(共25张PPT)
章末知识梳理
知识体系构建
要点专项突破
1.空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面向量是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念，加减法的三角形法则和平行四边形法则，数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等等；向量的基底表示和坐标表示是向量运算的基础．
2．向量的运算过程较为繁杂，要注意培养学生的数学运算能力．
要点一
空间向量的概念及运算
1．(1)(多选题)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.以下选项正确的是( )
(2)已知向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，a∥b，b⊥c.
①求向量a，b，c；
②求a＋c与b＋c所成角的余弦值．
BCD
1.用空间向量判断空间中位置关系的类型有：线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直；判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量，利用向量的共线和垂直进行证明．
2．将立体几何的线面关系转化为向量间的关系，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力．
要点二
利用空间向量证明位置关系
2.在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点．
(1)求证：BM∥平面PAD；
(2)平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定N的位置；若不存在，说明理由．
[解析] (1)证明：以A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(0，2,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，M(1,1,1)，
1.空间距离的计算思路
(1)点P到直线l的距离：
要点三
利用空间向量计算距离
2．通过利用向量计算空间的角，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力．
3．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝6，AA1＝4，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且|CP|＝2，Q是DD1的中点，求：
(1)M到直线PQ的距离；
(2)M到平面AB1P的距离．
[解析] 如图，建立空间直角坐标系Bxyz，则A(4,0,0)，M(2,3,4)，P(0,4,0)，Q(4,6,2)，B1(0,0,4)．
(1)求两异面直线所成的角
要点四
利用空间向量求空间角
(2)求直线与平面所成的角
(3)求二面角
设n1、n2分别是平面α、β的法向量，二面角为θ，则θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉(需要根据具体图形判断是相等还是互补)．
4．(2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝2，A1到平面BCC1B1的距离为1.
(1)证明：A1C＝AC；
(2)已知AA1与BB1的距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值．
[解析] (1)证明：如图，过A1作A1D⊥CC1，垂足为D，
∵A1C⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴A1C⊥BC，
又∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，
∵A1C，AC 平面ACC1A1，且A1C∩AC＝C，
∴BC⊥平面ACC1A1，
∵A1D 平面ACC1A1，∴BC⊥A1D，
又CC1，BC 平面BCC1B1，且CC1∩BC＝C，
∴A1D⊥平面BCC1B1，∴A1D＝1.
由已知条件易证△CA1C1是直角三角形，又CC1＝AA1＝2，A1D＝1，∴D为CC1的中点，又A1D⊥CC1，
∴A1C＝A1C1，又在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝A1C1，∴A1C＝AC.(共42张PPT)
1．4 空间向量的应用
1．4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
第2课时 夹角问题
素养目标 定方向
1．能用向量语言表述线线、线面、平面与平面的夹角．(重点、易混点)
2．能用向量方法解决线线、线面、平面与平面的夹角问题．(重点、难点)
3．能描述用向量方法解决夹角问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用．
1．通过学习线线、线面、平面与平面的向量表示，提升直观想象素养．
2．通过利用向量方法解决线线、线面、平面与平面的夹角问题，提升逻辑推理和数学运算素养.
必备知识 探新知
两个平面的夹角
知识点 1
平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中_______________的二面角称为平面α与平面β的夹角．
不大于90°
思考：(1)二面角与平面角的夹角范围一样吗？
(2)设n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，平面α1与平面α2的夹角为θ，则θ与〈n1，n2〉的关系是什么？
A．120° B．30°
C．60° D．30°或150°
B
空间角的向量法解法
知识点 2
|cos〈u，n〉|
A．30° B．60°
C．150° D．120°
B
2．设两条异面直线a，b的方向向量分别为a＝(－1,1,0)，b＝(0，
－1,1)，则a与b所成的角为______.
关键能力 攻重难
1．(1)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )
题型探究
题型一
利用向量方法求两异面直线所成角
D
(2)已知四面体OABC的各棱长均为1，D是棱OA的中点，则异面直线BD与AC所成角的余弦值为( )
C
[规律方法] 求异面直线所成角的关注点
(1)原理：空间向量的夹角公式；
(2)方法：坐标法、基向量法；
已知直角梯形ABEF，∠A＝∠B＝90°，AB＝1，BE＝2，AF＝3，C为BE的中点，AD＝1，如图1，沿直线CD折成直二面角，连接部分线段后围成一个空间几何体(如图2)，则异面直线BD与EF所成角的大小为______.
对点训练
[解析] 以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DF所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
题型二
利用向量方法求直线与平面所成角
2.如图所示，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．
(1)证明：MN∥平面PAB；
(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．
[分析] (1)线面平行的判定定理 MN∥平面PAB.
