2．5.1 直线与圆的位置关系
学习任务
1．掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．(重点)
2．会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．(难点)
3．能用直线与圆的方程解决一些简单的数学问题．(难点)
核心素养
通过研究直线与圆的位置关系，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养.
直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 _2__个 _1__个 _0__个
判断方法 几何法：设圆心到直线的距离为d＝ _dr__
代数法：由消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ _Δ>0__ _Δ＝0__ _Δ<0__
思考：几何法、代数法判断直线与圆的位置关系各有什么特点？
提示：“几何法”侧重于图形的几何性质，步骤较简洁；“代数法”则侧重于“坐标”与“方程”，判断直线与圆的位置关系，一般用几何法．
做一做：1.直线3x＋4y＝5与圆x2＋y2＝16的位置关系是( A )
A．相交 B．相切
C．相离 D．相切或相交
[解析] 圆心到直线的距离d＝＝1<4，所以直线与圆相交．
2. 已知直线l：y＝k(x＋)和圆C：x2＋(y－1)2＝1，若直线l与圆C相切，则k＝ 0或 .
[解析] 直线l的一般式方程为kx－y＋k＝0，圆C的圆心为(0,1)，半径为1，由直线l与圆C相切得＝1，解得k＝0或.
解决实际问题的一般程序
仔细读题(审题)→建立数学模型→解答数学模型→检验，给出实际问题的答案．
用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，如点、直线，将平面几何问题转化为代数问题．
第二步：通过代数运算，解决代数问题．
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论．
2．5.2 圆与圆的位置关系
学习任务
1．了解圆与圆的位置关系．(重点)
2．掌握圆与圆的位置关系的判定方法．(重点)
3．能利用圆与圆的位置关系解决有关问题．(难点)
核心素养
通过圆与圆的位置关系的判定及解决相关问题，进一步提升逻辑推理及数学运算素养.
两圆的位置关系及其判定
1.几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1，r2的关系 d>_r1＋r2__ d＝_r1＋r2__ _|r1－r2|__2.代数法：设两圆的一般方程为
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)，
联立方程得
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数 2组 1组 0组
两圆的公共点个数 2个 1个 0个
两圆的位置关系 _相交__ _外切或内切__ _外离或内含__
思考：将两个相交圆的方程相减，可得一条直线方程，这条直线方程具有什么特殊性？
提示：两圆的交点坐标满足这个方程，因此这个方程是两圆的公共弦所在的直线方程．
做一做：1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( × )
(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( × )
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( × )
提示：(1)只有一组实数解时可能外切也可能内切．
(2)当两圆圆心距小于两圆半径之和且大于两圆半径之差的绝对值时两圆相交．
(3)只有两圆相交时得到的二元一次方程才是公共弦所在的直线方程．
2．圆O1：(x＋2)2＋(y－2)2＝1和圆O2：(x－2)2＋(y－5)2＝16的位置关系是 外切 .
[解析] 圆O1的圆心O1(－2,2)，半径r1＝1，
圆O2的圆心O2(2,5)，半径r2＝4，
∴|O1O2|＝＝5＝r1＋r2，
∴圆O1与圆O2外切．2．1.1 倾斜角与斜率
学习任务
1．理解直线的斜率和倾斜角的概念．(重点)
2．理解直线的方向向量和向量坐标表示．(重点)
3．掌握过两点的直线斜率的计算公式，会应用斜率公式求直线的斜率．(难点)
核心素养
1．通过倾斜角概念的学习，提升数学抽象的数学素养．
2．通过斜率和直线方向向量的学习，培养逻辑推理和数学运算的数学素养.
直线的倾斜角
1.倾斜角的定义
(1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴_正向__与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
2．直线的倾斜角α的取值范围为_0°≤α<180°__.
