2024年中考数学精选压轴题之二次函数(一)

2024年中考数学精选压轴题之二次函数(一)
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（2024九上·黔东南期末）已知二次函数的对称轴为，当时，y的取值范围是．则的值为（　　）
A．或 B．或 C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的对称轴为，
∴，即，
∴，
当时，有最大值，
∴，
∴，
∴当时，随的增大而增大，
∴，，
解得：或；或；
经检验时，不符合题意；
∴，，
∴．
故答案为：D
【分析】先根据题意求出二次函数的解析式，进而得到当时，有最大值，从而得到，再结合题意即可求解。
2．（2023·丹东）抛物线与轴的一个交点为，与轴交于点，点是抛物线的顶点，对称轴为直线，其部分图象如图所示，则以下个结论：；，是抛物线上的两个点，若，且，则；在轴上有一动点，当的值最小时，则点的坐标为；若关于的方程无实数根，则的取值范围是其中正确的结论有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与系数的关系；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①∵抛物线开口向上，故a＞0；
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
即对称轴在y轴左侧，
∴a与b同号，
故b＞0；
∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方，
故c＜0；
∴abc＜0，故①错误；
②∵抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴当x＜-1时，y随x的增大而减小，
又∵x1＜x2，且x1+x2＜-2，
故x1+x2＜2x2＜-2，
则x2＜-1，
∴E，F两点都在对称轴的左侧，
∴y1＞y2．故②错误；
③作点C关于x轴的对称点C′，连接C′D与x轴交于点P，连接PC，如图：
则PC′=PC，
故PC+PD=PC′+PD=C′D，
故此时PC+PD的值最小；
将A（-3，0）代入二次函数y=ax2+bx+c得，9a-3b+c=0，
又∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
即，
∴b=2a，
故9a-6a+c=0，
∴c=-3a；
又∵抛物线与y轴的交点坐标为C（0，c），
则点C坐标为（0，-3a），
∴点C′坐标为（0，3a）；
当x=-1时，y=-4a，
故D（-1，-4a）；
设直线C′D的函数表达式为y=kx+3a，
将点D坐标代入得-k+3a=-4a，
解得：k=7a，
所以直线C′D的函数表达式为y=7ax+3a；
将y=0代入y=7ax+3a得，
所以点P的坐标为，故③正确；
④∵方程ax2+b（x-2）+c=-4没有实数根，
即方程ax2+bx-2b+c+4=0根的判别式△=b2-4ac＜0，
∴b2-4a·（-2b+c+4）＜0，
∵b=2a，c=-3a，
故整理可得△=b（b-1）＜0；
∵b＞0，
∴b-1＜0，
即b＜1，
∴0＜b＜1；故④错误；
∴正确的有③．
故答案为：A.
【分析】首先根据函数图象可得出a、b、c的正负，即可判断①错误；根据抛物线的增减性和题意推得E，F两点都在对称轴的左侧，即可判断②错误；根据最短路径可得作点C关于x轴的对称点C′，连接C′D与x轴交于点P，连接PC，此时PC+PD的值最小，根据对称性和点A坐标、对称轴可求得点C′和点D的坐标，待定系数法求出直线C′D的函数表达式，求出直线C′D与x轴的交点坐标即可求出点P的坐标，判断③正确；根据一元二次方程根的判别式可求得△=b（b-1）＜0，结合b＞0，即可求出b的取值范围，判断④错误.
3．（2024·攀枝花模拟）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为，以为直径在轴上方画半圆交轴于点，圆心为，是半圆上一动点，连接，点为的中点．下列四种说法：
点在上；
；
当点沿半圆从点运动至点时，点运动的路径长为；
线段的长可以是．
其中正确说法的个数为(　　)
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；二次函数的其他应用；圆-动点问题
【解析】【解答】解：抛物线与坐标轴交于点，，，
，，，
点，的半径为，
，
顶点的坐标为：，
，
点在上．
，故点不在上，故不正确；
圆心为，是半圆上一动点，点在上，点为的中点．
，故正确；
图中实点、、、是点运动中所处的位置，
则是等腰直角三角形的中位线，，交于点，则四边形为正方形，
当点在半圆任意位置时，中点为，连接，则，连接，
则，则点的运动轨迹为以为圆心的半圆，
则运动的路径长，故正确；
由得，当点运动到点的位置时，的长最大，
最大值为，
线段的长不可以是，故不正确．
故正确说法有：．
故答案为：．
【分析】先根据二次函数与坐标轴的交点问题结合而成函数的图象与性质得到，，顶点，①根据勾股定理求出，进而即可求解；②根据垂径定理结合题意即可求解；③点P的运动轨迹为以I为圆心的半圆，则点Q的运动轨迹为以R为圆心的半圆，进而即可求解；④结合题意运用勾股定理即可求解。
4．（2024九上·朝天期末）如图，在中，，点为中点，点为线段上的动点，连接，设，则与之间的函数关系图像大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；含30°角的直角三角形；勾股定理的应用；动点问题的函数图象；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：过O作，垂足为E，如图所示：
∵
∴
∵
∴
在中，根据勾股定理得，
∴
∵点O为中点
∴
∵
∴
在中，根据勾股定理得，
∴
∴
在中，根据勾股定理得，
∴，即
当时，
当时，
当时，
则函数图象为
．
故答案为：C
【分析】如图，过O作，垂足为E，根据含30°角的直角三角形的性质可得，运用勾股定理求得，根据中点的定义求得，结合已知条件求得，运用勾股定理可求得，进而可知，在中，运用勾股定理即可求得函数解析式，最后代入特定点即可确定函数图象。
5．（2024九上·长沙期末） 如图，抛物线y＝x2﹣8x+15与x轴交于A、B两点，对称轴与x轴交于点C，点D（0，﹣2），点E（0，﹣6），点P是平面内一动点，且满足∠DPE＝90°，M是线段PB的中点，连接CM．则线段CM的最大值是（　　）
A．3 B． C． D．5
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理；圆周角定理；二次函数y=ax²的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：解方程x2﹣8x+15＝0得x1＝3，x2＝5，则A（3，0），
∵抛物线的对称轴与x轴交于点C，
∴C点为AB的中点，
∵∠DPE＝90°，
∴点P在以DE为直径的圆上，圆心Q点的坐标为（﹣4，0），
AQ5，⊙Q的半径为2，
延长AQ交⊙Q于F，此时AF最大，最大值为2+5＝7，
连接AP，
∵M是线段PB的中点，
∴CM为△ABP为中位线，
∴CMAP，
∴CM的最大值为．
故答案为：C．
【分析】先解方程得到点A的坐标，再由抛物线的性质以及圆周角定理得到C点为AB的中点和圆心的坐标，利用勾股定理求得AQ的值和⊙Q的半径，延长AQ交⊙Q于F，此时AF最大，最大值为7，连接AP，利用三角形的中位线定理得到CMAP，从而求解.
