(共22张PPT)
章末知识梳理
知识体系构建
要点专项突破
1.解决此类问题关键是掌握两条直线平行与垂直的判定：若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2 k1＝k2，l1⊥l2 k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．对于两条直线平行的问题，要注意排除两条直线重合的可能性．
2．一般式方程下两直线的平行与垂直
已知两直线的方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，则l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且C1B2－C2B1≠0，l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
3．通过讨论两条直线的平行与垂直，提升逻辑推理的学科素养．
要点一
两条直线的平行与垂直
1．已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值．
(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直；
(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．
[解析] (1)∵l1⊥l2，
∴a(a－1)＋(－b)·1＝0.
即a2－a－b＝0.①
又点(－3，－1)在l1上，
∴－3a＋b＋4＝0.②
由①②解得a＝2，b＝2.
1.距离问题
2．两条直线的位置关系的研究以两直线的交点为基础，通过交点与距离涵盖直线的所有问题．
3．解决解析几何中的交点与距离问题，往往是代数运算与几何图形直观分析相结合，培养数学运算的核心素养．
要点二
两直线的交点与距离问题
A．－1 B．5
C．－1或5 D．－3或3
(2)过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．
C
1.求圆的方程是考查圆的方程问题中的一个基本点，一般涉及圆的性质、直线与圆的位置关系等，主要依据圆的标准方程、一般方程、直线与圆的几何性质，运用几何方法或代数方法解决问题，多以选择题、填空题为主，属于基础题．
(1)圆的方程中有三个参数，即标准方程中的a，b，r，或一般式中的D，E，F，因此需要三个独立条件建立方程组求解．
(2)求圆的方程时，首选几何法，即先分析给出的条件的几何意义，或直接利用待定系数法求解．
2．通过圆的方程的求解，培养数学运算的核心素养．
要点三
求圆的方程
3．(1)已知△ABC的顶点C(2，－8)，直线AB的方程为y＝－2x＋11，AC边上的高BH所在直线的方程为x＋3y＋2＝0.
①求顶点A和B的坐标；
②求△ABC外接圆的一般方程．
1.圆具有许多重要的几何性质，如圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点的连线垂直于弦；切线长定理；直径所对的圆周角是直角等．充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量．另外，对于未给出图形的题目，要边读题边画图，这样能更好地体会圆的几何形状，有助于找到解题思路．
2．研究直线与圆、圆与圆的位置关系，集中体现了直观想象和数学运算的核心素养．
要点四
直线与圆、圆与圆的位置关系
4．如图，圆C：x2－(1＋a)x＋y2－ay＋a＝0.
(1)若圆C与x轴相切，求圆C的方程；
(2)已知a＞1，圆C与x轴相交于两点M，N(点M在点N的左侧)．过点M任作一条直线与圆O：x2＋y2＝4相交于两点A，B.
问：是否存在实数a，使得∠ANM＝∠BNM
若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．(共36张PPT)
2．5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2．5.2 圆与圆的位置关系
素养目标 定方向
1．了解圆与圆的位置关系．(重点)
2．掌握圆与圆的位置关系的判定方法．(重点)
3．能利用圆与圆的位置关系解决有关问题．(难点)
通过圆与圆的位置关系的判定及解决相关问题，进一步提升逻辑推理及数学运算素养.
必备知识 探新知
两圆的位置关系及其判定
知识点
1.几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下：
r1＋r2
r1＋r2
|r1－r2|
r1＋r2
|r1－r2|
|r1－r2|
2.代数法：设两圆的一般方程为
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数 2组 1组 0组
两圆的公共点个数 2个 1个 0个
两圆的位置关系 _______ _____________ _____________
相交
外切或内切
外离或内含
思考：将两个相交圆的方程相减，可得一条直线方程，这条直线方程具有什么特殊性？
提示：两圆的交点坐标满足这个方程，因此这个方程是两圆的公共弦所在的直线方程．
做一做：1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( )
(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( )
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( )
提示：(1)只有一组实数解时可能外切也可能内切．
(2)当两圆圆心距小于两圆半径之和且大于两圆半径之差的绝对值时两圆相交．
(3)只有两圆相交时得到的二元一次方程才是公共弦所在的直线方程．
×
×
×
2．圆O1：(x＋2)2＋(y－2)2＝1和圆O2：(x－2)2＋(y－5)2＝16的位置关系是________.
