2024年中考数学精选压轴题之一次函数综合

2024年中考数学精选压轴题之一次函数综合
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（2024八上·田阳期末） 一次函数y＝（m-2）x+2-m和y＝x+m在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2023八上·深圳期中）如图所示，直线y=x+3分别与x轴、y轴交于点A、B，若∠ABC=45°，则直线BC的函数表达式为（　　）
A．y=x+3 B．y=x+3 C．y=x+3 D．y=x+3
3．若是一次函数图象上的不同的两点，记，则当时，的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023八上·深圳期中）如图，已知点P（6，2），点M，N分别是直线l1：y＝x和直线l2：上的动点，连接PM，MN．则PM+MN的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．
5．（2024八上·福田期末）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：
①A，B两城相距300千米；
②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；
③乙车出发后1.5小时追上甲车；
④当甲、乙两车相距50千米时，t＝或．
其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2023八下·晋安期末）如图，正方形的边长为，点和点在轴正半轴上，点、在第一象限，一次函数的图象交、分别于、．若与的面积比为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2023八下·南宁期末）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，之后只出水不进水，每分的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：）与时间x（单位：）之间的关系如图．则下列说法正确的是（　　）
A．进水管每分钟的进水量为 B．当时，
C．出水管每分钟的出水量为 D．水量为的时间为或
8．（2023八下·泗水期末）已知、两地是一条直路，甲车从地到地，乙车从地到地，两车同时出发，乙先到达目的地，两车之间的距离（）与运动时间（）的函数关系大致如图所示，下列说法错误的是（　　）
A．两车出发后相遇
B．甲车的速度为/
C．乙的速度为/
D．乙车比甲车提前到达目的地
9．（2023八下·南陵期末）如图1，四边形中，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度，沿路线A-B-C-D运动.设点的运动时间为，的面积为，当运动到的中点时，的面积为（　　）
A． B． C． D．
10．（2023八下·长沙期中）一次函数（，k、b是常数）与（，m是常数）的图像交于点，下列结论正确的序号是（　　）
①关于的方程的解为；
②一次函数（）图像上任意不同两点和满足：；
③若（），则；
④若，且，则当时，．
A．②③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④
11．（2023·增城模拟）如图，已知直线与轴交于点A，点与点A关于轴对称．是直线上的动点，将绕点顺时针旋转得．连接，则线段的最小值为（　　）．
A．3 B． C． D．
12．（2022八上·历下期中）为培养同学们的创新精神，某校举办校园科技节活动，八年级同学进行了机器人行走性能试验．在试验场地有A，B，C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A，B两点同时同向出发，历时8分钟同时到达C点，乙机器人始终以60米/分的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与它们的行走时间x（分钟）之间的函数图象，若前3.5分钟甲机器人的速度不变，则出发（　　）分钟后两机器人最后一次相距6米．
A．6 B．6.4 C．6.8 D．7.2
二、填空题（每题3分，共18分）
13．（2024九下·隆昌月考）如图，四条直线，，，，，过点作轴交于点，再过点作，交于点，再过点作交y轴于点，……，则点的坐标为　 　.
14．（2023九上·成都开学考）在平面直角坐标系中，点，点P的“变换点”Q的坐标定义如下：当时，，当时，，线段按上述“变换点”组成新图形，直线与新图形恰好有两个公共点，则k的取值范围 　 　．
15．（2024八上·海曙期末）已知，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，在第一象限内有一点P，使得是等腰直角三角形，则点P的横坐标为　 　.
16．（2024八上·遂川期末）在平面直角坐标系中，已知直线l：过点，且与坐标轴交于点，则当的面积为2，且直线与轴不平行时，直线的表达式为　 　．
17．（2024八上·邛崃期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：；直线l2：，直线上有一点A，且点A的纵坐标是．在直线的右侧作正方形，交直线于点D，交x轴于点E，连接交直线于点F，交x轴于点G，则下列结论正确的有　 　．（填序号）
①的周长为；
②；
③；
④点P为射线上一动点，的最小值为．
18．（2024八上·奉化期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交、轴于点、，将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是　 　.
三、解答题（共5题，共38分）
19．（2024八下·经开期中） 如图是由小正方形组成的网格，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点．正方形四个顶点都是格点．点E的坐标为．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程线用虚线，结果线用实线表示．
（1）在图1中，以为边画；
（2）在图1中，在上画点M，使得；
（3）在图2中，在上画点G，使得
（4）直接写出与x轴交点的横坐标　 　；
20．（2024八上·雅安期末）如图，已知直线：与轴，轴交于点，点，直线经过点，与直线交于点．
（1）求点的坐标及直线的函数表达式；
（2）求的面积；
（3）点为直线上一动点，若有，求点的坐标．
21．（2024八上·成都期末）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，点坐标为，连接，，点是线段上的一动点，直线过，两点．
（1）求的面积；
（2）若点的横坐标为1，直线上是否存在点，使点到直线的距离为，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）将沿直线翻折，点的对应点为，若为直角三角形，求线段的长．
22．（2024·前郭尔罗斯模拟）我市莲池区开展了“阳光体育，强身健体”系列活动，小明积极参与，他每周末和哥哥一起练习赛跑．哥哥先让小明跑若干米，哥哥追上小明后，小明的速度降为原来的一半，已知他们所跑的路程y（m）与哥哥跑步的时间x（s）之间的函数图象如图．
（1）哥哥的速度是　 　m/s，哥哥让小明先跑了　 　米，小明后来的速度为　 　m/s．
（2）哥哥跑几秒时，哥哥追上小明？
（3）求哥哥跑几秒时，两人相距10米？
23．（2024八上·舟山期末）如图1，已知在中，，边在轴上，点在轴上，，的坐标为，点是轴上一个动点，它的坐标是，，直线交直线于点．
（1）求直线的表达式；
（2）若，点为直线上一点，且平分，求的坐标；
（3）如图，连接，以为直角边作等腰直角（、、三点按照逆时针顺序排列），使得，．
①试说明在点的运动过程中，的面积是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由；
②点从运动到的过程中，点的运动路径长为 ▲ ．
四、实践探究题（共8分）
24．（2024九下·新疆维吾尔自治区开学考）
（1）【模型建立】如图1，在△ABC中，，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E．求证： ；
（2）【初步应用】如图2，已知直线：分别交轴于点A、B，将直线绕点A逆时针旋转45°至直线，求直线的函数表达式；
（3）【迁移拓展】如图3，直线分别交x、y轴于A、B两点，直线分别交x、y轴于点C、D交直线AB于点E．若∠BED=45°，请直接写出点C的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：在一次函数y＝（m-2）x+2-m中，当x=1时，y=0，
∴一次函数y＝（m-2）x+2-m 一定过定点(1，0)；
A、由 一次函数y＝（m-2）x+2-m 的图象可得，
解得0＜m＜1，
∴y=x+m的图象与y轴的交点在（0，1）下方，故此选项错误，不符合题意；
B、由 一次函数y＝（m-2）x+2-m 的图象可得，
解得1＜m＜2，
∴y=x+m的图象与y轴的交点在（0，1）上方且在（0，2）下方，故此选项正确，符合题意；
C、由 一次函数y＝（m-2）x+2-m 的图象可得，
解得m＞2，
∴y=x+m的图象与y轴的交点在（0，2）上方，故此选项错误，不符合题意；
D、由 一次函数y＝（m-2）x+2-m 的图象可得，
解得m＞2，
∴y=x+m的图象与y轴的交点在（0，2）上方，故此选项错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】首先确定一次函数y＝（m-2）x+2-m 一定过定点(1，0)；然后根据一次函数y＝（m-2）x+2-m 的图象分别判断出m的取值范围，进而再根据m的取值范围确定一次函数y=x+m与y轴交点的位置，即可逐项判断得出答案.
2．【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点作交直线于点，过点作轴于点，则，
，，
∴为等腰直角三角形，即，
∵，，
，
，
，，
直线，令，得，即，
∴B（0，3），
令，得，，
即，
，，
设直线BC的解析式为，
把代入解析式，
得，
解得 ，
∴过B、C两点的直线解析式是，
故答案为：A.