6．（2023九上·铜梁月考）已知函数f（x）＝x2+2x，g（x）＝2x2+6x+n2+3，当x＝1时，f（1）＝12+2×1＝3，g（1）＝2+6+n2+3＝n2+11．则以下结论正确的有（　　）
①若函数g（x）的顶点在x轴上，则；
②无论x取何值，总有g（x）＞f（x）；
③若﹣1≤x≤1时，g（x）+f（x）的最小值为7，则n＝±3；
④当n＝1时，令，则h（1） h（2）…h（2023）＝2024．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】①∵函数的顶点在x轴上，
∴一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，即，
解得，故①错误；
②∵
＝
＝，
∴当，时，，即，
故②错误；
③∵
＝
＝，
∵，
∴图象开口向上，对称轴为直线，
∴当﹣1≤x≤1时，时，有最小值，
∴，
解得：，故③正确；
④当时，
＝＝＝＝，
∴
＝
＝，故④正确．
综上所述：正确的结论有③④，共2个，
故答案为：B．
【分析】据函数的顶点在x轴上，则一元二次方程有两个相等的实数根，根据判别式可得关于的一元二次方程，解方程求求出的值可判断①；计算，根据二次函数的性质可判断②；计算，根据二次函数的增减性可判断③；化简，代入计算可判断④。
7．（2024九上·绵阳期末）如图，经过的直线与抛物线交于B，C两点，且，则直线的解析式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；线段的中点；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设直线的解析式为，
把代入得，
∴，
∴直线的解析式为，
联立得，
整理得，
由根与系数的关系得，，
∵，
∴，即，
∴，，
整理得，
解得或（舍去），
∴，
∴直线的解析式是，
故选：D．
【分析】设直线的解析式为，先利用点得出直线AB的解析式为，结合图像有两个交点联立得，根据根与系数关系得出，，与k的关系，再利用中点的性质建立方程，解出k的值作出取舍即可.
8．如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线.图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米.当喷射出的水流距离喷水头20米时，达到最大高度11米，现将喷灌架置于坡度为1∶10的坡地底部点O处，草坡上距离О的水平距离为30米处有一棵高度约为2.3米的石榴树AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌.下列说法正确的是（　　）
A．水流运行轨迹满足函数
B．水流喷射的最远水平距离是40米
C．喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9.1米
D．若将喷灌架向后移动7米，可以避开对这棵石榴树的喷灌
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：由题意可设y=a（x-20）2+k，
把（0，1），（20，11）代入得，解得a=，k=11，
∴y=（x-20）2+11= ，故A错误；
∵坡度为1∶10 ，
∴直线OA：y=0.1x，
当x=40时，y=4，
令y=4时，得y=4，
解得x=，故B错误；
设喷射出的水流与坡面OA之间的铅直高度为h米，
则h=-0.1x=，
∴当x==18时，h最大值=9.1，故C正确；
将喷灌架向后移动7米，则图2中x=30时抛物线上的点的纵坐标等于x=37时的函数值，
当x=37时，y=3.775，
图2中，当x=30时，点B的纵坐标y=0.1×30+2.3=5.3，
则点A的纵坐标为5.3-2.3=3＜3.775，故D错误.
故答案为：C.
【分析】由题意可设y=a（x-20）2+k，利用待定系数法求出解析式，即可判断A；求出抛物线y=4时x值，再与40比较即可判断B；求出喷射出的水流与坡面OA之间的铅直高度h=-0.1x，求出其最值即可判断C；求出点ADE纵坐标，再与x=37时抛物线的y值，两种比较即可判断D.
9．（2024九上·肇东期末）对于每个非零自然数，抛物线与轴交于、两点，以表示这两点间的距离，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；求代数式值的实际应用
【解析】【解答】解：由抛物线 得，
∴
∴
故答案为：D.
【分析】抛物线与x轴有两个交点时，两个交点间的距离为，根据公式推导出的值。
10．（2023九上·南山月考）一个水杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线AC，BD都是同一条抛物线的一部分，AB，CD都与水面桌面平行，已知水杯底部AB宽为4cm，水杯高度为12cm，当水面高度为6cm时，水面宽度为2cm．如图2先把水杯盛满水，再将水杯绕A点倾斜倒出部分水，如图3，当倾斜角∠BAF＝30°时，杯中水面CE平行水平桌面AF．则此时水面CE的值是（　　）
A． B．12cm C． D．14cm
【答案】D
【知识点】平行线的性质；二次函数的其他应用；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：以AB的中点为原点，直线AB为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系如图
：
由题意得：
设抛物线的表达式为：y=ax2+b(a≠0)，
将点B，N坐标代入，得
解得：
∴.
令y=12，得，
解得：，
即
根据题意可知，∠DCE=∠BAF=30° ，设CE与y轴的交点坐标P，CD与y轴交于点Q，如图：
在Rt△CQP中，，∠QCP=30° ，
∴，
∴OP=8，点P坐标（0，8），
设直线CE的表达式为y=kx+8.
把点C的坐标代入得：，
解得：，
∴直线CE的表达式为.
联立，
得或（舍去）.
故点E坐标
∴.
故答案为：D.
【分析】以AB的中点为原点，直线AB为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，求出抛物线的解析式，确定点C，D的坐标，再根据题意在坐标系中作出CE，求出CE的解析式，进而求出点E的坐标，即可求出CE的长.
11．（2024九上·拱墅期末）将抛物线位于轴左侧的部分沿轴翻折，其余部分不变，翻折得到的图象和原来不变的部分构成一个新图象，若直线与新图象有且只有2个公共点，则的取值范围是（　　）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解： ，
令y=0，则x2+x-6=0，解得x=-3，y=2，
抛物线与x轴交点为（-3，0），（2，0），
由题意可得翻折后y轴左侧的抛物线为，
当直线经过点（0，-6） 时，得t=-6，此时直线与新图象有且只有2个公共点，
然后将直线向上平移过程中直至经过（0，6）之前，始终与新图象有且只有2个公共点，
把（0，6）代入中得t=6，
∴-6≤t＜6时，直线与新图象有且只有2个公共点，
联立与，令y值相等，得=，
整理为2x2+3x+2t-12=0，
△=32+4×2（2t-12）=0，解得t=，
当t=，直线与新图象有且只有2个公共点，
∴或.
故答案为：D.
【分析】先求出翻折后的抛物线解析式，当直线在（0，6）和（0，-6）之间平移中始终与新图象有且只有2个公共点 ，其中不包含点（0，6），当直线与新图象y轴左侧部分只有一个交点时，也满足直线与新图象有且只有2个公共点，据此解答即可.
12．（2023九上·定海月考） 如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点C，P为该二次函数在第一象限内的一点，连接AP，交BC于点K，则的最小值为（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点P作PQ∥AB，与BC交于点Q，
∵ 二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，
∴A（-1，0），B（4，0），C（0，5），
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则，
解得，
∴直线BC为，
设，则Q，
∴PQ=-t2+4t，
∵PQ∥AB，
∴△PQK∽△ABK，
∴，
∵k=-，
∴当时，有最大值为：，
∴有最小值为，
∴
故答案为：A.
【分析】过点P作PQ∥AB，与BC交于点Q，先由抛物线与纵坐标的交点坐标特点求出A、B、C三点的坐标，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，进而根据点的坐标与图形的性质设，则Q，由两点间的距离公式表示出PQ=-t2+4t，AB=5，由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△PQK∽△ABK，根据相似三角形对应边成比例可得，然后根据二次函数的性质求出有最大值，从而得到有最小值，进而可得答案.
二、填空题（每题3分，共18分）
13．（2024九下·滨江月考）若，且，则在最小值为　 　，最大值为　 　.