思考1：任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？
提示：由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同的．
做一做：判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)与x轴垂直的直线，其倾斜角为90°.( √ )
(2)与x轴平行的直线，其倾斜角不存在．( × )
(3)不存在倾斜角相同的直线．( × )
直线的斜率
1.直线的斜率
把一条直线的倾斜角α的_正切值__叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝ tan α .
2．过两点的直线的斜率公式
过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝ .
提醒：所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率．当直线的倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，但并不是该直线不存在，此时直线垂直于x轴(或平行于y轴或与y轴重合)．
思考2：当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°时，其斜率如何变化？
提示：当倾斜角为锐角时，其斜率为正值，而且斜率随着倾斜角的增大而增大，当倾斜角为钝角时，其斜率为负值，斜率随着倾斜角的增大而增大，当倾斜角为90°时，直线的斜率不存在．
做一做：直线l过(1,0)和(1,2)两点，则其倾斜角和斜率分别是( C )
A．45°，1 B．135°，－1
C．90°，不存在 D．180°，不存在
[解析] 因为直线l过(1,0)和(1,2)两点，则直线l的斜率不存在，则其倾斜角为90°.
直线的斜率与方向向量的关系
(1)若直线l的斜率为k，则直线l的一个方向向量的坐标为_(1，k)__.
(2)若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，则直线l的斜率k＝ .
做一做：若直线l的倾斜角为135°，则直线l的一个方向向量的坐标为_(1，－1)__.
[解析] 直线l的斜率k＝tan 135°＝－1，则直线l的一个方向向量的坐标为(1，－1)．2．1.2 两条直线平行和垂直的判定
学习任务
1．能根据斜率判定两条直线平行或垂直．(重点)
2．能应用两条直线平行或垂直的关系解决相应的几何问题．(重点、难点)
核心素养
通过学习两条直线平行与垂直的判定，提升直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养.
两条直线平行与斜率之间的关系
类型 斜率存在 斜率不存在
前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°
对应关系 l1∥l2 _k1＝k2__ l1∥l2 两直线的斜率都不存在
图示
思考1：(1)两直线的斜率相等是两直线平行的充要条件吗？
(2)如何用斜率证明A，B，C三点共线？
提示：(1)不是，垂直于x轴的两条直线，虽然平行，但斜率不存在．
(2)可证明直线AB与直线AC的斜率相等，且两直线过同一点，从而A、B、C三点共线．
做一做：已知直线l的斜率k＝，点A(3,5)，B(x，－1)，C(7，y)是这条直线上的三个点，求x，y的值．
[解析] 由题意可知kAB＝KAC＝，即＝＝(x≠3)，解得x＝－9，y＝7.
两条直线垂直与斜率之间的关系
图示
对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在) _k1k2＝－1__ l1的斜率不存在，l2的斜率为0 _l1⊥l2__
思考2：“两条直线的斜率之积等于－1”是“这两条直线垂直”的充要条件吗？
提示：不是．“两条直线的斜率之积等于－1”可推出“这两条直线垂直”，但两条直线垂直时，除了斜率之积等于－1，还有可能一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在．
做一做：l1的斜率为－，l2经过点A(1,1)，B(0，m)，当l1⊥l2时，m的值为 － .
[解析] 由条件l1⊥l2得－×＝－1，解得m＝－.2．2.1 直线的点斜式方程
学习任务
1．了解由斜率公式推导直线的点斜式方程的过程．(难点)
2．掌握直线的点斜式方程与斜截式方程．(重点)
3．会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的问题．(难点、易错点)
核心素养
通过学习直线的点斜式方程及斜截式方程，提升逻辑推理及数学运算素养.
直线的点斜式方程和斜截式方程
类别 点斜式 斜截式
适用范围 斜率存在
已知条件 点P(x0，y0)和_斜率k__ 斜率k和在y轴上的_截距b__
图示
方程 _y－y0＝k(x－x0)__ _y＝kx＋b__
截距 直线l与y轴交点(0，b)的_纵坐标b__叫做直线l在y轴上的截距
思考1：经过点P0(x0，y0)且斜率不存在的直线能否用点斜式方程来表示？
提示：不能用点斜式表示，过点P0且斜率不存在的直线为x＝x0.