外切
关键能力 攻重难
1．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a>0)，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：
(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含？
[分析] 先求出圆心距，与两半径的和或差比较求出a的值．
题型探究
题型一
判断两圆的位置关系
[规律方法] 判断两圆的位置关系的两种方法
(1)几何法：利用两圆半径的和或差与圆心距作比较，得到两圆的位置关系．
(2)代数法：把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题，转化为方程组的解的组数问题．
(1)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
(2)到点A(－1,2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有_____条．
对点训练
B
4
题型二
两圆相切问题
[分析] 设圆的方程，利用两圆外切和直线与圆相切建立方程组求得．
[规律方法] 处理两圆相切问题的两个步骤
(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论．
(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)．
若圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2－6x－8y－m＝0相切，则m的值为_____________.
对点训练
－9或11
题型三
两圆相交问题
3．已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.
(1)试判断两圆的位置关系；
(2)求公共弦所在的直线方程；
(3)求公共弦的长度．
[规律方法] 求两圆公共弦长的方法
1．代数法：求交点的坐标，利用两点间的距离公式求出公共弦长．
2．几何法：利用圆的半径、公共弦的一半、圆心到弦的垂线段构成的直角三角形，根据勾股定理求出公共弦长．
已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0.
(1)求两圆公共弦所在直线的方程；
(2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．
对点训练
易错警示
两圆的位置有关系考虑不全面致错
4．求半径为4，与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9相切，且和直线y＝0相切的圆的方程．
[辨析] 两圆相切可为内切和外切，不要遗漏．
[正解] 设所求圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝16.
由圆C与直线y＝0相切且半径为4，
则圆心C的坐标为C1(a,4)或C2(a，－4)．
已知圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的圆心A的坐标为(2,1)，半径为3.
由两圆相切，则|CA|＝4＋3＝7或|CA|＝4－3＝1.
①当圆心为C1(a,4)时，
(a－2)2＋(4－1)2＝72或(a－2)2＋(4－1)2＝12(无解)，
[误区警示] 两圆相切包括外切与内切，外切时，圆心距等于两圆半径之和，内切时，圆心距等于两圆半径差的绝对值．在题目没有说明是内切还是外切时，要分两种情况进行讨论．解决两圆相切问题，常用几何法．
课堂检测 固双基
1．(2024·山东省济宁市段考)圆A：(x＋2)2＋(y＋1)2＝4与圆B：(x－1)2＋(y－3)2＝4的位置关系是( )
A．相交 B．外离
C．外切 D．内含
B
2．两圆x2＋y2－10x－10y＝0，x2＋y2＋6x＋2y－40＝0的公共弦的长为( )
D
3．圆心为C(2,0)的圆C与圆x2＋y2＋4x－6y＋4＝0相外切，则圆C的方程________________________.
x2＋y2－4x＝0
4．圆x2＋y2－1＝0与圆x2＋y2－4x＝0的公共弦所在直线的方程为_______________.
[解析] 两圆方程相减，消去二次项得4x－1＝0，此即两圆公共弦所在直线的方程．
4x－1＝0(共38张PPT)
2．5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2．5.1 直线与圆的位置关系
素养目标 定方向
1．掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．(重点)
2．会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．(难点)
3．能用直线与圆的方程解决一些简单的数学问题．(难点)
通过研究直线与圆的位置关系，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养.