【分析】过点A作AN⊥AB交BC于点N，过点N作MN⊥x轴于点M，用AAS证得△NAM≌△ABO，从而得到AM=OB，CM=OA， 由y=x+3 可得，，即可得到，结合待定系数法，把和代入，计算求解即可．
3．【答案】D
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
故答案为：D.
【分析】将点A和点B代入一次函数中得到：进而得到：即最后根据""得到解此不等式即可求解.
4．【答案】B
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点P（6，2）关于直线y=x的对称点P'，则P'（2，6），
连接P'M，则P'M=PM，
∴PM+MN=P'M+MN，
欲求PM+MN的最小值，即求P'M+MN的最小值，
当P'N⊥直线 时交直线y=x于点M，此时P'M+MN的值最小，即为P'N的长，
可设直线P'N为y=-2x+b，
把P'（2，6）代入y=-2x+b中，得b=10，
∴y=-2x+10，
令-2x+10=x，
解得：x=4，
∴y=-2x+10=2，∴N（4，2），
∴P'N==，
故答案为：B.
【分析】作点P（6，2）关于直线y=x的对称点P'，连接P'M，则P'M=PM，即PM+MN=P'M+MN，欲求PM+MN的最小值，即求P'M+MN的最小值，当P'N⊥直线 时交直线y=x于点M，此时P'M+MN的值最小，即为P'N的长，据此解答即可.
5．【答案】C
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：由图象可知A，B两城相距300千米，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，
∴①②都正确；
设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲=kt，
把(5，300)代入得，5k=300，
解得k=60，
∴y甲=60t，
设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙=mt +n，
把(1，0)，(4，300)代入得，
，
解得
∴y乙=100t-100，
令y甲=y乙，得60t=100t-100，
解得t=2.5，
即甲、乙两直线的交点横坐标为t=2.5，此时乙出发时间为1.5小时，
即乙车出发1.5小时后追上甲车，
∴③正确；
令|y甲-y乙|=50，
得60t-100t+100=50，即|100-40t|=50，
∴100-40t=50或100-40t=-50，
解得或
当60t=50时，，
此时y甲=50，乙还没有出发，
当60t=250时，，
此时y甲=250，乙已到达B城，
即当或或或两车相距50千米，
∴④错误，
综上，①②③正确，共三个.
故答案为：C.
【分析】 由图象可知A，B两城相距300千米，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，故①②都正确；设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲=kt，把(5，300)代入可求出t的值，从而得到y甲=60t，设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙=mt +n，把(1， 0)，(4，300)代入，可得关于字母m、n的方程组，求解可得m、n的值，从而得到y乙=100t-100，联立所求的两函数解析式求解可得交点坐标，即可判断③；分乙车出发前两车相距50千米，两车行驶中两车相距50千米及乙车到达B城后两车相距50千米，三种情况考虑可判断④，综上即可得出答案.
6．【答案】C
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵一次函数y=kx+4的图象交y轴于点E，
∴E（0，4），
∴OE=4，
∵ 正方形ABCD的边长为4，点A（0，2）和点D在y轴正半轴上 ， 点B、C在第一象限 ，
∴D（0，6），BC=CD=4，
∴OD=6，
∴DE=OD-OE=2，
设DF=x，则CF=4-x，
∴S△DEF=DE×DF=x，S△BCF=BC×CF=2（4-x），
∵S△DEF∶S△BCF=1∶2，
∴x∶2（4-x）=1∶2，
解得x=2，
∴DF=2，
∴F（2，6），
将点F（2，6），代入y=kx+4得2k+4=6，
解得k=1.
故答案为：C.
【分析】根据一次函数图象与y轴交点的坐标特点先求出点E的坐标，进而根据正方形的边长及点的坐标特点求出D点坐标，进而求出DE的长，设DF=x，则CF=4-x，根据三角形的面积计算公式分别表示出△DEF与△BCF的面积，再由S△DEF∶S△BCF=1∶2建立方程求出x的值，从而可求出点F的坐标，最后将点F的坐标代入一次函数y=kx+4可求出k的值.
7．【答案】D
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：A．∵4min的进水量为20L，
∴进水管每分钟的进水量=20÷4=5（L），
故错误；
B．设y与x之间的函数表达式为y=kx+b（k≠0）（4＜x≤12），
∵点（4，20），点（12，30）都在此函数图象上，
∴，
解得，
∴函数表达式为(4＜x≤12)，
故错误；
C．由B可得：当4＜x≤12时，容器内每分钟增加L水，
∴出水管每分钟的出水量为（L），
故错误；
D．当0＜x≤4时，水量为15L的时间为15÷5=3（min），∴3min时，水量为15L；
∵（min），
∴16min时，水量为15L．
∴水量为15L的时间为3min或16min，
故正确．
故答案为：D.
【分析】(1)当0＜x≤4时，图象为正比例函数，根据4min共进水20L，可求得平均进水量；
（2） 当时 ，图象为线段，根据线段两端点的坐标，可求得一次函数表达式；
（3）依据每分的进水量和出水量是两个常数，可知进水速度可依据A得到，根据B中的k可知容器内每分钟增加水量，从而可求得出水管每分钟的出水量；
（4）水量为的时间有两个，一个在0＜x≤4时，另一个在时，分别计算求解.
8．【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】
A：当t=2时，y=0，即当两车行驶2小时后，两车间的距离为0，即相遇。A正确；
B：由图可知，甲车从A地到B地共用了5小时，所以甲车的速度为300÷5=60km/h，B正确；
C：两车从出发到相遇用了2小时，所以两车的速度和为300÷2=150km/h，所以乙车的速度为150-60=90km/h，C正确；
D：乙车从B地到A地所用的时间为：300÷90=小时，比甲车提前的时间为：小时。D错误。
故答案为：D
【分析】
两车相遇时，两车间的距离为0，结合图像得出相遇时间，甲的到达时间，从而可计算出甲的速度，甲乙的速度和，乙的速度及乙的到达时间。
9．【答案】A
【知识点】通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象
【解析】【解答】 解：四边形 中， ， ，
∴ ，
∵点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度，
当点 从 运动到 处需要 秒，则 ，
根据图像：当 时，点 运动到 点， 的面积为 ，
∴ ，
∴ ，
根据图像：当点 运动到 点时， 面积为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是梯形，
又∵ ，
∴四边形 是直角梯形，
∵ ，点 的速度是每秒 个单位长度，
∴运动时间为 秒，
∴ ，
设当 时，函数解析式为 ，
∴ ，
解得： ，
∴当 时，函数解析式为 ，
如图 ，过点 作 于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴当 运动到 的中点时的时间 ，
∴ ，
∴当 运动到 的中点时， 的面积为 ．
故答案为：A.
【分析】结合函数图象中的数据和三角形的面积公式求出四边形ABCD的边长，再求出当 运动到 的中点时的时间 ，再求出即可.
