2024年中考数学精选压轴题之平行四边形与特殊的平行四边形

2024年中考数学精选压轴题之平行四边形与特殊的平行四边形
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（2023九上·青岛月考）如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DF⊥BC，垂足为F，则DF的长为（　　）
A．2+2 B．5- C．3- D．+1
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点A分别作AGBC于点G，AHDF于点H，
DFBC，
四边形HFGA是矩形，
HF=AG，
△ABC是等边三角形，
AB=BC=2，
BG=1，
AG=
在正方形ABED中，AD=AB=2，
故答案为：D
【分析】过点A分别作AGBC于点G，AHDF于点H，可构造矩形HFGA，从而得到HF=AG，再由等边三角形ABC的性质可得
BG=1，进一步得到再证明由直角三角形的性质即可求解.
2．（2023九上·江阳月考）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm，BC=8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是 （　　）
A．当 t＝4s 时，四边形 ABMP 为矩形
B．当 t＝5s 时，四边形 CDPM 为平行四边形
C．当 CD＝PM 时，t＝4s
D．当 CD＝PM 时，t＝4s 或6s
【答案】D
【知识点】四边形的综合；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：根据题意，可得DP=t cm，BM=t cm，
∵AD=10cm，BC=8cm，
∴AP=(10-t) cm，CM=(8-t) cm，
当四边形ABMP为矩形时，AP=BM，
即10-t=t，
∴t=5，
故A不符合题意，
当四边形CDPM为平行四边形，DP=CM，
即t=8-t，
∴t=4，
故B不符合题意，
当CD=PM时，分两种情况：
①四边形CDPM是平行四边形，
此时CM=PD，
即8-t=t，
∴t=4，
②四边形CDPM是等腰梯形，
过点M作ME⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，如图，
则∠MEP=∠CFD=90°，
∵PM=CD，EM=FC，
∴△MEP≌△CFD (HL)，
∴EP=FD，
∵AE=AP+EP=10-t+，
又∵BM=t，
∴10-t+=t，
∴t=6，
综上所述，当CD=PM时，t=4s或6s.
故C不符合题意，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据题意，表示出DP，BM，AP和CM的长，当四边形ABMP为矩形时，根据AP=BM，列方程求解即可，当四边形CDPM为平行四边形，根据DP=CM，列方程求解即可，当CD=PM时，分两种情况：①四边形CDPM是平行四边形，②四边形CDPM是等腰梯形，分别列方程求解即可.
3．（2023·游仙模拟）如图，直角三角形顶点在矩形的对角线上运动，连接．，，，则的最小值为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】如图，过点B作BH⊥AC于点H，连接EH，
根据题意可得：∠BEF=∠BHF=90°，
∴点E、B、F、H四点共圆，
∴∠EHB=∠EFB，
∵∠AHE+∠EHB=90°，∠EBF+∠EFB=90°，
∴∠AHE=∠EBF，
∵∠EBF=∠ACD，
∴∠AHE=∠ACD且为定值，
∴点E在射线HE上运动，
当AE⊥EH时，AE的值最小，
∵矩形ABCD，
∴AB=CD=6，BC=AD=8，∠D=90°，
∴AC=，
∴，
∴S△ACB=×AB×CB=×AC×BH，
∴，
再根据勾股定理可得AH=，
∴AE的最小值=，
故答案为：D.
【分析】先证出当AE⊥EH时，AE的值最小，再求出，利用勾股定理求出AH的长，最后利用解直角三角形的方法求出AE的最小值=即可。
4．（2024九下·杭州月考）如图，在中，，分别以、为边向外作正方形、，连结并延长交于点H，连结．若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接AF，过点H作HP⊥AF于点P，如图：
∵ 正方形、中，AD和AF为对角线，
∴∠DAB=∠CAF=45°=∠HFP.
∵∠DAB+∠BAC+∠CAF+∠α=180°.
∴∠BAC+∠α=90°.
∵ 在中，，
∴∠BAC+∠BCA=90°.
∴∠α=∠BCA.
∵，
设CF=x，，
∴HF=kx，
∵.
.
∴
∴.
故答案为：D.
