2024年中考数学精选压轴题之方程类综合应用

2024年中考数学精选压轴题之方程类综合应用
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（2021八下·龙口期中）若二次根式 有意义，且关于x的分式方程 +2＝ 有正数解，则符合条件的整数m的和是（　　）
A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件；分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：将分式方程去分母得，﹣m+2（x﹣1）＝3，解得，x＝ ，
∵关于x的分式方程 +2＝ 有正数解，
∴ ＞0，
∴m＞﹣5，
又∵x＝1是增根，当x＝1时， ＝1，即m＝﹣3
∴m≠﹣3，
∵ 有意义，
∴2﹣m≥0，
∴m≤2，
因此﹣5＜m≤2且m≠﹣3，
∵m为整数，
∴m可以为﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，其和为﹣4，
故答案为：D．
【分析】此题考查分式方程的解法，以及二次根式有意义的定义；重点要注意排除增根的情况.
2．（2024七下·洪雅月考）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于m，n的二元一次方程组的解是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：因为关于x，y的二元一次方程组的解是，
所以，
解得出，
故选：A.
【分析】根据方程组的解相同可得，再利用加减消元法求出即可.
3．（2023七下·开州期末）已知关于x，y的方程组，给出下列说法：
①当时，方程组的解也是的解；
②若，则；
③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数；
④x，y都为自然数的解有5对．
以上说法中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：
①当时，原方程组可化为，
解得，
将、代入也成立，
∴当时，方程组的解也是的解，①正确；
②由题意得，
⑤+⑥得2x+y=6+3a，
∴6+3a=3，
解得a=-1，②正确；
③由题意得x+2y=6-3a，2x+y=6+3a，
∴x+y=4，
∴无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，③正确；
④∵x+y=4，
∴x，y都为自然数的解为，
∴x，y都为自然数的解有5对，④正确；
∴正确的个数为4，
故答案为：D
【分析】先将a=1代入原方程组，进而即可解出x和y，再代入方程结合题意即可判断①；根据题意⑤+⑥，进而即可求出a，从而判断②；根据题意即可得到x+y=4，进而即可判断③；根据题意列出可能的解即可判断④。
4．（2024八下·开福开学考）若分式方程无解，则的值是（　　）
A．或 B． C．或 D．或
【答案】D
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：，
方程两边同时乘得：
，
，
，
，
分式方程无解，
，
，
，
解得：，
分式方程无解，
，
解得：，
综上可知：或，
故答案为：．
【分析】先化简分式方程为（a-2）x=-3，根据题意可得x为增根或a-2=0，分别求出对应的a的值即可．熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程无解的时候满足的条件是解题的关键．
5．（2024七上·深圳期末）如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（　　）
①运动后，； ②的值随着运动时间的改变而改变；③的值不变；
④当时，运动时间为．
A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
【答案】D
【知识点】线段的中点；一元一次方程的实际应用-行程问题；线段的计算
【解析】【解答】解：①运动4s后，AP=2×4=8cm，PB=AB-AP=16cm，
∵M为的中点 ，
∴AM=MP=4cm，
∴PB=4AM，故①错误；
设运动ts时，AP=2t，PB=24-2t，
∵M为的中点，N为的中点，
∴AM=PM=t，PN=BN=12-t，
∴PM+MN=PM+PM+PN=t+t+12-t=12+t，
∴的值随着运动时间的改变而改变 ，故②正确；
∵MB=AB-AM=24-t，PB=AB-AP=24-2t，
∴=2（24-t）-（24-2t）=24cm，故③正确；
由AN=AP+PN=2t+（12-t）=12+t，PM=t，
∵ ，
∴12+t=6t，解得t=2.4s，故④正确.
故答案为：D.
【分析】根据题意分别求出AP、PB的长，再利用线段的中点得出AM、PM、PN、BN的长，利用线段的和差关系逐一求解即可判断.
6．（2024九上·岳阳期末）图①是一张长，宽的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为的有盖长方体盒子．设该盒子的高为，根据题意，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：矩形纸片的长为28cm，宽为16cm，且盒子的高为xcm，
折成的长方体底面的宽应为(16-2x)cm，长为cm，
折成的长方体底面积为80cm2，
.
故答案为：D.
【分析】根据长方形和折叠后的长方体各边长之间的关系，可得折成的长方体底面的宽应为(16-2x)cm，长为cm，再结合长方体底面积为80cm2，根据长×宽=80即可列出方程.
7．（2024七上·龙岗期末）我国古代的“九宫图”是由的方格构成的，每个方格均有不同的数，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等．如图给出了“九宫图”的一部分，请推算的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：如图，
y
z
m
∵每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等，
∴y+2025+z=z+2+3
解之：y=-2020；
∴-2020+m+3=x+m+2，
解之：x=-2019.
故答案为：D.
【分析】设第一行第1个数为y，第三个数为z，第二行的第二个数为m，利用已知每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等，可得到y+2025+z=z+2+3，y+m+3=x+m+2，先求出y，再求出x的值.
8．（2023九上·株洲期中）如图，M是△ABC三条角平分线的交点，过M作DE⊥AM，分别交AB、AC于D，E两点，设BD=a，DE=b，CE=c，关于x的方程（　　）
A．一定有两个相等实根
B．一定有两个不相等实根
C．有两个实根，但无法确定是否相等
D．无实根
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵AM平分∠BAC，DE⊥AM，
∴△ADM≌△AEM（ASA）
∴∠ADM=∠AEM，MD=ME=DE=b，
∴∠BDM=∠MEC=90°+∠BAC，
∴∠BDM=∠MEC=∠BMC，
∵M是△ABC三条角平分线的交点，
∴∠DBM=∠MBC，
∴△DBM∽△MBC，
同理可证：△BMC∽△MEC，
∴△DBM∽△MEC，
∴BD：ME=MD：CE，即a：b=b：c，
∴ac=b2，
即b2-4ac=0，
∴ 方程 一定有两个相等实根 .
故答案为：A.
【分析】易得MD=ME=DE=b，分别证△DBM∽△MBC，△BMC∽△MEC，可得△DBM∽△MEC，利用相似三角形的性质可得b2-4ac=0，继而判断即可.
9．（2022九上·渝中开学考）若整数使得关于的分式方程有正整数解，且使得关于的不等式组有解，那么符合条件的所有整数的和为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解分式方程；不等式的解及解集
【解析】【解答】解： 分式方程得
∵ 是正整数且不为0或4
∴a=3，6，10
解不等式组得
解得
若此不等式组有解，应
∴
∴a=6或10
∴符合条件的所有整数的和为 16.