10．【答案】B
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的性质
【解析】【解答】解：①∵一次函数（，k、b是常数）与（，m是常数）的图像交于点，
∴关于的方程的解为，①正确；
②将点D代入解得m=-1，
∴，
∴y随x的增大而减小，
∴，，
∴恒成立，②正确；
③∵（），
∴，
∴，
∴x=0或k=-1，③错误；
④将点D代入得k+b=2，
∴k=2-b，
∵，且，
∴k＞-1且k≠0，
画出图像如图所示：
∴当时，，④正确；
故答案为：B
【分析】根据两个一次函数的交点坐标即可判断①；将点D代入即可求出m，进而根据一次函数的性质结合题意即可判断②；先根据题意即可得到，进而解方程即可判断③；将点D代入结合题意即可得到k=2-b，进而根据题意画出图形，观察图像即可求解。
11．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；旋转的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：如图，设直线与y轴的交点为E，再取的中点D，连接，过B作于H点．
对于，令，则，
∴．
令，则，
∴．
∴，．
∵，
∴，
∵的中点为D，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴．
由旋转的性质可知，，
∴，即，
∴，
∴．
∵A为定点，为定值，
∴当M在直线上运动时，点N也在定直线上运动，
∴当点N与点H重合时，最短．
∵点与点A关于轴对称，
∴，
∴．
∵，
∴，即的最小值为3．
故答案为：A．
【分析】先求出，，再求出，最后利用全等三角形的性质，锐角三角函数计算求解即可。
12．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图可知，甲机器人用3分钟追上乙机器人，
甲机器人速度比乙机器人快（米/分钟），
分钟时，甲机器人在乙机器人前面（米，
设4到8分钟的解析式为，将，代入得：
，
解得，
，
当时，，
解得，
故答案为：B．
【分析】先利用待定系数法求出函数解析式，再将y=6代入计算即可。
13．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；与一次函数相关的规律问题；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：直线l1，l2，l3，l4，
∴x轴，l1，l2，y轴l3，l4，依次相交成30°角，
各点的位置12个一循环，
∵2020＝12×168+4，
∴点A2020的位置在y轴正半轴上，
OA1＝1，OA2＝，OA3＝（）2，OA4＝（）3，…，OAn＝（）n﹣1，
∴A2020（0，）；
故答案为（0，）；
【分析】先计算OA1，OA2，OA3，OA4，从中总结规律为OAn＝（）n﹣1，据此求解即可。
14．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵ 点 在线段上，
∴P（a，-a+2），
把点P坐标代入y=-x+2中，得a=1，
∵-2＜x＜6，
∴当-2≤a＜1，a＜-a+2，即a＜b，
当1≤a≤6，a≥-a+2，即a≥b，
∴ 当时 Q（a，a-2），线段为y=x-2，则2≤a＜1
当 时 ， Q（a+1，-a-3），线段为y=-x-2，则1≤a≤6，可得2≤a+1≤7，
如图所示：
∵ 直线恒过（0，1）， 若此直线与新图形恰好有两个公共点 ，
∴图象的界点为A（1，-1）B（1，-3），
将A、B坐标分别代入中，得k=-1，-2，
∴
故答案为： .
【分析】点 在线段上，结合已知确定a的范围及对应解析式y=x-2，y=-x-2，再求出界点A、B的坐标，然后分别代入中求出k的最大值与最小值即可得解.
15．【答案】6，14，7
【知识点】三角形全等及其性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图：
令y=0，得 ，解得：x=8，故点A坐标（8，0），OA=8；
令x=0，则y=6，故点B坐标（0，6），OB=6；
①过B作BP⊥AB，并截取BP=AB，则△ABP是等腰直角三角形.作PG⊥y轴于点G.
∴∠PGB=∠PBA=∠BOA=90°.
∴∠GPB+∠GBP=90°，∠GBP+∠ABO=90°，
∴∠GPB=∠ABO，
∴△GPB≌△OBA（AAS）.
∴GP=OB=6，
故P的横坐标为6.
②过A作AP⊥AB，并截取AP=AB，则△ABP是等腰直角三角形.作PH⊥x轴于点H.
同理可得：△OBA≌△HAP.
∴AH=OB=6，HP=OA=8，H点坐标为（14，0），P点坐标为（14，8）.
故P的横坐标为14.
③P为直角顶点.
作线段AB的垂直平分线DE，交AB于点D，交x轴于点E，截取DP=DB，作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N.
∵∠NPM=∠BPA=90°，
∴∠NPB=∠MPA，
∵∠PNB=∠PMA=90°，PB=PA，
∴△PNB≌△PMA（AAS）
∴PN=PM，NB=AM.
∴OB+NB=OA－MA，
∴MA=1，OM=7
∴故P的横坐标为7.
故答案为：6，14，7.
【分析】根据题意求出A，B两点的坐标，分别以A，B为顶点，AB长为一腰，作等腰直角三角形，构造全等三角形，即可求出第3个点P的坐标；再作AB的中垂线，在中垂线上找点P，构造全等三角形，即可求出坐标.
16．【答案】或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：根据题意
当B在y轴上时，设B的坐标为（0，c）
B的坐标为（0，2）或（0，-2）
直线l 经过点A（2，2）和B（0，2）或者A（2，2）和B（0，-2）代入解析式得
解得
当B在x轴上时，设B的坐标为（a，0）
B的坐标为（2，0）或（-2，0）
直线与轴不平行
直线l 经过点A（2，2）和B（2，0）这种情况舍去
直线l 经过点A（2，2）和B（-2，0）代入解析式得
解得
综上，直线的表达式为或
故答案为：或或
【分析】观察图形，发现无论B在什么轴上，三角形OAB的高都是2；区分2种情况，设出B点坐标，根据面积公式可求出三角形的底，注意求面积使用的底的数据可正可负，判定符合面积条件的应有4个B点，通过计算发现有一个不符合题意，故用待定系数法可求出3个解析式。
17．【答案】②
【知识点】一次函数图象与几何变换；三角形三边关系；全等三角形的应用；勾股定理的应用；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作轴于M，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴，
如图将绕点O顺时针旋转90度得到，
∴，，
∴，
∴B、C、H三点共线，
∵点D在直线上，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的周长，故①错误；
如图所示，取中点K，连接，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴，
设，则，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故②正确；
如图将绕点O逆时针旋转90度得到，连接，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故③错误；
∵点P为射线上一动点，，
∴当时，最小，即此时最小，最小值为，故④错误；
故答案为：②．
【分析】如图所示，过点A作轴于M，先求出，则，利用勾股定理求出，如图将绕点O顺时针旋转90度得到，则，，证明B、C、H三点共线，，则可证明，得到，进而得到，则的周长，故①错误；如图所示，取中点K，连接，证明是等边三角形，推出，得到，，设，则，则，利用勾股定理得到，解得，则，故②正确；如图将绕点O逆时针旋转90度得到，连接，证明，得到，由，得到，故③错误；由点P为射线上一动点，，则当时，最小，即此时最小，最小值为，故④错误．
18．【答案】
【知识点】一次函数图象与几何变换；待定系数法求一次函数解析式；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，如图，
∵ ∠ABD=45°，AD⊥AB，
∴ △ABD是等腰直角三角形，
∴ AB=AD，
∵ ∠BAD=90°，
∴ ∠OAB+∠EAD=90°，
∵ ∠OAB+∠OBA=90°，
∴ ∠EAD=∠OBA，
∵ ∠AOB=∠DEA=90°，
∴ △AOB≌△DEA（AAS），
∴ DE=AO，AE=BO，
∵ y=2x-2，
∴ A（1，0），B（0，-2），
∴ OA=1，OB=2，
∴ D（3，-1），
设BC的函数表达式为y=kx+b，
∴，
∴ k=，b=-2，
∴ y=x-2.
故答案为： y=x-2.
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，根据等腰直角三角形的判定和性质可得AB=AD，证明出∠EAD=∠OBA，根据AAS判定△AOB≌△DEA推出 DE=AO，AE=BO，从而得到D点坐标，根据待定系数法，即可求得.