【分析】连接AF，过点H作HP⊥AF于点P，根据平角的定义和正方形的性质可证得∠BAC+∠α=90°.再根据直角三角形角的性质可证得∠α=∠BCA.设CF=x，利用表示出HF，计算出AF.在△HPF中求出HP和FP，利用AF-PF得到AP，再在△HAP中计算tan∠α，即可得到的值.
5．（2024·深圳模拟）如图，在正方形中，是等边三角形，，的延长线分别交于点，，连接，；与相交于点．给出下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AB=DC=BC，AD//BC.
∵是等边三角形，
∴∠PBC=∠PCB=60°，
∴∠ABE=∠DCF=30°.
∴△ABE≌△DCF（ASA）.
∴BE=CF.
∵Rt△ABE中，∠ABE=30°.
∴.
∴. ①正确；
∵是等边三角形，
∴PC=PB=BC，
∴PC=DC.
∵∠DCF=30°，
∴∠CPD=∠CDP=75°.
∵∠ADC=90°，
∴∠PDE=∠ADC－∠CDP=15°.②正确；
过点P作PM⊥BC于点M，PN⊥CD于点N，
∴，，
∴.③正确；
∵Rt△DCF中，∠DCF=30°.
∴.
∵AD//BC，
∴△DFH∽△BCH.
∴.
∴，④错误；
∵BE=CF，PB=PC，
∴PF=PE.
∵BD是正方形ABCD的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD=45°.
∴∠EBD=∠ABD－∠ABE=15°=∠PDE.
∵∠PED=∠DEB，
∴△PED∽△DEB.
∴.
∴.⑤正确.
共有4个正确答案
故答案为：D.
【分析】由正方形性质和等边三角形性质得∠A=∠ADC=90°，AB=DC和∠ABE=∠DCF，利用ASA证得△ABE≌△DCF，可得BE=CF，再利用30°角的直角三角形的性质即可得判定①；由正方形性质和等边三角形性质得得∠DCP=30°，CD=CP，可求得∠CDP，从而可得∠PDE的度数，可判断②；过点P作PM⊥BC于点M，PN⊥CD于点N，分别表示出△PBC和△PCD的面积，即可判断③；利用AD//BC，得△DFH∽△BCH.从而可得DH：BH，根据同高的三角形面积比等于底边长之比可判断④；由BE=CF，PB=PC，得PF=PE.由△PED∽△DEB得，利用比例性质可得，可判断⑤.
6．（2022·威宁模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，在中从左向右依次作正方形、、，点、、在轴上，点在轴上，点、、在直线上；再将每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，其中每个小正方形的边都与坐标轴平行，从左至右的小正方形阴影部分的面积分别记为、、，则可表示为
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；正方形的性质；锐角三角函数的定义；探索图形规律；与一次函数相关的规律问题；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：，，
，
每个小正方形的边都与坐标轴平行，
，
每组小正方形的边长都是该组小长方形边长的两直角边之差，
正方形中，设点，
，
将点代入直线，
，，
正方形中阴影正方形边长为；
阴影部分面积；
正方形中，设点，
，，，
正方形中阴影正方形边长为；
阴影部分面积，；
正方形中，设点，
，，
正方形中阴影正方形边长为；
阴影部分面积；
以此推理，第个阴影正方形的边长为；
阴影部分面积；
故答案为：
【分析】先根据锐角三角形函数的定义得到，进而根据正方形的性质结合平行线的性质得到，设点，再将点代入一次函数解析式即可得到，，进而即可得到正方形中阴影正方形边长为，再结合题意以此类推求出正方形中阴影正方形边长为，正方形中阴影正方形边长为，从而即可得到第个阴影正方形的边长为。
7．（2024·深圳模拟）如图，正方形ABCD的对角线相交于O点，BE平分∠ABO交AO于E点，CF⊥BE于F点，交BO于G点，连接EG、OF，下列四个结论：①CE=CB；②AE=OE；③OF=CG，其中正确的结论只有（　　）
A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②
【答案】A
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABO=∠AC0=∠CB0=45，AB=BC，0A=0B=0C，BD⊥AC
∵BE平分∠ABO，
∴
∴∠CBE=∠CBO+∠EBO=67.5°，在ABCE中，∠CEB=180°-∠BCO-∠CBE=180°-45°-67.5°=67.5°
∴∠CEB=∠CBE，
∴CE=CB，故①正确 ；
∵CF⊥BE，
∴，EF=BF
∵
∴∠ABE=∠BCG，
∵AB=BC，∠EAB=∠GBC=45°
在△ABE和△BCG中，
，
∴△ABE≌△BCG(ASA)，
∴AE=BG，BE=CG，
∵OA=OB，AE=BG，
∴OE=OG，
∵∠AOB=90°
∴△OEG是等腰直角三角形，
∴，
在△ECG和△BCG中，
，
∴△ECG≌△BCG(SAS)，
∴BG=EG，
∴，
故②正确；
∵∠AOB=90°，EF=BF
∴BE=CG，
∴
故③正确，
其中正确的结论有①②③，
故答案为：A.