答案为：C
【分析】根据题意分别解分式方程和不等式组，计算出符合条件的整数求和即可，其中注意分式方程的根要使分式方程有意义。
10．（2022九上·子洲月考）已知关于x的一元二次方程（其中p，q为常数）有两个相等的实数根，则下列结论中，错误的是（　　）．
A．1可能是方程的根 B．-1可能是方程的根
C．0可能是方程的根 D．1和-1都是方程的根
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程 （其中p，q为常数）有两个相等的实数根，
∴ 且 ，
∴ ，
当 ，即 时，
∴ 是 的根，故A选项正确，不符合题意；
当 ，即 时，
∴ 是 的根，故B选项正确，不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∴ 和 不能同时是方程 的根，故D选项错误，符合题意；
当 时， ，
∴ ，
∴当 ， 时， 是方程 的根，故C选项正确，不符合题意；
故答案为：D
【分析】由于方程有两个相等的实数根，可得且，从而得出，可知x=0、x=-1可能但不能同时是方程 的根；当x=0时，可知p、q的值且都符合题意，继而判断.
11．（2022七下·合阳期末）在《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的．如图1所示的算筹图，表示的方程组就是类似地，图2所示的算筹图表示的方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：图1前两列结合方程组中x、y的系数可知：一个”“表示数1，只需要数”“，有几个就表示系数为几，例如”“表示数3；11表示为””，其中”“表示1，所以”“表示10，“”表示20，结合27表示的”“可知“”上边的”—“表示5，所以图2中的“”表示10+5+4=19，“”表示20+3=23.
故答案为：D.
【分析】理解图1中算筹所示的表示方法，清楚”|“、“—”、”“分别代表的数，依次即可推出图2所示的方程组.
12．（2021七上·拱墅月考）某超市在“元旦”活动期间，推出如下购物优惠方案：
①一次性购物在元（不含元）以内，不享受优惠；
②一次性购物在元（含元）以上，元（不含元）以内，一律享受九折优惠；
③一次性购物在元（含元）以上，一律享受八折优惠；
小敏在该超市两次购物分别付了90 元和270元，如果小敏把这两次购物改为一次性购物，则小敏至少需付款（　　）元
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：第一次购物可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同），
①没有超过100元，即是90元，则实际购物为90；
②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，享受九折优惠，设实际购物为x元，依题意得：x×0.9=90，
解得x=100元；
第二次购物消费270元，满足一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，享受九折优惠；
设第二次实质购物价值为y元，那么依题意有y×0.9=270，
解得：y=300元；
∴他两次购物的实质价值为90+300=390或100+300=400，均超过了350元，因此均可以按照8折付款：
390×0.8=312（元），
400×0.8=320（元），
综上所述：如果小敏把这两次购物改为一次性购物，则小敏至少需付款312元；
故答案为：C.
【分析】第一次购物可能有两种情况，①没有超过100元，则实际购物为90元；②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，设实际购物为x元，依题意得：0.9x=90，求出x的值；设第二次实质购物价值为y元，则有0.9y=270，求出y的值，可得两次购物的实质价值均超过了350元，求出享受八折优惠后的价钱，进而进行解答.
二、填空题（每题3分，共18分）
13．（2023七下·东城期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前．书中记载了一个数学问题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”其大意是：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，绳子比长木短1尺，问长木多少尺？”设绳长尺，木长尺，可列方程组为　 　．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】由题意：绳长比木长多4.5尺，绳长的一半比木长少1尺，可列出方程组 {x y=4.5y x2=1
故填： {x y=4.5y x2=1
【分析】根据已设未知数的逻辑关系，按照题意列方程组。
14．（2024八下·宜宾月考）二月开学季来临，某文具店在2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的开学大礼包．已知二月上旬A、B、C三种主题大礼包售价之比为2：4：5，销量之比为7：1：2．开学后不久，根据市场需求，在二月下旬文具店老板对三种主题大礼包售价进行了调整，其中B主题大礼包售价比二月上旬降低了，C主题大礼包在2月上旬售价的基础上打八折，从而使得B、C两种主题大礼包销售额相较于二月上旬有所增加，A主题大礼包销售额相较于二月上旬有所下降．若A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额之比为4：7：5，且A主题大礼包减少的销售额占二月下旬三种主题大礼包总销售额的，则二月下旬B、C两种主题大礼包的销量之比为　 　．
【答案】4：5
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的大礼包售价为2x，4x，5x，销量为7y，y，2y，2月下旬B主题大礼包售价为 ，C主题大礼包售价为A主题大礼包减少的销售额与B、C两大主题增加的销售额分别为4a，7a，5a，根据题意得，
∴2月下旬B、C两种主题大礼包的销售额分别为
∴2月下旬B、C两种主题大礼包的销售之比为
故答案为： 4：5 .
【分析】本题考查分式方程的应用，设2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的大礼包售价为2x，4x，5x，销量为7y，y，2y， 二月下旬A主题大礼包减少的销售额与B、C两大主题大礼包增加的销售额分别为4a，7a，5a，根据2月下旬A主题大礼包减少的销售额占二月下旬三种主题大礼包总销售额的 列出方程，然后分别求出2月下旬B、C两种主题大礼包的销售额，进而求出2月下旬B、C两种主题大礼包的销售量，即可得出答案。
15．甲、乙两班为运动会订购一批啦啦球，甲班开始订购的啦啦球数量是乙班订购数量的3倍，后来由于某种原因，甲班决定把自己所订购的啦啦球数量转让7个给乙班，但由于商家失误，寄来的啦啦球总数比甲、乙两班所定购的总数少了七个，最后甲班所购啦啦球数量是乙班所购数量的2倍，那么甲、乙两班最后所得的啦啦球总数最多是　 　
【答案】105
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设甲乙两班最后所得的啦啦球总数为x个，在寄来的啦啦球总数少了7个中，甲少要了y个（0≤y≤7），乙班少要了(7-y)个，
由题意得
整理得x-12y=21，
∴x=12y+21，
∴当y=7时，x的最大值为105.
故答案为：105.
【分析】设甲乙两班最后所得的啦啦球总数为x个，在寄来的啦啦球总数少了7个中，甲少要了y个（0≤y≤7），乙班少要了(7-y)个，根据题意分别表示出甲乙两班最后所购啦啦球的数量，从而根据“最后甲班所购啦啦球数量是乙班所购数量的2倍”列出方程，用含y的式子表示出x，再根据y的取值范围即可得出答案.
