 2 2
2 22n 2 = 2 2 = 4096 = 212 ………13 分
(0 + 2n 2)n
即 =12 ，即 n2 n 12 = 0 ，解得 n = 4 ………15 分
2
（20）（本小题 15 分）
解：（Ⅰ）直线 l : x + 2y 2 = 0 与坐标轴的两个交点为 (2,0), (0,1) ，………1 分
由于 a b ，所以 a = 2， b =1， ………3 分
x2
所以椭圆 E 的方程为 + y2 =1 . ………4 分
4
（Ⅱ）设过点 (2,1) 的直线为 l1 ，由题意直线 l 斜率存在，
设 l1 方程为 y 1= k(x 2) ，即 y = kx + (1 2k) . ………5 分
y = kx + (1 2k)

由 x2 ，消元得 x
2 + 4[kx +（1 2k)]2 = 4，
2
+ y =1
4
整理得 (1+ 4k 2 )x2 + 8k(1 2k)x +16k 2 16k = 0 . ……… 6 分
由 = [8k(1 2k)]2 4(1+ 4k 2 )(16k 2 16k) = 64k 0 ，可得 k 0 .………7 分
8k(1 2k) 16k 2 16k
设 M (x1, y1), N (x2 , y2 )，则 x1 + x2 = ， x1 x2 = . ……… 9 分
1+ 4k 2 1+ 4k 2
2 x
由题意，将 x = x ，代入 l : x + 2y 2 = 0 11 得 P(x1, ) ， ………10 分
2
y
直线 AN 的方程为 y = 2 (x 2)， ……… 11 分
x2 2
y (x 2)
令 x = x1 得Q(x ,
2 1 )， ……… 12 分 1
x2 2
y
所以 2
(x1 2) 2 x+ y 11 2
x2 2 2
y2 (x1 2) + y（1 x2 2）+(x1 2)(x 2)= 2
x2 2
（kx2 +1 2k)(x1 2) +（kx1 +1 2k（) x2 2）+(x1 2)(x2 2)=
x2 2
（2k +1)x1x2-(4k +1)(x1 + x2 ) + 8k=
x2 2
（2k +1)(16k 2-16k)+(4k +1) 8k(1 2k) + 8k(1+ 4k 2 ) (32k3-16k 2-16k)+( 64k3+16k 2 + 8k)+ (8k + 32k3)
= = = 0
(1+ 4k 2 )(x2 2) (1+ 4k
2 )(x2 2)
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所以，点 P 是线段 MQ 的中点. ……… 14分
PQ
所以， =1 ……… 15 分
MQ
注：学生如果用其他方法，按步骤给分
（21）(本小题 14 分）
解（Ⅰ） S (A3 )的所有可能值是 7， 5， 3， 1，1，3，5，7 . ……… 4 分
（Ⅱ）充分性：若 an 0，即 a = 2
n 1
n .
a = 2n 1所以满足 ，且前 n项和最小的数列是 1， 2， 4，…， 2n 2n ，2
n 1 .
所以 a1 + a2 + + an≥ (1+ 2+ 4+ + 2n 2 )+ 2n 1
1 2n 2 2
= + 2n 1 =1 .
1 2
所以 S (An ) 0 . ……… 7 分
必要性：若 S (A ) 0 ，即 a1 + a2 + + an 0n .
假设 an 0，即an = 2
n 1
.
所以 S (An ) = a1 + a2 + + an≤(1+ 2+ 4+ + 2n 2 ) 2n 1 = 1 0，与已知 S (An ) 0 矛盾.
所以 S (An ) 0 . ……… 10 分
综上所述， S (An ) 0 的充要条件是 an 0 .
n 1
（Ⅲ）由（Ⅱ）知， S (An ) 0 可得 an 0 . 所以an = 2 .
因为数列 A n : a1， a2 ， ， a （ n≥2n ）中 a1有 1，1两种， a2 有 2， 2 两种， a3 有 4， 4 两种，…，
a 有 2n 2 ， 2n 2n 1 两种， an 有 2
n 1一种，
所以数列 An : a ， a ， 1 2 ， a （ n≥2n ）有 2
n 1 个，且在这 2n 1 个数列中，每一个数列都可以找到前
n 1项与之对应项是相反数的数列.
所以这样的两数列的前 n项和是 2 2n 1 .
n 1 n 2 2n 1
1
2n 1 = 22n 2所以这 2 个数列的前 项和是 .
2
所以 S (An )的所有可能值的和是 22n 2 . ……… 14 分
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