2024年北京怀柔一中高二（下）期中数学（PDF版含答案）

怀柔一中 2023-2024 学年第二学期期中练习
高二数学 2024.05
第一部分 （选择题 共 40 分）
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符
合题目要求的一项）
1. 数列-1 ，3，-5，7，…的第 10 项的值是
A． -17 B．17 C． -19 D．19
2.有甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同
排列方式共有
A．12 种 B．24 种 C．36 种 D．48 种
3.等差数列{an}中，若a2 + a5 + a8 = 6 ， Sn 为{an }的前n项和，则 S9 =
A． 18 B． 21 C． 27 D． 36
4.从1, 2, 3, 4, 5 中任取2 个不同的数，事件 A =“取到的2 个数之和为偶数”，事件B =“取到两个数均
为偶数”，则P(B | A) =
1 1 2 1
A． B． C． D.
8 4 5 2
5.已知a,b, c ∈ R ，如果-1 ， a ，b， c ， -9成等比数列，那么
A．b = 3 ， ac= 9 B．b = 3 ， ac= -9 C． b = -3， ac= 9 D．b= -3， ac= -9
4 3
6.甲、乙两人独立破译一份密码文件，已知各甲、乙能破译的概率分别是 ，则甲、乙恰有一
人成功破译这份文件的概率是
A. B. C. D.
7.在等比数列{an } 中， a1 = 3， a1 + a2 +a3 = 9，则a4 +a5 +a6 等于
A．9 B．72 C．9 或 72 D．9 或-72
8.数列 满足an = 则数列 的前n项和为
A. B. C. D.
9.已知数列{an } 为等比数列，其前 n项和为Sn，a1 > 0，则“公比q > 0 ”是“对于任意n∈ N*，Sn > 0”
的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
1
10. 已知{an }是各项均为正整数的数列，且a1 = 3， a7 = 8，对丫k ∈N* ， ak+1 = ak +1与ak+1 = ak+2 有
且仅有一个成立，则a1 + a2 + … +a7 的最小值为
A．18 B．20 C．21 D．23
第二部分 （非选择题 共 110 分）
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
展开式的常数项是 ．（用数字作答）
12.为了奖励班上进步大的 8 名学生，班主任购买了 5 本相同的书和 3 本相同的笔记本作为奖品分发
给这 8 名学生，每人一件，则不同的分法有 种（用数字作答）.
13.一批产品的废品率为 0.01 ，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 10 件，X表示抽到废
品的件数，则 E(X)+ D(X) = .
14．写出一个同时具有下列性质①②③的数列{an } 的通项公式： an = .
① a nnan+1 < 0 ； ②数列{ an }是单调递减数列； ③数列{2 an } 是一个等比数列.
*
15．项数为k(k ∈ N , k ≥ 2) 的有限数列{an } 的各项均不小于-1的整数，满足：
a1 . 2k-1 + a2 . 2k-2 + a . 2k-33 + . . . + ak -1 . 2+ ak = 0 ，其中a1 ≠ 0 .给出下列四个结论：①存在a1 = 1的数列
{an } ；②所有满足条件的数列{an } 中，首项相同；③若k = 2 ，则 a2 = 2 ；④若k = 3，则满足条件的
数列{an }有 4 个.其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题（共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
16.（本小题满分 13 分）
递减的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn 若 a3 . a5 = 63 ， a2 + a6 = 16.
（1）求{an } 的通项公式；
（2）当 n 为多少时， Sn 取最大值，并求其最大值；
2
1（北京）股份有限公司
17.（本小题满分 14 分）
甲乙两人参加某种选拔测试，在备选的 10 道题中，甲答对其中每道题的概率都是 ，乙能答对
其中的8 道题．规定每次考试都从备选的 10 道题中随机抽出4 道题进行测试，只有选中的 4 个题目
均答对才能入选；
( 1 ) 求甲恰有 2 个题目答对的概率；
( 2) 求乙答对的题目数 X 的分布列；
( 3) 试比较甲，乙两人平均答对的题目数的大小，并说明理由.
18.（本小题满分 14 分）
已知{an } 是各项均为正数的等比数列，其前 n 项和为 Sn ，a1 = 2，S3 = 14.数列{bn }满足 b1 = 5，
b3 = 3，且 {bn —an } 为等差数列.
( 1)求数列{an } 和 {bn } 的通项公式；
( 2) 求数列{bn } 的前 n 项和Tn .
19. （本小题满分 14 分）
已知数列{an } 中， a1 = 2， ，其中n ∈N* .
（1）求数列{an } 的通项公式；
（2）设bn = 2
an ，求证：数列{bn }是等比数列；
（3）求数列{anbn } 的前 n 项和Tn .
从①前 n 项和S 2n = n + n ，② Sn+1 = Sn + an + 2 ，③ a4 = 8且2an+1 = an + an+2 ，这三个条件中任选一个，
补充在上面的问题中并作答.
