(共30张PPT)
3.3 抛物线
3．3.2 抛物线的简单几何性质
第2课时 直线与抛物线的位置关系
素养目标 定方向
1．会解决与抛物线有关的轨迹问题和中点弦问题．(重点)
2．能解决一些与抛物线有关的综合问题．(难点)
通过解决与抛物线有关的综合问题，提升逻辑推理、数学运算素养.
必备知识 探新知
抛物线的焦点弦的相关结论
知识点
过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
做一做：直线l过抛物线x2＝4y的焦点F，与抛物线交于A，B两点，
若|AF|＝6，则|BF|＝______.
关键能力 攻重难
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝2，求实数k的值．
题型探究
题型一
和抛物线有关的轨迹问题
[规律方法] 求轨迹问题的两种方法
(1)直接法：按照动点适合条件直接代入求方程．
(2)定义法：若动点满足某种曲线定义，可按待定系数法列方程(组)求解曲线方程．
若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程．
[解析] 设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由已知可得定圆圆心为C(2,0)，半径r＝1.
因为两圆外切，所以|MC|＝R＋1.
又动圆M与已知直线x＋1＝0相切，
所以圆心M到直线x＋1＝0的距离d＝R.
所以|MC|＝d＋1.
即动点M到定点C(2,0)的距离等于它到定直线x＋2＝0的距离．
对点训练
题型二
中点弦问题
2．过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，求AB所在直线的方程．
[规律方法] 涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系运用“设而不求”“整体代入”等解法．注意：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．
已知A、B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为(1,0)，线段AB恰被M(2,1)所平分．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)求直线AB的方程．
对点训练
题型三
抛物线性质的综合应用
3．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(1,0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．
(1)求抛物线C的方程；
[规律方法] 1.在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．
2．圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用特值探路法找定点、定值．
已知动圆经过定点D(1,0)，且与直线x＝－1相切，设动圆圆心E的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)设过点P(1,2)的直线l1，l2分别与曲线C交于A，B两点，直线l1，l2的斜率存在，且倾斜角互补．证明：直线AB的斜率为定值．
[解析] (1)∵动圆经过定点D(1,0)，且与直线x＝－1相切，∴E到点D(1,0)的距离等于E到直线x＝－1的距离，
∴E的轨迹是以D(1,0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线．
∴曲线C的方程为y2＝4x.
对点训练
课堂检测 固双基
1．已知动圆M经过点A(3,0)，且与直线l：x＝－3相切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A．y2＝12x B．y2＝－12x
C．x2＝12y D．x2＝－12y
A
2．在抛物线y2＝8x中，以(1，－1)为中点的弦所在直线的方程是( )
A．x－4y－3＝0 B．x＋4y＋3＝0
C．4x＋y－3＝0 D．4x＋y＋3＝0
C
A．y2＝2x B．y2＝6x
C．y2＝－2x或y2＝6x D．以上都不对
C
4．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为________.(共39张PPT)
3.3 抛物线
3．3.2 抛物线的简单几何性质
第1课时 抛物线的简单几何性质
素养目标 定方向
1．掌握抛物线的几何性质．(重点)
2．掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点)
3．能利用方程及数形结合思想解决焦点弦等问题．(难点)
1．通过抛物线几何性质的应用，培养数学运算素养．
2．通过直线与抛物线的位置关系、焦点弦等问题的学习，提升逻辑推理、直观想象及数学运算素养．
必备知识 探新知
抛物线的简单几何性质
知识点 1
标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py
(p>0)
图形
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴
标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py
(p>0)
焦点 坐标 F__________ F__________ F__________
F__________
准线 方程 x＝________ x＝______ y＝________
y＝______
顶点坐标 O(0,0) 离心率 e＝_____ 通径长 _______ 1
2p
做一做：1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)抛物线关于顶点对称．( )
(2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．( )
(3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．( )
×
√
√
D
直线与抛物线的位置关系
知识点 2
直线与抛物线有三种位置关系：_______、_______和_______.
设直线y＝kx＋m与抛物线y2＝2px(p＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，将y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.