19．【答案】（1）解：如图，为所求；
（2）解： 连接，取格点H，使得，连接并延长交于点M，连接，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
如图，点M为所求；
（3）解：如图，点G为所求；
（4）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】（1）解：如图，为所求；
（2）解： 连接，取格点H，使得，连接并延长交于点M，连接，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
如图，点M为所求；
（4）解：如图，在（3）的基础上，连接，则，，
设直线的解析式为，
点为的中点，
，
，
将点O，点A的坐标代入，得，
解得：，
直线的解析式为，
令，则，
解得：，
，
设直线的解析式为，
将，代入，得：，
解得：，
直线的解析式为，
令，则，
解得：，
故答案为：．
【分析】（1）由格点的特点，在AB上取格点F，使得，即为所求；
（2）连接，由格点的性质，取格点H，使得，即点H为对角线的交点，连接并延长交于点M，连接，用ASA证明，得到，再用SAS证明，得到，即点M为所求；
（3）由格点的性质，取格点Q，使得，即是等腰直角三角形，连接，利用格点的性质，取格点，连接，交于点O，由矩形的性质得到点为的中点，连接并延长交于点G，得到，即点G为所求；
（4）在（3）的基础上，连接，直线的解析式为，再求出点G的坐标，再求出直线的解析式为，令，求出x的值即可．
20．【答案】（1）解：∵点在直线上
∴
即
设直线的表达式为，且直线过点，
∴
解，得
∴直线的解析式
（2）解：∵直线与轴交于点
∴
∴
∴
（3）解：作交于点，设，，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
解得或，
∴或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与一元一次方程的关系；三角形的面积；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）把点D的坐标代入直线y=2x+5中求出m的值，再根据待定系数法求出的函数表达式即可．
（2）先求出A点坐标，再根据坐标确定三角形ACD的底和高，利用三角形的面积公式求解即可；
（3）作PE⊥OB交AB于点E，设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示点P和点E的坐标，根据列方程即可求出m的值，进而可求出P点坐标。
21．【答案】（1）解：由题可知：的纵坐标为0，的横坐标为0
∴，
将，代入直线
得：
解得：，
∴直线的表达式为：，
∴
∴
（2）解：
∵，
∴，且
∵
∴
同理：
∴
∴点到直线的距离为
将的横坐标为1代入直线中，
得的纵坐标为2，所以
将，代入直线得
解得，
∴直线的表达式为：，
①当的横坐标小于1时，直线直线
∴直线的表达式为：
联立：
解得：
∴
②的横坐标大于1时
与关于点对称
∴
综上所述的坐标为：或
（3）解：①当时
∵
∴
即点，，三点共线
∵，，
∴点，，
设，，
∵，
∴
∴
解得：
即
②当时
∵
∴
∴解得：
∵
∴
∴
设，
∴
解得：
即
综上所述：或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积；勾股定理的应用；翻折变换（折叠问题）；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）先求得点A、B的坐标，利用待定系数法求得直线的表达式 ，从而求得点F的坐标，再利用代入数据计算即可求解；
（2） 利用已知条件先求得点D的坐标，再利用待定系数法求得直线的表达式，进行分两种情况讨论求解： ①当的横坐标小于1时，直线直线 ；②的横坐标大于1时，与关于点对称，分别求得点E的坐标，综合即可求解；
（3）分两种情况讨论：①当时 ，先证明，，三点共线 ，由点A、B、C的坐标求得BC，AC，AB的值，设，， 利用勾股定理得到关于a的方程，解方程求得a的值，从而求解；②当时，可证明 ，得到 ，结合 求得CQ的值，设， 利用勾股定理得到关于a的方程，解方程得a的值，从而求解，综合即可求解.
22．【答案】（1）8；14；3
（2）解：设哥哥跑t秒时，哥哥追上小明．
14+6t＝8t，解得t＝7，
∴哥哥跑7秒时，哥哥追上小明．
（3）解：设哥哥所跑的路程y与哥哥跑步的时间x之间的函数关系式为y＝kx（k为常数，且k≠0）．
将x＝3，y＝24代入y＝kx，
得3k＝24，解得k＝8，
∴y＝8x；
小明所跑的路程y与哥哥跑步的时间x之间的函数关系式：
当哥哥追上小明时，哥哥所跑的路程为8×7＝56（m），
∴图象交点坐标为（7，56）．
当0≤x＜7时，设y＝k1x+b1（k1、b1为常数，且k1≠0）．
将x＝0，y＝14和x＝7，y＝56代入y＝k1x+b1，
得，解得，
∴y＝6x+14（0≤x＜7）；
哥哥出发后8s时，小明跑的总路程为56+（8﹣7）×3＝59（m），
∴坐标（8，59）对应的点在图象l3上．
当x≥7时，设y＝k2x+b2（k2、b2为常数，且k2≠0）．
将x＝7，y＝56和x＝8，y＝59代入y＝k2x+b2，
得，解得，
∴y＝3x+35（x≥7）；
综上，．
两人相距10米时：
当0≤x＜7时，|6x+14﹣8x|＝10，整理得|x﹣7|＝5，
解得x＝2或12（不符合题意，舍去）；
当x＞7时，|3x+35﹣8x|＝10，整理得|x﹣7|＝2，
解得x＝5（不符合题意，舍去）或9；
∴哥哥跑2秒或9秒时，两人相距10米．
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】（1）根据图象可得：哥哥的速度是24÷3=8m/s；哥哥让小明先跑了14m；在哥哥追上小明之前，小明的速度为（32-14）÷3=6m/s，
故答案为：8；14；3.
【分析】（1）根据函数图象中的数据，再利用“速度、时间和路程”的关系列出算式求解即可；
（2） 设哥哥跑t秒时，哥哥追上小明，根据题意列出方程 14+6t＝8t， 再求解即可；
（3）利用待定系数法求出小明所跑的路程y与哥哥跑步的时间x之间的函数关系式：，再结合“ 两人相距10米 ”列出方程求解即可.
23．【答案】（1）解：∵，的坐标为，，
∴，，
∴，，
∴的坐标为，的坐标为，
设直线的解析式为：，
∵直线的解析式为：过和，
∴，
解得，
∴；
（2）解：
又
，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴
是的中点，
设直线的解析式为：，
∵直线的解析式为：过和，
∴，
解得，
∴表达式为：，
设直线为：，
∵直线为：过和，
∴，
解得，
∴表达式为：
联立
解得，
，
设
，
解得，
∴；
（3）解：①作，，垂足为、，
当在上方时，
∵，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
，，
，，
∴，
，
轴，
当在下方时，
同理得到：
∴
∴M在经过点C且平行x轴的直线上运动，
∴
②．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；一次函数中的动态几何问题；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：（3）②当点K与点O重合，点P与点B重合，点H与点N重合，
∴
∴四边形OBMC为平行四边形，
∴
当点K与点C重合，P、K、C三点重合，
∴，
∴
∴点的运动路径长为3+3=6，
故答案为：6.
【分析】（1）根据题意得到点A和点C的坐标，设直线的解析式为：，进而利用待定系数法将点A和点C的坐标代入直线解析式即可求解；
（2）根据角的运算求出，进而利用"ASA"证明得到：，设直线的解析式为：，进而利用待定系数法即可求出直线BC解析式，同理求出直线AK解析式，然后联立BC和AK，即可求出点P的坐标，设，得到，解此方程即可求解；
（3）①作，，垂足为、，需分两种情况讨论，当在上方时，利用"ASA"证明，得到：，，然后根据等腰三角形的性质得到：，进而证明轴，当在下方时，同理得到：即可得到：M在经过点C且平行x轴的直线上运动，进而即可求解；
②分两种情况，①当点K与点O重合，点P与点B重合，点H与点N重合，则即可证明四边形OBMC为平行四边形，则②当点K与点C重合，P、K、C三点重合，根据全等得到：进而即可求解.
24．【答案】（1）证明：
，
，
，
在和中，
；
（2）解：直线：分别交轴于点，
，
，
过点B作交于点C，过点C作轴，如图：
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
设的表达式为：，
将点，代入可得：
，
解得：，
的表达式为：；
（3）解：过点作直线交于点，作轴，过点作直线交于点，作，过点作于点，如图：
，
，
故为等腰直角三角形，
∴．
由点、的坐标知：，
．
又，
，
，
点的坐标为．
由点、的坐标得，直线的函数表达式为，
，
，
直线表达式为：，
令可得：，
解得：，
的坐标为．
【知识点】旋转的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）由题意可得，再进行角之间的变化可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据直线与坐标轴的交点坐标可得，则，过点B作交于点C，过点C作轴，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得OD=5，则，设的表达式为：，再根据待定系数法将点C，A坐标代入直线解析式即可求出答案.
（3）过点作直线交于点，作轴，过点作直线交于点，作，过点作于点，根据直线平行性质可得，根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，则，由点、的坐标知：，根据全等三角形判定定理可得，则，则点的坐标为．由点、的坐标得，直线的函数表达式为，由直线平行性质可得，则直线表达式为：，令可得：，解得：，即可求出答案.