【答案】；
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：
．
故答案为：，．
【分析】对已知等式变形，根据y的取值范围利用二次函数的性质求出x的取值范围，然后再表示出x+2y，利用二次函数的性质求出x+2y的取值范围即可.
14．（2023九上·安吉月考）抛物线与轴相交于不同两点、，若存在整数及整数，使得和同时成立，则　 　．
【答案】13或15或19
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线y=2x2-ax+m+a与x轴相交于不同两点（x1，0)，(x2，0)，
∴Δ=(-a)2-4×2×(m-a)＞0，即a2-8m+8a>0
∵2>0
∴抛物线开口向上，
∵1∴当x=1或3时，y>0
∴
由③得：4∵a是整数
∴a=5或6或7或8或9或10或11
将a=5，6，10，11代入时不等式组均无解
将a=7，8，9代入时整数解依次为m=13，m=15，m=19
故答案为：13或15或19.
【分析】分析题目条件可知，抛物线开口向上，且与x轴有两个不同交点的横坐标满足10即2-a+m-a>0，18-3a+m-a>0；因为对称轴介于1和3之间，有，得415．（2024九下·岳阳月考）若关于x的方程恰有三个根，则t的值为　 　.
【答案】或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：的根的个数即函数与的图象的交点个数，
由题意作函数的图象如图：
结合图象可知，
当过点或与相切时，两函数图象有三个交点，
将代入得
联立和得：，
则，
解得：
或
故答案为：或．
【分析】作函数的图象，直线y=x+t与图象有三个交点，有两种情况：当y=x+t过点（1，0）或与相切时，把点（1，0）代入y=x+t，求出t的值；联立后整 理为一元二次方程，方程有两个相等的实数根，利用根的判别式的值为零求出t的值。
16．（2023九上·柯桥月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+2x-3的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，连接AC，BC．已知点E坐标为，点D在线段AC上，且．则四边形BCDE面积的大小为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；几何图形的面积计算-割补法；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：∵二次函数y=x2+2x-3的图象与坐标轴相交于A，B，C三点；
故将y=0代入y=x2+2x-3得：x2+2x-3=0，
解得：x=-3或x=1，
∴A（-3，0），B（1，0），
将x=0代入y=x2+2x-3得：y=-3，
∴C（0，-3）；
设AC所在直线的解析式为y=kx+b，
将A（-3，0），C（0，-3）代入得：
，
解得：，
故AC所在直线的解析式为y=-x-3；
设D（x，-x-3）（-3＜x＜0），
∵A（-3，0），D（x，-x-3）；
∴，
即；
解得：
∴；
∵，A（-3，0），B（1，0），C（0，-3）；
∴；AB=4，OC=3；
∴；
故答案为：.
【分析】根据二次函数的解析式可求出A，B，C三点的坐标，然后待定系数法求出AC所在直线的解析式，设D（x，-x-3）（-3＜x＜0），根据两点间的距离公式可求出D的坐标，再利用割补法即可求出四边形BCDE的面积即可求解．
17．（2023九上·龙湾期中）图1是一个瓷碗，图 2 是其截面图，碗体 DEC 呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽CD＝12cm，此时面汤最大深度EG＝8cm．
（1）当面汤的深度ET为4cm时，汤面的直径PQ长为　 　；
（2）如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABM=45°时停止，此时碗中液面宽度CH=　 　．
【答案】（1）cm
（2）
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）以点E为原点，建立直角坐标系，如图，
∵EG=8， CD=12，
∴C（6，8），D（-6，8），
∴抛物线为y=x2，
∵ET=4
∴P（，4），Q（，4），
∴PQ=cm；
故答案为：cm；
（2）建立直角坐标系，如图，
根据题意得：C（6，8），
∵∠ABM=45°，且CH∥CH，
∴直线CH的斜率为1，
∴直线CH：y=x+2，
∴直线CH与抛物线y=x2的交点H（，），
∴CH=.
故答案为：.
【分析】（1）根据题意建立合适的直角坐标系并找到关键点求得解析式即可求得；
（2）根据题意建立合适的直角坐标系得二次函数，再根据二次函数与一次函数的交点问题得H（，），再计算两点之间距离即可.
18．（2021九上·宁波期中）如图，抛物线 过点A（1，0），B（3，0），与y轴相交于点C.若点P为线段OC上的动点，连结BP，过点C作CN垂直于直线BP，垂足为N，当点P从点O运动到点C时，点N运动路径的长为　 　
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理；弧长的计算；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：把点A（1，0），B（3，0），代入抛物线，则
，解得： ，
∴ ；
连接BC，可得点N的路径是以BC的中点M为圆心，BC长的一半为半径的 ，连接OM，如图：
∵OB=OC=3，
∴OM⊥BC，
∴∠OMC=90°，
∵BC= ，
∴OM= ，
∴点N运动路径的长为： ；
故答案为： .
【分析】利用待定系数法求出，连接BC，可得点N的路径是以BC的中点M为圆心，BC长的一半为半径的 ，连接OM，如图，求出OM的长及∠OMC=90°，利用弧长公式求出点N运动路径的长即可.
三、解答题（共6题，共46分）
19．（2023·黄石）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，，与轴交于点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知抛物线上有一点，其中，若，求的值；
（3）若点，分别是线段，上的动点，且，求的最小值．
【答案】（1）设抛物线的表达式为：，
即，则，
故抛物线的表达式为：；
（2）在中，，
，
则，
故设直线的表达式为：，
联立得：，
解得：不合题意的值已舍去；
（3）作，
设，
，
∽且相似比为：，
则，
故当、、共线时，为最小，
在中，设边上的高为，
则，
即，
解得：，
则，
则，
过点作轴于点，
则，
即点的纵坐标为：，
同理可得，点的横坐标为：，
即点，
由点、的坐标得，，
即的最小值为．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据A、B两点坐标，利用两点式设出二次函数表达式，将C点坐标代入即可求得a，从而可得二次函数表达式；
（2）根据直线BP中已知B点坐标，可设直线的函数表达式为y=k(x-4)，利用正切函数求得直线BP的表达式中的k，求得BP的表达式与（1）的二次函数联立求解；
（3）先说明C、E、G共线时CE+2BD=CG时为最小，再借助三角函数求得G点的坐标，然后利用勾股定理求得CG的长.
20．（2024九下·杭州月考）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点离喷水口的水平距离为、高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离为（单位：）
（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
（2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点的坐标；
（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出的取值范围
【答案】（1）解：点A的高度为1.5+0.5=2（米），
∴，
∵点A是上边缘抛物线的顶点，设，
又抛物线过点（0，1.5），
，
，
上边缘抛物线的函数解析式为；
令，则
解得：，（舍）
∴米．
（2）解：如图，过点H作轴，交上边缘抛物线于点M，
对于上边缘抛物线，
当时，
解得：，，
则，
∵下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到
下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
∴点B是点C向左平移得到，
由（1）知米，
∴C(6，0)
点的坐标为；
（3）解：的取值范围是．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：根据上边缘抛物线，
，
点的纵坐标为，
，解得，
，
，
当时，随的增大而减小，
当时，要使，
则，
当时，随的增大而增大，且时，，
当时，要使，则，
，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
的最大值为，
再看下边缘抛物线，
喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
的最小值为2，
综上所述的取值范围是.
故答案为：.
