(共38张PPT)
3.2 双曲线
3.2.2 双曲线的简单几何性质
第2课时 直线与双曲线的位置关系
素养目标 定方向
1．理解直线与双曲线的位置关系.(重点)
2．会求解有关弦长问题.(重点、难点)
1．借助直线与双曲线的位置关系及判定方法培养直观想象、数学运算素养.
2．借助双曲线几何性质的应用及直线与双曲线位置关系的应用，提升数学运算及逻辑推理素养.
必备知识 探新知
直线与双曲线的位置关系
知识点 1
平行
相交于一点
Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2).
Δ>0 直线与双曲线有_____个公共点；
Δ＝0 直线与双曲线有_____个公共点；
Δ<0 直线与双曲线有_____个公共点.
两
一
0
思考：直线与双曲线只有一个交点，是不是直线与双曲线相切？
提示：不是.当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点.
A.1条 B．2条
C.3条 D．4条
C
弦长公式
知识点 2
若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝__________________________.
±1
关键能力 攻重难
1．已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，在下列条件下，求实数k的取值范围.
(1)直线l与双曲线有两个公共点；
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l与双曲线没有公共点.
[分析] 要研究直线与双曲线的交点个数，通常需联立直线与双曲线方程组成方程组，对方程解的个数进行讨论.
题型探究
题型一
直线与双曲线的位置关系
[规律方法] 直线与双曲线位置关系的判断方法：
(1)方程思想的应用
判断已知直线与双曲线的位置关系，将直线与双曲线方程联立，消去y(或x)，则二次项系数为0时，直线与双曲线的渐近线平行(或重合)，直线与双曲线只有一个公共点(或无公共点)；二次项系数不等于0时，若Δ>0则直线与双曲线有两个公共点，Δ＝0有一个公共点，Δ<0无公共点.
(2)数形结合思想的应用
①直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系.
②直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系.
对点训练
题型二
弦长问题
2．已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长.
[规律方法] 求弦长的两种方法
(1)距离公式法：当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标，再利用两点间距离公式求弦长.
对点训练
题型三
中点弦问题
试问：是否存在被点B(1,1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程，如果不存在，请说明理由.
[分析] 不妨假定符合题意的弦存在，那么弦的两个端点应分别在双曲线的左右两支上，其所在直线的倾斜角不可能是90°.
[规律方法] 中点弦问题：(一)可以将联立方程组消元后，用判别式和中点坐标公式求解；(二)可以用点差法和中点坐标公式求解.注意检验.
对点训练
易错警示
[辨析] 错因在于忽视了4－k2＝0，即l与双曲线的渐近线平行时，l与双曲线只有一个交点也符合题意.另外没有考虑直线l斜率不存在的情况.
课堂检测 固双基
A.0 B．1
C．2 D．4
[解析] 直线与渐近线平行，
∴有一个交点.
B
2．若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为( )
A.(－2,2) B．[－2,2)
C.(－2,2] D．[－2,2]
[解析] 易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，由Δ>0可得－2A
3．直线l与双曲线x2－4y2＝4相交于A、B两点，若点P(4,1)为线段AB的中点，则直线l的方程是_________________.
x－y－3＝0
4．已知AB为过双曲线C的一个焦点F且垂直于实轴的弦，且|AB|为双曲线C的实轴长的2倍，则双曲线C的离心率为______.(共38张PPT)
3.2 双曲线
3.2.2 双曲线的简单几何性质
第1课时 双曲线的简单几何性质
素养目标 定方向
1．掌握双曲线的简单几何性质.(重点)
2．理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程.(难点)
1．通过学习双曲线的简单几何性质，培养直观想象、数学运算素养.
2．通过求解双曲线离心率、取值范围和渐近线方程培养数学运算素养.
必备知识 探新知
双曲线的性质
知识点 1
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
a2＋b2
思考：双曲线的离心率对双曲线的形状有何影响？
做一做：1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”).
(1)双曲线的离心率越大，它的开口越小.( )
(2)双曲线的离心率的取值范围是(1，＋∞).( )
(3)当已知双曲线的渐近线时，双曲线的标准方程就是确定的.( )
提示：(1)双曲线的离心率越大，它的开口越开阔.
(3)具有相同的渐近线的双曲线有无数支，因此方程不能确定.
×
√
×
2．双曲线x2－4y2＝1的焦点坐标是_________，_________；中心坐标为________；顶点坐标为____________，_______；实轴长为_____，
虚轴长为_____，渐近线方程为y＝______，离心率为______.
(0,0)
(－1,0)
(1,0)
2
1
等轴双曲线
知识点 2
等长
y＝±x
关键能力 攻重难
1．求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.
[分析] 将双曲线方程化为标准方程，先求出参数a，b，c的值，再写出各个结果.
题型探究
题型一
由双曲线的方程求几何性质
[规律方法] 由双曲线的方程研究几何性质
1．把双曲线方程化为标准形式.