1 / 12024年中考数学精选压轴题之一次函数综合
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（2024八上·田阳期末） 一次函数y＝（m-2）x+2-m和y＝x+m在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：在一次函数y＝（m-2）x+2-m中，当x=1时，y=0，
∴一次函数y＝（m-2）x+2-m 一定过定点(1，0)；
A、由 一次函数y＝（m-2）x+2-m 的图象可得，
解得0＜m＜1，
∴y=x+m的图象与y轴的交点在（0，1）下方，故此选项错误，不符合题意；
B、由 一次函数y＝（m-2）x+2-m 的图象可得，
解得1＜m＜2，
∴y=x+m的图象与y轴的交点在（0，1）上方且在（0，2）下方，故此选项正确，符合题意；
C、由 一次函数y＝（m-2）x+2-m 的图象可得，
解得m＞2，
∴y=x+m的图象与y轴的交点在（0，2）上方，故此选项错误，不符合题意；
D、由 一次函数y＝（m-2）x+2-m 的图象可得，
解得m＞2，
∴y=x+m的图象与y轴的交点在（0，2）上方，故此选项错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】首先确定一次函数y＝（m-2）x+2-m 一定过定点(1，0)；然后根据一次函数y＝（m-2）x+2-m 的图象分别判断出m的取值范围，进而再根据m的取值范围确定一次函数y=x+m与y轴交点的位置，即可逐项判断得出答案.
2．（2023八上·深圳期中）如图所示，直线y=x+3分别与x轴、y轴交于点A、B，若∠ABC=45°，则直线BC的函数表达式为（　　）
A．y=x+3 B．y=x+3 C．y=x+3 D．y=x+3
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点作交直线于点，过点作轴于点，则，
，，
∴为等腰直角三角形，即，
∵，，
，
，
，，
直线，令，得，即，
∴B（0，3），
令，得，，
即，
，，
设直线BC的解析式为，
把代入解析式，
得，
解得 ，
∴过B、C两点的直线解析式是，
故答案为：A.
【分析】过点A作AN⊥AB交BC于点N，过点N作MN⊥x轴于点M，用AAS证得△NAM≌△ABO，从而得到AM=OB，CM=OA， 由y=x+3 可得，，即可得到，结合待定系数法，把和代入，计算求解即可．
3．若是一次函数图象上的不同的两点，记，则当时，的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
故答案为：D.
【分析】将点A和点B代入一次函数中得到：进而得到：即最后根据""得到解此不等式即可求解.
4．（2023八上·深圳期中）如图，已知点P（6，2），点M，N分别是直线l1：y＝x和直线l2：上的动点，连接PM，MN．则PM+MN的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点P（6，2）关于直线y=x的对称点P'，则P'（2，6），
连接P'M，则P'M=PM，
∴PM+MN=P'M+MN，
欲求PM+MN的最小值，即求P'M+MN的最小值，
当P'N⊥直线 时交直线y=x于点M，此时P'M+MN的值最小，即为P'N的长，
可设直线P'N为y=-2x+b，
把P'（2，6）代入y=-2x+b中，得b=10，
∴y=-2x+10，
令-2x+10=x，
解得：x=4，
∴y=-2x+10=2，∴N（4，2），
∴P'N==，
故答案为：B.
【分析】作点P（6，2）关于直线y=x的对称点P'，连接P'M，则P'M=PM，即PM+MN=P'M+MN，欲求PM+MN的最小值，即求P'M+MN的最小值，当P'N⊥直线 时交直线y=x于点M，此时P'M+MN的值最小，即为P'N的长，据此解答即可.
5．（2024八上·福田期末）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：
①A，B两城相距300千米；
②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；
③乙车出发后1.5小时追上甲车；
④当甲、乙两车相距50千米时，t＝或．
其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：由图象可知A，B两城相距300千米，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，
∴①②都正确；
设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲=kt，
把(5，300)代入得，5k=300，
解得k=60，
∴y甲=60t，
设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙=mt +n，
把(1，0)，(4，300)代入得，
，
解得
∴y乙=100t-100，
令y甲=y乙，得60t=100t-100，
解得t=2.5，
即甲、乙两直线的交点横坐标为t=2.5，此时乙出发时间为1.5小时，
即乙车出发1.5小时后追上甲车，
∴③正确；
令|y甲-y乙|=50，
得60t-100t+100=50，即|100-40t|=50，
∴100-40t=50或100-40t=-50，
解得或
当60t=50时，，
此时y甲=50，乙还没有出发，
当60t=250时，，
此时y甲=250，乙已到达B城，
即当或或或两车相距50千米，
∴④错误，
综上，①②③正确，共三个.
故答案为：C.
【分析】 由图象可知A，B两城相距300千米，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，故①②都正确；设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲=kt，把(5，300)代入可求出t的值，从而得到y甲=60t，设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙=mt +n，把(1， 0)，(4，300)代入，可得关于字母m、n的方程组，求解可得m、n的值，从而得到y乙=100t-100，联立所求的两函数解析式求解可得交点坐标，即可判断③；分乙车出发前两车相距50千米，两车行驶中两车相距50千米及乙车到达B城后两车相距50千米，三种情况考虑可判断④，综上即可得出答案.
6．（2023八下·晋安期末）如图，正方形的边长为，点和点在轴正半轴上，点、在第一象限，一次函数的图象交、分别于、．若与的面积比为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵一次函数y=kx+4的图象交y轴于点E，
∴E（0，4），
∴OE=4，
∵ 正方形ABCD的边长为4，点A（0，2）和点D在y轴正半轴上 ， 点B、C在第一象限 ，
∴D（0，6），BC=CD=4，
∴OD=6，
∴DE=OD-OE=2，
设DF=x，则CF=4-x，
∴S△DEF=DE×DF=x，S△BCF=BC×CF=2（4-x），
∵S△DEF∶S△BCF=1∶2，
∴x∶2（4-x）=1∶2，
解得x=2，
∴DF=2，
∴F（2，6），
将点F（2，6），代入y=kx+4得2k+4=6，
解得k=1.
故答案为：C.
【分析】根据一次函数图象与y轴交点的坐标特点先求出点E的坐标，进而根据正方形的边长及点的坐标特点求出D点坐标，进而求出DE的长，设DF=x，则CF=4-x，根据三角形的面积计算公式分别表示出△DEF与△BCF的面积，再由S△DEF∶S△BCF=1∶2建立方程求出x的值，从而可求出点F的坐标，最后将点F的坐标代入一次函数y=kx+4可求出k的值.
7．（2023八下·南宁期末）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，之后只出水不进水，每分的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：）与时间x（单位：）之间的关系如图．则下列说法正确的是（　　）
A．进水管每分钟的进水量为 B．当时，
C．出水管每分钟的出水量为 D．水量为的时间为或
【答案】D
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：A．∵4min的进水量为20L，
∴进水管每分钟的进水量=20÷4=5（L），
故错误；
B．设y与x之间的函数表达式为y=kx+b（k≠0）（4＜x≤12），
∵点（4，20），点（12，30）都在此函数图象上，
∴，
解得，
∴函数表达式为(4＜x≤12)，
故错误；
C．由B可得：当4＜x≤12时，容器内每分钟增加L水，
∴出水管每分钟的出水量为（L），
故错误；
D．当0＜x≤4时，水量为15L的时间为15÷5=3（min），∴3min时，水量为15L；
∵（min），
∴16min时，水量为15L．
∴水量为15L的时间为3min或16min，
故正确．
故答案为：D.
【分析】(1)当0＜x≤4时，图象为正比例函数，根据4min共进水20L，可求得平均进水量；
（2） 当时 ，图象为线段，根据线段两端点的坐标，可求得一次函数表达式；
（3）依据每分的进水量和出水量是两个常数，可知进水速度可依据A得到，根据B中的k可知容器内每分钟增加水量，从而可求得出水管每分钟的出水量；
（4）水量为的时间有两个，一个在0＜x≤4时，另一个在时，分别计算求解.