3
20.（本小题满分 15 分）
PMI值是国际上通行的宏观经济监测指标之一，能够反映经济的变化趋势.下图是国家统计局
发 布的某年 12 个月的制造业和非制造业 PMI值趋势图.将每连续 3 个月的PMI值做为一个观测
组，对 国家经济活动进行监测和预测
（1）现从制造业的 10 个观测组中任取一组，
( ⅰ)求组内三个 PMI值至少有一个低于 50.0 的概率；
(ⅱ)若当月的 PMI值大于上一个月的 PMI值，则称该月的经济向好.设 X表示抽取的观测组中经济
向 好的月份的个数( 由已有数据知 1 月份的 PMI值低于去年 12 月份的 PMI值)，求 X的分布列与
数学期 望；
（2）用bj (j = 1, 2, …, 12) 表示第 j月非制造业所对应的 PMI值， b 表示非制造业 12 个月 PMI值的
平 均数，请直接写出 bj — b 取得最大值所对应的月份.
21.（本小题满分 15 分）
已知有穷数列An ： a1,a2 . ..,a
*
n (n∈ N ,n≥ 2)满足a1 = an = 0，且当2≤ k≤ n(k ∈ N*) 时
， (ak —a 2k—1) = 1，令S(An ) = a1 +a2 +...+an .
（1）写出S(A3 ) 所有可能的值；
（2）求证： n一定为奇数；
（3）是否存在数列 An ，使得S 若存在，求出数列An ；若不存在，说明理由.
1
怀柔一中 2023-2024 学年第二学期期中练习高二数学
参考答案及评分标准
一、选择题： DBABC CDDAB
n一1
二、填空题: 11. 24 12.56 13.0.199 14. (| 一 ) | （答案不唯一） 15. ②③④
( ,
三、解答题
16. （本小题满分 13 分）
解： (1) 由题意， a2 + a6 = a3 +a5 = 16，(1分）
又 a3 . a5 = 63 ，所以 a3 与 a 是方程 x25 一 16x + 63 = 0 的两根,（2 分）
解得 或 （4 分） 又因为该等差数列递减，所以 （5 分
） 则公差 = 一1，（6 分）
a1 = 11，所以 an = 11+ (n 一1)(一1)= 12 一 n ；（7 分）
(2) 由 [a ≥ 0 ，即 [12一 n≥ 0，（9 分） 解得11< n≤ 12,（10 分）n
{ , {
lan+1 < 0 l11一 n< 0
又 n ∈N* ，所以当 n = 11或 12 时，（12 分） Sn 取最大值，
最大值为S11 = S12 = 12× 11+ (一1) = 66（13 分）
17.（本小题满分 14 分）
4
解： ( Ⅰ ) : 甲乙两人参加某种选拔测试，在备选的 10 道题中，甲答对其中每道题的概率都是 5 ，
: 选中的 4 个题目甲恰有 2 个题目答对的概率
( Ⅱ) 由题意知乙答对的题目数 X 的可能取值为 2，3，4，（5 分）
,
1
: X 的分布列为：
X 2 3 4
2 8 1
P
15 15 3
（9分）
( Ⅲ) : 乙平均答对的题目数 （11 分
） 而甲答对题目数 （12 分）
甲平均答对的题目数E(Y) = 4 ×
: E (X ) = E (Y) ，
: 甲平均答对的题目数等于乙平均答对的题目数． (14 分）
18.（本小题满分 14 分）
解： ( Ⅰ ) 设等比数列{an } 的公比为 q，等差数列{bn - an } 的公差为 d，
因为 a1 = 2， S3 = a1 +a2 +a3 = 14，
所以 q2 + q - 6= 0 ， 2 分
解得q = 2 或q = -3( 舍) ， 4 分
又因为b1 - a1,b2 - a2,b3 - a3 成等差数列，
所以 (b3 - a3) =(b1 - a1 )+2d，6 分
解得 d = -4 ，8 分
n n *
所以 an = 2 ,bn = 2 - 4n + 7, n ∈N ； 10 分（写对一个通项公式 1 分）
( Ⅱ ) 由( Ⅰ )知， b nn = 2 - 4n + 7，
因此数列{bn } 的前 n 项和为 Tn = (2+ 22 + … + 2n ) - 4(1+ 2 + … + n) + 7n， 12 分
所以，数列{bn } 的前 n 项和为 T = 2n+1 - 2n2 + 5n - 2,n ∈N* .n 14分
2
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19. （本小题满分 14 分）
（1）解：选① Sn = n
2 + n，
当 n= 1时， a1 = S1 = 2, 1 分
2 2
当n≥ 2时， an = Sn - Sn -1 = n + n - (n - 1) - (n - 1)= 2n ，3 分
当n = 1时， an = 2n也成立，4 分
所以an = 2n ( n ∈N ); 5分+