(2)利用空间向量计算平面PMN与AN方向向量的夹角 直线AN与平面PMN所成角的正弦值．
又AD∥BC，故TN綉AM，所以四边形AMNT
为平行四边形，于是MN∥AT.
因为AT 平面PAB，MN 平面PAB，所以MN∥平面PAB.
[规律方法] 若直线l与平面α的夹角为θ，利用法向量计算θ的步骤如下：
对点训练
[解析] 以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
题型三
利用向量方法求两个平面的夹角
3.如图，在正方体ABEF－DCE′F′中，M，N分别为AC，BF的中点，求平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值．
[分析] 有两种思路，一是先根据二面角平面角及两个平面夹角的定义，在图形中作出二面角的平面角，然后利用向量方法求出向量夹角从而得到两平面夹角的大小；另一种是直接求出两个面的法向量，通过法向量的夹角求得两平面夹角的大小．
如图所示，四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1.求平面SAB和平面SCD夹角的余弦值．
对点训练
课堂检测 固双基
A
2．在一个二面角的两个半平面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1,3)，(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为( )
D
4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为
______.(共41张PPT)
1．4 空间向量的应用
1．4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
第1课时 距离问题
素养目标 定方向
1．能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题．(重点)
2．能描述解决距离问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用．(难点、易混点)
空间中点、线、面距离的相互转化，培养直观想象和数学运算素养.
必备知识 探新知
点P到直线l的距离
知识点 1
思考1：点到直线的距离与两条平行直线之间的距离有什么关系？
提示：在两条平行直线中的一条上取一定点，该点到另一条直线的距离即为两条平行直线的距离．
做一做：如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别为AB，CC1的中点，则点D到直线GF的距离为______.
点P到平面α的距离
知识点 2
设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点
P到平面α的距离为____________(如图)．
思考2：怎样利用向量方法求直线到直线的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离？
提示：两条直线平行，其中一条直线到另一条直线间的距离是其中一条直线上任一点到另一条直线的距离；一条直线和一个平面平行，直线到平面的距离就是这条直线上任一点到这个平面的距离；两个平面平行，平面到平面的距离就是一个平面上任一点到这个平面的距离．
做一做：已知四面体ABCD的顶点分别为A(2,3,1)，B(1,0,2)，C(4,3，－1)，D(0,3，－3)，则点D到平面ABC的距离为________.
关键能力 攻重难
1．(1)已知三棱锥O－ABC中，OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA，且OA＝1，OB＝2，OC＝2，则点A到直线BC的距离为( )
题型探究
题型一
利用空间向量求点线距
(2)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，则点B到直线A1C1的距
离为______.
B
(2)以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，A1(4,0,1)，C1(0,3,1)，
[规律方法] 用向量法求点到直线的距离的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)求直线的单位方向向量u；
(3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量a；
四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，E，F分别为PB，PD的中点，则P到直线EF的距离为( )
对点训练
D
题型二
利用空间向量求点面距、线面距
2．如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．
(1)求点D到平面PEF的距离；
(2)求直线AC到平面PEF的距离．
[解析] (1)建立如图所示的空间直角坐标系，
对点训练
[解析] 取AC的中点O，连接OS，OB.
∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO.
∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC，∴SO⊥平面ABC.
又BO 平面ABC，∴SO⊥BO.
又∵△ABC为正三角形，O为AC的中点，
∴AO⊥BO.
如图所示，分别以OA，OB，OS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，
题型三
利用空间向量求面面距
3.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在棱BB1上，EB1＝1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于点H.
(1)求证：B1D⊥平面ABD；
(2)求证：平面EGF∥平面ABD；
(3)求平面EGF与平面ABD的距离．
[分析] 根据两个平行平面间距离的定义，可将平面与平面间的距离转化为一个平面内一点到另一个平面的距离，即点面距．
[规律方法] 求两个平行平面的距离，先在其中一个平面上找到一点，然后转化为该点到另一个平面的距离求解．注意：这个点要选取适当，以方便求解为主．
如图，已知棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平
面EFBD的距离为______.
对点训练
课堂检测 固双基
1．已知直线l过定点A(2,0,1)，且方向向量为m＝(－2,1，－1)，则点P(1,1,1)到直线l的距离为( )
D
2．如图，点P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，Q为线段AP的中点，AB＝3，BC＝4，PA＝2，则点P到平面BQD的距离为( )
B
[解析] 如图，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(3,0,0)，D(0,4,0)，P(0,0,2)，Q(0,0,1)，
3．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，且两平面的一个法向量n＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是( )
B
4．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，
B1C1的中点，则直线MN到平面ACD1的距离为______.
