甘肃省酒泉市实验中学2023-2024学年第二学期期中考试高二数学试卷（图片版含答案）

参考答案
一、二选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
D B C C A D A D ABD BC ACD
三、填空题：
12.8 13.1 14. 6
四、解答题
15(1) 令 ′( ) = 2 2 3 = 0 ,得 = 1 或 = 3 .
则当 变化时， ( ) 与 ′( ) 的变化情况 如下表
( ∞, 1) 1 ( 1,3) 3 (3,+∞)
′( ) + 0 - 0 +
( ) 递增 8 递减 8 递增
3
∴ 函数 ( ) 的单调递增区间是( ∞, 1), (3,+∞),
函数 ( ) 的单调递减区间是 ( 1,3) ;
8
当 = 1 时， ( ) 取得极大值，极大值为 ;
3
当 = 3 时, ( ) 取得极小值,极小值为 -8 .
1
(2) ( ) = 3 2 3 + 1 , ′( ) = 2 2 3,
3
从而 (0) = 1, ′(0) = 3 ,
因此，函数 ( ) 点 = 0 处的切线方程为: = 3 + 1 .
16．(1) 连接 ,因为 , 分别是 , 的中点,
则 // ,且 平面 , 平面 ,
所以 // 平面 .
（2）由题意, , , 两两互相垂直,以 为坐标原点,射线 、 、 分别为 轴、 轴的正半轴
建立空间直角坐标系, 如图,
1
菱形 中, ∠ = 60 ,所以 = 2 = 2,
在 Rt △ 中 = √ 2 2 = √3,
因为 ⊥ 底面 ,所以 与底面
所成的角为 ∠ = 60 ,所以 = tan60 = √3,
则点 、 、 、 的坐标分别是 (0 √3, 0), (1,0,0), ( 1,0,0), (0,0, √3)
1 √3
是 的中点,则 ( , 0, ) ,于是
2 2

3 √3
= ( , 0, ) , = (0,√3, √3) .
2 2
设 , 的夹角为 ,则有
3
√2
cos = 2 =
9 3 4
√ + √3+3
4 4
√14
异面直线 与 所成角的余弦值为 ;
4
17．(1) 由题意可知,当 = 6 时,

( ) = 5 ,即 + 10 = 15 ,
2
解得 = 10 ,
10
∴ ( ) = + 10( 7)2 ,
4
(4 < < 7)
(2)商场每日销售 系列所获得的利润为 ( ),
2
10
则 ( ) = ( 4) [ + 10( 7)2]
4
= 10 3 180 2 + 1050 1950
, (4 < < 7),
即 ′( ) = 30 2 360 + 1050 ,
令 ′( ) = 30 2 360 + 1050 = 0
，解得 = 5 或 = 7 (舍去),
∴ 当 4 < < 5 时, ′( ) > 0 ,函数 ( ) 单调递增，
当 5 < < 7 时, ′( ) < 0 ,函数 ( ) 单调递减,
∴ 当 = 5 时，函数 ( ) 在区间 (4,7) 内取的极大值点，也是最大值点,
∴ ( )max = (5) = 50,
.:当售价格 5元/千克时，该商场每日销售 系列所获得的利润最大.
30
（1）由题意可得，n = =100，
0.03 10
10 (0.005+ a + 0.02+ 0.03+ 0.025+ 0.005) =1，
解得a = 0.015 .
（2）平均数为 (45 0.005+55 0.015+ 65 0.02+ 75 0.03+85 0.025+95 0.005) 10 = 72.
因为 (0.005+ 0.015+ 0.02) 10 = 0.4,(0.005+ 0.015+ 0.02+ 0.03) 10 = 0.7，
所以中位数在 (70,80)之间，设中位数为 x，
则 (0.005+ 0.015+ 0.02) 10+ (x 70) 0.03 = 0.5，解得 x 73.33.
3
18.证明: (1) 以 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系 ,
设正方体 1 1 1 1 中棱长为 2，则 (0,0,1), (2,0,0), (0,2,0), 1(2,2,2) ,
所以 = (2,0, 2), = (0,1, 2),
= (0,2,2), 1 1 = ( 2, 2,2),
设平面 1 的法向量 = ( , , ) ,
= 2 + 2 = 0
则 { ,取
1 = 2 + 2 = 0
= 1 ,得 = (1,1, 1) .
1 = 2 , ∴ 1 ⊥ 平面 1 .
(2) 设平面 的法向量 = ( , , )
= 2 + = 0
则 { ,取
= 2 + 2 = 0
= 1 ,得 = (1,1,2) ,
→ →
∵ = 1 + 1 2 = 0,
∴ 平面 ⊥ 平面 1 .
19．(1) 由题意知 ′( ) = 3 2 ,
4
因为 ( ) 在 = 2 处取得极小值 ,
3
4
(2) = 8 2 + 4 =
则 { 3 ,解
′(2) = 12 = 0
1
得 = , = 4 ,经检验,满足题意,
3
1
所以 = , = 4 ,
3
1
所以 ( ) = 3 4 + 4 ;
3
1
（2）(2) ( ) = 3 4 + 4, ′( ) = 2 4 = ( 2)( + 2)
3
令 ′( ) = 0 ,得 = 2 或 = 2
x ( ∞, 2) 2 ( 2,2) 2 (2,+∞)
4
x ( ∞, 2) 2 ( 2,2) 2 (2,+∞)
′′( ) + 0 - 0 +
( ) 单调递增 单调递减 单调进行
( ) 的单调递增区间为: ( ∞, 2), (2,+ ∞) ;
( ) 的单调递减区间为 ( 2,2) .
(3)令 ′( ) = 0 解得 = 2 或 = 2
当 < 2 时, ′( ) > 0, ( ) 单调递增,
当 2 < < 2 时, ′( ) < 0 , ( ) 单调递减，
当 > 2 时， ( ) 单调递增,
28 4
则 ( 2) = , (2) = ,
3 3
→ +∞ 时， ( ) → +∞ ，
→ ∞ 时, ( ) → ∞ ,
方程 ( ) + = 0 有且只有一个实数根等价于 = ( ) 有且只有一个实数根，
4 28
等价于函数 = 与 = ( ) 有且只有一个交点,即 < 或 >
3 3
28 4
解得 < 或 > ,
3 3
28 4
所以 的范围为( ∞, ) ∪ ( ,+∞) .
3 3
5