1．1.1 空间向量及其线性运算
学习任务
1．理解空间向量及相关概念．(重点)
2．掌握空间向量的线性运算．(重点)
3．掌握向量共线的充要条件、三个向量共面的充要条件及应用．(重点、难点)
核心素养
1．通过空间向量有关概念的学习，培养数学抽象素养．
2．借助向量的线性运算、共线向量及共面向量的学习，提升直观想象和逻辑推理素养.
空间向量的概念
1.定义：在空间，具有_大小__和_方向__的量叫做空间向量．
2．长度或模：向量的_大小__.
3．表示方法
(1)几何表示法：空间向量用_有向线段__表示；
(2)字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||.
4．几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 _长度为0__的向量叫做零向量．记为0
单位向量 _模为1__的向量叫做单位向量
相反向量 与向量a长度_相等__而方向_相反__的向量，叫做a的相反向量，记为－a
共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a
相等向量 方向_相同__且模_相等__的向量叫做相等向量
提醒：单位向量有无数个，它们的方向并不确定，它们不一定相等；零向量也有无数个，它们的方向是任意的，但规定所有的零向量都相等．
做一做：判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量与向量的长度相等．( √ )
(2)零向量没有方向．( × )
[解析] (1)对于任意向量和，都有||＝||成立．
(2)零向量有方向，它的方向是任意的.
空间向量的线性运算及运算律
空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋＝
减法 a－b＝－＝
数乘 当λ>0时，λa＝λ＝；当λ<0时，λa＝λ＝；当λ＝0时，λa＝0
运算律 交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb
做一做：已知空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则等于( B )
A．a＋b－c B．c－a－b
C．c＋a－b D．c＋a＋b
[解析] ＝＋＋＝－b－a＋c＝c－a－b，故选B.
共线向量与共面向量
(1)相关概念
共线(平行)向量 共面向量
定义 位置关系 表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：互相平行或重合 平行于同一个_平面__的向量
特征 方向_相同__或_相反__
特例 零向量与任意向量_共线__
充要条件 共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使 a＝λb 共面向量定理：向量p与两个不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 p＝xa＋yb
(2)直线的方向向量
在直线l上取非零向量a，与向量a_平行__的非零向量称为直线l的方向向量．
思考1：已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，存在有序实数对(x，y)，满足关系＝＋x＋y，则点P与点A，B，C是否共面？
提示： 共面．由＝＋x＋y，可得＝x＋y，所以向量与向量，共面，故点P与点A，B，C共面．
思考2：对于不共线的三点A，B，C和平面ABC外的一点O，空间一点P满足关系式＝x＋y＋z，则点P在平面ABC内的充要条件是什么？
提示：x＋y＋z＝1.证明如下：
①充分性 ∵＝x＋y＋z可变形为＝(1－y－z)＋y＋z，
∴－＝y(－)＋z(－)，
∴＝y＋z，
∴点P与A，B，C共面．
②必要性 ∵点P在平面ABC内，不共线的三点A，B，C，
∴存在有序实数对(m，n)使＝m＋n，
－＝m(－)＋n(－)，
∴＝(1－m－n)＋m＋n，
∵＝x＋y＋z，点O在平面ABC外，
∴，，不共面，
∴x＝1－m－n，y＝m，z＝n，
∴x＋y＋z＝1.
做一做：判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若向量a，b，c共面，则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面．( × )
(2)若点P，M，A，B四点共面，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使＝x＋y.( × )
(3)对于空间的任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是共面向量．( √ )
提示：(1)三条直线不一定在同一平面内．
(2)当与共线，与不共线时，x，y不存在．
(3)由2a－b＝2·a＋(－1)·b得2a－b与a，b共面．1.1.2 空间向量的数量积运算
学习任务
1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法．(易混点)
2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．(重点)
3．了解投影向量的概念以及投影向量的意义．(难点)
4．能用向量的数量积解决立体几何问题．(难点)
核心素养
1．通过学习空间向量的数量积运算，培养数学运算素养．
2．借助投影向量概念的学习，培养直观想象素养．
3．借助利用空间向量的数量积证明垂直关系、求夹角和距离运算，提升逻辑推理和数学运算素养.