【分析】由四边形ABCD是正方形，BE平分∠ABO，易求得∠EBO=22.5°，即可得∠CBE=∠CEB=67.5°，即可证得①CE=CB正确；
由CFLBE，由三线合一，可得∠ECG=∠BCG=22.5°，EF=BF，易证得△ABE≌△BCG，即可得AE=BG，由△OEG是等腰直角三角形，可得，又易证得△ECG≌△BCG，即可证得，②正确；由∠AOB=90°，EF=BF，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得，③正确.
8．（2023八上·南山月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC，BC和AB为边向上作正方形ACEF和正方形BCMI和正方形ABGF，点G落在MI上，若AC＋BC＝7，空白部分面积为16，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．16 B．15 C．. D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FAB=∠AFG=∠ACB=90°，
∴∠FAC+∠BAC=∠FAC+∠ABC=90°，
∴∠FAC=∠ABC，
∴△FAH≌△ABN（ASA），
∴S△FAH=S△ABN，
∴S△ABC=S四边形FNCH，
在△ABC中，AC2+BC2=AB2，
∵ AC＋BC＝7，
∴(AC＋BC)2=49，即得AB2+2AC·BC=49①，
∵正方形ABGF的面积-四边形FNCH的面积=正方形ABGF的面积-△ABC的面积=16，
∴AB2-AC·BC=16②，
联立①②解得：AB2=AC2+BC2=，AC·BC=，
∴阴影部分的面积= AC2+BC2+2△ABC的面积-空白部分面积=+2××=.
故答案为：D.
【分析】证明△FAH≌△ABN（ASA），可得S△FAH=S△ABN，从而得出S△ABC=S四边形FNCH，根据勾股定理可得AC2+BC2=AB2，结合已知可求出AB2=AC2+BC2=，AC·BC=，根据阴影部分的面积= AC2+BC2+2△ABC的面积-空白部分面积进行计算即可.
9．（2023九上·福田月考）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边DC，BC上，且BF＝CE，AE平分∠CAD，连接DF，分别交AE，AC于点G，M．P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM．有下列四个结论：
①AE垂直平分DM；②PM＋PN的最小值为3；③CF2＝GE AE；④S△ADM＝6．
其中正确的是（　　）
A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=BC，∠ADC=∠DCB=90°，
∵BF= CE，
∴BC-BF= DC-CE，即CF= DE，
∴△ADE≌△DCF (SAS)，
∴∠DAE=∠CDF，
∵∠CDF+∠ADG=90° ，
∴∠DAE+∠ADG=90°，
∴∠AGD=90°，
即AE⊥DM.
∵∠AGM= ∠AGD=90° ，
∵AE平分∠CAD，
∴∠MAG=∠DAG.
又∵AG=AG，
∴△AGM≌△AGD ( ASA )，
∴GM=GD，
∴AE垂直平分DM，故①正确，符合题意；
②连接BD与AC交于点O，连接PD，ND，如图：
∵AE垂直平分DM，P为AE上一点，
∴PD=PE.
∴PN+PM=PN+PD≥DN，
又∵点D为直线AC外一点，
∴DN⊥AC时，DN长度最小.
即点N与点O重合，且D，P，N三点共线时， PM+PN的值最小，
即PM+ PN= PN+PD≥DN≥DO，故PM+ PN的最小值为DO的长，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴，
∴
即PM+ PN的最小值为，故②错误，不符合题意；
③∵AE⊥DM，
∴∠DGE=90°，
∵∠ADE=90°，
∴∠DGE=∠ADE，
∵∠DEG=∠AED，
∴△DEG∽△AED，
∴.
