(共34张PPT)
2．3 直线的交点坐标与距离公式
2．3.3 点到直线的距离公式
2．3.4 两条平行直线间的距离
素养目标 定方向
1．探索并掌握点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式．
2．会求点到直线的距离与两平行直线间的距离．
通过研究点到直线及两平行线间的距离公式，提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养.
必备知识 探新知
点到直线的距离
知识点 1
(1)定义：点到直线的距离，就是点到直线的_________的长度．
(2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝__________.
垂线段
思考1：(1)在使用点到直线距离公式时对直线方程有什么要求？
(2)点P(x0，y0)到直线x＝a和直线y＝b的距离能否用点到直线的距离公式？有没有更简单的方法．
提示：(1)直线方程应为一般式．
(2)可以用点到直线的距离公式求解，也可以用下列方法求解：
P(x0，y0)到x＝a的距离d＝|a－x0|；
P(x0，y0)到y＝b的距离d＝|b－y0|.
做一做：原点到直线x＋2y－5＝0的距离d＝______.
两条平行直线间的距离
知识点 2
(1)定义：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的___________的长．
公垂线段
思考2：(1)在使用两平行线间距离公式时，对直线方程的形式有何要求？
(2)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，两条平行直线间的距离如何求？
提示：(1)两直线的方程为一般式且x，y的系数分别相同．
(2)①两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|；
②两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|.
1或－3
关键能力 攻重难
1．求点P(－2,1)到下列直线的距离：
(1)3x＋4y－1＝0；
(2)y＝2x＋3；
(3)2x＋5＝0.
题型探究
题型一
求点到直线的距离
[规律方法] 点到直线的距离的求解方法
(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，直接利用点到直线的距离公式即可．
(2)若已知点到直线的距离求参数值时，只需根据点到直线的距离公式列出关于参数的方程即可．
对点训练
D
A
题型二
两平行线间的距离
2．(1)已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( )
D
x＋y－6＝0
[规律方法] 求两条平行直线间的距离的两种思路
1．利用“化归”思想将两条平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算．
2．利用两条平行直线间的距离公式求解．
A．9 B．－9
C．11 D．－11
(2)已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程是___________________.
对点训练
BC
2x－y＋1＝0
题型三
利用距离公式求解最值问题
3．两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求：
(1)d的变化范围；
(2)当d取最大值时，两条直线的方程．
[规律方法] 应用数形结合思想求最值
(1)解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决．
(2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到．当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围．
(1)动点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为原点，求|OP|最小时点P的坐标；
(2)求过点P(1,2)且与原点距离最大的直线方程．
对点训练
易错警示
求直线方程时，忽略斜率不存在的情况
4．已知直线l过点A(1,2)，且原点到直线l的距离为1，求直线l的方程．
[辨析] 符合题意的直线有两条，错解中忽略了斜率不存在的情况，从而只得到了一条直线．
[误区警示] 应用直线方程时，各种直线方程的适用条件要清楚．
课堂检测 固双基
1．(多选题)已知点(a,1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值可能为( )
CD
2．已知点M(1,2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小值是( )
B
A
4．已知点P(1,2)，则当点P到直线2ax＋y－4＝0的距离最大时，a＝________.(共31张PPT)
2．3 直线的交点坐标与距离公式
2．3.1 两条直线的交点坐标
2．3.2 两点间的距离公式
素养目标 定方向
1．能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标．(重点)
2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．(难点)
3．探索并掌握平面上两点间的距离公式．(重点)
1．通过两直线交点坐标的学习，提升数学运算、直观想象的数学素养．
2．通过学习两点间的距离，培养逻辑推理和直观想象的数学素养.
必备知识 探新知
两条直线的交点
知识点 1
1．两直线的交点
已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.点A(a，b)．
(1)若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有___________________.
A1a＋B1b＋C1＝0
A1a＋B1b＋C1＝0
A2a＋B2b＋C2＝0
2．两直线的位置关系
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
无解
无数个
相交
平行
做一做：直线x＋y＝5与直线x－y＝3交点坐标是( )
A．(1,2) B．(4,1)
C．(3,2) D．(2,1)
B
两点间的距离
知识点 2
1．公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式_______________
_________________________.
特别提醒：此公式与两点的先后顺序无关．
2．原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离________________.
|P1P2|＝
做一做：已知直角坐标平面上连接点(－2,5)和点M的线段的中点是(1,0)，那么点M到原点的距离为( )
B
关键能力 攻重难
1．分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点．
(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；
(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；
(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.