空间向量的夹角
1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则_∠AOB__叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
2．夹角的范围
空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝0时，两向量 同向共线 ；当θ＝ π 时，两向量反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝时，两向量 垂直 ，记作 a⊥b .
思考1：对空间任意两个非零向量a，b，〈a，b〉，〈b，a〉，〈－a，－b〉有怎样的关系？
提示：〈a，b〉＝〈b，a〉＝〈－a，－b〉．
做一做：如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)〈，〉＝ ；
(2)〈，〉＝ ；
(3)〈，〉＝ π .
[解析] (1)〈，〉＝〈，〉＝.
(2)〈，〉＝〈，〉＝π－〈，〉＝.
(3)〈，〉＝〈，〉＝π.
空间向量的数量积
定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝ |a||b|cos〈a，b〉 规定：零向量与任何向量的数量积都为0
性质 ①a⊥b a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2
运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R②a·b＝b·a(交换律)③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)
思考2：若a，b，c为实数，则(a·b)·c＝a·(b·c)．是否可以由此类比得出，对于向量a，b，c，满足(a·b)·c＝a·(b·c)
提示：数量积的运算只满足交换律，分配律及数乘结合律，但不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)．这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．
做一做：正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长等于2，则·＝ 4 .
[解析] ||＝||＝2，〈，〉＝60°，
所以·＝||||cos 60°＝2×2×＝4.
向量a的投影
1.向量a向向量b的投影
如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝ |a|cos〈a，b〉 ，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))．
2．向量a向平面β投影
如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．
做一做：判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量a在向量b上的投影向量与向量b的方向相同．( × )
(2)向量a在直线l上的投影向量c与向量a－c垂直．( √ )
(3)向量a在平面β上的投影向量为c，则向量a所在直线与平面β所成的角为〈a，c〉．( √ )
提示：(1)当〈a，b〉>时，反向．
(2)根据向量向直线的投影定义可知，c与a－c垂直．
(3)根据向量向平面的投影定义及直线与平面所成的角的定义可知正确．1.2 空间向量基本定理
学习任务
1．了解空间向量基本定理及其意义．(重点)
2．掌握空间向量的正交分解．会用基底表示空间向量(难点)
3．初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的方法．(难点)
核心素养
1．通过基底概念的学习，培养数学抽象素养．
2．通过用空间向量基本定理解决简单的立体几何问题，提升直观想象、数学运算、逻辑推理等素养.
空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c_不共面__，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝ xa＋yb＋zc .
我们把{a，b，c}叫做空间的一个_基底__，a，b，c都叫做基向量．
思考1：零向量能否作为一个基向量？为什么？
提示：不能．零向量与任意两个向量a，b都共面．
做一做：判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)空间向量的基底是唯一的．( × )
(2)若a，b，c是空间向量的一个基底，则a，b，c均为非零向量．( √ )
(3)已知A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N共面．( √ )
(4)若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则有x＝y＝z＝0.( √ )
提示：(1)任意三个不共面向量都可以作为空间的一个基底．
(2)若a，b，c中有一个零向量，则a，b，c三向量共面不能构成基底．
(3)，，不能构成空间的一个基底，则三向量共面，且有公共起点B，因此A，B，M，N四点共面．
(4)a，b，c不共面，则必有x＝y＝z＝0.
空间向量的正交分解
1．单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量_两两垂直__，且长度都是_1__，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．
2．向量的正交分解
由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk.像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
做一做：判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)空间的单位正交基底是唯一的．( × )
(2)单位正交基底中每一个基向量是单位向量．( √ )
(3)对于单位正交基底{i，j，k},2j＝0i＋2j＋0k.( √ )
提示：(1)不唯一．
(2)由单位正交基底的定义可知正确．
(3)由向量正交分解知正确．1．3.1 空间直角坐标系
学习任务
1．了解空间直角坐标系．(易混点)
2．掌握空间直角坐标系中点的坐标和向量的坐标的概念．(重点)
3．能在空间直角坐标系中表示空间中点的坐标和向量的坐标．(重点、难点)
核心素养
1．通过建立空间直角坐标系，确定点的坐标，提升数学抽象的核心素养．
2．通过空间向量的坐标表示，培养数学运算的核心素养.