【分析】（1）计算出点A坐标，根据点A为顶点，设表达式为顶点式，待定系数法求出上边缘抛物线的函数解析式，令y=0，求得x的值，即为喷出水的最大射程 ；
（2）点H作轴，交上边缘抛物线于点M，令y=1.5，求得M点坐标；根据MH的长，可得下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到，于是可由C的坐标求出平移后的点B的坐标；
（3）把y=0.5代入上边缘抛物线，得，根据DE=3，得d≤.由下边缘抛物线，可得d≥OB，于是d的取值范围.
21．（2024九下·镇海区开学考）如图1，已知二次函数图象与轴交点为，其顶点为．
（1）求二次函数的表达式；
（2）将二次函数图象平移，使其顶点与原点重合，然后将其图象绕点顺时针旋转得到抛物线，如图，直线与交于，两点，为上位于直线左侧一点，求面积最大值，及此时点的坐标．
【答案】（1）解：顶点，
设二次函数的解析式为，
把代入得：，
，
，
即；
（2）解：二次函数平移后顶点与原点重合时顶点为，
则函数的解析式为：，
设为上一点，
绕顺时针旋转后，对应点为，
则≌，
则，，
：，
若在轴左侧同理可证成立，即满足横坐标为纵坐标的平方，
所以：，
把代入，
，
解得：，；
则，，
设：，
过点作轴交于点，
：，
，
，
，
当时，有最大值，，
此时．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）由二次函数图象的顶点坐标，可设顶点式，根据待定系数法求得解析式；
（2） 先设F点的坐标，再得出旋转后的对应点的坐标，接着用m表示出PQ，根据直线AB与抛物线的相交求出交点坐标，然后由S△ABPPQ(yA yB)，求出最值．
22．（2024九下·武汉开学考）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜3），过点E作直线ME⊥x轴，交抛物线于点M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当m＝1时，点D是直线ME上的点且在第一象限内，若△ACD是以CA为斜边的直角三角形，求点D的坐标；
（3）如图2，连接BC，BC与ME交于点F，连接AF，△ACF和△BFM的面积分别为S1和S2，当S1＝4S2时，求点E坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），
解：，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）解：令x＝0，得y＝3，
∴C（0，3），
当m＝1时，设D（1，y），
∵△ACD是以CA为斜边的直角三角形，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴22+y2+12+（3﹣y）2＝12+32，
解得：y1＝1，y2＝2，
∴点D的坐标为（1，1）或（1，2）；
（3）解：设直线BC的解析式为y＝kx+d，则，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∵E（m，0），ME⊥x轴，0＜m＜3，
∴M（m，﹣m2+2m+3），F（m，﹣m+3），
又A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴AB＝3﹣（﹣1）＝4，OC＝3，EF＝﹣m+3，MF＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，BE＝3﹣m，
∴S1＝S△ACF＝S△ABC﹣S△ABF＝AB （OC﹣EF）＝×4[3﹣（﹣m+3）]＝2m，
S2＝S△BFM＝MF BE＝（﹣m2+3m）（3﹣m），
∵S1＝4S2，
∴2m＝（﹣m2+3m）（3﹣m），
化简得：m（m2﹣6m+8）＝0，
∵0＜m＜3，
∴m2﹣6m+8＝0，
解得：m1＝2，m2＝4（不符合题意，舍去），
∴点E的坐标为（2，0）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；勾股定理的应用；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）将A和点B的坐标代入抛物线解析式即可求解；
（2）根据题意可求出点C的坐标，当m＝1时，设D（1，y），根据"△ACD是以CA为斜边的直角三角形"，据此得到：即进而即可求解；
（3）设直线BC的解析式为y＝kx+d，进而可求出直线BC的解析式为，根据题意得到：分别求出S1和S2，进而根据""即可得到关于m的方程，解此方程即可求解.
23．（2024九上·从江月考）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3经过点 A(-1，0)，B(3，0)，与 y轴交于点C，直线 y=x+2与y轴交于点D，交抛物线于E，F两点，点P为线段EF上一个动点(与E，F不重合)，PQ∥y轴与抛物线交于点Q.
（1）求抛物线的解析式.
（2）当P在什么位置时，四边形PDCQ为平行四边形 求出此时点P的坐标.
【答案】（1）解：根据题意，得
解得
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.
（2）解：如图所示，
∵PQ∥y轴，
∴当PQ=CD时，四边形PDCQ是平行四边形.
∵当x=0时，
y=-x2+2x+3=3，y=x+2=2，
∴C(0，3)，D(0，2).
∴CD=1.
设Q(m，-m2+2m+3)，则P(m，m+2).
∴PQ=(-m2+2m+3)-(m+2)=1，
解得m1=0，m2=1.
当m=0时，点P与点D重合，不能构成平行四边形，
∴m=1，m+2=3.
∴点P的坐标为(1，3).
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）把点A、点B的坐标代入二次函数关系式中，得到关于a、b的二元一次方程组，解出a、b的值，再回代到y=ax2+bx+3中即可得到抛物线的解析式；
（2）因为PQ∥CD，所以当PQ=CD时，四边形PDCQ是平行四边形，令x=0，根据二次函数和一次函数的表达式求得点C、点D的坐标，进而求得CD的长为1，设Q(m，-m2+2m+3)，则P(m，m+2)，因为PQ=CD，所以有(-m2+2m+3)-(m+2)=1 ，解方程求出m的值，再判断m的值是否符合题意即可求得点P的坐标.
24．（2024九上·潮南期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，过点，且顶点的坐标为.
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，若点是二次函数图象上的点，且在直线的上方，连接，.求面积的最大值及此时点的坐标；
（3）如图2，设点是抛物线对称轴上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为，连接交抛物线于点，求点的坐标.
【答案】（1）解：二次函数的顶点的坐标为，
设二次函数的解析式为，
将点代入，得，解得，
二次函数的解析式为
（2）解：如图，过点作轴，交直线于点，
，令，则，，，
设直线的解析式为，
则，解得，直线的解析式为，
点是二次函数图象上的点，是上的点，
设，，
则，
，
当时，，，
此时，面积的最大值为.
（3）解：设点，
①如图，当时，过点作轴，交轴于点，过点作于点，
将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为，，，
，，
，，，，
，，，，
，，，，
设直线的解析式为，则，，
直线的解析式为，
，解得，.
②如图，当时，过点作于点，过点作于点，
同理可得，
，，，
同理可得，直线的解析式为，
，解得，.
③当时，旋转后的点与点重合，此时过的点的直线有无数条，不能确定点的坐标，
根据题意舍去；综上所述，
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）根据题意设二次函数的解析式为，把点代入即可求出其解析式；
（2）过点作轴，交直线于点，根据题意求出点C的坐标，进而可求出直线CD的解析式，然后根据二次函数和一次函数图象上点的坐标特征，设，，进而可表示出的面积，最后利用二次函数的最值即可求解；
（3）设点，分三种情况，①当时，过点作轴，交轴于点，过点作于点，证明，②当时，过点作于点，过点作于点，③当时，旋转后的点与点重合，此时过的点的直线有无数条，不能确定点的坐标，分别求出PF的解析式，即可求解.