16．（2023·宁南模拟）已知等腰三角形的一边长，另外两边的长恰好是关于的一元二次方程的两个根，则的周长为　 　
【答案】15
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的性质
【解析】【解答】①当a=6是三角形的腰时，则b、c中还有一个值为6，
∴x=6是方程的一个根，
∴36-（3k+3）×6+9k=0，
解得：k=2，
此时方程为x2-9x+18=0，
解得：x1=3，x2=6，
此时三角形的三边长为3，6，6，
∴C△ABC=3+6+6=15；
②当a=6是三角形的底时，则b、c为三角形的腰，
∴b=c，即方程有两个相等的实数根，
∴△=0，
∴，
解得k=1，
此时方程为：x2-6x+9=0，
∴x1=x2=3，
此时三角形的三边长为3，3，6，
∵3+3=6，
∴这三边长不能围成三角形，舍掉；
综上，△ABC的周长为15，
故答案为：15.
【分析】分类讨论：①当a=6是三角形的腰时，②当a=6是三角形的底时，再分别利用一元二次方程根的判别式和一元二次方程的根求出三角形三边长，再利用三角形的周长公式求解即可.
17．（2023·连云）若（为实数），则的最小值为　 　.
【答案】-2
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】W=5x2-4xy+y2-2y+8x+3
=y2-(2+4x)y+5x2+8x+3
=[y-(1+2x)]2-(1+2x)2+5x2+8x+3
=[y-(1+2x)]2+x2+4x+2
=[y-(1+2x)]2+(x+2)2-2
∵[y-(1+2x)]2≥0，(x+2)2≥0，
∴当[y-(1+2x)]2=0，(x+2)2=0时，即x=-2，y=-3，W有最小值等于-2
故答案为：-2.
【分析】整理原式，构造非负数的结构，即可求解W的最小值.
18．（2023·成都模拟）2021年11月2日，重庆市九龙坡区、长寿区分别新增1例新冠本土确诊.当疫情出现后，各级政府及有关部门高度重视，坚决阻断疫情传播.开州区赵家工业园区一家民营公司为了防疫需要，引进一条口罩生产线生产口罩，该产品有三种型号，通过市场调研后，按三种型号受消费者喜爱的程度分别对A型、B型、C型产品在成本的基础上分别加价20%，30%，45%出售（三种型号的成本相同）.经过一个月的经营后，发现C型产品的销量占总销量的，且三种型号的总利润率为35%.第二个月，公司决定对A型产品进行升级，升级后A型产品的成本提高了25%，销量提高了20%；B型、C型产品的销量和成本均不变，且三种产品在第二个月成本基础上分别加价20%，30%，50%出售，则第二个月的总利润率为　 　.
【答案】34%
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：由题意得：A型、B型、C型三种型号产品利润率分别为20%，30%，45%，
设A型、B型、C型三种型号产品原来的成本为a，A产品原销量为x，B产品原销量为y，C产品原销量为z，
由题意得：，
解得：，
第二个月A产品的成本提高了25%，成本为：（1+25%）a=a，B、C的成本仍为a，
A产品销量为（1+20%）x=x，B产品销量为y，C产品销量为z，
∴第二个季度的总利润率为：
=0.36
=36%.
故答案为：36%.
【分析】由题意得：A型、B型、C型三种型号产品利润率分别为20%，30%，45%，设A型、B型、C型三种型号产品原来的成本为a，A产品原销量为x，B产品原销量为y，C产品原销量为z，由题意列出方程组，解得，第二个月A产品的成本提高了25%，成本为：（1+25%）a=a，B、C的成本仍为a，A产品销量为（1+20%）x=x，B产品销量为y，C产品销量为z，则可表示第二个月的总利润率.
三、解答题（共6题，共46分）
19．（2024七下·隆昌月考）义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”。例如：方程和为“美好方程”。
（1）若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值；
（2）若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值；
（3）若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解。
【答案】（1）解：解方程得：
解方程得：
∵关于x的方程与方程是“美好方程”
∴ 解得：
答：m的值为9.
（2）解：∵“美好方程”的两个解之和为1
∴另一个方程的解为
∵“美好方程”的两个解的差为8
∴或
∴或
故答案为：或.
（3）解：∵
∴
∵关于x的一元一次方程和是“美好方程”
∴的解为：
∵关于y的一元一次方程可化为
∴
∴
故答案为：2024.
【知识点】二元一次方程（组）的新定义问题
【解析】【分析】（1）分别解这两个方程，根据这两个方程的解的和为1建立关于m的方程，求解即可；
（2）利用两个解的和为1，两个解的差为8，建立方程求解即可；
（3）先解不含参数的方程，根据定义确定含参数k的方程的解，再把所求解的方程变形为 ，根据解的意义建立关于y的方程，求解即可。
20．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为，不等式组的解为，因为，所以称方程为不等式组的“相伴方程”．
（1）下列方程是不等式组的“相伴方程”的是　 　；（填序号）
①；②；③．
（2）若关于x的方程是不等式组0的“相伴方程”，求k的取值范围；
（3）若方程，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，其中，求m的取值范围．
【答案】（1）①②
（2）解：，
解得：，
解方程得：，
∵关于x的方程是不等式组的“相伴方程”，
∴，
解得：，
∴ k的取值范围是；
（3）解：解得，
解得，
∵方程，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，，
所以分为两种情况：①当时，则，
∴不等式组为，
此时不等式组的解集是，不符合题意，舍去；
②当时，不等式组的解集是，
所以根据题意得：，
解得：，
所以m的取值范围是．
【知识点】解一元一次方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：（1），解得，
当时，解得：；
当时，解得：；
当时，解得：，
∵，，，
∴①②是不等式组的“相伴方程”；
故答案为：①②；
【分析】（1）先求出不等式组的解，再求出①②③方程的解，进行逐一判断即可；
（2）先求出不等式组的解，再求出的解，最后根据“相伴方程”列出不等式求解即可；
（3）先分别求出方程的解，分当时和时两种情况求解即可.
21．（2024七下·安达开学考）2016年春节即将来临，甲、乙两单位准备组织退休职工到某风景区游玩．甲、乙两单位共102人，其中甲单位人数多于乙单位人数，且甲单位人数不够100人．经了解，该风景区的门票价格如下表：
数量（张） 101张及以上
单价（元/张） 60元 50元 40元
如果两单位分别单独购买门票，一共应付5500元．
（1）如果甲、乙两单位联合起来购买门票，那么比各自购买门票共可以节省多少钱？
（2）甲、乙两单位各有多少名退休职工准备参加游玩？
（3）如果甲单位有12名退休职工因身体原因不能外出游玩，那么你有几种购买方案，通过比较，你该如何购买门票才能最省钱？
【答案】（1）解：如果甲、乙两单位联合起来购买门票需（元），
则比各自购买门票共可以节省：（元）；
答：比各自购买门票共可以节省1420元．
（2）解：若两个单位人数一样，则每个单位有102÷2=51（人）.