[解析] 如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．(共44张PPT)
1．4 空间向量的应用
1．4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第2课时 空间中直线、平面的垂直
素养目标 定方向
1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．
2．熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的垂直关系．(重点、难点)
借助用空间向量证明线面和面面垂直的学习，提升数学运算和逻辑推理素养.
必备知识 探新知
空间中垂直关系的向量表示
知识点
设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则
线线垂直 l1⊥l2 ______________ __________________
线面垂直 l1⊥α ______________ __________________________
面面垂直 α⊥β ______________ __________________
u1⊥u2
u1·u2＝0
u1∥n1
λ∈R，u1＝λn1
n1⊥n2
n1·n2＝0
思考：怎样用语言叙述利用直线的方向向量与平面的法向量判断垂直关系？
提示：(1)若证线线垂直，则证直线的方向向量垂直；
(2)若证线面垂直，则证直线的方向向量与平面的法向量平行；
(3)若证面面垂直，则证两平面的法向量垂直．
做一做：1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若两条直线的方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交．( )
(2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.( )
(3)两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直．( )
(4)若两平面α，β的法向量分别为μ1＝(1,0,1), μ2＝(0,2,0)，则平面α，β互相垂直．( )
×
√
×
√
提示：(1)两条直线可能异面垂直．
(2)根据线面垂直的定义可知．
(3)也可能平行．
(4)由μ1·μ2＝0知μ1⊥μ2，从而α⊥β.
C
关键能力 攻重难
1.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA＝AB＝1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．求证：无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF.
题型探究
题型一
利用向量方法证明线线垂直
[分析] 只需证明直线PE与AF的方向向量互相垂直即可．
[规律方法] 利用向量方法证明线线垂直的方法
(1)坐标法：建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出两直线方向向量的坐标，然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直．
(2)基向量法：利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律，结合图形，将两直线所在的向量用基向量表示，然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直．
如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点．求证：EF⊥BC.
对点训练
题型二
利用向量方法证明线面垂直
2．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分别为棱AB，BC，B1B的中点．求证：D1M⊥平面EFB1.
[规律方法] 坐标法证明线面垂直的两种思路
(1)根据线面垂直的判定定理证明：
求出直线的方向向量，在平面内找两条相交直线，并分别求出表示它们的方向向量，计算两组向量的数量积为0，得到该直线与平面内的两条相交直线都垂直．
(2)法向量法：
求出直线的方向向量与平面的法向量，向量法判断直线的方向向量与平面的法向量平行．
如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．
求证：AB1⊥平面A1BD.
对点训练
[证明] 如图所示，取BC的中点O，连接AO.因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC.因为正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，
题型三
利用向量方法证明面面垂直
3．如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD.
[分析] 建立空间直角坐标系，求出相应的坐标．
思路一：在平面BDE内找到AS的平行线，根据AS⊥平面ABCD可得结论；思路二：分别求出平面BDE，平面ABCD的法向量，证明两个法向量垂直．
[规律方法] 证明面面垂直的三种方法
(1)证明其中一个平面过另一个平面的垂线，即转化为证明线面垂直．
(2)证明两平面的法向量垂直．
(3)证明一个平面的法向量平行于另一个平面．
如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C.
对点训练
[证明] 由题意得AB，BC，B1B两两垂直．以B为原点，BA，BC，BB1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
课堂检测 固双基
1．如果直线l的方向向量是a＝(－2,0,1)，且直线l上有一点P不在平面α内，平面α的法向量是b＝(2,0,4)，那么( )
A．l⊥α B．l∥α
C．l α D．l与α斜交
[解析] ∵a·b＝－4＋4＝0，
∴a⊥b，又∵l α，∴l∥α.
B
2．若平面α，β的法向量分别为a＝(2，－1,0)，b＝(－1，－2,0)，则α与β的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．无法确定
[解析] ∵a·b＝2×(－1)＋(－1)×(－2)＝0，
∴a⊥b，∴α⊥β，故选B.
B
ABC
PM⊥AM(共56张PPT)
1．4 空间向量的应用
1．4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示
及空间中直线、平面的平行
素养目标 定方向
1．理解直线的方向向量与平面的法向量，会求一个平面的法向量．(重点)
2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系．
3．熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的平行关系．(重点、难点)
1．通过空间中点、直线和平面的向量表示的学习，培养直观想象和逻辑推理素养．
2．通过直线的方向向量和平面的法向量的学习，提升数学运算的核心素养．
3．借助利用空间向量解决平行问题的学习，提升数学运算及逻辑推理素养．
必备知识 探新知
空间中点的位置向量
知识点 1
空间中直线的向量表示式
知识点 2
直线l的方向向量为a，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使
a
做一做：判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)零向量不能作为直线的方向向量．( )
(2)若向量v是直线l的方向向量，则λv(λ≠0)也是直线l的方向向量．( )
(3)直线l的方向向量都平行，且方向相同．( )
√
√
×
空间中平面的向量表示式
知识点 3
1.平面ABC的向量表示式
我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式．
2．平面的法向量
方向向量a
做一做：判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面α的所有法向量都平行，且同向．( )
(2)若n是平面α的一个法向量，则λn(λ∈R)也是平面α的一个法向量．( )
(3)向量i＝(1,0,0)是坐标平面Oyz的一个法向量．( )
提示：(1)法向量也可能方向相反．
(2)当λ＝0时，λn＝0，不能作为平面的法向量．
(3)x轴垂直于坐标平面Oyz.