[分析] 直接将两直线方程联立方程组，根据方程组解的个数判断两直线是否相交．
题型探究
题型一
两条直线的交点问题
[规律方法] 解二元一次方程组的常用方法
解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法．
(1)若一条直线的方程是斜截式，常常应用代入消元法解方程组．
(2)若直线的方程都是一般式，常常应用加减消元法解方程组．
(1)若直线x＋by＋9＝0经过直线5x－6y－17＝0与直线4x＋3y＋2＝0的交点，则b等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
对点训练
D
2
题型二
过两直线交点的直线系方程
2．(1)求经过点P(1,0)和两直线l1：x＋2y－2＝0，l2：3x－2y＋2＝0交点的直线方程；
(2)无论实数a取何值，方程(a－1)x－y＋2a－1＝0表示的直线恒过定点，试求该定点．
[分析] (1)设所求直线方程为x＋2y－2＋λ(3x－2y＋2)＝0，再将x＝1，y＝0代入求出λ，即得所求直线方程．
(2)将直线方程改写为－x－y－1＋a(x＋2)＝0.
[规律方法] 过两条直线交点的直线方程的求法
(1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．
(2)特殊解法(直线系法)：先设出过两直线交点的直线方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程．
(1)若不论m取何实数，直线l：mx＋y－1＋2m＝0恒过一定点，则该定点的坐标是_______________.
(2)直线l过直线x＋y－2＝0和直线x－y＋4＝0的交点，且与直线3x－2y＋4＝0平行，求直线l的方程．
对点训练
(－2,1)
题型三
两点间距离公式的应用
3．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，试判断△ABC的形状．
[分析] 可求出三条边的长，根据所求长度判断三角形的形状．
[规律方法] 两点间距离公式的应用
两点间的距离公式是解析几何的重要公式之一，它主要解决线段的长度问题，体现了数形结合思想的应用．
A．(5,5) B．(－1,1)
C．(5,5)或(－1,1) D．(5,5)或(1，－1)
对点训练
C
课堂检测 固双基
1．直线2x＋y＋1＝0与直线x－y＋2＝0的交点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
B
2．直线(x－2)＋m(x－y＋3)＝0(m∈R)一定过定点( )
A．(4,0) B．(0,4)
C．(2,5) D．(3,2)
C
3．△ABC三个顶点的坐标分别为A(－4，－4)，B(2,2)，C(4， －2)，则三角形AB边上的中线长为( )
A
4．已知点A(3,6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，则点P的坐标为_____________________________.
(－5,0)或(11,0)(共37张PPT)
2.2 直线的方程
2．2.3 直线的一般式方程
素养目标 定方向
1．掌握直线的一般式方程．(重点)
2．理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线．(重点、难点)
3．会进行直线方程的五种形式之间的转化．(难点、易混点)
通过学习直线五种形式的方程相互转化，提升逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养.
必备知识 探新知
直线的一般式方程
知识点 1
关于x和y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程_____________________(其中A，B不同时为0)叫做直线的_____________，简称一般式．
提醒：解题时，如无特殊说明，应把最终结果化为一般式．
Ax＋By＋C＝0
一般式方程
思考：在方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)中，A，B，C为何值时，方程表示的直线(1)平行于x轴；(2)与x轴重合；(3)平行于y轴；(4)与y轴重合．
做一做：判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线的一般式方程可以表示平面内任意一条直线．( )
(2)任何一条直线的一般式都能与其他四种形式互化．( )
(3)关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)一定表示直线．( )
(4)对于二元一次方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0，B≠0时，方程表示斜率不存在的直线．( )
√
×
√
×
直线的五种形式的方程
知识点 2
y－y0＝k(x－x0)
y＝kx＋b
x1≠x2，y1≠y2
与坐标轴平行及过
原点的直线
Ax＋By＋C＝0
(A，B不同时为0)
[解析] 直线方程化为斜截式为y＝2x－3，故斜率k＝2.