∵ 甲单位人数多于乙单位人数，且甲单位人数不够100人． 故甲单位人数多余51人，乙单位人数少于51人.设甲单位有退休职工x人，则乙单位有退休职工人，
依题意得：，
解得：．
则乙单位人数为：（人），
答：甲单位有62人，乙单位有40人；
（3）解：方案一：各自购买门票需（元）；
方案二：联合购买门票需（元）；
方案三：联合购买101张门票需（元）；
综上所述：因为．
故应该甲乙两单位联合起来选择按40元一次购买101张门票最省钱．
【知识点】一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】（1）计算联合起来购买门票的费用，拿5500减这个费用，即可得到节省的费用；
（2）根据题意得等量关系，甲单位人数+乙单位人数=102；甲单位购票费用+乙单位购票费用=5500；由于甲单位人数多于乙单位人数，且甲单位人数不够100人，可知甲单位人数多于51人，每张票50元；而乙单位人数少于51人，每张票60元；设甲单位有退休职工x人，表示出乙单位有退休职工的人数，列方程即可；
（3）分别计算出各自买票的费用，两单位一起买90张票的费用和两单位一起买101张票的费用，比较大小，得到最省钱的方案.
22．（2024七上·新昌期末）如图，某动力科学研究实验基地内装有一段长为91m的笔直轨道AB，现将长度为1m的金属滑块在上面往返滑动一次，滑动开始前，滑块左端与点A重合，滑动过程由三个阶段组成：1．滑块以9m/s的速度沿AB方向匀速滑动，当滑块的右端与点B重合时，滑动停止.2．滑块停顿2s.3．滑块以小于9m/s的速度沿BA方向匀速返回，当滑块的左端与点A重合时，滑动停止．设滑动时间为t（s）时，滑块左端离点A的距离为（m），右端离点B的距离为（m），
（1）当时，求的值．
（2）整个滑动过程总用时27s（含停顿的时间），请根据所给条件解决下列问题：
①求滑块返回的速度．
②记，若，求t的值．
【答案】（1）解：∵轨道长为91m，长度为1m的滑块从点A到点B的速度为9m/s，
∴第一阶段所用的时间为，
∴当时，滑块右端刚好与点B重合，
（2）解：①∵整个过程用时27s，当滑块右端与点B重合时，滑块停顿2s，
∴第三阶段所用的时间为．
∴滑块返回的速度为．
②分析可得：，当时，显然第二阶段时不满足，所以分两种情况：
1）当滑块从左向右滑动，即时，，，，，解得；
2）当滑块从右向左滑动，即时，，，，解得．
综上所述，当或时，．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）先分析第一阶段 沿AB方向匀速滑动，当滑块的右端与点B重合时，滑动停止时间为10s，则刚好得到滑块右端刚好与点B重合
（2）①整个滑动过程总用时27s ，第一阶段用时10s，第二阶段用时2s，则第三阶段用时15s；路程为90cm，得到速度
②分两种情况讨论，第一种情况是在第一阶段，第二种情况是在第三阶段.
23．（2024八下·杭州月考）已知关于的方程与都有实数根，若这两个方程有且只有一个公共根，且，则称它们互为“同根轮换方程”． 如与互为“同根轮换方程”．
（1）方程与互为“同根轮换方程”吗？
（2）若关于的方程与互为“同根轮换方程”，求的值；
（3）已知方程①：和方程②：，、分别是方程①和方程②的实数根，且．试问方程①和方程②是否能互为“同根轮换方程”？如果能，用含的代数式分别表示和；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）解：在方程中，，
∴方程无实数根，
∴方程与不互为“同根轮换方程”；
（2）解：∵方程与互为“同根轮换方程”，
∴
设t是公共根，则有，，
解得，．
∵，
∴．
∴．
∴（0值舍去）．
（3）解：当公共解为时，
∴，，，
∴，
∴，
∴，即，
解得或（舍去），
∴，
∴当，（）时，方程和互为“同根轮换方程”；
设公共解为时，，，，
同理可得，
∴当，（）时，方程和互为“同根轮换方程”；
设公共解为，
由题意可得：，，，
同理可得，，，，
∴当，（）时，方程和互为“同根轮换方程”．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的其他应用；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据判别式可得方程x2-2x+6=0无实数根，即可求解；
（2）根据定义得到4m=-6n，设t是公共根，则有t2+4t+m=0，t2-6t+n=0，可解、求得，进而推得，解方程即可；
（3）分p、q为公共根、二者都不是公共根三种情况，分别求解即可.
24．（2024七下·武侯月考）随着智能手机的普及，网购已经成为人们的一种生活方式，快递业也随之发展壮大。某快递公司每件普通物品的收费标准如下表：
寄往市内 寄往市外
首重 续重 首重 续重
元／千克 元／千克 元／千克 元／千克
说明：①每件快递按送达地（市内，市外）分别计算运费． ②运费计算方式：首重价格续重续重运费．首重均为千克，超过千克即要续重，续重以千克为计重单位（不足千克按千克计算）
例如：寄往市内一件千克的物品，运费总额为：元．寄往市外一件千克的物品，运费总额为：元．
（1）小华同时寄往市内一件千克的物品和市外一件千克的物品，各需付运费多少元？
（2）小彤同时寄往市内和市外同一件千克的物品，已知超过，且的整数部分是，小数部分小于，请用含字母的代数式表示市外与市内这两笔运费的差．
（3）某日小华和小彤同时在该快递公司寄物品，小华寄往市外，小彤寄往市内，小彤所寄物品的重量不是整数，小华的运费比小彤的运费多元，物品的重量比小彤多千克，则小华和小彤共需付运费多少元？
【答案】（1）解：根据题意得，寄往市内一件千克的物品需付运费(元)；
寄往市外一件千克的物品需付运费(元)；
答：各需付运费元，元；
（2）解：根据题意得，寄往市内需付运费 元，
寄往市外需付运费 元，
∴元
（3）解：设小彤所寄物品的重量为(为正整数，为小数部分)千克，则小华所寄物品的重量为千克，
当时，
小彤的运费为元，
小华的运费为元，
根据题意得，，
解得(不符合题意，舍去)；
当时，
小彤的运费为元，
小华的运费为元，
根据题意得，，
解得，
∴(元)，
答：小华和小彤共需付运费元．
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【分析】（1）根据题干中的收费标准直接列出算式求解即可；
（2）参照题干中的收费标准直接列出算式求解即可；
（3）分类讨论：①当时，②当时，再分别列出方程求解即可.