∴，
由①知，CF=DE，
∴，故③正确，符合题意；
④∵AE垂直平分DM，
∴AM=AD=4，
∵
∴故④错误，不符合题意；
综述所述：正确的有①③
故答案为：D.
【分析】根据正方形的性质证得△ADE≌△DCF，再利用ASA证明△AGM≌△AGD，即可得出AE垂直平分DM，即可判断①；连接BD与AC交于点O，交AG于点H，连接PD，ND，当D，P，N三点共线时，PD+PN=DN，而当点N与点O重合时，DN⊥AC，DN最小，从而可得PM+PN的最小值，即可判断②；证明△DEG∽△AED，根据相似三角形的性质即可判断③；先求出AM的长，再根据三角形面积公式计算即可得出答案从而判断④.
10．（2022九上·拱墅期末）如图，在矩形中，，点分别在边上，且与关于直线对称.点在边上，分别与交于两点.若，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质；轴对称的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接，
四边形是矩形，
，，，
，
设，，
与关于直线对称，
，，，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
设，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：D.
【分析】连接FQ，由矩形的性质可得AB∥CD，∠BAF=90°，BC=AD，由已知条件可设AB=4a，则BC=5a，由轴对称的性质可得BF=BC=5a，CQ=FQ，CE=FE，利用勾股定理可得AF=3a，则DF=AD-AF=2a，易得四边形CQFE为菱形，则AB∥FQ∥CE，由平行线分线段成比例的性质可得，设CQ=2k，则GQ=3k，由等腰三角形的性质可得∠CQE=∠CEQ，由平行线的性质可得∠ABQ=∠CEQ，结合对顶角的性质可推出BG=QG，易证△GBP∽△QFP，根据相似三角形的性质可得GP，据此求解.
11．（2023九上·威远期中）如图，把菱形向平移至的位置，作，垂足为与相交于点的延长线交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④，则正确的结论有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵把菱形向平移至的位置，
∴AD=DF=AB=CD=EF=BC=CE，AB//CD//EF，
∴∠F=∠DAG，
在△DFH和△DAG中，
，
∴△DFH≌△DAG（ASA），
∴DH=DG，
∵EG⊥AB，AB//EF，
∴EG⊥EF，
∵DH=DG，
∴DE=GH=DG=DH，
∴DG=DE，
∴①正确；
②∵DE=DH，
∴∠DHE=∠DEH，
∵菱形CDFE，
∴∠DEH=∠CEF=∠ACD，
∵菱形ABCD，
∴∠ACD=∠BAD，
∴∠DEH=∠BAD，
∴②正确；
③∵△DFG≌△DAG，
∴FH=AG，
∵EF=AB，
∴EF+FH=AB+AG=BG，
∵BC=CE，CM//BG，
∴CM是△BEG的中位线，
∴BG=2MC，
∴EF+FH=2MC，
∴③正确；
④∵菱形CDFE，
∴∠CDE=∠CED=∠DEH，
∵∠DHE=∠DEH，
∴∠CDE=∠CED=∠DEH=∠DHE，
∴，
∴④正确，
综上，正确的结论是①②③④，共4个，
故答案为：D.
【分析】利用菱形的性质，全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定方法逐项分析判断即可.
12．（2023九上·光明月考）如图，边长为的正方形ABCD，对角线AC，BD相交于O，E为BC边上一动点（不与B，C重合），OF⊥OE交CD于F，G为EF中点．给出如下四个结论：①∠OEF＝45°；②点E在运动过程中，△OEF面积不变化；③△CEF周长的最小值为；④点E在运动过程中，OG与CG始终相等，其中正确的结论是（　　）
A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的边长为
∴AC=BD==4，∠OBE=∠DOC
∴OB=OC=2
∵
∴OB⊥OC
∵OF⊥OE
∴∠BOE+∠EOC=∠FOC+∠EOC
∴∠BOE=∠FOC
∵∠OBE=∠DOC，OB=OC，∠BOE=∠FOC
∴△BOE≌△COF
∴OE=OF
∴∠OEF＝45° ，①正确；
，随着点E、F的位置变化，OE和OF的长度也会发生变化，因而△OEF的面积是变化的，②错误；
∵△BOE≌△COF
∴BE=CF
∴△CEF的周长=EC+CF+EF=EF+BE+EC=EF+BC=EF+
∴当EF的值最小时，△CEF的周长最小
当EF∥BD时，此时EF的值最小
∵OF⊥OE ，BC⊥DC，且OE=OF
∴此时四边形OECF是正方形
∴此时EF=OC=2
∴△CEF的周长最小值=2+，③正确；
∵点G是EF的中点，△OEF和△EFC都是直角三角形
∴OG=CG=EF，④正确；
∴四个结论中①③④是正确的
故答案为：D.