8．（2023八下·泗水期末）已知、两地是一条直路，甲车从地到地，乙车从地到地，两车同时出发，乙先到达目的地，两车之间的距离（）与运动时间（）的函数关系大致如图所示，下列说法错误的是（　　）
A．两车出发后相遇
B．甲车的速度为/
C．乙的速度为/
D．乙车比甲车提前到达目的地
【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】
A：当t=2时，y=0，即当两车行驶2小时后，两车间的距离为0，即相遇。A正确；
B：由图可知，甲车从A地到B地共用了5小时，所以甲车的速度为300÷5=60km/h，B正确；
C：两车从出发到相遇用了2小时，所以两车的速度和为300÷2=150km/h，所以乙车的速度为150-60=90km/h，C正确；
D：乙车从B地到A地所用的时间为：300÷90=小时，比甲车提前的时间为：小时。D错误。
故答案为：D
【分析】
两车相遇时，两车间的距离为0，结合图像得出相遇时间，甲的到达时间，从而可计算出甲的速度，甲乙的速度和，乙的速度及乙的到达时间。
9．（2023八下·南陵期末）如图1，四边形中，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度，沿路线A-B-C-D运动.设点的运动时间为，的面积为，当运动到的中点时，的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象
【解析】【解答】 解：四边形 中， ， ，
∴ ，
∵点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度，
当点 从 运动到 处需要 秒，则 ，
根据图像：当 时，点 运动到 点， 的面积为 ，
∴ ，
∴ ，
根据图像：当点 运动到 点时， 面积为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是梯形，
又∵ ，
∴四边形 是直角梯形，
∵ ，点 的速度是每秒 个单位长度，
∴运动时间为 秒，
∴ ，
设当 时，函数解析式为 ，
∴ ，
解得： ，
∴当 时，函数解析式为 ，
如图 ，过点 作 于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴当 运动到 的中点时的时间 ，
∴ ，
∴当 运动到 的中点时， 的面积为 ．
故答案为：A.
【分析】结合函数图象中的数据和三角形的面积公式求出四边形ABCD的边长，再求出当 运动到 的中点时的时间 ，再求出即可.
10．（2023八下·长沙期中）一次函数（，k、b是常数）与（，m是常数）的图像交于点，下列结论正确的序号是（　　）
①关于的方程的解为；
②一次函数（）图像上任意不同两点和满足：；
③若（），则；
④若，且，则当时，．
A．②③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④
【答案】B
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的性质
【解析】【解答】解：①∵一次函数（，k、b是常数）与（，m是常数）的图像交于点，
∴关于的方程的解为，①正确；
②将点D代入解得m=-1，
∴，
∴y随x的增大而减小，
∴，，
∴恒成立，②正确；
③∵（），
∴，
∴，
∴x=0或k=-1，③错误；
④将点D代入得k+b=2，
∴k=2-b，
∵，且，
∴k＞-1且k≠0，
画出图像如图所示：
∴当时，，④正确；
故答案为：B
【分析】根据两个一次函数的交点坐标即可判断①；将点D代入即可求出m，进而根据一次函数的性质结合题意即可判断②；先根据题意即可得到，进而解方程即可判断③；将点D代入结合题意即可得到k=2-b，进而根据题意画出图形，观察图像即可求解。
11．（2023·增城模拟）如图，已知直线与轴交于点A，点与点A关于轴对称．是直线上的动点，将绕点顺时针旋转得．连接，则线段的最小值为（　　）．
A．3 B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；旋转的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：如图，设直线与y轴的交点为E，再取的中点D，连接，过B作于H点．
对于，令，则，
∴．
令，则，
∴．
∴，．
∵，
∴，
∵的中点为D，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴．
由旋转的性质可知，，
∴，即，
∴，
∴．
∵A为定点，为定值，
∴当M在直线上运动时，点N也在定直线上运动，
∴当点N与点H重合时，最短．
∵点与点A关于轴对称，
∴，
∴．
∵，
∴，即的最小值为3．
故答案为：A．
【分析】先求出，，再求出，最后利用全等三角形的性质，锐角三角函数计算求解即可。
12．（2022八上·历下期中）为培养同学们的创新精神，某校举办校园科技节活动，八年级同学进行了机器人行走性能试验．在试验场地有A，B，C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A，B两点同时同向出发，历时8分钟同时到达C点，乙机器人始终以60米/分的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与它们的行走时间x（分钟）之间的函数图象，若前3.5分钟甲机器人的速度不变，则出发（　　）分钟后两机器人最后一次相距6米．
A．6 B．6.4 C．6.8 D．7.2
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图可知，甲机器人用3分钟追上乙机器人，
甲机器人速度比乙机器人快（米/分钟），
分钟时，甲机器人在乙机器人前面（米，
设4到8分钟的解析式为，将，代入得：
，
解得，
，
当时，，
解得，
故答案为：B．
【分析】先利用待定系数法求出函数解析式，再将y=6代入计算即可。
二、填空题（每题3分，共18分）
13．（2024九下·隆昌月考）如图，四条直线，，，，，过点作轴交于点，再过点作，交于点，再过点作交y轴于点，……，则点的坐标为　 　.
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；与一次函数相关的规律问题；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：直线l1，l2，l3，l4，
∴x轴，l1，l2，y轴l3，l4，依次相交成30°角，
各点的位置12个一循环，
∵2020＝12×168+4，
∴点A2020的位置在y轴正半轴上，
OA1＝1，OA2＝，OA3＝（）2，OA4＝（）3，…，OAn＝（）n﹣1，
∴A2020（0，）；
故答案为（0，）；
【分析】先计算OA1，OA2，OA3，OA4，从中总结规律为OAn＝（）n﹣1，据此求解即可。
14．（2023九上·成都开学考）在平面直角坐标系中，点，点P的“变换点”Q的坐标定义如下：当时，，当时，，线段按上述“变换点”组成新图形，直线与新图形恰好有两个公共点，则k的取值范围 　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵ 点 在线段上，
∴P（a，-a+2），
把点P坐标代入y=-x+2中，得a=1，
∵-2＜x＜6，
∴当-2≤a＜1，a＜-a+2，即a＜b，
当1≤a≤6，a≥-a+2，即a≥b，
∴ 当时 Q（a，a-2），线段为y=x-2，则2≤a＜1
当 时 ， Q（a+1，-a-3），线段为y=-x-2，则1≤a≤6，可得2≤a+1≤7，
如图所示：
∵ 直线恒过（0，1）， 若此直线与新图形恰好有两个公共点 ，
∴图象的界点为A（1，-1）B（1，-3），
将A、B坐标分别代入中，得k=-1，-2，
∴
故答案为： .
【分析】点 在线段上，结合已知确定a的范围及对应解析式y=x-2，y=-x-2，再求出界点A、B的坐标，然后分别代入中求出k的最大值与最小值即可得解.
15．（2024八上·海曙期末）已知，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，在第一象限内有一点P，使得是等腰直角三角形，则点P的横坐标为　 　.
【答案】6，14，7
【知识点】三角形全等及其性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图：
令y=0，得 ，解得：x=8，故点A坐标（8，0），OA=8；
令x=0，则y=6，故点B坐标（0，6），OB=6；
①过B作BP⊥AB，并截取BP=AB，则△ABP是等腰直角三角形.作PG⊥y轴于点G.
∴∠PGB=∠PBA=∠BOA=90°.
∴∠GPB+∠GBP=90°，∠GBP+∠ABO=90°，
∴∠GPB=∠ABO，
∴△GPB≌△OBA（AAS）.
∴GP=OB=6，
故P的横坐标为6.
②过A作AP⊥AB，并截取AP=AB，则△ABP是等腰直角三角形.作PH⊥x轴于点H.
同理可得：△OBA≌△HAP.
∴AH=OB=6，HP=OA=8，H点坐标为（14，0），P点坐标为（14，8）.
故P的横坐标为14.