A
2．直线3x－2y－4＝0的截距式方程为( )
D
关键能力 攻重难
1．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．
题型探究
题型一
直线的一般式方程
[分析] 先选择合适的形式将直线方程写出来，再化为一般式．
[规律方法] 直线的一般式方程的特征
求直线方程时，要求将方程化为一般式方程，其形式一般作如下设定：x的系数为正；系数及常数项一般不出现分数；一般按含x项、含y项、常数项的顺序排列．
根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．
对点训练
题型二
利用一般式解决直线的平行与垂直问题
2．已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：
(1)过点(－1,3)，且与l平行；
(2)过点(－1,3)，且与l垂直．
方法二：(1)由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0.将点(－1,3)代入上式得m＝－9.
∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.
(2)由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0.
将(－1,3)代入上式得n＝13.
∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0.
[规律方法] 1.利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
(1)若l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)；
(2)若l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
2．与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)；
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.
(1)经过点P(5,2)且平行于直线l：3x－y＋1＝0的直线方程为( )
A．x＋3y＋11＝0 B．3x－y＋13＝0
C．x＋3y－11＝0 D．3x－y－13＝0
(2)已知直线l经过点P(1，－2)且与直线2x＋3y－1＝0垂直，则l的方程为( )
A．2x＋3y＋4＝0 B．2x＋3y－8＝0
C．3x－2y－7＝0 D．3x－2y－1＝0
对点训练
D
C
[解析] (1)因为所求直线平行于直线l：3x－y＋1＝0，故设所求直线的方程为3x－y＋c＝0，又直线经过点P(5,2)，所以3×5－2＋c＝0，解得c＝－13，故所求直线方程为3x－y－13＝0.
方法二：由题意，设直线l：3x－2y＋λ＝0，
则3×1－2×(－2)＋λ＝0，所以λ＝－7.
所以直线l的方程为3x－2y－7＝0.
题型三
直线的一般式方程的应用
3．设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.
(1)已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值；
(2)已知直线l的斜率为1，求m的值．
[规律方法] 含参直线方程的研究策略
(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0.
(2)令x＝0可得在y轴上的截距．令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式．
(3)解分式方程要注意验根．
(1)若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是45°，则实数m的值是______.
(2)若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋1＝0表示直线，则m的取值范围是______________________________.
对点训练
3
(－∞，2)∪(2，＋∞)
易错警示
忽视特殊情形，转化不等价致错
4．已知两直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当l1∥l2时，求m的值．
[错解] 由1×3－m(m－2)＝0，得m＝－1或3.
[辨析] 因存在斜率的两直线平行的等价条件为斜率相等且截距不等，所以上述解法忽略检验截距是否相等．
[正解] 由1×3－m(m－2)＝0得，m＝－1或m＝3.当m＝－1时，l1：x－y＋6＝0，l2：3x－3y＋2＝0.
两直线显然不重合，即l1∥l2.当m＝3时，l1：x＋3y＋6＝0，l2：x＋3y＋6＝0.两直线重合．故m的值为－1.
课堂检测 固双基
C
2．如果AB<0，且BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
D
6
4．若直线l1：x＋my＋6＝0和l2：mx＋4y＋2＝0互相平行，则实数m的值为________.
±2(共30张PPT)
2.2 直线的方程
2.2.2 直线的两点式方程
素养目标 定方向
1．掌握直线的两点式方程的形式、特点及适用范围．(重点、易混点)
2．了解直线的截距式方程的形式、特点及适用范围．(重点)
3．能用直线的两点式方程和截距式方程解决有关问题．(难点)
1．通过直线两点式方程的推导，提升逻辑推理素养．
2．借助直线的两点式方程和截距式方程的学习，培养直观想象和数学运算素养.
必备知识 探新知
直线的两点式方程和截距式方程
知识点
名称 两点式 截距式
条件 两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1≠x2，y1≠y2) 在x，y轴上的截距分别为a，b(a≠0，b≠0)
示意图
名称 两点式 截距式
方程 ___________________
____________________
适用 范围 ___________________ _____________________________
斜率存在且不为0
斜率存在且不为0，不过原点
思考1：不能用直线的两点式方程表示的直线有什么特点？
提示：平行于坐标轴或与坐标轴重合．
思考2：一条直线的方程不能用两点式表示，同样也不能用截距式表示，反之，若一条直线的方程不能用截距式表示，是否也不能用两点式表示？
提示：当一条直线过原点且斜率存在时，不能用截距式表示，但可用两点式表示．
做一做：1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．
√
×
√
2．过(1,2)，(5,3)的直线方程是( )
B
－b2
关键能力 攻重难
1．(1)过点(－1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距是( )
题型探究
题型一
直线的两点式方程
A
[规律方法] 利用两点式求直线方程的步骤
(1)首先判断所给两点的横坐标与纵坐标是否分别相等．
(2)若两点的横坐标与纵坐标均不相等，可直接代入公式求解．
提醒：代入点的坐标时要注意横、纵坐标的对应关系．
(1)过点A(－2,1)，B(3，－3)的直线方程为_____________________.