选②Sn+1 = Sn + an + 2 ，因为Sn+1 = Sn + an + 2 ，所以an+1 - an = 2 ，2 分
所以数列{an }是以2 为公差的等差数列， 3 分
所以an = 2n； 5 分
选③ a4 = 8且2an+1 = an +an+2，
因为2an+1 = an +an+2 ，所以数列{an }是等差数列，2 分
a - a
公差d = 4 1 = 2 ， 3 分
4 - 1
所以an = 2n； 5 分
（2 a n）解：由（1）得b nn = 2 = 4 ，6 分
则 8 分
所以数列{bn }是以b1 = 4为首项， 4为公比的等比数列； 9 分
（3）解： anbn = 2n . 4
n
，
T = 2×4+ 4×42 + 6×43 +…+ 2n .4nn ，① 10 分
4Tn= 2×4
2 +4×43 +…+ 2(n -1)4n + 2n .4n+1，② 11 分
2 (4n+1 -4)
由①- ②得-3Tn = 2 (4+ 4 2 + …+4n)- 2n .4 n+1 = - 2n .4 n+1 ，13 分3
所以 14
T = - .4n+1n
分
即 分
3
20. （本小题满分 15 分）
解： (1)(i) 从制造业的 10 个观测组中任取一组的基本事件有：
(51.3, 50.6, 51.9) ， (50.6, 51.9, 51. 1) ， (51.9, 51. 1, 51) ， (51. 1, 51, 50.9) ， (51, 50.9, 50.4)，
(50.9, 50.4, 50. 1) ， (50.4, 50. 1, 49.6) ， (50. 1, 49.6, 49.2)， (49.6, 49.2, 50. 1)， (49.2, 50. 1, 50.3)，
共有 10 个， 1 分 （说明总数 10 个即可）
设“组内三个 PMI 值至少有一个低于 50.0 ”为事件 A， 2 分
则事件 A 包含的结果有：
(50.4, 50. 1, 49.6) ， (50. 1, 49.6, 49.2) ， (49.6, 49.2, 50. 1) ， (49.2, 50. 1, 50.3) 共 4 个，3 分
由古典概型的计算公式 4 分
(ii)X 的可能取值为 0，1，2， 5 分
, 8 分（求对一个概率 1 分）
X 的分布列为：
X 0 1 2
1 2 1
P
2 5 10
9 分
所以随机变量 X 的数学期望 11 分
(2)8 月份，15 分
(理由如下：
由某年 12 个月的非制造业 PMI 值趋势图中的数据，得
-
b = ≈52.9，
根据某年 12 个月的非制造业 PMI 值趋势图，可知
-
当 j = 8 时， | bj -b |取得最大值为 | b8 -b |=| 47.5 - 52.9 |= 5.4. ) 15 分
4
21.（本小题满分 15 分）
（1）解：由题意 a1 = a3 = 0，1
2
分 (a2 - a1) = 1 ,所以a2 = ±1
，2 分
故满足条件的数列 A3 的所有可能情况有
： 0，1，0，此时S (A3 ) = 1； 3 分
0，-1，0，此时S (A3 ) = -1； 4 分
综上所述， S (A3 ) 的所有可能取值为 1，-1； 5 分
2
（2）证明：由(ak - ak-1) = 1，可设ak - ak-1 = ck-1 ，则ck-1 = 1或ck-1 = -1（ 2 ≤ k ≤ n ， k ∈ N*），7
分 所以an = an-1 + cn-1 = an-2 + cn-2 + cn-1 = . . .= a1 +c1 +c2 + .. .+cn-2 + cn-1 ，8 分
因为a1 = an = 0，所以c1 +c2 + ...+cn-2 + cn-1 = 0 ，9 分
设ck 中有m 个 1， n - 1 - m个-1 ，则m - (n -1- m) = 0
， 故n = 2m +1为奇数； 10 分
（3） n为奇数， c1, c2, . . ., cn-2, cn-1 是由 个 1 和 构成的数列，
S (An ) = c1 + (c1 +c2 ) + ...+ (c1 +c2 + ...+ cn-2 + cn-1) = (n -1)c1 + (n - 2)c2 + ... + 2cn-2 + cn-1，
则当c1, c2, . . ., cn-2, cn-1 的前 项取 1，后 项取-1时， S 最大，
此时 + . . .+ 不符合题意；
如果c1, c2, . . ., cn-2, cn-1 的前 项中恰有t项cm1, cm2, . . ., cmt取-1，后 项中恰有t项cn1, cn2, . . ., cnt 取 1
，
若 ，则n - 2 = 2
司
因为n 是奇数，所以n - 2是奇数 是偶数，
因此不存在数列An ，使得S 15 分（根据学生答题情况酌情给分）
4