1 / 12024年中考数学精选压轴题之方程类综合应用
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（2021八下·龙口期中）若二次根式 有意义，且关于x的分式方程 +2＝ 有正数解，则符合条件的整数m的和是（　　）
A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4
2．（2024七下·洪雅月考）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于m，n的二元一次方程组的解是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2023七下·开州期末）已知关于x，y的方程组，给出下列说法：
①当时，方程组的解也是的解；
②若，则；
③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数；
④x，y都为自然数的解有5对．
以上说法中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2024八下·开福开学考）若分式方程无解，则的值是（　　）
A．或 B． C．或 D．或
5．（2024七上·深圳期末）如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（　　）
①运动后，； ②的值随着运动时间的改变而改变；③的值不变；
④当时，运动时间为．
A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
6．（2024九上·岳阳期末）图①是一张长，宽的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为的有盖长方体盒子．设该盒子的高为，根据题意，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024七上·龙岗期末）我国古代的“九宫图”是由的方格构成的，每个方格均有不同的数，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等．如图给出了“九宫图”的一部分，请推算的值是（　　）
A． B． C． D．
8．（2023九上·株洲期中）如图，M是△ABC三条角平分线的交点，过M作DE⊥AM，分别交AB、AC于D，E两点，设BD=a，DE=b，CE=c，关于x的方程（　　）
A．一定有两个相等实根
B．一定有两个不相等实根
C．有两个实根，但无法确定是否相等
D．无实根
9．（2022九上·渝中开学考）若整数使得关于的分式方程有正整数解，且使得关于的不等式组有解，那么符合条件的所有整数的和为（　　）
A． B． C． D．
10．（2022九上·子洲月考）已知关于x的一元二次方程（其中p，q为常数）有两个相等的实数根，则下列结论中，错误的是（　　）．
A．1可能是方程的根 B．-1可能是方程的根
C．0可能是方程的根 D．1和-1都是方程的根
11．（2022七下·合阳期末）在《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的．如图1所示的算筹图，表示的方程组就是类似地，图2所示的算筹图表示的方程组为（　　）
A． B．
C． D．
12．（2021七上·拱墅月考）某超市在“元旦”活动期间，推出如下购物优惠方案：
①一次性购物在元（不含元）以内，不享受优惠；
②一次性购物在元（含元）以上，元（不含元）以内，一律享受九折优惠；
③一次性购物在元（含元）以上，一律享受八折优惠；
小敏在该超市两次购物分别付了90 元和270元，如果小敏把这两次购物改为一次性购物，则小敏至少需付款（　　）元
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
13．（2023七下·东城期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前．书中记载了一个数学问题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”其大意是：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，绳子比长木短1尺，问长木多少尺？”设绳长尺，木长尺，可列方程组为　 　．
14．（2024八下·宜宾月考）二月开学季来临，某文具店在2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的开学大礼包．已知二月上旬A、B、C三种主题大礼包售价之比为2：4：5，销量之比为7：1：2．开学后不久，根据市场需求，在二月下旬文具店老板对三种主题大礼包售价进行了调整，其中B主题大礼包售价比二月上旬降低了，C主题大礼包在2月上旬售价的基础上打八折，从而使得B、C两种主题大礼包销售额相较于二月上旬有所增加，A主题大礼包销售额相较于二月上旬有所下降．若A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额之比为4：7：5，且A主题大礼包减少的销售额占二月下旬三种主题大礼包总销售额的，则二月下旬B、C两种主题大礼包的销量之比为　 　．
15．甲、乙两班为运动会订购一批啦啦球，甲班开始订购的啦啦球数量是乙班订购数量的3倍，后来由于某种原因，甲班决定把自己所订购的啦啦球数量转让7个给乙班，但由于商家失误，寄来的啦啦球总数比甲、乙两班所定购的总数少了七个，最后甲班所购啦啦球数量是乙班所购数量的2倍，那么甲、乙两班最后所得的啦啦球总数最多是　 　
16．（2023·宁南模拟）已知等腰三角形的一边长，另外两边的长恰好是关于的一元二次方程的两个根，则的周长为　 　
17．（2023·连云）若（为实数），则的最小值为　 　.
18．（2023·成都模拟）2021年11月2日，重庆市九龙坡区、长寿区分别新增1例新冠本土确诊.当疫情出现后，各级政府及有关部门高度重视，坚决阻断疫情传播.开州区赵家工业园区一家民营公司为了防疫需要，引进一条口罩生产线生产口罩，该产品有三种型号，通过市场调研后，按三种型号受消费者喜爱的程度分别对A型、B型、C型产品在成本的基础上分别加价20%，30%，45%出售（三种型号的成本相同）.经过一个月的经营后，发现C型产品的销量占总销量的，且三种型号的总利润率为35%.第二个月，公司决定对A型产品进行升级，升级后A型产品的成本提高了25%，销量提高了20%；B型、C型产品的销量和成本均不变，且三种产品在第二个月成本基础上分别加价20%，30%，50%出售，则第二个月的总利润率为　 　.