①k＝0时，直线与抛物线只有_______交点；
②k≠0时，Δ＞0 直线与抛物线_______ 有_____个公共点．
Δ＝0 直线与抛物线_______ 只有_____个公共点．
Δ＜0 直线与抛物线_______ _______公共点．
相离
相切
相交
一个
相交
两
相切
一
相离
没有
想一想：直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？
提示：可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点．
做一做：若直线y＝kx＋2与y2＝x只有一个公共点，则实数k的值为__________.
直线与抛物线相交的弦长问题
知识点 3
(1)一般弦长
设斜率为k的直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|
＝______________________或|AB|＝________________________(k≠0)．
(2)焦点弦长
x1＋x2＋p
做一做：过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝10，则弦AB的长度为( )
A．16 B．14
C．12 D．10
[解析] 抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，
则|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝x1＋x2＋2＝12，故选C.
C
关键能力 攻重难
1．(1)设P是抛物线y2＝4x上任意一点，设A(3,0)，求|PA|取得的最小值；
(2)如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，求抛物线的方程．
题型探究
题型一
抛物线性质的应用
[规律方法] 利用抛物线的性质可以解决的问题
(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题．
(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题．
(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题．
对点训练
题型二
直线与抛物线的位置关系
2．已知抛物线C：y2＝2x，直线l过定点(0，－2)．讨论直线l与抛物线的公共点的情况．
直线l与抛物线C的位置关系如图所示．
[规律方法] 直线与抛物线交点问题的解题思路
(1)判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数．
(2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：①直线与抛物线的对称轴重合或平行；②直线与抛物线相切．
已知抛物线y2＝8x和直线l：y＝k(x－1)－1，判断直线l与抛物线的位置关系，若l与抛物线相交于不同两点，求以点(1，－1)为中点的弦所在的直线方程．
对点训练
题型三
抛物线的焦点弦问题
3．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求直线l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
[规律方法] 过焦点的弦长的求解方法
设过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p，然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立、消元，由根与系数的关系求出x1＋x2即可．
抛物线C的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，抛物线C过点A(4,4)，过抛物线C的焦点F作倾斜角等于45°的直线l，直线l交抛物线C于M，N两点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)求线段MN的长．
[解析] (1)依题意设抛物线C的方程为y2＝2px，p>0，
因为抛物线C过点A(4,4)，
所以42＝8p，解得p＝2，
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
对点训练
易错警示
4．顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为6的抛物线的标准方程为_____________.
[错解] 由题意知，抛物线的焦点在x轴上，
故可设其方程为y2＝2px(p>0)，
又因为通径长为6，故2p＝6，
故方程为y2＝6x.
[辨析] 错解中只考虑了焦点在x轴的正半轴上的情况，而忽略了焦点也可能在x轴的负半轴上的情况，故出现漏解．
y2＝±6x
[正解] 由题意，抛物线的焦点在x轴上，
故设方程为y2＝2px(p≠0)，
∵通径长为6，
∴|2p|＝6，∴p＝±3.∴抛物线方程y2＝±6x.
课堂检测 固双基
D
2．过抛物线x2＝4y的焦点F作直线l交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则|P1P2|＝( )
A．5 B．6
C．8 D．10
[解析] 抛物线x2＝4y的准线为y＝－1，
因为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点是过抛物线焦点的直线l与抛物线的交点，
所以P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点到准线的距离分别是y1＋1，y2＋1，
所以|P1P2|＝y1＋y2＋2＝8.
C
3．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F(1,0)，则实数p＝_____；若过点F且斜率为1的直线交该抛物线于A、B两点，则|AB|＝_____.
2
8
4．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝_________.
[解析] 当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点；
当k≠0时，联立方程消去y，得
k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，
由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，∴k＝1.
综上，k＝0或1.
0或1(共37张PPT)
3.3 抛物线
3．3.1 抛物线及其标准方程
素养目标 定方向
1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.(重点)
2．会求抛物线的标准方程，并能应用它解决有关问题.(难点)
通过研究抛物线的定义、图形及标准方程，提升数学抽象及数学运算素养.
必备知识 探新知
抛物线的定义
知识点 1
1．定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)的_________的点的轨迹.