×
×
√
空间中直线、平面平行的向量表达式
知识点 4
位置关系 向量表达式
线线平行 设μ1，μ2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2 μ1∥μ2 λ∈R，使得____________
线面平行 设μ是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l α，则l∥α μ⊥n __________
面面平行 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β n1∥n2 λ∈R，使得____________
μ1＝λμ2
μ·n＝0
n1＝λn2
思考3：怎么利用向量证明或判定直线和平面的位置关系？
提示：证明或判定直线和平面的位置关系有两类思路
(1)转化为线线关系，然后利用两个向量的关系进行判定；(2)利用直线的方向向量和平面的法向量进行判定．
做一做：1.若平面β外的一条直线l的方向向量是u＝(－1,2，－3)，平面β的法向量为n＝(4，－1，－2)，则l与β的位置关系是_________.
[解析] 由u·n＝(－1)×4＋2×(－1)＋(－3)×(－2)＝0知，l∥β.
2．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－4，－8,4)，则平面α，β的位置是_________.
[解析] 由v＝－4u知u∥v，所以α∥β.
l∥β
α∥β
关键能力 攻重难
题型探究
题型一
平面法向量及其求法
[规律方法] 利用待定系数法求平面法向量的步骤
(1)设平面的法向量为n＝(x，y，z)．
(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．
本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量？
对点训练
题型二
利用向量方法证明线线平行
2．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，点P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点．求证：PQ∥RS.
[证明] 方法一：以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
[规律方法] 向量法证明直线平行的两种思路
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段A1D上，点Q在线段AC上，线段PQ与直线A1D和AC都垂直，求证：PQ∥BD1.
对点训练
[证明] 以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1，1,0)，C(0,1,0)，A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，
题型三
利用向量方法证明线面平行
3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.
方法三：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图．
[规律方法] 利用空间向量证明线面平行的方法
(1)利用共面向量法：证明直线的方向向量p与平面内的两个不共线向量a，b是共面向量，即满足p＝xa＋yb(x，y∈R)，则p，a，b共面，从而可证直线与平面平行．
(2)利用共线向量法：证明直线的方向向量p与该平面内的某一向量共线，再结合线面平行的判定定理即可证明线面平行．
(3)利用法向量法：求出直线的方向向量与平面的法向量，证明方向向量与法向量垂直，从而证明直线与平面平行．
在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．证明：PA∥平面EDB.
对点训练
题型四
利用向量方法证明面面平行
4．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO
[分析] 建立空间直角坐标系，设出点Q的坐标，然后可根据面面平行的判定定理转化为向量共线问题或者利用两个平面的法向量共线进行证明．
[解析] 如图所示，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，在CC1上任取一点Q，连接BQ，D1Q.
[规律方法] 利用空间向量证明面面平行的方法
(1)转化为线面平行、线线平行，然后借助向量共线进行证明．
(2)通过证明两个平面的法向量平行证明．
如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：平面EFG∥平面PBC.
对点训练
[证明] 因为平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD，
所以AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1,2,0)．
课堂检测 固双基
1．若A(1,0，－1)、B(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是( )
A．(2,2,6) B．(－1,1,3)
C．(3,1,1) D．(－3,0,1)
A
2．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )
A．(0，－3,1) B．(2,0,1)
C．(－2，－3,1) D．(－2,3，－1)
[解析] 求与n共线的一个向量．易知(2，－3,1)＝－(－2,3，－1)．
D
[解析] ∵b＝－2a，∴b∥a，∴α∥β或α与β重合．
D
5．已知平面α经过点O(0,0,0)，且e＝(1,2，－3)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是_____________________.
x＋2y－3z＝0(共31张PPT)
1．3 空间向量及其运算的坐标表示
1．3.2 空间向量运算的坐标表示
素养目标 定方向
1．掌握空间向量运算的坐标表示，并据此会判断两个向量是否共线或垂直．(重点)
2．掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题．(重点、难点)
1．通过空间向量的坐标运算及空间向量夹角及长度的学习，培养数学运算素养．
2．借助利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题，提升数学运算及逻辑推理素养．
必备知识 探新知
空间向量的坐标运算
知识点 1
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a＋b a＋b＝__________________________
减法 a－b a－b＝__________________________
数乘 λa λa＝_________________，λ∈R
数量积 a·b a·b＝_________________
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
(λa1，λa2，λa3)
a1b1＋a2b2＋a3b3
做一做：已知空间向量m＝(1，－3,5)，n＝(－2,2，－4)，则m＋n＝_____________,3m－n＝_______________，(2m)·(－3n)＝_________.