1 / 12024年中考数学精选压轴题之二次函数(一)
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（2024九上·黔东南期末）已知二次函数的对称轴为，当时，y的取值范围是．则的值为（　　）
A．或 B．或 C． D．
2．（2023·丹东）抛物线与轴的一个交点为，与轴交于点，点是抛物线的顶点，对称轴为直线，其部分图象如图所示，则以下个结论：；，是抛物线上的两个点，若，且，则；在轴上有一动点，当的值最小时，则点的坐标为；若关于的方程无实数根，则的取值范围是其中正确的结论有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
3．（2024·攀枝花模拟）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为，以为直径在轴上方画半圆交轴于点，圆心为，是半圆上一动点，连接，点为的中点．下列四种说法：
点在上；
；
当点沿半圆从点运动至点时，点运动的路径长为；
线段的长可以是．
其中正确说法的个数为(　　)
A．个 B．个 C．个 D．个
4．（2024九上·朝天期末）如图，在中，，点为中点，点为线段上的动点，连接，设，则与之间的函数关系图像大致为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024九上·长沙期末） 如图，抛物线y＝x2﹣8x+15与x轴交于A、B两点，对称轴与x轴交于点C，点D（0，﹣2），点E（0，﹣6），点P是平面内一动点，且满足∠DPE＝90°，M是线段PB的中点，连接CM．则线段CM的最大值是（　　）
A．3 B． C． D．5
6．（2023九上·铜梁月考）已知函数f（x）＝x2+2x，g（x）＝2x2+6x+n2+3，当x＝1时，f（1）＝12+2×1＝3，g（1）＝2+6+n2+3＝n2+11．则以下结论正确的有（　　）
①若函数g（x）的顶点在x轴上，则；
②无论x取何值，总有g（x）＞f（x）；
③若﹣1≤x≤1时，g（x）+f（x）的最小值为7，则n＝±3；
④当n＝1时，令，则h（1） h（2）…h（2023）＝2024．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2024九上·绵阳期末）如图，经过的直线与抛物线交于B，C两点，且，则直线的解析式是（　　）
A． B． C． D．
8．如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线.图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米.当喷射出的水流距离喷水头20米时，达到最大高度11米，现将喷灌架置于坡度为1∶10的坡地底部点O处，草坡上距离О的水平距离为30米处有一棵高度约为2.3米的石榴树AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌.下列说法正确的是（　　）
A．水流运行轨迹满足函数
B．水流喷射的最远水平距离是40米
C．喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9.1米
D．若将喷灌架向后移动7米，可以避开对这棵石榴树的喷灌
9．（2024九上·肇东期末）对于每个非零自然数，抛物线与轴交于、两点，以表示这两点间的距离，则的值是（　　）
A． B． C． D．
10．（2023九上·南山月考）一个水杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线AC，BD都是同一条抛物线的一部分，AB，CD都与水面桌面平行，已知水杯底部AB宽为4cm，水杯高度为12cm，当水面高度为6cm时，水面宽度为2cm．如图2先把水杯盛满水，再将水杯绕A点倾斜倒出部分水，如图3，当倾斜角∠BAF＝30°时，杯中水面CE平行水平桌面AF．则此时水面CE的值是（　　）
A． B．12cm C． D．14cm
11．（2024九上·拱墅期末）将抛物线位于轴左侧的部分沿轴翻折，其余部分不变，翻折得到的图象和原来不变的部分构成一个新图象，若直线与新图象有且只有2个公共点，则的取值范围是（　　）
A． B．
C．或 D．或
12．（2023九上·定海月考） 如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点C，P为该二次函数在第一象限内的一点，连接AP，交BC于点K，则的最小值为（　　）
A． B．2 C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
13．（2024九下·滨江月考）若，且，则在最小值为　 　，最大值为　 　.
14．（2023九上·安吉月考）抛物线与轴相交于不同两点、，若存在整数及整数，使得和同时成立，则　 　．
15．（2024九下·岳阳月考）若关于x的方程恰有三个根，则t的值为　 　.
16．（2023九上·柯桥月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+2x-3的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，连接AC，BC．已知点E坐标为，点D在线段AC上，且．则四边形BCDE面积的大小为　 　．
17．（2023九上·龙湾期中）图1是一个瓷碗，图 2 是其截面图，碗体 DEC 呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽CD＝12cm，此时面汤最大深度EG＝8cm．
（1）当面汤的深度ET为4cm时，汤面的直径PQ长为　 　；
（2）如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABM=45°时停止，此时碗中液面宽度CH=　 　．
18．（2021九上·宁波期中）如图，抛物线 过点A（1，0），B（3，0），与y轴相交于点C.若点P为线段OC上的动点，连结BP，过点C作CN垂直于直线BP，垂足为N，当点P从点O运动到点C时，点N运动路径的长为　 　
三、解答题（共6题，共46分）
19．（2023·黄石）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，，与轴交于点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知抛物线上有一点，其中，若，求的值；
（3）若点，分别是线段，上的动点，且，求的最小值．
20．（2024九下·杭州月考）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点离喷水口的水平距离为、高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离为（单位：）
（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
（2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点的坐标；
（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出的取值范围
21．（2024九下·镇海区开学考）如图1，已知二次函数图象与轴交点为，其顶点为．
（1）求二次函数的表达式；
（2）将二次函数图象平移，使其顶点与原点重合，然后将其图象绕点顺时针旋转得到抛物线，如图，直线与交于，两点，为上位于直线左侧一点，求面积最大值，及此时点的坐标．
22．（2024九下·武汉开学考）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜3），过点E作直线ME⊥x轴，交抛物线于点M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当m＝1时，点D是直线ME上的点且在第一象限内，若△ACD是以CA为斜边的直角三角形，求点D的坐标；
（3）如图2，连接BC，BC与ME交于点F，连接AF，△ACF和△BFM的面积分别为S1和S2，当S1＝4S2时，求点E坐标．
23．（2024九上·从江月考）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3经过点 A(-1，0)，B(3，0)，与 y轴交于点C，直线 y=x+2与y轴交于点D，交抛物线于E，F两点，点P为线段EF上一个动点(与E，F不重合)，PQ∥y轴与抛物线交于点Q.
（1）求抛物线的解析式.
（2）当P在什么位置时，四边形PDCQ为平行四边形 求出此时点P的坐标.
24．（2024九上·潮南期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，过点，且顶点的坐标为.