2．焦点：定点F.
3．准线：定直线l.
思考1：抛物线的定义中，为什么要加条件l不经过点F？
提示：若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线.
距离相等
做一做：1.若动点P到点(3,0)的距离和它到直线x＝－3的距离相等，则动点P的轨迹是( )
A.椭圆 B．抛物线
C.直线 D．双曲线
[解析] 由抛物线定义知，动点P的轨迹是抛物线，故选B.
B
2．平面内到点A(2,3)和直线l：x＋2y－8＝0距离相等的点的轨迹是( )
A.直线 B．抛物线
C.椭圆 D．圆
[解析] 由题意知，直线l经过点A，则点的轨迹是过点A且垂直于直线l的一条直线，故选A.
A
抛物线的标准方程
知识点 2
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
思考2：抛物线的标准方程中p(p>0)的几何意义是什么？
提示：p的几何意义是焦点到准线的距离.
做一做：判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)抛物线y2＝－2px(p>0)中p是焦点到准线的距离.( )
(2)方程x2＝2ay(a≠0)表示开口向上的抛物线.( )
√
×
×
关键能力 攻重难
1．求下列各条抛物线的焦点坐标和准线方程：
(1)y2＝－12x；(2)3x2－4y＝0；(3)x＝32y2；(4)y2＝ax(a≠0).
[分析] 先将所给方程转化为标准方程的形式，确定其开口方向，求出p的值，再写出焦点坐标和准线方程.
题型探究
题型一
根据抛物线方程求焦点坐标以及准线方程
[规律方法] 由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法
已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程时，一般先将所给方程化为标准形式，由标准方程得到参数p，从而得焦点坐标和准线方程，要注意p>0，焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定，系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴.
(1)抛物线x2＋2y＝0的准线方程为( )
对点训练
C
D
题型二
求抛物线的标准方程
A.椭圆 B．双曲线
C.直线 D．抛物线
(2)根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：
D
[规律方法] 1.求抛物线标准方程的方法：
(1)直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数p.
(2)待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数p.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为y2＝mx或x2＝my.
2．定义法解决轨迹问题
根据动点坐标满足的方程判断其轨迹时，要注意结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式，对所给方程进行适当变形，分析其几何意义，然后结合有关曲线的定义作出判定.
(1)一个动圆经过点A(2,0)，并且和直线l：x＝－2相切，则动圆圆心M的轨迹方程是_____________.
(2)求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：
①过点(－1,2)；
②焦点在直线x－2y－4＝0上.
对点训练
y2＝8x
题型三
抛物线的实际应用问题
3．河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为 8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
[规律方法] 求解抛物线实际应用题的步骤
苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑(如图1所示)，“门”的内侧曲线呈抛物线形.图2是“东方之门”的示意图，已知|CD|＝30 m，|AB|＝60 m，点D到直线AB的距离为150 m，建立适当坐标系，求“门”的内侧曲线所在的抛物线方程，并求抛物线顶端O到AB的距离.
对点训练
易错警示
4．设抛物线y2＝mx(m≠0)的准线与直线x＝1的距离为3，求抛物线的方程.
[辨析] 题目条件中未给出m的符号，当m>0或m<0时，抛物线的准线是不同的，错解考虑问题欠周到.
课堂检测 固双基
1．过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为( )
A．圆 B．椭圆
C．直线 D．抛物线
[解析] 如图所示，设P为满足条件的一点，不难得出结论：点P到点A的距离|PA|等于点P到y轴的距离|PB|，故点P在以点A为焦点，y轴为准线的抛物线上，故点P的轨迹为抛物线．
D
2．(2023·北京卷)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在C上．若M到直线x＝－3的距离为5，则|MF|＝( )
A．7 B．6
C．5 D．4
[解析] 因为抛物线C：y2＝8x的焦点F(2，0)，准线方程为x＝－2，点M在C上，所以M到准线x＝－2的距离为|MF|，又M到直线x＝－3的距离为5，所以|MF|＋1＝5，故|MF|＝4.故选D.
D
3．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．
4．若抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为_______________________.
(－9,6)或(－9，－6)