(2)已知直线经过点A(1,0)，B(m,1)，求这条直线的方程．
对点训练
4x＋5y＋3＝0
题型二
直线的截距式方程
2．过点P(1,3)，且与x轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是( )
A．3x＋y－6＝0 B．x＋3y－10＝0
C．3x－y＝0 D．x－3y＋8＝0
[分析] 设出直线的截距式方程，然后利用点P在直线上以及三角形的面积列出参数所满足的条件，解方程求出参数．
A
[规律方法] 用截距式方程解决问题的优点及注意事项
(1)由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便．
(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式．
(3)当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论．
求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程．
对点训练
题型三
直线方程的简单应用
角度1 图象的辨析
[解析] 可以通过选项的图象判断a，b的符号，选出符合条件的选项，由A项可知，a<0，b>0得l2的b>0，A符合，其他选项不符合．
A
角度2 在几何图形中的综合应用
4．已知直线l过点P(－2,1)．
(1)当直线l与点B(－5,4)，C(3,2)的距离相等时，求直线l的方程；
[规律方法] 求直线方程时方程形式的选择技巧
(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程时，通常选用点斜式方程．
(2)已知直线的斜率，通常选用点斜式或斜截式，再由其他条件确定一个定点的坐标或在y轴上的截距．
(3)已知直线在两坐标轴上的截距时，通常选用截距式方程．
(4)已知直线上两点时，通常选用两点式方程．
如图，已知直线l过点P(2,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则三角形OAB面积的最小值为_____.
对点训练
4
课堂检测 固双基
1．下列语句中正确的是( )
A．经过定点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示
B．经过任意两个不同点P(x1，y1)、Q(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示
[解析] A、D不能表示斜率不存在的直线，C不能表示k＝0或不存在的直线．
B
2．过点A(5,6)和点B(－1,2)的直线方程的两点式是( )
B
B
4．过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为_____________________________.
2x－y＝0或x－y＋1＝0(共35张PPT)
2.2 直线的方程
2．2.1 直线的点斜式方程
素养目标 定方向
1．了解由斜率公式推导直线的点斜式方程的过程．(难点)
2．掌握直线的点斜式方程与斜截式方程．(重点)
3．会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的问题．(难点、易错点)
通过学习直线的点斜式方程及斜截式方程，提升逻辑推理及数学运算素养.
必备知识 探新知
直线的点斜式方程和斜截式方程
知识点 1
类别 点斜式 斜截式
适用范围 斜率存在
已知条件 点P(x0，y0)和_________ 斜率k和在y轴上的_________
图示
斜率k
截距b
类别 点斜式 斜截式
方程 __________________________ _______________
截距 直线l与y轴交点(0，b)的___________叫做直线l在y轴上的截距 y－y0＝k(x－x0)
y＝kx＋b
纵坐标b
思考1：经过点P0(x0，y0)且斜率不存在的直线能否用点斜式方程来表示？
提示：不能用点斜式表示，过点P0且斜率不存在的直线为x＝x0.
思考2：直线在y轴上的截距是距离吗？
提示：不是，距离和截距是两个不同的概念，距离非负，而截距是一个数值，可正、可负也可为0.
B
根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直
知识点 2
对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，
(1)l1∥l2 ____________________________；
(2)l1⊥l2 __________________.
做一做：已知直线l1：y＝x＋2与l2：y＝－2ax＋1平行，则a＝________.
k1＝k2，且b1≠b2
k1k2＝－1
关键能力 攻重难
1．已知在第一象限的△ABC中，A(1,1)，B(5，1)，∠A＝60°，∠B＝45°，求：
(1)AB边所在直线的方程；
(2)AC边与BC边所在直线的方程．
题型探究
题型一
直线的点斜式方程
[解析] (1)如图所示，因为A (1,1)，B(5,1)，所以AB∥x轴，所以AB边所在直线的方程为y＝1.