思考2：直线在y轴上的截距是距离吗？
提示：不是，距离和截距是两个不同的概念，距离非负，而截距是一个数值，可正、可负也可为0.
做一做：已知过点A(，2)的直线l的倾斜角为60°，则直线l的方程为( B )
A．y－2＝x－ B．y－2＝(x－)
C．y＋2＝(x＋) D．y＋2＝(x－)
[解析] 根据题意，直线l的倾斜角为60°，则其斜率k＝tan 60°＝，又由直线经过点(，2)，则直线l的方程为y－2＝(x－).
根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直
对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，
(1)l1∥l2 k1＝k2，且b1≠b2 ；
(2)l1⊥l2 k1k2＝－1 .
做一做：已知直线l1：y＝x＋2与l2：y＝－2ax＋1平行，则a＝ － .
[解析] 由l1∥l2得－2a＝1，解得a＝－.2.2.2 直线的两点式方程
学习任务
1．掌握直线的两点式方程的形式、特点及适用范围．(重点、易混点)
2．了解直线的截距式方程的形式、特点及适用范围．(重点)
3．能用直线的两点式方程和截距式方程解决有关问题．(难点)
核心素养
1．通过直线两点式方程的推导，提升逻辑推理素养．
2．借助直线的两点式方程和截距式方程的学习，培养直观想象和数学运算素养.
直线的两点式方程和截距式方程
名称 两点式 截距式
条件 两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2) 在x，y轴上的截距分别为a，b(a≠0，b≠0)
示意图
方程 ＝ ＋＝1
适用范围 _斜率存在且不为0__ _斜率存在且不为0，不过原点__
思考1：不能用直线的两点式方程表示的直线有什么特点？
提示：平行于坐标轴或与坐标轴重合．
思考2：一条直线的方程不能用两点式表示，同样也不能用截距式表示，反之，若一条直线的方程不能用截距式表示，是否也不能用两点式表示？
提示：当一条直线过原点且斜率存在时，不能用截距式表示，但可用两点式表示．
做一做：1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2的直线方程可以写为＝.( √ )
(2)截距相等的直线都可以用方程＋＝1表示．( × )
(3)能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示．( √ )
提示：(2)若a＝0，不能用＋＝1表示．
(3)能用两点式方程表示说明直线一定有斜率，所以可用点斜式方程表示．
2．过(1,2)，(5,3)的直线方程是( B )
A.＝ B．＝
C.＝ D．＝
[解析] 直线过(1,2)，(5,3)，
所以由两点式直线的方程得：＝.
3．直线－＝1在y轴上的截距是_－b2__.
[解析] 直线的截距式方程为＋＝1，因此直线在y轴上的截距是－b2.2．2.3 直线的一般式方程
学习任务
1．掌握直线的一般式方程．(重点)
2．理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线．(重点、难点)
3．会进行直线方程的五种形式之间的转化．(难点、易混点)
核心素养
通过学习直线五种形式的方程相互转化，提升逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养.