[解析] m＋n＝(1,－3,5)＋(－2,2,－4)＝(－1,－1,1)；3m－n＝3(1, －3,5)－(－2,2,－4)＝(3,－9,15)－(－2,2,－4)＝(5,－11,19)；(2m)·(－3n)＝(2，－6,10)·(6,－6,12)＝2×6＋(－6)×(－6)＋10×12＝168.
(－1，－1,1)
(5，－11,19)
168
空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示
知识点 2
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
做一做：判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a＝(0,0,1)，b＝(1,0,0)，则a⊥b.( )
(2) 已知a＝(x1，y1，z1)，若x1＝y1＝z1＝1，则a为单位向量．( )
√
×
×
空间两点间的距离公式
知识点 3
(1，－1，－1)
关键能力 攻重难
1．(1)若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x的值为( )
A．－2 B．2
C．0 D．1
题型探究
题型一
空间向量的坐标运算
B
[解析] (1)由(c－a)·(2b)＝－2，即2b·c－2a·b＝－2，则b·c－a·b＝－1，所以1＋2＋1－(1＋2＋x)＝－1，得x＝2.
[规律方法] 关于空间向量坐标运算的两类问题
(1)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算；
(2)由条件求向量或点的坐标：首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程组求出其坐标．
(1)已知a＝(－1,2,1)，b＝(2,0,1)，则(2a＋3b)·(a－b)＝_______.
对点训练
－4
4
题型二
利用空间向量的坐标运算解决平行与垂直问题
2．已知a＝(λ＋1,1,2λ)，b＝(6,2m－1,2)．
(1)若a∥b，分别求λ与m的值；
[分析] (1)根据向量平行，设(λ＋1,1,2λ)＝k(6,2m－1,2)，列出方程组，即可得出λ与m的值；
(2)由向量垂直以及模长公式得出λ的值，即可求出向量a.
[规律方法] 向量平行与垂直问题主要题型
(1)平行与垂直的判断．
(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用．解题时要注意：①适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的．
(1)已知非零空间向量a，b，c，若a∥c，b∥c，且a＝(x，－2，－4)，b＝(－4,2,4)，则x＝( )
A．4 B．2
C．－4 D．－2
(2)已知向量a＝(1,2,3)，b＝(2,1，k)，若a⊥(a＋b)，则k的值为________.
对点训练
A
－6
题型三
空间向量夹角及长度的计算
3.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是AA1，CB1的中点．
(1)求BM，BN的长；
(2)求△BMN的面积．
[规律方法] 利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤
对点训练
课堂检测 固双基
1．已知a＝(1，－2,1)，a＋b＝(－1,2，－1)，则b＝( )
A．(2，－4,2) B．(－2,4，－2)
C．(－2,0，－2) D．(2,1，－3)
[解析] b＝(a＋b)－a＝(－1,2，－1)－(1，－2,1)＝(－2,4，－2)，故选B.
B
2．已知向量a＝(1,0,1)，b＝(2,0，－2)，若(ka＋b)·(a＋kb)＝2，则k的值等于( )
D
3．如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1，A1C的中点E到AB的中点F的距离为( )
B(共33张PPT)
1．3 空间向量及其运算的坐标表示
1．3.1 空间直角坐标系
素养目标 定方向
1．了解空间直角坐标系．(易混点)
2．掌握空间直角坐标系中点的坐标和向量的坐标的概念．(重点)
3．能在空间直角坐标系中表示空间中点的坐标和向量的坐标．(重点、难点)
1．通过建立空间直角坐标系，确定点的坐标，提升数学抽象的核心素养．
2．通过空间向量的坐标表示，培养数学运算的核心素养.
必备知识 探新知
空间直角坐标系
知识点 1
1．空间直角坐标系及相关概念
(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：___________________.它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.