[规律方法] 求直线的点斜式方程的步骤及注意点
(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程 y－y0＝k(x－x0)．
(2)点斜式方程 y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．
(1)直线l的方程为y＋2＝2(x－1)，则( )
对点训练
C
题型二
直线的斜截式方程
[规律方法] 求直线的斜截式方程的策略
(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要已知直线斜率，与y轴交点，就可以直接用斜截式表示．
(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程，只需知道参数k，b的值即可．
(3)利用直线的斜截式方程务必灵活，如果已知斜率k，只需引入截距b；同理，如果已知截距b，只需引入斜率k.
(1)倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线的方程是( )
A．y＝x＋1 B．y＝x－1
C．y＝－x＋1 D．y＝－x－1
对点训练
D
题型三
斜截式方程的应用
角度1 图象的判断
B
角度2 直线平行、垂直的判断及应用
AB
[分析] 观察直线l1，l2的方程是不是斜截式方程，由此思考两直线平行或垂直满足的条件．
[规律方法] 两条直线平行和垂直的判定
(1)平行的判定．
(2)垂直的判定．
(1)已知直线l1：y＝kx＋b，l2：y＝bx＋k，则它们的图象可能为( )
对点训练
C
－1
[解析] (1)对于A，直线l1方程中的k<0，b>0，直线l2方程中的k>0，b>0，矛盾；
对于B，直线l1方程中的k>0，b<0，直线l2方程中的k>0，b>0，矛盾；
对于C，直线l1方程中的k>0，b>0，直线l2方程中的k>0，b>0，符合；
对于D，直线l1方程中的k<0，b>0，直线l2方程中的k<0，b<0，矛盾．
易错警示
忽视两条直线平行的条件
5．当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？
[错解] 由题意，得a2－2＝－1，∴a＝±1.
[辨析] 该解法只注意到两直线平行时斜率相等，而忽视了斜率相等的两直线还可能重合．
[分析] 要解决两直线平行的问题，一定要注意检验，看看两直线是否重合．
[正解] ∵l1∥l2，
∴a2－2＝－1且2a≠2，
解得a＝－1.
课堂检测 固双基
1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则( )
A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1
B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1
C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1
D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1
[解析] 直线方程y＋2＝－x－1可化为y－(－2)＝－[x－(－1)]，故直线经过点(－1，－2)，斜率为－1.
C
2．与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程为( )
D
4．已知两点A(－2,0)，B(0,4)，则线段AB的垂直平分线的方程为
___________________.(共35张PPT)
2．1 直线的倾斜角与斜率
2．1.2 两条直线平行和垂直的判定
素养目标 定方向
1．能根据斜率判定两条直线平行或垂直．(重点)
2．能应用两条直线平行或垂直的关系解决相应的几何问题．(重点、难点)
通过学习两条直线平行与垂直的判定，提升直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养.
必备知识 探新知
两条直线平行与斜率之间的关系
知识点 1
类型 斜率存在 斜率不存在
前提 条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°
对应 关系 l1∥l2 _____________ l1∥l2 两直线的斜率都不存在
图示
k1＝k2
思考1：(1)两直线的斜率相等是两直线平行的充要条件吗？
(2)如何用斜率证明A，B，C三点共线？
提示：(1)不是，垂直于x轴的两条直线，虽然平行，但斜率不存在．
(2)可证明直线AB与直线AC的斜率相等，且两直线过同一点，从而A、B、C三点共线．
两条直线垂直与斜率之间的关系
知识点 2
图示
对应 关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在) _________________ l1的斜率不存在，l2的斜率为0 _____________
k1k2＝－1
l1⊥l2
思考2：“两条直线的斜率之积等于－1”是“这两条直线垂直”的充要条件吗？
提示：不是．“两条直线的斜率之积等于－1”可推出“这两条直线垂直”，但两条直线垂直时，除了斜率之积等于－1，还有可能一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在．
关键能力 攻重难
1．(1)(多选题)下列直线l1与直线l2(l1与l2不重合)平行的是( )
A．l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)
B．l1的斜率为2，l2经过点A(1,1)，B(2,2)
题型探究
题型一
两直线平行的判定
ACD
(2)已知点A(m,3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1,0)，且直线AB与直线CD平行，则实数m的值为( )
A．1 B．0
C．0或1 D．0或2
C
[规律方法] 判断两条不重合的直线是否平行的两种方法
(1)利用直线的斜率判断：
(2)利用直线的方向向量判断：求出两直线的方向向量，通过判断两向量是否共线，得到两条直线是否平行．
[解析] 方法一：设点D的坐标为(m，n)．由题意知，AB∥CD，AD∥BC.