三、解答题（共6题，共46分）
19．（2024七下·隆昌月考）义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”。例如：方程和为“美好方程”。
（1）若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值；
（2）若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值；
（3）若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解。
20．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为，不等式组的解为，因为，所以称方程为不等式组的“相伴方程”．
（1）下列方程是不等式组的“相伴方程”的是　 　；（填序号）
①；②；③．
（2）若关于x的方程是不等式组0的“相伴方程”，求k的取值范围；
（3）若方程，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，其中，求m的取值范围．
21．（2024七下·安达开学考）2016年春节即将来临，甲、乙两单位准备组织退休职工到某风景区游玩．甲、乙两单位共102人，其中甲单位人数多于乙单位人数，且甲单位人数不够100人．经了解，该风景区的门票价格如下表：
数量（张） 101张及以上
单价（元/张） 60元 50元 40元
如果两单位分别单独购买门票，一共应付5500元．
（1）如果甲、乙两单位联合起来购买门票，那么比各自购买门票共可以节省多少钱？
（2）甲、乙两单位各有多少名退休职工准备参加游玩？
（3）如果甲单位有12名退休职工因身体原因不能外出游玩，那么你有几种购买方案，通过比较，你该如何购买门票才能最省钱？
22．（2024七上·新昌期末）如图，某动力科学研究实验基地内装有一段长为91m的笔直轨道AB，现将长度为1m的金属滑块在上面往返滑动一次，滑动开始前，滑块左端与点A重合，滑动过程由三个阶段组成：1．滑块以9m/s的速度沿AB方向匀速滑动，当滑块的右端与点B重合时，滑动停止.2．滑块停顿2s.3．滑块以小于9m/s的速度沿BA方向匀速返回，当滑块的左端与点A重合时，滑动停止．设滑动时间为t（s）时，滑块左端离点A的距离为（m），右端离点B的距离为（m），
（1）当时，求的值．
（2）整个滑动过程总用时27s（含停顿的时间），请根据所给条件解决下列问题：
①求滑块返回的速度．
②记，若，求t的值．
23．（2024八下·杭州月考）已知关于的方程与都有实数根，若这两个方程有且只有一个公共根，且，则称它们互为“同根轮换方程”． 如与互为“同根轮换方程”．
（1）方程与互为“同根轮换方程”吗？
（2）若关于的方程与互为“同根轮换方程”，求的值；
（3）已知方程①：和方程②：，、分别是方程①和方程②的实数根，且．试问方程①和方程②是否能互为“同根轮换方程”？如果能，用含的代数式分别表示和；如果不能，请说明理由．
24．（2024七下·武侯月考）随着智能手机的普及，网购已经成为人们的一种生活方式，快递业也随之发展壮大。某快递公司每件普通物品的收费标准如下表：
寄往市内 寄往市外
首重 续重 首重 续重
元／千克 元／千克 元／千克 元／千克
说明：①每件快递按送达地（市内，市外）分别计算运费． ②运费计算方式：首重价格续重续重运费．首重均为千克，超过千克即要续重，续重以千克为计重单位（不足千克按千克计算）
例如：寄往市内一件千克的物品，运费总额为：元．寄往市外一件千克的物品，运费总额为：元．
（1）小华同时寄往市内一件千克的物品和市外一件千克的物品，各需付运费多少元？
（2）小彤同时寄往市内和市外同一件千克的物品，已知超过，且的整数部分是，小数部分小于，请用含字母的代数式表示市外与市内这两笔运费的差．
（3）某日小华和小彤同时在该快递公司寄物品，小华寄往市外，小彤寄往市内，小彤所寄物品的重量不是整数，小华的运费比小彤的运费多元，物品的重量比小彤多千克，则小华和小彤共需付运费多少元？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件；分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：将分式方程去分母得，﹣m+2（x﹣1）＝3，解得，x＝ ，
∵关于x的分式方程 +2＝ 有正数解，
∴ ＞0，
∴m＞﹣5，
又∵x＝1是增根，当x＝1时， ＝1，即m＝﹣3
∴m≠﹣3，
∵ 有意义，
∴2﹣m≥0，
∴m≤2，
因此﹣5＜m≤2且m≠﹣3，
∵m为整数，
∴m可以为﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，其和为﹣4，
故答案为：D．
【分析】此题考查分式方程的解法，以及二次根式有意义的定义；重点要注意排除增根的情况.
2．【答案】A
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：因为关于x，y的二元一次方程组的解是，
所以，
解得出，
故选：A.
【分析】根据方程组的解相同可得，再利用加减消元法求出即可.
3．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：
①当时，原方程组可化为，
解得，
将、代入也成立，
∴当时，方程组的解也是的解，①正确；
②由题意得，
⑤+⑥得2x+y=6+3a，
∴6+3a=3，
解得a=-1，②正确；
③由题意得x+2y=6-3a，2x+y=6+3a，
∴x+y=4，
∴无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，③正确；
④∵x+y=4，
∴x，y都为自然数的解为，
∴x，y都为自然数的解有5对，④正确；
∴正确的个数为4，
故答案为：D
【分析】先将a=1代入原方程组，进而即可解出x和y，再代入方程结合题意即可判断①；根据题意⑤+⑥，进而即可求出a，从而判断②；根据题意即可得到x+y=4，进而即可判断③；根据题意列出可能的解即可判断④。
4．【答案】D
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：，
方程两边同时乘得：
，
，
，
，
分式方程无解，
，
，
，
解得：，
分式方程无解，
，
解得：，
综上可知：或，
故答案为：．
【分析】先化简分式方程为（a-2）x=-3，根据题意可得x为增根或a-2=0，分别求出对应的a的值即可．熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程无解的时候满足的条件是解题的关键．
5．【答案】D
【知识点】线段的中点；一元一次方程的实际应用-行程问题；线段的计算
【解析】【解答】解：①运动4s后，AP=2×4=8cm，PB=AB-AP=16cm，
∵M为的中点 ，
∴AM=MP=4cm，
∴PB=4AM，故①错误；
设运动ts时，AP=2t，PB=24-2t，
∵M为的中点，N为的中点，
∴AM=PM=t，PN=BN=12-t，
∴PM+MN=PM+PM+PN=t+t+12-t=12+t，
∴的值随着运动时间的改变而改变 ，故②正确；
∵MB=AB-AM=24-t，PB=AB-AP=24-2t，
∴=2（24-t）-（24-2t）=24cm，故③正确；
由AN=AP+PN=2t+（12-t）=12+t，PM=t，
∵ ，
∴12+t=6t，解得t=2.4s，故④正确.
故答案为：D.
【分析】根据题意分别求出AP、PB的长，再利用线段的中点得出AM、PM、PN、BN的长，利用线段的和差关系逐一求解即可判断.
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：矩形纸片的长为28cm，宽为16cm，且盒子的高为xcm，
折成的长方体底面的宽应为(16-2x)cm，长为cm，
折成的长方体底面积为80cm2，
.
故答案为：D.
【分析】根据长方形和折叠后的长方体各边长之间的关系，可得折成的长方体底面的宽应为(16-2x)cm，长为cm，再结合长方体底面积为80cm2，根据长×宽=80即可列出方程.
7．【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：如图，
y
z
m
∵每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等，
∴y+2025+z=z+2+3
解之：y=-2020；
∴-2020+m+3=x+m+2，
解之：x=-2019.
故答案为：D.
【分析】设第一行第1个数为y，第三个数为z，第二行的第二个数为m，利用已知每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等，可得到y+2025+z=z+2+3，y+m+3=x+m+2，先求出y，再求出x的值.
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵AM平分∠BAC，DE⊥AM，
∴△ADM≌△AEM（ASA）
∴∠ADM=∠AEM，MD=ME=DE=b，
∴∠BDM=∠MEC=90°+∠BAC，
∴∠BDM=∠MEC=∠BMC，
∵M是△ABC三条角平分线的交点，
∴∠DBM=∠MBC，
∴△DBM∽△MBC，
同理可证：△BMC∽△MEC，
∴△DBM∽△MEC，
∴BD：ME=MD：CE，即a：b=b：c，
∴ac=b2，
即b2-4ac=0，
∴ 方程 一定有两个相等实根 .
故答案为：A.
【分析】易得MD=ME=DE=b，分别证△DBM∽△MBC，△BMC∽△MEC，可得△DBM∽△MEC，利用相似三角形的性质可得b2-4ac=0，继而判断即可.