必备知识 探新知
直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
知识点 1
2
1
0
d
d＝r
d>r
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
思考：几何法、代数法判断直线与圆的位置关系各有什么特点？
提示：“几何法”侧重于图形的几何性质，步骤较简洁；“代数法”则侧重于“坐标”与“方程”，判断直线与圆的位置关系，一般用几何法．
做一做：1.直线3x＋4y＝5与圆x2＋y2＝16的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．相切或相交
A
解决实际问题的一般程序
知识点 2
仔细读题(审题)→建立数学模型→解答数学模型→检验，给出实际问题的答案．
用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”
知识点 3
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，如点、直线，将平面几何问题转化为代数问题．
第二步：通过代数运算，解决代数问题．
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论．
关键能力 攻重难
1．已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，直线与圆
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点．
[分析] 可联立方程组，由方程组解的个数判断，也可求出圆心到直线的距离，通过与半径比较大小判断．
题型探究
题型一
判断直线与圆的位置关系
[规律方法] 判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系．dr 相离．
(1)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则( )
A．l与C相交 B．l与C相切
C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能
(2)若直线x－y＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝m相离，则实数m的取值范围是( )
A．(0,2] B．(1,2]
C．(0,2) D．(1,2)
对点训练
A
C
[解析] (1)将点P(3,0)代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝ －3<0，
∴点P(3,0)在圆内．
∴过点P的直线l必与圆C相交．
题型二
直线与圆相切
2．过点A(4，－3)作圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线的方程．
[分析] 利用圆心到切线的距离等于圆的半径求出切线斜率，进而求出切线方程．
(2)若直线斜率不存在，
圆心C(3,1)到直线x＝4距离也为1，
这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x＝4.
综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.
[规律方法] 求圆的切线方程
设出直线的方程后，利用圆心到直线的距离等于半径求出直线的方程．设方程时要注意考虑斜率存在与否．
(1)过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3,3)的切线方程为( )
A．2x－y＋9＝0 B．2x＋y－9＝0
C．2x＋y＋9＝0 D．2x－y－9＝0
(2)由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为( )
对点训练
B
C
题型三
直线与圆相交
3．(1)求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长|AB|.
(2)过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，如果|AB|＝8，求直线l的方程．
[规律方法] 直线与圆相交时的弦长求法
(1)直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝______.
(2)过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点．若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为______.
对点训练
题型四
直线与圆的方程的实际应用
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？
[规律方法] 解决直线与圆的实际应用题的步骤
(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知．
(2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素．
(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知．
(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去．
为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离．
对点训练
课堂检测 固双基
1．(多选题)若直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( )
A．－2 B．－12
C．2 D．12
CD
C
A
4．已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程为_____________________.
(x－1)2＋(y＋1)2＝2(共34张PPT)
2．4 圆的方程
2.4.2 圆的一般方程
素养目标 定方向
1．掌握圆的一般方程及其特点．(重点)
2．会将圆的一般方程化为圆的标准方程，会由一般式求圆心和半径．(易混点)
3．能根据某些具体条件，运用待定系数法求圆的方程．(重点、难点)
1．通过圆的一般方程的推导，提升逻辑推理、数学运算的数学素养．
2．通过学习圆的一般方程的应用，培养数学运算的数学素养.
必备知识 探新知
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
知识点 1
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0变形为：
(1)当D2＋E2－4F>0时，方程表示圆，圆心为____________，半径为________________.
(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示点__________________.
(3)当D2＋E2－4F<0时，方程不表示任何图形．
提醒：一般地，二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是：A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.
做一做：1.圆x2＋y2－6x＝0的圆心坐标是__________，半径长是______.
[解析] 方程x2＋y2－6x＝0可化为(x－3)2＋y2＝9，
则圆心坐标为(3,0)，半径长为3.
2．方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是_________________.
[解析] 由x2＋y2－2x＋2k＋3＝0得(x－1)2＋y2＝－2k－2，因为方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，所以－2k－2>0，解得k<－1.
(3,0)
3
(－∞，－1)
圆的一般方程
知识点 2
(1)方程：当__________________时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程．
(2)本质：圆的方程的另一种表示形式，更具有方程特征．
D2＋E2－4F>0
思考：(1)圆的一般方程有什么特征？
(2)如果点P(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0内，那么应满足什么关系式？圆外呢？
做一做：1.若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F＝______.
[解析] 以(2，－4)为圆心，4为半径的圆的方程为(x－2)2＋(y＋4)2＝16，即x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，故F＝4.