空间直角坐标系
1．空间直角坐标系及相关概念
(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：_x轴、y轴、z轴__.它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.
(2)相关概念：_O__叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为_Oxy__平面、_Oyz__平面、_Ozx__平面，它们把空间分成八个部分．
2．右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向_x轴__的正方向，食指指向_y轴__的正方向，如果中指指向_z轴__的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
做一做：判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)空间直角坐标系中x轴与y轴的夹角为45°.( × )
(2)空间直角坐标系中有三个坐标平面，它们把空间分成四个部分．( × )
(3)在空间中可建立无数个空间直角坐标系．( √ )
提示：(1)空间直角坐标系中，三条坐标轴相互垂直．
(2)空间直角坐标系中，三个坐标平面把空间分成8个部分．
(3)原点位置不同，就得到不同的空间直角坐标系.
空间一点的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标单位向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的_有序实数组(x，y，z)__叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作_A(x，y，z)__，其中_x__叫做点A的横坐标，_y__叫做点A的纵坐标，_z__叫做点A的竖坐标．
思考1：空间直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标有何特征？
提示：x轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0，即(x,0,0)．
y轴上的点的横坐标、竖坐标都为0，即(0，y,0)．
z轴上的点的横坐标、纵坐标都为0，即(0,0，z)．
做一做：在空间直角坐标系Oxyz中，过点P(1，，)作Oxy平面的垂线，垂足为Q，则点Q的坐标为( D )
A．(0,0，) B．(0，，)
C．(1,0，) D．(1，，0)
[解析] 垂足Q为点P在Oxy平面上的射影，其横、纵坐标与点P的相同，竖坐标为0.
空间向量的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．
思考2：空间向量的坐标和空间向量终点的坐标有什么关系？
提示：当空间向量的起点在原点时，空间向量的坐标恰好是空间向量终点的坐标．
做一做：设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，则向量a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k的坐标分别是_(3,2，－1)，(－2,4,2)__.1．3.2 空间向量运算的坐标表示
学习任务
1．掌握空间向量运算的坐标表示，并据此会判断两个向量是否共线或垂直．(重点)
2．掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题．(重点、难点)
核心素养
1．通过空间向量的坐标运算及空间向量夹角及长度的学习，培养数学运算素养．
2．借助利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题，提升数学运算及逻辑推理素养．
空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a＋b a＋b＝_(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)__
减法 a－b a－b＝_(a1－b1，a2－b2，a3－b3)__
数乘 λa λa＝_(λa1，λa2，λa3)__，λ∈R
数量积 a·b a·b＝_a1b1＋a2b2＋a3b3__
做一做：已知空间向量m＝(1，－3,5)，n＝(－2,2，－4)，则m＋n＝_(－1，－1,1)__,3m－n＝_(5，－11,19)__，(2m)·(－3n)＝_168__.
[解析] m＋n＝(1，－3,5)＋(－2,2，－4)＝(－1，－1,1)；3m－n＝3(1，－3,5)－(－2,2，－4)＝(3，－9,15)－(－2，2，－4)＝(5，－11,19)；(2m)·(－3n)＝(2，－6,10)·(6，－6,12)＝2×6＋(－6)×(－6)＋10×12＝168.
空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
平行(a∥b) a∥b(b≠0) a＝λb a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
垂直(a⊥b) a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 (a，b均为非零向量)
模 |a|＝＝
夹角公式 cos〈a，b〉＝＝
做一做：判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a＝(0,0,1)，b＝(1,0,0)，则a⊥b.( √ )
(2) 已知a＝(x1，y1，z1)，若x1＝y1＝z1＝1，则a为单位向量．( × )
(3) 若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a∥b，则 ＝ ＝ .( × )
提示：(1)由a·b＝0，得a⊥b.
(2)若x1＝y1＝z1＝1，则|a|＝＝，所以a不是单位向量．
(3)只有当b1，b2，b3均不为0时，＝＝成立.
空间两点间的距离公式
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则|P1P2|＝||＝ .
思考：已知点A(x，y，z)，则点A到原点的距离是多少？
提示：|OA|＝||＝.