(2)相关概念：_____叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为_________平面、_________平面、_________平面，它们把空间分成八个部分．
x轴、y轴、z轴
O
Oxy
Oyz
Ozx
2．右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向_______的正方向，食指指向_______的正方向，如果中指指向_______的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
x轴
y轴
z轴
做一做：判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)空间直角坐标系中x轴与y轴的夹角为45°.( )
(2)空间直角坐标系中有三个坐标平面，它们把空间分成四个部分．( )
(3)在空间中可建立无数个空间直角坐标系．( )
提示：(1)空间直角坐标系中，三条坐标轴相互垂直．
(2)空间直角坐标系中，三个坐标平面把空间分成8个部分．
(3)原点位置不同，就得到不同的空间直角坐标系.
×
×
√
空间一点的坐标
知识点 2
有序实数组(x，y，z)
A(x，y，z)
x
y
z
思考1：空间直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标有何特征？
提示：x轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0，即(x,0,0)．
y轴上的点的横坐标、竖坐标都为0，即(0，y,0)．
z轴上的点的横坐标、纵坐标都为0，即(0,0，z)．
[解析] 垂足Q为点P在Oxy平面上的射影，其横、纵坐标与点P的相同，竖坐标为0.
D
空间向量的坐标
知识点 3
思考2：空间向量的坐标和空间向量终点的坐标有什么关系？
提示：当空间向量的起点在原点时，空间向量的坐标恰好是空间向量终点的坐标．
做一做：设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，则向量a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k的坐标分别是___________________.
(3,2，－1)，(－2,4,2)
关键能力 攻重难
1．在正四棱锥V－ABCD中，O为底面中心，若AB＝2，VO＝3，以底面中心O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，确定各顶点的坐标．
题型探究
题型一
空间中点的坐标表示
[解析] 因为顶点V在z轴正半轴上，且VO＝3，所以它的横坐标与纵坐标都是0，所以点V的坐标是(0,0,3)．因为A，B，C，D四点都在Oxy平面上，所以它们的竖坐标都是零．又因为AB＝2，O为底面中心，所以点A的坐标是(1，－1,0)，点B的坐标是(1,1,0)，点C的坐标是(－1,1,0)，点D的坐标是(－1，－1,0)．
画一个正方体ABCD－A1B1C1D1，若以A为坐标原点，以棱AB，AD，AA1所在的直线分为x轴、y轴、z轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则
(1)顶点A，D1的坐标分别为__________________；
(2)棱C1C中点的坐标为________________；
(3)正方形AA1B1B对角线的交点的坐标为_______________.
对点训练
(0,0,0)，(0,1,1)
题型二
空间向量的坐标表示
[规律方法] 用坐标表示空间向量的步骤如下：
对点训练
题型三
空间向量坐标的应用
角度1 对称问题
3．在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)．
(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；
(2)求点P关于Oxy平面的对称点的坐标；
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标．
[解析] (1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为(－2，－1，－4)．
(2)由于点P关于Oxy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为(－2，1，－4)．
(3)设对称点为P1(x，y，z)，则点M为线段PP1的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，
y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，
所以P1(6，－3，－12)．
4.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C的中点，求线段MN的长度．
[解析] 如图所示，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
[规律方法] 1.空间对称问题的特点
空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．
2．利用向量法求空间两点距离的方法
(1)建系，确定两点坐标．
已知点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为_____________.
[解析] 点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为(2,3,1)，点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为(－2,3,1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3，1)．
对点训练
(2，－3,1)
课堂检测 固双基
1．点P(3,0,2)在空间直角坐标系中的位置是在( )
A．y轴上 B．Oxy面上
C．Ozx面上 D．Oyz面上
[解析] 因为P点的y坐标为0，其他坐标不为0，故点P(3,0,2)在Ozx面上．
C
ABD
3．点P(1,1,1)关于Oxy平面的对称点P1的坐标为___________，点P关于z轴的对称点P2的坐标为_____________________.
(1,1，－1)
(－1，－1,1)
(1,0,0)
(1,0,1)(共32张PPT)
1.2 空间向量基本定理
素养目标 定方向
1．了解空间向量基本定理及其意义．(重点)
2．掌握空间向量的正交分解．会用基底表示空间向量(难点)
3．初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的方法．(难点)
1．通过基底概念的学习，培养数学抽象素养．
2．通过用空间向量基本定理解决简单的立体几何问题，提升直观想象、数学运算、逻辑推理等素养.
必备知识 探新知
空间向量基本定理
知识点 1
如果三个向量a，b，c_________，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝____________________.
我们把{a，b，c}叫做空间的一个_______，a，b，c都叫做基向量．
思考1：零向量能否作为一个基向量？为什么？
提示：不能．零向量与任意两个向量a，b都共面．
不共面
xa＋yb＋zc
基底
做一做：判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)空间向量的基底是唯一的．( )
(2)若a，b，c是空间向量的一个基底，则a，b，c均为非零向量．( )
×
√
√
√
提示：(1)任意三个不共面向量都可以作为空间的一个基底．
(2)若a，b，c中有一个零向量，则a，b，c三向量共面不能构成基底．
(4)a，b，c不共面，则必有x＝y＝z＝0.