9．【答案】C
【知识点】解分式方程；不等式的解及解集
【解析】【解答】解： 分式方程得
∵ 是正整数且不为0或4
∴a=3，6，10
解不等式组得
解得
若此不等式组有解，应
∴
∴a=6或10
∴符合条件的所有整数的和为 16.
答案为：C
【分析】根据题意分别解分式方程和不等式组，计算出符合条件的整数求和即可，其中注意分式方程的根要使分式方程有意义。
10．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程 （其中p，q为常数）有两个相等的实数根，
∴ 且 ，
∴ ，
当 ，即 时，
∴ 是 的根，故A选项正确，不符合题意；
当 ，即 时，
∴ 是 的根，故B选项正确，不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∴ 和 不能同时是方程 的根，故D选项错误，符合题意；
当 时， ，
∴ ，
∴当 ， 时， 是方程 的根，故C选项正确，不符合题意；
故答案为：D
【分析】由于方程有两个相等的实数根，可得且，从而得出，可知x=0、x=-1可能但不能同时是方程 的根；当x=0时，可知p、q的值且都符合题意，继而判断.
11．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：图1前两列结合方程组中x、y的系数可知：一个”“表示数1，只需要数”“，有几个就表示系数为几，例如”“表示数3；11表示为””，其中”“表示1，所以”“表示10，“”表示20，结合27表示的”“可知“”上边的”—“表示5，所以图2中的“”表示10+5+4=19，“”表示20+3=23.
故答案为：D.
【分析】理解图1中算筹所示的表示方法，清楚”|“、“—”、”“分别代表的数，依次即可推出图2所示的方程组.
12．【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：第一次购物可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同），
①没有超过100元，即是90元，则实际购物为90；
②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，享受九折优惠，设实际购物为x元，依题意得：x×0.9=90，
解得x=100元；
第二次购物消费270元，满足一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，享受九折优惠；
设第二次实质购物价值为y元，那么依题意有y×0.9=270，
解得：y=300元；
∴他两次购物的实质价值为90+300=390或100+300=400，均超过了350元，因此均可以按照8折付款：
390×0.8=312（元），
400×0.8=320（元），
综上所述：如果小敏把这两次购物改为一次性购物，则小敏至少需付款312元；
故答案为：C.
【分析】第一次购物可能有两种情况，①没有超过100元，则实际购物为90元；②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，设实际购物为x元，依题意得：0.9x=90，求出x的值；设第二次实质购物价值为y元，则有0.9y=270，求出y的值，可得两次购物的实质价值均超过了350元，求出享受八折优惠后的价钱，进而进行解答.
13．【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】由题意：绳长比木长多4.5尺，绳长的一半比木长少1尺，可列出方程组 {x y=4.5y x2=1
故填： {x y=4.5y x2=1
【分析】根据已设未知数的逻辑关系，按照题意列方程组。
14．【答案】4：5
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的大礼包售价为2x，4x，5x，销量为7y，y，2y，2月下旬B主题大礼包售价为 ，C主题大礼包售价为A主题大礼包减少的销售额与B、C两大主题增加的销售额分别为4a，7a，5a，根据题意得，
∴2月下旬B、C两种主题大礼包的销售额分别为
∴2月下旬B、C两种主题大礼包的销售之比为
故答案为： 4：5 .
【分析】本题考查分式方程的应用，设2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的大礼包售价为2x，4x，5x，销量为7y，y，2y， 二月下旬A主题大礼包减少的销售额与B、C两大主题大礼包增加的销售额分别为4a，7a，5a，根据2月下旬A主题大礼包减少的销售额占二月下旬三种主题大礼包总销售额的 列出方程，然后分别求出2月下旬B、C两种主题大礼包的销售额，进而求出2月下旬B、C两种主题大礼包的销售量，即可得出答案。
15．【答案】105
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设甲乙两班最后所得的啦啦球总数为x个，在寄来的啦啦球总数少了7个中，甲少要了y个（0≤y≤7），乙班少要了(7-y)个，
由题意得
整理得x-12y=21，
∴x=12y+21，
∴当y=7时，x的最大值为105.
故答案为：105.
【分析】设甲乙两班最后所得的啦啦球总数为x个，在寄来的啦啦球总数少了7个中，甲少要了y个（0≤y≤7），乙班少要了(7-y)个，根据题意分别表示出甲乙两班最后所购啦啦球的数量，从而根据“最后甲班所购啦啦球数量是乙班所购数量的2倍”列出方程，用含y的式子表示出x，再根据y的取值范围即可得出答案.
16．【答案】15
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的性质
【解析】【解答】①当a=6是三角形的腰时，则b、c中还有一个值为6，
∴x=6是方程的一个根，
∴36-（3k+3）×6+9k=0，
解得：k=2，
此时方程为x2-9x+18=0，
解得：x1=3，x2=6，
此时三角形的三边长为3，6，6，
∴C△ABC=3+6+6=15；
②当a=6是三角形的底时，则b、c为三角形的腰，
∴b=c，即方程有两个相等的实数根，
∴△=0，
∴，
解得k=1，
此时方程为：x2-6x+9=0，
∴x1=x2=3，
此时三角形的三边长为3，3，6，
∵3+3=6，
∴这三边长不能围成三角形，舍掉；
综上，△ABC的周长为15，
故答案为：15.
【分析】分类讨论：①当a=6是三角形的腰时，②当a=6是三角形的底时，再分别利用一元二次方程根的判别式和一元二次方程的根求出三角形三边长，再利用三角形的周长公式求解即可.
17．【答案】-2
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】W=5x2-4xy+y2-2y+8x+3
=y2-(2+4x)y+5x2+8x+3
=[y-(1+2x)]2-(1+2x)2+5x2+8x+3
=[y-(1+2x)]2+x2+4x+2
=[y-(1+2x)]2+(x+2)2-2
∵[y-(1+2x)]2≥0，(x+2)2≥0，
∴当[y-(1+2x)]2=0，(x+2)2=0时，即x=-2，y=-3，W有最小值等于-2
故答案为：-2.
【分析】整理原式，构造非负数的结构，即可求解W的最小值.
18．【答案】34%
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：由题意得：A型、B型、C型三种型号产品利润率分别为20%，30%，45%，
设A型、B型、C型三种型号产品原来的成本为a，A产品原销量为x，B产品原销量为y，C产品原销量为z，
由题意得：，
解得：，
第二个月A产品的成本提高了25%，成本为：（1+25%）a=a，B、C的成本仍为a，
A产品销量为（1+20%）x=x，B产品销量为y，C产品销量为z，
∴第二个季度的总利润率为：
=0.36
=36%.