2．已知圆C的一般方程为x2＋y2＋2ax＋9＝0，它的圆心C(5,0)，则圆C的半径r＝_____.
[解析] 由x2＋y2＋2ax＋9＝0得(x＋a)2＋y2＝a2－9.由－a＝5得a＝－5，所以r2＝16.所以圆C的半径r＝4.
4
4
关键能力 攻重难
1．(1)若方程x2＋y2＋2x＋4y＋m＝0表示的曲线是圆，则m的取值范围为( )
A．(－∞，20) B．(－∞，5)
C．(5，＋∞) D．(20，＋∞)
(2)已知a∈R，方程a2x2＋(2－a)y2＋8x－4y－5a＝0表示圆，则圆心坐标是________________.
题型探究
题型一
圆的一般方程的概念
B
(－4,2)
[解析] (1)方程x2＋y2＋2x＋4y＋m＝0表示的曲线是圆，22＋42－4m＞0，解得m＜5，所以m的取值范围是(－∞，5)．
[规律方法] 圆的一般方程的特点
(1)x2，y2的系数相等，且不为0；
(2)没有xy项；D2＋E2－4F>0.
可以根据这些特点，列出相应的条件解题．
(1)圆x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的半径和圆心坐标分别为( )
A．r＝1，(－2,1) B．r＝2，(－2,1)
C．r＝2，(2，－1) D．r＝1，(2，－1)
(2)若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是( )
对点训练
D
A
题型二
求圆的一般方程
2．求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程．
[规律方法] 求圆的方程的两种方法
(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程；
(2)待定系数法：①根据题意，选择标准方程或一般方程；②根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；③解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程．
(1)圆心在直线y＝x上，且经过点A(－1,1)，B(3，－1)的圆的一般方程是_______________________.
(2)已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，则△ABC的外接圆的方程是________________________.
对点训练
x2＋y2－4x－4y－2＝0
x2＋y2－8x－2y＋12＝0
题型三
求动点的轨迹方程
3．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆．已知直角坐标系中A(－2,0)，B(2,0)，则满足|PA|＝2|PB|的点P
的轨迹的圆心为______________，面积为________.
[规律方法] 求动点的轨迹方程的常用方法
1．直接法：能直接根据题目提供的条件列出方程．
2．代入法：找到所求动点与已知动点的关系，代入已知动点所在的方程．
设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
对点训练
易错警示
忽视圆的方程成立的条件
4．已知点O(0,0)在圆x2＋y2＋kx＋2ky＋2k2＋k－1＝0外，求k的取值范围．
[辨析] 本题忽视了圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件为D2＋E2－4F＞0，而导致错误．
[分析] 方程是否满足表示圆的条件，这是将二元二次方程按圆的方程处理时应首先考虑的问题．
[误区警示] 二元二次方程表示圆的条件和圆的一般式方程中求圆的半径容易失误，要特别注意.
课堂检测 固双基
1．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为( )
A．(4，－6)，16 B．(2，－3)，4
C．(－2,3)，4 D．(2，－3)，16
C
2．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为( )
A．－1 B．1
C．3 D．－3
[解析] 将圆的一般方程化为标准方程得(x＋1)2＋(y－2)2＝5，则圆心为(－1,2)．
∵直线过圆心，∴3×(－1)＋2＋a＝0，∴a＝1.
B
3．在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为_______________________.
x2＋y2－2x＝0
4．长度为6的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为__________________.
x2＋y2＝9(共28张PPT)
2．4 圆的方程
2．4.1 圆的标准方程
素养目标 定方向
1．会用定义推导圆的标准方程，掌握圆的标准方程的特点．(重点)
2．会根据已知条件求圆的标准方程．(重点、难点)
3．能准确判断点与圆的位置关系．(易错点)
通过对圆的标准方程的学习，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养.
必备知识 探新知
圆的标准方程
知识点 1
(1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r.
(2)方程：____________________.
(3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是_____________.