做一做：若点A(0,1,2)，B(1,0,1)，则＝ (1，－1，－1) ，||＝ .
[解析] ＝(1，－1，－1)，||＝＝.第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示及空间中直线、平面的平行
学习任务
1．理解直线的方向向量与平面的法向量，会求一个平面的法向量．(重点)
2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系．
3．熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的平行关系．(重点、难点)
核心素养
1．通过空间中点、直线和平面的向量表示的学习，培养直观想象和逻辑推理素养．
2．通过直线的方向向量和平面的法向量的学习，提升数学运算的核心素养．
3．借助利用空间向量解决平行问题的学习，提升数学运算及逻辑推理素养．
空间中点的位置向量
如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量．
做一做：在空间直角坐标系Oxyz中，点A(1,2,3)的位置向量是 ＝(1,2,3) .
[解析] 位置向量＝(1,2,3).
空间中直线的向量表示式
直线l的方向向量为a，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使
＝＋t a ，①
把＝a代入①式得
＝＋t ，②
①式和②式都称为空间直线的向量表示式．
思考1：根据空间直线的向量表达式＝＋t，线段AB的中点M的向量表达式是什么？
提示：＝＋＝(＋)．
做一做：判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)零向量不能作为直线的方向向量．( √ )
(2)若向量v是直线l的方向向量，则λv(λ≠0)也是直线l的方向向量．( √ )
(3)直线l的方向向量都平行，且方向相同．( × )
空间中平面的向量表示式
1.平面ABC的向量表示式
空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋ x＋y .③
我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式．
2．平面的法向量
如图，若直线l⊥α，取直线l的 方向向量a ，我们称a为平面α的法向量；过点A且以a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}．
思考2：如果n为平面α的一个法向量，A，B为平面α内的两点，则n与有什么关系？
提示：n⊥，即n·＝0.
做一做：判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面α的所有法向量都平行，且同向．( × )
(2)若n是平面α的一个法向量，则λn(λ∈R)也是平面α的一个法向量．( × )
(3)向量i＝(1,0,0)是坐标平面Oyz的一个法向量．( √ )
提示：(1)法向量也可能方向相反．
(2)当λ＝0时，λn＝0，不能作为平面的法向量．
(3)x轴垂直于坐标平面Oyz.
空间中直线、平面平行的向量表达式
位置关系 向量表达式
线线平行 设μ1，μ2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2 μ1∥μ2 λ∈R，使得μ1＝λμ2
线面平行 设μ是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l α，则l∥α μ⊥n μ·n＝0
面面平行 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β n1∥n2 λ∈R，使得n1＝λn2
思考3：怎么利用向量证明或判定直线和平面的位置关系？
提示：证明或判定直线和平面的位置关系有两类思路
(1)转化为线线关系，然后利用两个向量的关系进行判定；(2)利用直线的方向向量和平面的法向量进行判定．
做一做：1.若平面β外的一条直线l的方向向量是u＝(－1,2，－3)，平面β的法向量为n＝(4，－1，－2)，则l与β的位置关系是_l∥β__.
[解析] 由u·n＝(－1)×4＋2×(－1)＋(－3)×(－2)＝0知，l∥β.
2．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－4，－8,4)，则平面α，β的位置是_α∥β__.
[解析] 由v＝－4u知u∥v，所以α∥β.第2课时 空间中直线、平面的垂直
学习任务
1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．
2．熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的垂直关系．(重点、难点)
核心素养
借助用空间向量证明线面和面面垂直的学习，提升数学运算和逻辑推理素养.
空间中垂直关系的向量表示
设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则
线线垂直 l1⊥l2 u1⊥u2 u1·u2＝0
线面垂直 l1⊥α u1∥n1 λ∈R，u1＝λn1
面面垂直 α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0
思考：怎样用语言叙述利用直线的方向向量与平面的法向量判断垂直关系？
提示：(1)若证线线垂直，则证直线的方向向量垂直；
(2)若证线面垂直，则证直线的方向向量与平面的法向量平行；
(3)若证面面垂直，则证两平面的法向量垂直．
做一做：1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若两条直线的方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交．( × )
(2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.( √ )
(3)两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直．( × )
(4)若两平面α，β的法向量分别为μ1＝(1,0,1), μ2＝(0,2,0)，则平面α，β互相垂直．( √ )
提示：(1)两条直线可能异面垂直．
(2)根据线面垂直的定义可知．
(3)也可能平行．
(4)由μ1·μ2＝0知μ1⊥μ2，从而α⊥β.