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，若点是二次函数图象上的点，且在直线的上方，连接，.求面积的最大值及此时点的坐标；
（3）如图2，设点是抛物线对称轴上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为，连接交抛物线于点，求点的坐标.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的对称轴为，
∴，即，
∴，
当时，有最大值，
∴，
∴，
∴当时，随的增大而增大，
∴，，
解得：或；或；
经检验时，不符合题意；
∴，，
∴．
故答案为：D
【分析】先根据题意求出二次函数的解析式，进而得到当时，有最大值，从而得到，再结合题意即可求解。
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与系数的关系；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①∵抛物线开口向上，故a＞0；
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
即对称轴在y轴左侧，
∴a与b同号，
故b＞0；
∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方，
故c＜0；
∴abc＜0，故①错误；
②∵抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴当x＜-1时，y随x的增大而减小，
又∵x1＜x2，且x1+x2＜-2，
故x1+x2＜2x2＜-2，
则x2＜-1，
∴E，F两点都在对称轴的左侧，
∴y1＞y2．故②错误；
③作点C关于x轴的对称点C′，连接C′D与x轴交于点P，连接PC，如图：
则PC′=PC，
故PC+PD=PC′+PD=C′D，
故此时PC+PD的值最小；
将A（-3，0）代入二次函数y=ax2+bx+c得，9a-3b+c=0，
又∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
即，
∴b=2a，
故9a-6a+c=0，
∴c=-3a；
又∵抛物线与y轴的交点坐标为C（0，c），
则点C坐标为（0，-3a），
∴点C′坐标为（0，3a）；
当x=-1时，y=-4a，
故D（-1，-4a）；
设直线C′D的函数表达式为y=kx+3a，
将点D坐标代入得-k+3a=-4a，
解得：k=7a，
所以直线C′D的函数表达式为y=7ax+3a；
将y=0代入y=7ax+3a得，
所以点P的坐标为，故③正确；
④∵方程ax2+b（x-2）+c=-4没有实数根，
即方程ax2+bx-2b+c+4=0根的判别式△=b2-4ac＜0，
∴b2-4a·（-2b+c+4）＜0，
∵b=2a，c=-3a，
故整理可得△=b（b-1）＜0；
∵b＞0，
∴b-1＜0，
即b＜1，
∴0＜b＜1；故④错误；
∴正确的有③．
故答案为：A.
【分析】首先根据函数图象可得出a、b、c的正负，即可判断①错误；根据抛物线的增减性和题意推得E，F两点都在对称轴的左侧，即可判断②错误；根据最短路径可得作点C关于x轴的对称点C′，连接C′D与x轴交于点P，连接PC，此时PC+PD的值最小，根据对称性和点A坐标、对称轴可求得点C′和点D的坐标，待定系数法求出直线C′D的函数表达式，求出直线C′D与x轴的交点坐标即可求出点P的坐标，判断③正确；根据一元二次方程根的判别式可求得△=b（b-1）＜0，结合b＞0，即可求出b的取值范围，判断④错误.
3．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；二次函数的其他应用；圆-动点问题
【解析】【解答】解：抛物线与坐标轴交于点，，，
，，，
点，的半径为，
，
顶点的坐标为：，
，
点在上．
，故点不在上，故不正确；
圆心为，是半圆上一动点，点在上，点为的中点．
，故正确；
图中实点、、、是点运动中所处的位置，
则是等腰直角三角形的中位线，，交于点，则四边形为正方形，
当点在半圆任意位置时，中点为，连接，则，连接，
则，则点的运动轨迹为以为圆心的半圆，
则运动的路径长，故正确；
由得，当点运动到点的位置时，的长最大，
最大值为，
线段的长不可以是，故不正确．
故正确说法有：．
故答案为：．
【分析】先根据二次函数与坐标轴的交点问题结合而成函数的图象与性质得到，，顶点，①根据勾股定理求出，进而即可求解；②根据垂径定理结合题意即可求解；③点P的运动轨迹为以I为圆心的半圆，则点Q的运动轨迹为以R为圆心的半圆，进而即可求解；④结合题意运用勾股定理即可求解。
4．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；含30°角的直角三角形；勾股定理的应用；动点问题的函数图象；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：过O作，垂足为E，如图所示：
∵
∴
∵
∴
在中，根据勾股定理得，
∴
∵点O为中点
∴
∵
∴
在中，根据勾股定理得，
∴
∴
在中，根据勾股定理得，
∴，即
当时，
当时，
当时，
则函数图象为
．
故答案为：C
【分析】如图，过O作，垂足为E，根据含30°角的直角三角形的性质可得，运用勾股定理求得，根据中点的定义求得，结合已知条件求得，运用勾股定理可求得，进而可知，在中，运用勾股定理即可求得函数解析式，最后代入特定点即可确定函数图象。
5．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理；圆周角定理；二次函数y=ax²的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：解方程x2﹣8x+15＝0得x1＝3，x2＝5，则A（3，0），
∵抛物线的对称轴与x轴交于点C，
∴C点为AB的中点，
∵∠DPE＝90°，
∴点P在以DE为直径的圆上，圆心Q点的坐标为（﹣4，0），
AQ5，⊙Q的半径为2，
延长AQ交⊙Q于F，此时AF最大，最大值为2+5＝7，
连接AP，
∵M是线段PB的中点，
∴CM为△ABP为中位线，
∴CMAP，
∴CM的最大值为．
故答案为：C．
【分析】先解方程得到点A的坐标，再由抛物线的性质以及圆周角定理得到C点为AB的中点和圆心的坐标，利用勾股定理求得AQ的值和⊙Q的半径，延长AQ交⊙Q于F，此时AF最大，最大值为7，连接AP，利用三角形的中位线定理得到CMAP，从而求解.
6．【答案】B
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】①∵函数的顶点在x轴上，
∴一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，即，
解得，故①错误；
②∵
＝
＝，
∴当，时，，即，
故②错误；
③∵
＝
＝，
∵，
∴图象开口向上，对称轴为直线，
∴当﹣1≤x≤1时，时，有最小值，
∴，
解得：，故③正确；
④当时，
＝＝＝＝，
∴
＝
＝，故④正确．
综上所述：正确的结论有③④，共2个，
故答案为：B．
【分析】据函数的顶点在x轴上，则一元二次方程有两个相等的实数根，根据判别式可得关于的一元二次方程，解方程求求出的值可判断①；计算，根据二次函数的性质可判断②；计算，根据二次函数的增减性可判断③；化简，代入计算可判断④。
7．【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；线段的中点；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设直线的解析式为，
把代入得，
∴，
∴直线的解析式为，
联立得，
整理得，
由根与系数的关系得，，
∵，
∴，即，
∴，，
整理得，
解得或（舍去），
∴，
∴直线的解析式是，
故选：D．
【分析】设直线的解析式为，先利用点得出直线AB的解析式为，结合图像有两个交点联立得，根据根与系数关系得出，，与k的关系，再利用中点的性质建立方程，解出k的值作出取舍即可.
8．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：由题意可设y=a（x-20）2+k，
把（0，1），（20，11）代入得，解得a=，k=11，
∴y=（x-20）2+11= ，故A错误；
∵坡度为1∶10 ，
∴直线OA：y=0.1x，
当x=40时，y=4，
令y=4时，得y=4，
解得x=，故B错误；
设喷射出的水流与坡面OA之间的铅直高度为h米，
则h=-0.1x=，
∴当x==18时，h最大值=9.1，故C正确；
将喷灌架向后移动7米，则图2中x=30时抛物线上的点的纵坐标等于x=37时的函数值，
当x=37时，y=3.775，
图2中，当x=30时，点B的纵坐标y=0.1×30+2.3=5.3，
则点A的纵坐标为5.3-2.3=3＜3.775，故D错误.
故答案为：C.
【分析】由题意可设y=a（x-20）2+k，利用待定系数法求出解析式，即可判断A；求出抛物线y=4时x值，再与40比较即可判断B；求出喷射出的水流与坡面OA之间的铅直高度h=-0.1x，求出其最值即可判断C；求出点ADE纵坐标，再与x=37时抛物线的y值，两种比较即可判断D.
9．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；求代数式值的实际应用
【解析】【解答】解：由抛物线 得，
∴
∴
故答案为：D.