由两直线平行的条件知
kAB＝kCD，kAD＝kBC，
对点训练
题型二
两直线垂直的判定
2．已知△ABC的顶点为A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值．
[规律方法] 两直线垂直的判定方法
两条直线垂直需判定k1k2＝－1，使用它的前提条件是两条直线斜率都存在，若其中一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为零，此时两直线也垂直．
(1)两条相互垂直的直线l1，l2的斜率是方程x2－3x＋m－1＝0的两根，则m的值为( )
A．1 B．－1
C．2 D．0
(2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，－3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，如果l1⊥l2，则a的值为___________.
对点训练
D
5或－6
题型三
平行与垂直的综合应用
3．已知A(1，－1)，B(2,2)，C(3,0)三点，求点D的坐标，使直线CD⊥AB，且BC∥AD.
[规律方法] 关于直线平行与垂直的综合应用
(1)设出点的坐标，利用平行、垂直时的斜率关系建立方程(组)去解．
(2)图形中的平行与垂直问题要充分利用图形性质求解，图形的形状不确定时要分情况讨论．
(1)已知 ABCD的三个顶点的坐标分别是A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，则顶点D的坐标为( )
A．(3,4) B．(4,3)
C．(3,1) D．(3,8)
(2)在直角梯形ABCD中，已知A(－5，－10)，B(15,0)，C(5,10)，AD是腰且垂直两底，求顶点D的坐标．
对点训练
A
课堂检测 固双基
1．(多选题)设点P(－4,2)，Q(6，－4)，R(12,6)，S(2,12)，下面结论中正确的是( )
A．PQ∥SR B．PQ⊥PS
C．PS∥QS D．RP⊥QS
ABD
2．对于两条不重合的直线，下列说法错误的是( )
A．若两直线斜率相等，则两直线平行
B．若l1⊥l2，则k1·k2＝－1
C．若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交
D．若两直线斜率都不存在，则两直线平行
[解析] 当k1＝k2时，l1与l2平行，A正确；B中也可能一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，不正确；C，D正确．
B
B
4．已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2)，B(0,1)，C(4，3)，点D(m,1)
在边BC的高所在的直线上，则实数m＝______.(共37张PPT)
2．1 直线的倾斜角与斜率
2．1.1 倾斜角与斜率
素养目标 定方向
1．理解直线的斜率和倾斜角的概念．(重点)
2．理解直线的方向向量和向量坐标表示．(重点)
3．掌握过两点的直线斜率的计算公式，会应用斜率公式求直线的斜率．(难点)
1．通过倾斜角概念的学习，提升数学抽象的数学素养．
2．通过斜率和直线方向向量的学习，培养逻辑推理和数学运算的数学素养.
必备知识 探新知
直线的倾斜角
知识点 1
1.倾斜角的定义
(1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴_______与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
2．直线的倾斜角α的取值范围为_______________.
思考1：任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？
提示：由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同的．
正向
0°≤α<180°
做一做：判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)与x轴垂直的直线，其倾斜角为90°.( )
(2)与x轴平行的直线，其倾斜角不存在．( )
(3)不存在倾斜角相同的直线．( )
√
×
×
直线的斜率
知识点 2
1.直线的斜率
把一条直线的倾斜角α的_________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝______________.
2．过两点的直线的斜率公式
过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝______.
提醒：所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率．当直线的倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，但并不是该直线不存在，此时直线垂直于x轴(或平行于y轴或与y轴重合)．
正切值
tan α
思考2：当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°时，其斜率如何变化？
提示：当倾斜角为锐角时，其斜率为正值，而且斜率随着倾斜角的增大而增大，当倾斜角为钝角时，其斜率为负值，斜率随着倾斜角的增大而增大，当倾斜角为90°时，直线的斜率不存在．
做一做：直线l过(1,0)和(1,2)两点，则其倾斜角和斜率分别是( )
A．45°，1 B．135°，－1
C．90°，不存在 D．180°，不存在
[解析] 因为直线l过(1,0)和(1,2)两点，则直线l的斜率不存在，则其倾斜角为90°.