③P为直角顶点.
作线段AB的垂直平分线DE，交AB于点D，交x轴于点E，截取DP=DB，作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N.
∵∠NPM=∠BPA=90°，
∴∠NPB=∠MPA，
∵∠PNB=∠PMA=90°，PB=PA，
∴△PNB≌△PMA（AAS）
∴PN=PM，NB=AM.
∴OB+NB=OA－MA，
∴MA=1，OM=7
∴故P的横坐标为7.
故答案为：6，14，7.
【分析】根据题意求出A，B两点的坐标，分别以A，B为顶点，AB长为一腰，作等腰直角三角形，构造全等三角形，即可求出第3个点P的坐标；再作AB的中垂线，在中垂线上找点P，构造全等三角形，即可求出坐标.
16．（2024八上·遂川期末）在平面直角坐标系中，已知直线l：过点，且与坐标轴交于点，则当的面积为2，且直线与轴不平行时，直线的表达式为　 　．
【答案】或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：根据题意
当B在y轴上时，设B的坐标为（0，c）
B的坐标为（0，2）或（0，-2）
直线l 经过点A（2，2）和B（0，2）或者A（2，2）和B（0，-2）代入解析式得
解得
当B在x轴上时，设B的坐标为（a，0）
B的坐标为（2，0）或（-2，0）
直线与轴不平行
直线l 经过点A（2，2）和B（2，0）这种情况舍去
直线l 经过点A（2，2）和B（-2，0）代入解析式得
解得
综上，直线的表达式为或
故答案为：或或
【分析】观察图形，发现无论B在什么轴上，三角形OAB的高都是2；区分2种情况，设出B点坐标，根据面积公式可求出三角形的底，注意求面积使用的底的数据可正可负，判定符合面积条件的应有4个B点，通过计算发现有一个不符合题意，故用待定系数法可求出3个解析式。
17．（2024八上·邛崃期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：；直线l2：，直线上有一点A，且点A的纵坐标是．在直线的右侧作正方形，交直线于点D，交x轴于点E，连接交直线于点F，交x轴于点G，则下列结论正确的有　 　．（填序号）
①的周长为；
②；
③；
④点P为射线上一动点，的最小值为．
【答案】②
【知识点】一次函数图象与几何变换；三角形三边关系；全等三角形的应用；勾股定理的应用；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作轴于M，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴，
如图将绕点O顺时针旋转90度得到，
∴，，
∴，
∴B、C、H三点共线，
∵点D在直线上，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的周长，故①错误；
如图所示，取中点K，连接，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴，
设，则，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故②正确；
如图将绕点O逆时针旋转90度得到，连接，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故③错误；
∵点P为射线上一动点，，
∴当时，最小，即此时最小，最小值为，故④错误；
故答案为：②．
【分析】如图所示，过点A作轴于M，先求出，则，利用勾股定理求出，如图将绕点O顺时针旋转90度得到，则，，证明B、C、H三点共线，，则可证明，得到，进而得到，则的周长，故①错误；如图所示，取中点K，连接，证明是等边三角形，推出，得到，，设，则，则，利用勾股定理得到，解得，则，故②正确；如图将绕点O逆时针旋转90度得到，连接，证明，得到，由，得到，故③错误；由点P为射线上一动点，，则当时，最小，即此时最小，最小值为，故④错误．
18．（2024八上·奉化期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交、轴于点、，将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是　 　.
【答案】
【知识点】一次函数图象与几何变换；待定系数法求一次函数解析式；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，如图，
∵ ∠ABD=45°，AD⊥AB，
∴ △ABD是等腰直角三角形，
∴ AB=AD，
∵ ∠BAD=90°，
∴ ∠OAB+∠EAD=90°，
∵ ∠OAB+∠OBA=90°，
∴ ∠EAD=∠OBA，
∵ ∠AOB=∠DEA=90°，
∴ △AOB≌△DEA（AAS），
∴ DE=AO，AE=BO，
∵ y=2x-2，
∴ A（1，0），B（0，-2），
∴ OA=1，OB=2，
∴ D（3，-1），
设BC的函数表达式为y=kx+b，
∴，
∴ k=，b=-2，
∴ y=x-2.
故答案为： y=x-2.
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，根据等腰直角三角形的判定和性质可得AB=AD，证明出∠EAD=∠OBA，根据AAS判定△AOB≌△DEA推出 DE=AO，AE=BO，从而得到D点坐标，根据待定系数法，即可求得.
三、解答题（共5题，共38分）
19．（2024八下·经开期中） 如图是由小正方形组成的网格，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点．正方形四个顶点都是格点．点E的坐标为．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程线用虚线，结果线用实线表示．
（1）在图1中，以为边画；
（2）在图1中，在上画点M，使得；
（3）在图2中，在上画点G，使得
（4）直接写出与x轴交点的横坐标　 　；
【答案】（1）解：如图，为所求；
（2）解： 连接，取格点H，使得，连接并延长交于点M，连接，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
如图，点M为所求；
（3）解：如图，点G为所求；
（4）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】（1）解：如图，为所求；
（2）解： 连接，取格点H，使得，连接并延长交于点M，连接，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
如图，点M为所求；
（4）解：如图，在（3）的基础上，连接，则，，
设直线的解析式为，
点为的中点，
，
，
将点O，点A的坐标代入，得，
解得：，
直线的解析式为，
令，则，
解得：，
，
设直线的解析式为，
将，代入，得：，
解得：，
直线的解析式为，
令，则，
解得：，
故答案为：．
【分析】（1）由格点的特点，在AB上取格点F，使得，即为所求；
（2）连接，由格点的性质，取格点H，使得，即点H为对角线的交点，连接并延长交于点M，连接，用ASA证明，得到，再用SAS证明，得到，即点M为所求；
（3）由格点的性质，取格点Q，使得，即是等腰直角三角形，连接，利用格点的性质，取格点，连接，交于点O，由矩形的性质得到点为的中点，连接并延长交于点G，得到，即点G为所求；
（4）在（3）的基础上，连接，直线的解析式为，再求出点G的坐标，再求出直线的解析式为，令，求出x的值即可．
20．（2024八上·雅安期末）如图，已知直线：与轴，轴交于点，点，直线经过点，与直线交于点．
（1）求点的坐标及直线的函数表达式；
（2）求的面积；
（3）点为直线上一动点，若有，求点的坐标．
【答案】（1）解：∵点在直线上
∴
即
设直线的表达式为，且直线过点，
∴
解，得
∴直线的解析式
（2）解：∵直线与轴交于点
∴
∴
∴
（3）解：作交于点，设，，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
解得或，
∴或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与一元一次方程的关系；三角形的面积；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）把点D的坐标代入直线y=2x+5中求出m的值，再根据待定系数法求出的函数表达式即可．
（2）先求出A点坐标，再根据坐标确定三角形ACD的底和高，利用三角形的面积公式求解即可；
（3）作PE⊥OB交AB于点E，设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示点P和点E的坐标，根据列方程即可求出m的值，进而可求出P点坐标。
21．（2024八上·成都期末）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，点坐标为，连接，，点是线段上的一动点，直线过，两点．
（1）求的面积；
（2）若点的横坐标为1，直线上是否存在点，使点到直线的距离为，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）将沿直线翻折，点的对应点为，若为直角三角形，求线段的长．
【答案】（1）解：由题可知：的纵坐标为0，的横坐标为0
∴，
将，代入直线
得：
解得：，
∴直线的表达式为：，
∴
∴
（2）解：
∵，
∴，且
∵
∴
同理：
∴
∴点到直线的距离为
将的横坐标为1代入直线中，
得的纵坐标为2，所以
将，代入直线得
解得，
∴直线的表达式为：，
①当的横坐标小于1时，直线直线
∴直线的表达式为：
联立：
解得：
∴
②的横坐标大于1时
与关于点对称
∴
综上所述的坐标为：或
（3）解：①当时
∵
∴
即点，，三点共线
∵，，
∴点，，
设，，
∵，
∴
∴
解得：
即
②当时
∵
∴
∴解得：
∵
∴
∴
设，
∴
解得：
即
综上所述：或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积；勾股定理的应用；翻折变换（折叠问题）；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）先求得点A、B的坐标，利用待定系数法求得直线的表达式 ，从而求得点F的坐标，再利用代入数据计算即可求解；
（2） 利用已知条件先求得点D的坐标，再利用待定系数法求得直线的表达式，进行分两种情况讨论求解： ①当的横坐标小于1时，直线直线 ；②的横坐标大于1时，与关于点对称，分别求得点E的坐标，综合即可求解；
（3）分两种情况讨论：①当时 ，先证明，，三点共线 ，由点A、B、C的坐标求得BC，AC，AB的值，设，， 利用勾股定理得到关于a的方程，解方程求得a的值，从而求解；②当时，可证明 ，得到 ，结合 求得CQ的值，设， 利用勾股定理得到关于a的方程，解方程得a的值，从而求解，综合即可求解.