2．由标准方程确定焦点位置和a，b的值.
3．由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质.
提醒：把双曲线方程化为标准形式是求其几何性质的前提.
对点训练
D
C
题型二
根据双曲线几何性质求其标准方程
2．求满足下列条件的双曲线的标准方程.
求满足下列条件的双曲线的标准方程：
对点训练
题型三
求双曲线的离心率
C
对点训练
D
易错警示
C
[辨析] 错误的根本原因是误以为焦点只能在x轴上，造成失解.实际上本题应该有两种情况.
课堂检测 固双基
A
A
D(共37张PPT)
3.2 双曲线
3．2.1 双曲线及其标准方程
素养目标 定方向
1．理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.(重点)
2．掌握双曲线的标准方程及其求法.(重点)
3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.(难点)
1．通过双曲线概念的学习，培养数学抽象素养.
2．通过双曲线标准方程的求解、与双曲线有关的轨迹问题的学习，提升数学运算、逻辑推理及数学抽象素养.
必备知识 探新知
双曲线的定义
知识点 1
1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的_________等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.
2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}.
3．焦点：两个_________________.
4．焦距：___________的距离，表示为|F1F2|.
绝对值
定点F1，F2
两焦点间
思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
(2)双曲线的定义中，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？
提示：(1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在.
(2)点M在双曲线的右支上.
做一做：1.已知平面上定点F1，F2及动点M，命题甲：||MF1|－|MF2||＝2a(a为常数)，命题乙：点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，则甲是乙的( )
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 根据双曲线的定义知甲 乙，乙 甲，因此甲是乙的必要条件，故选B.
B
2．已知A(0，－5)，B(0,5)，|PA|－|PB|＝2a，当a＝3或5时，P点的轨迹为( )
A．双曲线或一条直线 B．双曲线或两条直线
C．双曲线一支或一条直线 D．双曲线一支或一条射线
[解析] 当a＝3时，2a＝6，此时|AB|＝10，
∴点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B).
当a＝5时，2a＝10，此时|AB|＝10，
∴点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线.
D
双曲线标准方程
知识点 2
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
焦点 __________________ _________________
a，b，c 的关系 c2＝_____________ (－c,0)，(c,0)
(0，－c)，(0，c)
a2＋b2
做一做：1.设动点M到点A(0，－5)的距离与它到点B(0,5)的距离的差等于6，则M点的轨迹方程是( )
C
x
(6,0)和(－6,0)
关键能力 攻重难
1．根据下列条件，求双曲线的标准方程：
题型探究
题型一
求双曲线的标准方程
[分析] (1)结合a的值设出标准方程的两种形式，将点A的坐标代入求解.
(2)因为焦点相同，所以所求双曲线的焦点也在x轴上，且c2＝16＋4＝20，利用待定系数法求解，或设出统一方程求解.
(3)双曲线焦点的位置不确定，可设出一般方程求解.
[规律方法] 用待定系数法求双曲线方程的步骤.
(1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴.
(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)；
(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值.
(4)结论：写出双曲线的标准方程.
对点训练
题型二
双曲线标准方程的识别
(1)若该方程表示双曲线，求实数k的取值范围；
(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数k的取值范围.
[解析] (1)方程表示双曲线，则有(4＋k)(1－k)<0，
即(k＋4)(k－1)>0，
解得k>1或k<－4，
因此实数k的取值范围是(－∞，－4)∪(1，＋∞).
(1)若方程表示双曲线，求a的取值范围；
(2)试说明(1)中的双曲线有共同的焦点.
对点训练
(2)由(1)可知，双曲线的焦点在y轴上，且c2＝5＋a＋(－4－a)＝1.
所以，方程表示的双曲线的焦点坐标为(0,1)，(0，－1)，显然与方程中的a无关，因此(1)中的双曲线有共同的焦点.
题型三
双曲线定义的简单应用
B
C
[规律方法] 双曲线的定义的应用
(1)已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离.
(2)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用.
对点训练
易错警示
4．已知双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0,3)，求k的值.
课堂检测 固双基
1．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( )
C
2．已知两定点F1(－3,0)、F2(3,0)，在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中，是双曲线的是( )
A．||PF1|－|PF2||＝5 B．||PF1|－|PF2||＝6
C．||PF1|－|PF2||＝7 D．||PF1|－|PF2||＝0
[解析] ∵|F1F2|＝6，A中，∵||PF1|－|PF2||＝5<|F1F2|，故动点P的轨迹是双曲线；B中，∵||PF1|－|PF2||＝6＝|F1F2|，∴动点P的轨迹是以F1或F2为端点的射线(含端点)；C中，∵||PF1|－|PF2||＝7>|F1F2|，∴动点P的轨迹不存在；D中，∵||PF1|－|PF2||＝0，即|PF1|＝|PF2|，根据线段垂直平分线的性质，动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线，故选A.
A
(4，＋∞)
17