思考：方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝m2一定是圆的方程吗？若方程表示圆，m满足什么条件？此时圆的圆心和半径分别是什么？
提示：当m＝0时，方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝m2表示点(－a，－b)．
当m≠0时，方程表示圆，此时圆的圆心为(－a，－b)，半径为|m|.
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
x2＋y2＝r2
做一做：1.圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是( )
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9
B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3
D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9
[解析] 由圆的标准方程得，圆的方程是(x－1)2＋(y＋2)2＝9，故选D.
2．若圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心坐标为_______________，半径为______.
D
(1，－5)
点与圆的位置关系
知识点 2
点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法
位置关系 利用距离判断 利用方程判断
点M在圆上 |CM|_____r (x0－a)2＋(y0－b)2_____r2
点M在圆外 |CM|_____r (x0－a)2＋(y0－b)2_____r2
点M在圆内 |CM|_____r (x0－a)2＋(y0－b)2_____r2
＝
＝
>
>
<
<
做一做：点P(－2，－2)和圆x2＋y2＝4的位置关系是( )
A．在圆上 B．在圆外
C．在圆内 D．以上都不对
[解析] ∵(－2)2＋(－2)2＝8>4，
∴点P(－2，－2)在圆外，故选B.
B
关键能力 攻重难
1．求经过A(1,3)，B(4,2)两点，且圆心C在直线l：x＋y－3＝0上的圆的标准方程．
题型探究
题型一
求圆的标准方程
[规律方法] 求圆的标准方程的方法
确定圆的标准方程只需确定圆心C(a，b)和半径r，其求解方法：一是待定系数法，由三个独立的条件建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程，它是求圆的方程的常用方法．
二是几何法，常用到中点坐标公式，两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线交点必为圆心”等．
求满足下列条件的圆的标准方程．
(1)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，－4)；
(2)△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,0)，B(3,0)，C(3,4)，求△ABC的外接圆方程．
[解析] (1)设圆心C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，
整理得(b＋4)2＝16，解得b＝0或b＝－8.
∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
对点训练
题型二
点与圆的位置关系
2．已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)．
(1)若点M(6,9)在圆上，求a的值；
(2)已知点P(3,3)和点Q(5,3)，线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点，求a的取值范围．
[规律方法] 点与圆的位置关系及其应用
点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外．判断点与圆的位置关系有两种方法：一是用圆心到该点的距离与半径比较，二是代入圆的标准方程，判断与r2的大小关系．通过点与圆的位置关系建立方程或不等式可求参数值或参数的取值范围．
若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是( )
A．a<－1或a>1 B．－1C．0[解析] 由题意可知，(1－a)2＋(1＋a)2<4，解得a2<1，故－1对点训练
B
题型三
与圆有关的轨迹问题
3．已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
[解析] (1)设AP的中点为M(x0，y0)，
由中点坐标公式可知点P坐标为(2x0－2,2y0)．
因为点P在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x0－2)2＋(2y0)2＝4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x′，y′)．
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2.
所以x′2＋y′2＋(x′－1)2＋(y′－1)2＝4.
[规律方法] 求与圆有关的轨迹方程的方法
(1)直接法：根据题设条件直接列出方程．
(2)定义法：根据圆的定义写出方程．
(3)几何法：利用圆的性质列方程．
(4)代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
对点训练
课堂检测 固双基
1．点P(1,3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )
A．在圆外 B．在圆内
C．在圆上 D．不确定
[解析] 由12＋32<24可知，点P(1,3)在圆内，故选B.
B
2．以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的方程为( )
A．(x＋2)2＋(y－1)2＝4 B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝16 D．(x－2)2＋(y－1)2＝16
[解析] 圆心为(2，－1)，半径为4的圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝16.
C
3．经过点A(－4，－5)，B(6，－1)，且以线段AB为直径的圆的标准方程为__________________________.
(x－1)2＋(y＋3)2＝29
4．若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上相异两点P，Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为_____.
[解析] 圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴，已知圆的圆心为(－1,3)，由题设知，直线kx＋2y－4＝0过圆心，则k×(－1)＋2×3－4＝0，解得k＝2.
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