【分析】抛物线与x轴有两个交点时，两个交点间的距离为，根据公式推导出的值。
10．【答案】D
【知识点】平行线的性质；二次函数的其他应用；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：以AB的中点为原点，直线AB为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系如图
：
由题意得：
设抛物线的表达式为：y=ax2+b(a≠0)，
将点B，N坐标代入，得
解得：
∴.
令y=12，得，
解得：，
即
根据题意可知，∠DCE=∠BAF=30° ，设CE与y轴的交点坐标P，CD与y轴交于点Q，如图：
在Rt△CQP中，，∠QCP=30° ，
∴，
∴OP=8，点P坐标（0，8），
设直线CE的表达式为y=kx+8.
把点C的坐标代入得：，
解得：，
∴直线CE的表达式为.
联立，
得或（舍去）.
故点E坐标
∴.
故答案为：D.
【分析】以AB的中点为原点，直线AB为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，求出抛物线的解析式，确定点C，D的坐标，再根据题意在坐标系中作出CE，求出CE的解析式，进而求出点E的坐标，即可求出CE的长.
11．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解： ，
令y=0，则x2+x-6=0，解得x=-3，y=2，
抛物线与x轴交点为（-3，0），（2，0），
由题意可得翻折后y轴左侧的抛物线为，
当直线经过点（0，-6） 时，得t=-6，此时直线与新图象有且只有2个公共点，
然后将直线向上平移过程中直至经过（0，6）之前，始终与新图象有且只有2个公共点，
把（0，6）代入中得t=6，
∴-6≤t＜6时，直线与新图象有且只有2个公共点，
联立与，令y值相等，得=，
整理为2x2+3x+2t-12=0，
△=32+4×2（2t-12）=0，解得t=，
当t=，直线与新图象有且只有2个公共点，
∴或.
故答案为：D.
【分析】先求出翻折后的抛物线解析式，当直线在（0，6）和（0，-6）之间平移中始终与新图象有且只有2个公共点 ，其中不包含点（0，6），当直线与新图象y轴左侧部分只有一个交点时，也满足直线与新图象有且只有2个公共点，据此解答即可.
12．【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点P作PQ∥AB，与BC交于点Q，
∵ 二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，
∴A（-1，0），B（4，0），C（0，5），
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则，
解得，
∴直线BC为，
设，则Q，
∴PQ=-t2+4t，
∵PQ∥AB，
∴△PQK∽△ABK，
∴，
∵k=-，
∴当时，有最大值为：，
∴有最小值为，
∴
故答案为：A.
【分析】过点P作PQ∥AB，与BC交于点Q，先由抛物线与纵坐标的交点坐标特点求出A、B、C三点的坐标，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，进而根据点的坐标与图形的性质设，则Q，由两点间的距离公式表示出PQ=-t2+4t，AB=5，由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△PQK∽△ABK，根据相似三角形对应边成比例可得，然后根据二次函数的性质求出有最大值，从而得到有最小值，进而可得答案.
13．【答案】；
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：
．
故答案为：，．
【分析】对已知等式变形，根据y的取值范围利用二次函数的性质求出x的取值范围，然后再表示出x+2y，利用二次函数的性质求出x+2y的取值范围即可.
14．【答案】13或15或19
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线y=2x2-ax+m+a与x轴相交于不同两点（x1，0)，(x2，0)，
∴Δ=(-a)2-4×2×(m-a)＞0，即a2-8m+8a>0
∵2>0
∴抛物线开口向上，
∵1∴当x=1或3时，y>0
∴
由③得：4∵a是整数
∴a=5或6或7或8或9或10或11
将a=5，6，10，11代入时不等式组均无解
将a=7，8，9代入时整数解依次为m=13，m=15，m=19
故答案为：13或15或19.
【分析】分析题目条件可知，抛物线开口向上，且与x轴有两个不同交点的横坐标满足10即2-a+m-a>0，18-3a+m-a>0；因为对称轴介于1和3之间，有，得415．【答案】或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：的根的个数即函数与的图象的交点个数，
由题意作函数的图象如图：
结合图象可知，
当过点或与相切时，两函数图象有三个交点，
将代入得
联立和得：，
则，
解得：
或
故答案为：或．
【分析】作函数的图象，直线y=x+t与图象有三个交点，有两种情况：当y=x+t过点（1，0）或与相切时，把点（1，0）代入y=x+t，求出t的值；联立后整 理为一元二次方程，方程有两个相等的实数根，利用根的判别式的值为零求出t的值。
16．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；几何图形的面积计算-割补法；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：∵二次函数y=x2+2x-3的图象与坐标轴相交于A，B，C三点；
故将y=0代入y=x2+2x-3得：x2+2x-3=0，
解得：x=-3或x=1，
∴A（-3，0），B（1，0），
将x=0代入y=x2+2x-3得：y=-3，
∴C（0，-3）；
设AC所在直线的解析式为y=kx+b，
将A（-3，0），C（0，-3）代入得：
，
解得：，
故AC所在直线的解析式为y=-x-3；
设D（x，-x-3）（-3＜x＜0），
∵A（-3，0），D（x，-x-3）；
∴，
即；
解得：
∴；
∵，A（-3，0），B（1，0），C（0，-3）；
∴；AB=4，OC=3；
∴；
故答案为：.
【分析】根据二次函数的解析式可求出A，B，C三点的坐标，然后待定系数法求出AC所在直线的解析式，设D（x，-x-3）（-3＜x＜0），根据两点间的距离公式可求出D的坐标，再利用割补法即可求出四边形BCDE的面积即可求解．
17．【答案】（1）cm
（2）
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）以点E为原点，建立直角坐标系，如图，
∵EG=8， CD=12，
∴C（6，8），D（-6，8），
∴抛物线为y=x2，
∵ET=4
∴P（，4），Q（，4），
∴PQ=cm；
故答案为：cm；
（2）建立直角坐标系，如图，
根据题意得：C（6，8），
∵∠ABM=45°，且CH∥CH，
∴直线CH的斜率为1，
∴直线CH：y=x+2，
∴直线CH与抛物线y=x2的交点H（，），
∴CH=.
故答案为：.
【分析】（1）根据题意建立合适的直角坐标系并找到关键点求得解析式即可求得；
（2）根据题意建立合适的直角坐标系得二次函数，再根据二次函数与一次函数的交点问题得H（，），再计算两点之间距离即可.
18．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理；弧长的计算；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：把点A（1，0），B（3，0），代入抛物线，则
，解得： ，
∴ ；
连接BC，可得点N的路径是以BC的中点M为圆心，BC长的一半为半径的 ，连接OM，如图：
∵OB=OC=3，
∴OM⊥BC，
∴∠OMC=90°，
∵BC= ，
∴OM= ，
∴点N运动路径的长为： ；
故答案为： .
【分析】利用待定系数法求出，连接BC，可得点N的路径是以BC的中点M为圆心，BC长的一半为半径的 ，连接OM，如图，求出OM的长及∠OMC=90°，利用弧长公式求出点N运动路径的长即可.