22．（2024·前郭尔罗斯模拟）我市莲池区开展了“阳光体育，强身健体”系列活动，小明积极参与，他每周末和哥哥一起练习赛跑．哥哥先让小明跑若干米，哥哥追上小明后，小明的速度降为原来的一半，已知他们所跑的路程y（m）与哥哥跑步的时间x（s）之间的函数图象如图．
（1）哥哥的速度是　 　m/s，哥哥让小明先跑了　 　米，小明后来的速度为　 　m/s．
（2）哥哥跑几秒时，哥哥追上小明？
（3）求哥哥跑几秒时，两人相距10米？
【答案】（1）8；14；3
（2）解：设哥哥跑t秒时，哥哥追上小明．
14+6t＝8t，解得t＝7，
∴哥哥跑7秒时，哥哥追上小明．
（3）解：设哥哥所跑的路程y与哥哥跑步的时间x之间的函数关系式为y＝kx（k为常数，且k≠0）．
将x＝3，y＝24代入y＝kx，
得3k＝24，解得k＝8，
∴y＝8x；
小明所跑的路程y与哥哥跑步的时间x之间的函数关系式：
当哥哥追上小明时，哥哥所跑的路程为8×7＝56（m），
∴图象交点坐标为（7，56）．
当0≤x＜7时，设y＝k1x+b1（k1、b1为常数，且k1≠0）．
将x＝0，y＝14和x＝7，y＝56代入y＝k1x+b1，
得，解得，
∴y＝6x+14（0≤x＜7）；
哥哥出发后8s时，小明跑的总路程为56+（8﹣7）×3＝59（m），
∴坐标（8，59）对应的点在图象l3上．
当x≥7时，设y＝k2x+b2（k2、b2为常数，且k2≠0）．
将x＝7，y＝56和x＝8，y＝59代入y＝k2x+b2，
得，解得，
∴y＝3x+35（x≥7）；
综上，．
两人相距10米时：
当0≤x＜7时，|6x+14﹣8x|＝10，整理得|x﹣7|＝5，
解得x＝2或12（不符合题意，舍去）；
当x＞7时，|3x+35﹣8x|＝10，整理得|x﹣7|＝2，
解得x＝5（不符合题意，舍去）或9；
∴哥哥跑2秒或9秒时，两人相距10米．
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】（1）根据图象可得：哥哥的速度是24÷3=8m/s；哥哥让小明先跑了14m；在哥哥追上小明之前，小明的速度为（32-14）÷3=6m/s，
故答案为：8；14；3.
【分析】（1）根据函数图象中的数据，再利用“速度、时间和路程”的关系列出算式求解即可；
（2） 设哥哥跑t秒时，哥哥追上小明，根据题意列出方程 14+6t＝8t， 再求解即可；
（3）利用待定系数法求出小明所跑的路程y与哥哥跑步的时间x之间的函数关系式：，再结合“ 两人相距10米 ”列出方程求解即可.
23．（2024八上·舟山期末）如图1，已知在中，，边在轴上，点在轴上，，的坐标为，点是轴上一个动点，它的坐标是，，直线交直线于点．
（1）求直线的表达式；
（2）若，点为直线上一点，且平分，求的坐标；
（3）如图，连接，以为直角边作等腰直角（、、三点按照逆时针顺序排列），使得，．
①试说明在点的运动过程中，的面积是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由；
②点从运动到的过程中，点的运动路径长为 ▲ ．
【答案】（1）解：∵，的坐标为，，
∴，，
∴，，
∴的坐标为，的坐标为，
设直线的解析式为：，
∵直线的解析式为：过和，
∴，
解得，
∴；
（2）解：
又
，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴
是的中点，
设直线的解析式为：，
∵直线的解析式为：过和，
∴，
解得，
∴表达式为：，
设直线为：，
∵直线为：过和，
∴，
解得，
∴表达式为：
联立
解得，
，
设
，
解得，
∴；
（3）解：①作，，垂足为、，
当在上方时，
∵，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
，，
，，
∴，
，
轴，
当在下方时，
同理得到：
∴
∴M在经过点C且平行x轴的直线上运动，
∴
②．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；一次函数中的动态几何问题；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：（3）②当点K与点O重合，点P与点B重合，点H与点N重合，
∴
∴四边形OBMC为平行四边形，
∴
当点K与点C重合，P、K、C三点重合，
∴，
∴
∴点的运动路径长为3+3=6，
故答案为：6.
【分析】（1）根据题意得到点A和点C的坐标，设直线的解析式为：，进而利用待定系数法将点A和点C的坐标代入直线解析式即可求解；
（2）根据角的运算求出，进而利用"ASA"证明得到：，设直线的解析式为：，进而利用待定系数法即可求出直线BC解析式，同理求出直线AK解析式，然后联立BC和AK，即可求出点P的坐标，设，得到，解此方程即可求解；
（3）①作，，垂足为、，需分两种情况讨论，当在上方时，利用"ASA"证明，得到：，，然后根据等腰三角形的性质得到：，进而证明轴，当在下方时，同理得到：即可得到：M在经过点C且平行x轴的直线上运动，进而即可求解；
②分两种情况，①当点K与点O重合，点P与点B重合，点H与点N重合，则即可证明四边形OBMC为平行四边形，则②当点K与点C重合，P、K、C三点重合，根据全等得到：进而即可求解.
四、实践探究题（共8分）
24．（2024九下·新疆维吾尔自治区开学考）
（1）【模型建立】如图1，在△ABC中，，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E．求证： ；
（2）【初步应用】如图2，已知直线：分别交轴于点A、B，将直线绕点A逆时针旋转45°至直线，求直线的函数表达式；
（3）【迁移拓展】如图3，直线分别交x、y轴于A、B两点，直线分别交x、y轴于点C、D交直线AB于点E．若∠BED=45°，请直接写出点C的坐标．
【答案】（1）证明：
，
，
，
在和中，
；
（2）解：直线：分别交轴于点，
，
，
过点B作交于点C，过点C作轴，如图：
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
设的表达式为：，
将点，代入可得：
，
解得：，
的表达式为：；
（3）解：过点作直线交于点，作轴，过点作直线交于点，作，过点作于点，如图：
，
，
故为等腰直角三角形，
∴．
由点、的坐标知：，
．
又，
，
，
点的坐标为．
由点、的坐标得，直线的函数表达式为，
，
，
直线表达式为：，
令可得：，
解得：，
的坐标为．
【知识点】旋转的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）由题意可得，再进行角之间的变化可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据直线与坐标轴的交点坐标可得，则，过点B作交于点C，过点C作轴，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得OD=5，则，设的表达式为：，再根据待定系数法将点C，A坐标代入直线解析式即可求出答案.
（3）过点作直线交于点，作轴，过点作直线交于点，作，过点作于点，根据直线平行性质可得，根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，则，由点、的坐标知：，根据全等三角形判定定理可得，则，则点的坐标为．由点、的坐标得，直线的函数表达式为，由直线平行性质可得，则直线表达式为：，令可得：，解得：，即可求出答案.
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