直线的一般式方程
关于x和y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程_Ax＋By＋C＝0__(其中A，B不同时为0)叫做直线的_一般式方程__，简称一般式．
提醒：解题时，如无特殊说明，应把最终结果化为一般式．
思考：在方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)中，A，B，C为何值时，方程表示的直线(1)平行于x轴；(2)与x轴重合；(3)平行于y轴；(4)与y轴重合．
提示：当A＝0时，方程变为y＝－，当C≠0时，表示的直线平行于x轴，当C＝0时，表示的直线与x轴重合；当B＝0时，方程变为x＝－，当C≠0时，表示的直线平行于y轴，当C＝0时，表示的直线与y轴重合．
做一做：判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线的一般式方程可以表示平面内任意一条直线．( √ )
(2)任何一条直线的一般式都能与其他四种形式互化．( × )
(3)关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)一定表示直线．( √ )
(4)对于二元一次方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0，B≠0时，方程表示斜率不存在的直线．( × )
直线的五种形式的方程
形式 方程 局限
点斜式 _y－y0＝k(x－x0)__ 不能表示斜率不存在的直线
斜截式 _y＝kx＋b__ 不能表示斜率不存在的直线
两点式 ＝ _x1≠x2，y1≠y2__
截距式 ＋＝1 不能表示_与坐标轴平行及过原点的直线__
一般式 _Ax＋By＋C＝0___(A，B不同时为0)__ 无
做一做：1.直线－2x＋y＋3＝0的斜率k＝( A )
A．2 B．－2
C． D．－
[解析] 直线方程化为斜截式为y＝2x－3，故斜率k＝2.
2．直线3x－2y－4＝0的截距式方程为( D )
A.－＝1 B．－＝1
C.－＝1 D．＋＝1
[解析] 由3x－2y－4＝0，得3x－2y＝4，即＋＝1.2．3.1 两条直线的交点坐标
2．3.2 两点间的距离公式
学习任务
1．能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标．(重点)
2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．(难点)
3．探索并掌握平面上两点间的距离公式．(重点)
核心素养
1．通过两直线交点坐标的学习，提升数学运算、直观想象的数学素养．
2．通过学习两点间的距离，培养逻辑推理和直观想象的数学素养.
两条直线的交点
1．两直线的交点
已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.点A(a，b)．
(1)若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有_A1a＋B1b＋C1＝0__.
(2)若点A是直线l1与l2的交点，则有
2．两直线的位置关系
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
方程组的解 一组 无数组 _无解__
直线l1与l2的公共点的个数 一个 _无数个__ 零个
直线l1与l2的位置关系 _相交__ 重合 _平行__
做一做：直线x＋y＝5与直线x－y＝3交点坐标是( B )
A．(1,2) B．(4,1)
C．(3,2) D．(2,1)
[解析] 解方程组得因此交点坐标为(4,1)，故选B.
两点间的距离
1．公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式 |P1P2|＝ .
特别提醒：此公式与两点的先后顺序无关．
2．原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离 |OP|＝ .
做一做：已知直角坐标平面上连接点(－2,5)和点M的线段的中点是(1,0)，那么点M到原点的距离为( B )
A．41 B．
C. D．39
[解析] 设M(x，y)，由题意得
解得
所以M(4，－5)．则M到原点的距离为
＝.2．3.3 点到直线的距离公式
2．3.4 两条平行直线间的距离
学习任务
1．探索并掌握点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式．
2．会求点到直线的距离与两平行直线间的距离．
核心素养
通过研究点到直线及两平行线间的距离公式，提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养.
点到直线的距离
(1)定义：点到直线的距离，就是点到直线的垂线段的长度．
(2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ .
思考1：(1)在使用点到直线距离公式时对直线方程有什么要求？
(2)点P(x0，y0)到直线x＝a和直线y＝b的距离能否用点到直线的距离公式？有没有更简单的方法．
提示：(1)直线方程应为一般式．
(2)可以用点到直线的距离公式求解，也可以用下列方法求解：
P(x0，y0)到x＝a的距离d＝|a－x0|；
P(x0，y0)到y＝b的距离d＝|b－y0|.
做一做：原点到直线x＋2y－5＝0的距离d＝ .
[解析] d＝＝.
两条平行直线间的距离
(1)定义：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的_公垂线段__的长．
(2)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝.
思考2：(1)在使用两平行线间距离公式时，对直线方程的形式有何要求？
(2)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，两条平行直线间的距离如何求？
提示：(1)两直线的方程为一般式且x，y的系数分别相同．
(2)①两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|；
②两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|.
做一做：已知直线l1：x＋y－1＝0，l2：x＋y＋a＝0，且两直线间的距离为，则a＝_1或－3__.