空间向量的正交分解
知识点 2
1．单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量___________，且长度都是_____，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．
2．向量的正交分解
由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk.像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
两两垂直
1
做一做：判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)空间的单位正交基底是唯一的．( )
(2)单位正交基底中每一个基向量是单位向量．( )
(3)对于单位正交基底{i，j，k},2j＝0i＋2j＋0k.( )
提示：(1)不唯一．
(2)由单位正交基底的定义可知正确．
(3)由向量正交分解知正确．
×
√
√
关键能力 攻重难
题型探究
题型一
基底的判断
[规律方法] 判断基底的基本思路及方法
(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．
(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．
②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，可以作为空间向量一个基底的是( )
对点训练
C
题型二
用基底表示空间向量
[规律方法] 用基底表示向量的步骤
(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．
(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．
(3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量.
对点训练
题型三
空间向量基本定理的应用
3.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，点N为AA1的中点．
[规律方法] 应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行，可求两条异面直线所成的角等．
首先根据几何体的特点，选择一个基底，把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示．
(1)若证明线线垂直，只需证明两向量数量积为0.
(2)若证明线线平行，只需证明两向量共线．
(3)若要求异面直线所成的角，则转化为两向量的夹角(或其补角)．
如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.
(1)求AC1的长；
(2)求BD1与AC所成角的余弦值．
对点训练
课堂检测 固双基
1．下列说法正确的是( )
A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B．空间的基底有且仅有一个
C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D．基底{a，b，c}中基向量与基底{e，f，g}中基向量对应相等
[解析] A项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底；B项，空间基底有无数个；D项中因为基底不唯一，所以D错．故选C.
C
A
A．O，A，B，C四点不共线
B．O，A，B，C四点共面，但不共线
C．O，A，B，C四点不共面
D．O，A，B，C四点中任意三点不共线
ACD(共38张PPT)
1．1 空间向量及其运算
1.1.2 空间向量的数量积运算
素养目标 定方向
1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法．(易混点)
2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．(重点)
3．了解投影向量的概念以及投影向量的意义．(难点)
4．能用向量的数量积解决立体几何问题．(难点)
1．通过学习空间向量的数量积运算，培养数学运算素养．
2．借助投影向量概念的学习，培养直观想象素养．
3．借助利用空间向量的数量积证明垂直关系、求夹角和距离运算，提升逻辑推理和数学运算素养.
必备知识 探新知
空间向量的夹角
知识点 1
∠AOB
2．夹角的范围
同向共线
π
垂直
a⊥b
思考1：对空间任意两个非零向量a，b，〈a，b〉，〈b，a〉，〈－a，－b〉有怎样的关系？
提示：〈a，b〉＝〈b，a〉＝〈－a，－b〉．
做一做：如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
π
空间向量的数量积
知识点 2
定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.
即a·b＝_____________________
规定：零向量与任何向量的数量积都为0
性质 ①a⊥b ______________
②a·a＝a2＝|a|2
运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R
②a·b＝b·a(交换律)
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)
|a||b|cos〈a，b〉
a·b＝0
思考2：若a，b，c为实数，则(a·b)·c＝a·(b·c)．是否可以由此类比得出，对于向量a，b，c，满足(a·b)·c＝a·(b·c)
提示：数量积的运算只满足交换律，分配律及数乘结合律，但不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)．这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．
4
向量a的投影
知识点 3
1.向量a向向量b的投影
如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得
到与向量b共线的向量c，c＝_______________________，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))．
2．向量a向平面β投影
做一做：判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量a在向量b上的投影向量与向量b的方向相同．( )
(2)向量a在直线l上的投影向量c与向量a－c垂直．( )
(3)向量a在平面β上的投影向量为c，则向量a所在直线与平面β所成的角为〈a，c〉．( )
×
√
√
关键能力 攻重难
1．(1)已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于( )
题型探究
题型一
求空间向量的数量积
D
A
[规律方法] 求空间向量的数量积的步骤
(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积．
(3)代入公式a·b＝|a||b|cos ?a，b?求解．
(1)已知a和b是相互垂直的单位向量，m＝4a－3b，n＝2a＋5b，则m·n＝( )
A．－7 B．7
C．－21 D．9
对点训练
A
－1
0
题型二
利用数量积证明空间中的垂直关系
2．如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点．证明：EF⊥BC.