故答案为：36%.
【分析】由题意得：A型、B型、C型三种型号产品利润率分别为20%，30%，45%，设A型、B型、C型三种型号产品原来的成本为a，A产品原销量为x，B产品原销量为y，C产品原销量为z，由题意列出方程组，解得，第二个月A产品的成本提高了25%，成本为：（1+25%）a=a，B、C的成本仍为a，A产品销量为（1+20%）x=x，B产品销量为y，C产品销量为z，则可表示第二个月的总利润率.
19．【答案】（1）解：解方程得：
解方程得：
∵关于x的方程与方程是“美好方程”
∴ 解得：
答：m的值为9.
（2）解：∵“美好方程”的两个解之和为1
∴另一个方程的解为
∵“美好方程”的两个解的差为8
∴或
∴或
故答案为：或.
（3）解：∵
∴
∵关于x的一元一次方程和是“美好方程”
∴的解为：
∵关于y的一元一次方程可化为
∴
∴
故答案为：2024.
【知识点】二元一次方程（组）的新定义问题
【解析】【分析】（1）分别解这两个方程，根据这两个方程的解的和为1建立关于m的方程，求解即可；
（2）利用两个解的和为1，两个解的差为8，建立方程求解即可；
（3）先解不含参数的方程，根据定义确定含参数k的方程的解，再把所求解的方程变形为 ，根据解的意义建立关于y的方程，求解即可。
20．【答案】（1）①②
（2）解：，
解得：，
解方程得：，
∵关于x的方程是不等式组的“相伴方程”，
∴，
解得：，
∴ k的取值范围是；
（3）解：解得，
解得，
∵方程，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，，
所以分为两种情况：①当时，则，
∴不等式组为，
此时不等式组的解集是，不符合题意，舍去；
②当时，不等式组的解集是，
所以根据题意得：，
解得：，
所以m的取值范围是．
【知识点】解一元一次方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：（1），解得，
当时，解得：；
当时，解得：；
当时，解得：，
∵，，，
∴①②是不等式组的“相伴方程”；
故答案为：①②；
【分析】（1）先求出不等式组的解，再求出①②③方程的解，进行逐一判断即可；
（2）先求出不等式组的解，再求出的解，最后根据“相伴方程”列出不等式求解即可；
（3）先分别求出方程的解，分当时和时两种情况求解即可.
21．【答案】（1）解：如果甲、乙两单位联合起来购买门票需（元），
则比各自购买门票共可以节省：（元）；
答：比各自购买门票共可以节省1420元．
（2）解：若两个单位人数一样，则每个单位有102÷2=51（人）.
∵ 甲单位人数多于乙单位人数，且甲单位人数不够100人． 故甲单位人数多余51人，乙单位人数少于51人.设甲单位有退休职工x人，则乙单位有退休职工人，
依题意得：，
解得：．
则乙单位人数为：（人），
答：甲单位有62人，乙单位有40人；
（3）解：方案一：各自购买门票需（元）；
方案二：联合购买门票需（元）；
方案三：联合购买101张门票需（元）；
综上所述：因为．
故应该甲乙两单位联合起来选择按40元一次购买101张门票最省钱．
【知识点】一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】（1）计算联合起来购买门票的费用，拿5500减这个费用，即可得到节省的费用；
（2）根据题意得等量关系，甲单位人数+乙单位人数=102；甲单位购票费用+乙单位购票费用=5500；由于甲单位人数多于乙单位人数，且甲单位人数不够100人，可知甲单位人数多于51人，每张票50元；而乙单位人数少于51人，每张票60元；设甲单位有退休职工x人，表示出乙单位有退休职工的人数，列方程即可；
（3）分别计算出各自买票的费用，两单位一起买90张票的费用和两单位一起买101张票的费用，比较大小，得到最省钱的方案.
22．【答案】（1）解：∵轨道长为91m，长度为1m的滑块从点A到点B的速度为9m/s，
∴第一阶段所用的时间为，
∴当时，滑块右端刚好与点B重合，
（2）解：①∵整个过程用时27s，当滑块右端与点B重合时，滑块停顿2s，
∴第三阶段所用的时间为．
∴滑块返回的速度为．
②分析可得：，当时，显然第二阶段时不满足，所以分两种情况：
1）当滑块从左向右滑动，即时，，，，，解得；
2）当滑块从右向左滑动，即时，，，，解得．
综上所述，当或时，．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）先分析第一阶段 沿AB方向匀速滑动，当滑块的右端与点B重合时，滑动停止时间为10s，则刚好得到滑块右端刚好与点B重合
（2）①整个滑动过程总用时27s ，第一阶段用时10s，第二阶段用时2s，则第三阶段用时15s；路程为90cm，得到速度
②分两种情况讨论，第一种情况是在第一阶段，第二种情况是在第三阶段.
23．【答案】（1）解：在方程中，，
∴方程无实数根，
∴方程与不互为“同根轮换方程”；
（2）解：∵方程与互为“同根轮换方程”，
∴
设t是公共根，则有，，
解得，．
∵，
∴．
∴．
∴（0值舍去）．
（3）解：当公共解为时，
∴，，，
∴，
∴，
∴，即，
解得或（舍去），
∴，
∴当，（）时，方程和互为“同根轮换方程”；
设公共解为时，，，，
同理可得，
∴当，（）时，方程和互为“同根轮换方程”；
设公共解为，
由题意可得：，，，
同理可得，，，，
∴当，（）时，方程和互为“同根轮换方程”．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的其他应用；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据判别式可得方程x2-2x+6=0无实数根，即可求解；
（2）根据定义得到4m=-6n，设t是公共根，则有t2+4t+m=0，t2-6t+n=0，可解、求得，进而推得，解方程即可；
（3）分p、q为公共根、二者都不是公共根三种情况，分别求解即可.
24．【答案】（1）解：根据题意得，寄往市内一件千克的物品需付运费(元)；
寄往市外一件千克的物品需付运费(元)；
答：各需付运费元，元；
（2）解：根据题意得，寄往市内需付运费 元，
寄往市外需付运费 元，
∴元
（3）解：设小彤所寄物品的重量为(为正整数，为小数部分)千克，则小华所寄物品的重量为千克，
当时，
小彤的运费为元，
小华的运费为元，
根据题意得，，
解得(不符合题意，舍去)；
当时，
小彤的运费为元，
小华的运费为元，
根据题意得，，
解得，
∴(元)，
答：小华和小彤共需付运费元．
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【分析】（1）根据题干中的收费标准直接列出算式求解即可；
（2）参照题干中的收费标准直接列出算式求解即可；
（3）分类讨论：①当时，②当时，再分别列出方程求解即可.
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