[解析] 由＝得a＋1＝±2，解得a＝1或－3.2．4.1 圆的标准方程
学习任务
1．会用定义推导圆的标准方程，掌握圆的标准方程的特点．(重点)
2．会根据已知条件求圆的标准方程．(重点、难点)
3．能准确判断点与圆的位置关系．(易错点)
核心素养
通过对圆的标准方程的学习，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养.
圆的标准方程
(1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r.
(2)方程：_(x－a)2＋(y－b)2＝r2__.
(3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是_x2＋y2＝r2__.
思考：方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝m2一定是圆的方程吗？若方程表示圆，m满足什么条件？此时圆的圆心和半径分别是什么？
提示：当m＝0时，方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝m2表示点(－a，－b)．
当m≠0时，方程表示圆，此时圆的圆心为(－a，－b)，半径为|m|.
做一做：1.圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是( D )
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9
B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3
D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9
[解析] 由圆的标准方程得，圆的方程是(x－1)2＋(y＋2)2＝9，故选D.
2．若圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心坐标为_(1，－5)__，半径为 .
点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法
位置关系 利用距离判断 利用方程判断
点M在圆上 |CM|_＝__r (x0－a)2＋(y0－b)2_＝__r2
点M在圆外 |CM|_>__r (x0－a)2＋(y0－b)2_>__r2
点M在圆内 |CM|_<__r (x0－a)2＋(y0－b)2_<__r2
做一做：点P(－2，－2)和圆x2＋y2＝4的位置关系是( B )
A．在圆上 B．在圆外
C．在圆内 D．以上都不对
[解析] ∵(－2)2＋(－2)2＝8>4，
∴点P(－2，－2)在圆外，故选B.2.4.2 圆的一般方程
学习任务
1．掌握圆的一般方程及其特点．(重点)
2．会将圆的一般方程化为圆的标准方程，会由一般式求圆心和半径．(易混点)
3．能根据某些具体条件，运用待定系数法求圆的方程．(重点、难点)
核心素养
1．通过圆的一般方程的推导，提升逻辑推理、数学运算的数学素养．
2．通过学习圆的一般方程的应用，培养数学运算的数学素养.
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0变形为：
2＋2＝，
(1)当D2＋E2－4F>0时，方程表示圆，圆心为 ，半径为 .
(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示点 .
(3)当D2＋E2－4F<0时，方程不表示任何图形．
提醒：一般地，二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是：A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.
做一做：1.圆x2＋y2－6x＝0的圆心坐标是 (3,0) ，半径长是 3 .
[解析] 方程x2＋y2－6x＝0可化为(x－3)2＋y2＝9，
则圆心坐标为(3,0)，半径长为3.
2．方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是_(－∞，－1)__.
[解析] 由x2＋y2－2x＋2k＋3＝0得(x－1)2＋y2＝－2k－2，因为方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，所以－2k－2>0，解得k<－1.
圆的一般方程
(1)方程：当_D2＋E2－4F>0__时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程．
(2)本质：圆的方程的另一种表示形式，更具有方程特征．
思考：(1)圆的一般方程有什么特征？
(2)如果点P(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0内，那么应满足什么关系式？圆外呢？
提示：(1)①x2和y2的系数相同且不为0；②没有xy项．
(2)若点P在圆内，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0；若点P在圆外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.
做一做：1.若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F＝ 4 .
[解析] 以(2，－4)为圆心，4为半径的圆的方程为(x－2)2＋(y＋4)2＝16，即x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，故F＝4.
2．已知圆C的一般方程为x2＋y2＋2ax＋9＝0，它的圆心C(5,0)，则圆C的半径r＝_4__.
[解析] 由x2＋y2＋2ax＋9＝0得(x＋a)2＋y2＝a2－9.由－a＝5得a＝－5，所以r2＝16.所以圆C的半径r＝4.