2．已知向量e＝(1,2,1)，n＝分别为直线l的方向向量和平面α的法向量，若l⊥α，则实数x的值为( C )
A．－ B．
C．1 D．2
[解析] 由题意得e∥n，所以＝＝，解得x＝1.第1课时 距离问题
学习任务
1．能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题．(重点)
2．能描述解决距离问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用．(难点、易混点)
核心素养
空间中点、线、面距离的相互转化，培养直观想象和数学运算素养.
点P到直线l的距离
已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量＝a在直线l上的投影向量为＝(a·u)·u，则点P到直线l的距离为 (如图)．
思考1：点到直线的距离与两条平行直线之间的距离有什么关系？
提示：在两条平行直线中的一条上取一定点，该点到另一条直线的距离即为两条平行直线的距离．
做一做：如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别为AB，CC1的中点，则点D到直线GF的距离为 .
[解析] 如图，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，F(1,1,0)，G(0,2,1)，
所以＝(1，－1，－1)，＝(1,1,0)．
取a＝＝(1,1,0)，u＝＝，
所以点D到直线GF的距离为＝.
点P到平面α的距离
设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为 (如图)．
思考2：怎样利用向量方法求直线到直线的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离？
提示：两条直线平行，其中一条直线到另一条直线间的距离是其中一条直线上任一点到另一条直线的距离；一条直线和一个平面平行，直线到平面的距离就是这条直线上任一点到这个平面的距离；两个平面平行，平面到平面的距离就是一个平面上任一点到这个平面的距离．
做一做：已知四面体ABCD的顶点分别为A(2,3,1)，B(1,0,2)，C(4,3，－1)，D(0,3，－3)，则点D到平面ABC的距离为 3 .
[解析] 根据已知可得：＝(－1，－3,1)，＝(2,0，－2)，设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则
即取n＝(1,0,1)，又＝(4,0,2)，则点D到平面ABC的距离为＝＝3.第2课时 夹角问题
学习任务
1．能用向量语言表述线线、线面、平面与平面的夹角．(重点、易混点)
2．能用向量方法解决线线、线面、平面与平面的夹角问题．(重点、难点)
3．能描述用向量方法解决夹角问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用．
核心素养
1．通过学习线线、线面、平面与平面的向量表示，提升直观想象素养．
2．通过利用向量方法解决线线、线面、平面与平面的夹角问题，提升逻辑推理和数学运算素养.
两个平面的夹角
平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中_不大于90°__的二面角称为平面α与平面β的夹角．
思考：(1)二面角与平面角的夹角范围一样吗？
(2)设n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，平面α1与平面α2的夹角为θ，则θ与〈n1，n2〉的关系是什么？
提示：(1)不一样．二面角的范围为[0，π]，而两个平面的夹角是不大于直角的角，范围是.
(2)θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉．
做一做：平面α的一个法向量为n1＝，平面β的一个法向量为n2＝，那么平面α与平面β的夹角等于( B )
A．120° B．30°
C．60° D．30°或150°
[解析] cos〈n1，n2〉＝＝－，
设α与β的夹角为θ，
则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝，所以θ＝30°.
空间角的向量法解法
角的分类 向量求法 范围
两条异面直线所成的角 设两异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝
直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝ |cos〈u，n〉| ＝
两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝
做一做：1.已知向量m，n分别是直线l与平面α的方向向量、法向量，若cos 〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为( B )
A．30° B．60°
C．150° D．120°
[解析] 设l与α的夹角为θ，则sin θ＝|cos 〈m，n〉|＝，∴θ＝60°，应选B.
2．设两条异面直线a，b的方向向量分别为a＝(－1,1,0)，b＝(0，－1,1)，则a与b所成的角为 .
[解析] 设直线a与b所成的角为θ，则cos θ＝＝＝，
又θ∈，故θ＝.