[规律方法] 用向量法证明垂直关系的步骤
(1)把几何问题转化为向量问题；(2)用已知向量表示所证向量；(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0；(4)将向量问题回归到几何问题．
如图，在空间四边形O－ABC中，OB＝OC，AB＝AC，求证：OA⊥BC.
对点训练
题型三
利用空间向量的数量积的性质求模长
3．如图，已知一个60°的二面角的棱上有两点A，B，AC，BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段．又知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长．
[规律方法] 求两点间距离的方法
(1)取以两点为起点和终点的向量；
(2)用已知夹角和模的向量表示该向量；
(3)利用a2＝|a|2，计算出|a|，|a|即为所求距离．
如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D间的距离．
对点训练
易错警示
课堂检测 固双基
1．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中的真命题是( )
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
[解析] 当a⊥b时，a·b＝0，A错误；B正确；由a2＝b2得a2－b2＝0，即a＋b＝0或a－b＝0或(a＋b)⊥(a－b)，C错误；若a⊥b，a⊥c，有a·b＝a·c，但b＝c不一定成立，D错误．
B
2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各对向量的夹角为135°的是( )
B
60°
1(共45张PPT)
1．1 空间向量及其运算
1．1.1 空间向量及其线性运算
素养目标 定方向
1．理解空间向量及相关概念．(重点)
2．掌握空间向量的线性运算．(重点)
3．掌握向量共线的充要条件、三个向量共面的充要条件及应用．(重点、难点)
1．通过空间向量有关概念的学习，培养数学抽象素养．
2．借助向量的线性运算、共线向量及共面向量的学习，提升直观想象和逻辑推理素养.
必备知识 探新知
空间向量的概念
知识点 1
1.定义：在空间，具有_______和_______的量叫做空间向量．
2．长度或模：向量的_______.
3．表示方法
(1)几何表示法：空间向量用___________表示；
大小
方向
大小
有向线段
4．几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 ___________的向量叫做零向量．记为0
单位向量 _________的向量叫做单位向量
相反向量 与向量a长度_______而方向_______的向量，叫做a的相反向量，记为－a
共线向量 (平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a
相等向量 方向_______且模_______的向量叫做相等向量
长度为0
模为1
相等
相反
相同
相等
提醒：单位向量有无数个，它们的方向并不确定，它们不一定相等；零向量也有无数个，它们的方向是任意的，但规定所有的零向量都相等．
做一做：判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(2)零向量没有方向．( )
√
×
空间向量的线性运算及运算律
知识点 2
运算律 交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；
分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb
A．a＋b－c B．c－a－b
C．c＋a－b D．c＋a＋b
B
共线向量与共面向量
知识点 3
(1)相关概念
共线(平行)向量 共面向量
定义 位置 关系 表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：互相平行或重合 平行于同一个_______的向量
特征 方向_______或_______ 特例 零向量与任意向量_______ 相同
相反
共线
平面
共线(平行)向量 共面向量
充要 条件 共线向量定理：对任意两个空间向量 a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在 实数λ，使____________ 共面向量定理：向量p与两个不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 ______________
(2)直线的方向向量
在直线l上取非零向量a，与向量a_______的非零向量称为直线l的方向向量．
a＝λb
p＝xa＋yb
平行
做一做：判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若向量a，b，c共面，则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面．( )
(3)对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是共面向量．( )
×
×
√
关键能力 攻重难
1．给出下列命题：
①两个空间向量相等，则它们起点相同，终点也相同；
②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝±b；
④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；
其中不正确的命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
题型探究
题型一
空间向量及相关概念的理解
C
[规律方法] 空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念．
如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点中的两点为起点和终点的向量中：
对点训练
题型二
空间向量的线性运算
2．如图所示，已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简后的结果所对应的向量．
[规律方法] 空间向量线性运算的技巧
(1)数形结合：要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．
(2)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．
(3)巧用平移：运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．
对点训练
AB
0
题型三
空间共线向量定理及其应用
对点训练
题型四
空间向量共面定理及其应用
[规律方法] 证明空间三向量共面或四点共面的方法
(1)向量表示：证明其中一个向量可以表示成另两个不共线向量的线性组合，即若p＝xa＋yb(x，y为实数)，则向量p，a，b共面．
正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P、Q分别为A1D1、D1C1、AA1、CC1的中点，用向量方法证明M、N、P、Q四点共面．
对点训练
课堂检测 固双基
1．(多选题)下列命题中，真命题是( )
A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C．只有零向量的模等于0
D．共线的单位向量都相等
[解析] 空间向量不能比较大小，A正确；易知B、C正确；共线的单位向量大小相等，方向不同，则两向量不相等，D错误．
ABC
2．下列条件，能说明空间中不重合的A，B，C三点共线的是( )
C
B
b－a－c