19．【答案】（1）设抛物线的表达式为：，
即，则，
故抛物线的表达式为：；
（2）在中，，
，
则，
故设直线的表达式为：，
联立得：，
解得：不合题意的值已舍去；
（3）作，
设，
，
∽且相似比为：，
则，
故当、、共线时，为最小，
在中，设边上的高为，
则，
即，
解得：，
则，
则，
过点作轴于点，
则，
即点的纵坐标为：，
同理可得，点的横坐标为：，
即点，
由点、的坐标得，，
即的最小值为．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据A、B两点坐标，利用两点式设出二次函数表达式，将C点坐标代入即可求得a，从而可得二次函数表达式；
（2）根据直线BP中已知B点坐标，可设直线的函数表达式为y=k(x-4)，利用正切函数求得直线BP的表达式中的k，求得BP的表达式与（1）的二次函数联立求解；
（3）先说明C、E、G共线时CE+2BD=CG时为最小，再借助三角函数求得G点的坐标，然后利用勾股定理求得CG的长.
20．【答案】（1）解：点A的高度为1.5+0.5=2（米），
∴，
∵点A是上边缘抛物线的顶点，设，
又抛物线过点（0，1.5），
，
，
上边缘抛物线的函数解析式为；
令，则
解得：，（舍）
∴米．
（2）解：如图，过点H作轴，交上边缘抛物线于点M，
对于上边缘抛物线，
当时，
解得：，，
则，
∵下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到
下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
∴点B是点C向左平移得到，
由（1）知米，
∴C(6，0)
点的坐标为；
（3）解：的取值范围是．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：根据上边缘抛物线，
，
点的纵坐标为，
，解得，
，
，
当时，随的增大而减小，
当时，要使，
则，
当时，随的增大而增大，且时，，
当时，要使，则，
，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
的最大值为，
再看下边缘抛物线，
喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
的最小值为2，
综上所述的取值范围是.
故答案为：.
【分析】（1）计算出点A坐标，根据点A为顶点，设表达式为顶点式，待定系数法求出上边缘抛物线的函数解析式，令y=0，求得x的值，即为喷出水的最大射程 ；
（2）点H作轴，交上边缘抛物线于点M，令y=1.5，求得M点坐标；根据MH的长，可得下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到，于是可由C的坐标求出平移后的点B的坐标；
（3）把y=0.5代入上边缘抛物线，得，根据DE=3，得d≤.由下边缘抛物线，可得d≥OB，于是d的取值范围.
21．【答案】（1）解：顶点，
设二次函数的解析式为，
把代入得：，
，
，
即；
（2）解：二次函数平移后顶点与原点重合时顶点为，
则函数的解析式为：，
设为上一点，
绕顺时针旋转后，对应点为，
则≌，
则，，
：，
若在轴左侧同理可证成立，即满足横坐标为纵坐标的平方，
所以：，
把代入，
，
解得：，；
则，，
设：，
过点作轴交于点，
：，
，
，
，
当时，有最大值，，
此时．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）由二次函数图象的顶点坐标，可设顶点式，根据待定系数法求得解析式；
（2） 先设F点的坐标，再得出旋转后的对应点的坐标，接着用m表示出PQ，根据直线AB与抛物线的相交求出交点坐标，然后由S△ABPPQ(yA yB)，求出最值．
22．【答案】（1）解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），
解：，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）解：令x＝0，得y＝3，
∴C（0，3），
当m＝1时，设D（1，y），
∵△ACD是以CA为斜边的直角三角形，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴22+y2+12+（3﹣y）2＝12+32，
解得：y1＝1，y2＝2，
∴点D的坐标为（1，1）或（1，2）；
（3）解：设直线BC的解析式为y＝kx+d，则，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∵E（m，0），ME⊥x轴，0＜m＜3，
∴M（m，﹣m2+2m+3），F（m，﹣m+3），
又A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴AB＝3﹣（﹣1）＝4，OC＝3，EF＝﹣m+3，MF＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，BE＝3﹣m，
∴S1＝S△ACF＝S△ABC﹣S△ABF＝AB （OC﹣EF）＝×4[3﹣（﹣m+3）]＝2m，
S2＝S△BFM＝MF BE＝（﹣m2+3m）（3﹣m），
∵S1＝4S2，
∴2m＝（﹣m2+3m）（3﹣m），
化简得：m（m2﹣6m+8）＝0，
∵0＜m＜3，
∴m2﹣6m+8＝0，
解得：m1＝2，m2＝4（不符合题意，舍去），
∴点E的坐标为（2，0）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；勾股定理的应用；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）将A和点B的坐标代入抛物线解析式即可求解；
（2）根据题意可求出点C的坐标，当m＝1时，设D（1，y），根据"△ACD是以CA为斜边的直角三角形"，据此得到：即进而即可求解；
（3）设直线BC的解析式为y＝kx+d，进而可求出直线BC的解析式为，根据题意得到：分别求出S1和S2，进而根据""即可得到关于m的方程，解此方程即可求解.
23．【答案】（1）解：根据题意，得
解得
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.
（2）解：如图所示，
∵PQ∥y轴，
∴当PQ=CD时，四边形PDCQ是平行四边形.
∵当x=0时，
y=-x2+2x+3=3，y=x+2=2，
∴C(0，3)，D(0，2).
∴CD=1.
设Q(m，-m2+2m+3)，则P(m，m+2).
∴PQ=(-m2+2m+3)-(m+2)=1，
解得m1=0，m2=1.
当m=0时，点P与点D重合，不能构成平行四边形，
∴m=1，m+2=3.
∴点P的坐标为(1，3).
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）把点A、点B的坐标代入二次函数关系式中，得到关于a、b的二元一次方程组，解出a、b的值，再回代到y=ax2+bx+3中即可得到抛物线的解析式；
（2）因为PQ∥CD，所以当PQ=CD时，四边形PDCQ是平行四边形，令x=0，根据二次函数和一次函数的表达式求得点C、点D的坐标，进而求得CD的长为1，设Q(m，-m2+2m+3)，则P(m，m+2)，因为PQ=CD，所以有(-m2+2m+3)-(m+2)=1 ，解方程求出m的值，再判断m的值是否符合题意即可求得点P的坐标.
24．【答案】（1）解：二次函数的顶点的坐标为，
设二次函数的解析式为，
将点代入，得，解得，
二次函数的解析式为
（2）解：如图，过点作轴，交直线于点，
，令，则，，，
设直线的解析式为，
则，解得，直线的解析式为，
点是二次函数图象上的点，是上的点，
设，，
则，
，
当时，，，
此时，面积的最大值为.
（3）解：设点，
①如图，当时，过点作轴，交轴于点，过点作于点，
将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为，，，
，，
，，，，
，，，，
，，，，
设直线的解析式为，则，，
直线的解析式为，
，解得，.
②如图，当时，过点作于点，过点作于点，
同理可得，
，，，
同理可得，直线的解析式为，
，解得，.
③当时，旋转后的点与点重合，此时过的点的直线有无数条，不能确定点的坐标，
根据题意舍去；综上所述，
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）根据题意设二次函数的解析式为，把点代入即可求出其解析式；
（2）过点作轴，交直线于点，根据题意求出点C的坐标，进而可求出直线CD的解析式，然后根据二次函数和一次函数图象上点的坐标特征，设，，进而可表示出的面积，最后利用二次函数的最值即可求解；
（3）设点，分三种情况，①当时，过点作轴，交轴于点，过点作于点，证明，②当时，过点作于点，过点作于点，③当时，旋转后的点与点重合，此时过的点的直线有无数条，不能确定点的坐标，分别求出PF的解析式，即可求解.
1 / 1