C
直线的斜率与方向向量的关系
知识点 3
(1)若直线l的斜率为k，则直线l的一个方向向量的坐标为_____________.
(2)若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，则直线l的斜率k＝______.
做一做：若直线l的倾斜角为135°，则直线l的一个方向向量的坐标为_______________.
[解析] 直线l的斜率k＝tan 135°＝－1，则直线l的一个方向向量的坐标为(1，－1)．
(1，k)
(1，－1)
关键能力 攻重难
1．(1)下列说法正确的是( )
①直线倾斜角的范围是[0，π)；
②斜率相等的两条直线的倾斜角一定相等；
③任何一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角；
④任何一条直线都有倾斜角和斜率．
A．①② B．①④
C．①②④ D．①②③
题型探究
题型一
直线的倾斜角
A
(2)(多选题)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为( )
A．α＋45° B．α－135°
C．135°－α D．α－45°
AB
[解析] (1)由于直线倾斜角的范围是[0，π)，故①正确；由于斜率相等的两条直线的倾斜角一定相等，故②正确；由于不是所有直线都有斜率，例如和x轴垂直的直线斜率不存在，但它的倾斜角为90°，故③不正确；根据和x轴垂直的直线斜率不存在，可得④错误．
(2)根据题意，画出图形，如图所示，通过图象可知，当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选AB.
[规律方法] 直线倾斜角、斜率的概念的几个关注点
(1)倾斜角越大，直线的倾斜程度越大；
(2)当倾斜角是锐角时，斜率大于0，当倾斜角是钝角时，斜率小于0；
(3)根据直线的旋转、图形的角度关系可以求倾斜角．
(1)若直线l向上的方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为( )
A．30° B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
(2)已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为___________.
对点训练
D
135°
[解析] (1)如图，直线l有两种情况，故l的倾斜角为60°或120°.
(2)设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°，所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°.
题型二
已知两点坐标求倾斜角和斜率
2．(1)过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，则y等于( )
A．1 B．5
C．－1 D．－5
(2)已知直线l经过点P(3，m)和点Q(m，－2)，直线l的方向向量为
(2,4)，则直线l的斜率为______，实数m的值为______.
D
2
[规律方法] 直线斜率的计算方法
(1)判断两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在．
对点训练
C
－2
题型三
斜率与倾斜角的应用
角度1 求斜率的范围
3．已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．
(1)要使直线l与线段AB有公共点，则k≤－1或k≥1，即直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.
角度2 三点共线问题
4．若三点A(2，－3)，B(4,3)，C(5，k)在同一条直线上，则实数k＝_____.
6
[规律方法] 1.用斜率公式解决三点共线的方法
2．直线的斜率与倾斜角的函数关系
直线的斜率k＝tan α，0°≤α<180°且α≠90°.
(1)若三点A(3,1)，B(－2，b)，C(8,11)在同一直线上，则实数b等于( )
A．2 B．3
C．9 D．－9
(2)已知点P(－1，－1)，另有两点A(1,0)，B(0,1)，若过点P的直线l与
线段AB有交点，则直线l的斜率取值范围为_________.
对点训练
D
易错警示
忽视倾斜角是90°的直线斜率不存在致误
5．求经过A(m,3)、B(1,2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围．
[辨析] 当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象进行分类讨论，然后对每一类分别研究，得出每一类结果，最终解决整个问题．本题的讨论分两个层次：第一个层次是讨论斜率是否存在；第二个层次是讨论斜率的正、负．也可以分为m＝1，m>1，m<1三种情况进行讨论．
[误区警示] 在解决与斜率有关的问题时，要根据题目条件对斜率是否存在做出判断，以免漏解．
课堂检测 固双基
1．已知直线l经过A(1,2)，B(3,5)，则直线l的一个方向向量为( )
A．(2,3) B.(3,2)
C．(1,5) D.(－3,2)
A
2．若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于( )
A．2 B．1
C．－1 D．－2
A
60°
5．直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是_____________.
[0,2]