【分析】根据正方形的性质，可得AC=BD，∠OBE=∠DOC，OB=OC；
根据勾股定理的逆定理，可得OB⊥OC；
根据三角形全等的判定（ASA）和性质，可得OE=OF，BE=CF；
根据等腰直角三角形的判定和性质，可得 ∠OEF＝45° ；
根据正方形的判定定理和性质，可得EF=OC；
根据直角三角形的中线定理，可得OG=CG=EF.
二、填空题（每题3分，共18分）
13．（2024·武汉模拟） 如图，在矩形中，是的中点，连接，将沿着翻折得到，交于点，延长，相交于点，若，，则　 　．
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理的应用；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，连接，
，
是的中点，
，
由折叠的性质可得：，，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
设，则，，
在中，，即，
解得：，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
故答案为：．
【分析】连接，由折叠的性质可得，，，得出，然后证明，可得，设，则，，利用勾股定理构建方程，求出，设，则，再次利用勾股定理构建方程求解即可．
14．（2024·双流模拟）如图，正方形中，M、N分别是、边上的点，将四边形沿直线翻折，使得点A、B分别落在点、处，且点恰好为线段的中点，交于点G，作于点P，交于点Q．若，则　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，设，
∴，
由翻折可知，
设，
∵，
在中，∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，，，
设，
在中，则有，
解得，
∴，
连接，延长交于T，则四边形是平行四边形，过点作于H，如图所示：
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】先根据正方形的性质结合题意得到，进而根据折叠的性质，设，再运用勾股定理得到，进而根据相似三角形的判定与性质证明得到，，再根据勾股定理求出DM，连接，延长交于T，则四边形是平行四边形，过点作于H，进而结合题意根据平行线的性质得到，从而进行角的运算得到，再解直角三角形（边角关系）得到，，，从而结合题意运用PQ=PD-DQ即可求解。
15．（2024九下·武侯月考） 在菱形中，，点P是对角线上一动点，点Q是边上一动点，与始终相等，连结，交点为E，连结，则的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；菱形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵在菱形中，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴点P在对角线上运动时，的大小保持不变，
作的外接圆，圆心为O，连接、连接交于点F，
则，，
当与相切时，最大，此时最小，
设，则菱形边长为，，
∴在中，
在中，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
∴的最小值是，
故答案为．
【分析】先利用SAS证明，得到点P在对角线上运动时，的大小保持不变，作的外接圆，圆心为O，连接、连接交于点F，则，，当与相切时，最大，此时最小，设，则菱形边长为，，利用勾股定理求得CE的值，再证明，得到，最后利用∠DCE的正切函数即可求解.
16．（2024八上·上城期末）如图，在长方形中，为等腰△，且，点在线段上，点在线段上，若，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：为等腰Rt△，且∠AEF=90°，
AE=EF， ∠AEB+∠FEC=90°，
又四边形ABCD为矩形，
∠B=∠C=90°，AD=BC，∠BAE+∠BEA=90°，
∠BAE=∠CEF.
AB=EC，BE=FC.
3(AB+BE)=2(AD+DF)，
3(EC+BE)=2AD+2DF，
3AD=2AD+2DF，即AD=2DF，
设DF=a，BA=b，则AD=2a，BE=BC-AB=2a-b，CF=b-a，
2a-b=b-a，即
，
则
故答案为： .
【分析】根据矩形性质得∠B=∠C=90°，AD=BC，由同角的余角相等得∠BAE=∠CEF，由和全等三角形的性质AAS判断出△BAE≌△CEF，则AB=EC，BE=FC，代入运算得到AD=2DF，设DF=a，则AD=2a，BA=b，则BE=BC-AB=2a-b， CF=b-a，利用BE=FC求得AB，最后利用三角形和矩形的面积公式列式计算即可.
17．（2024九下·龙岗开学考） 如图，在菱形中，E、F分别是 ，边上的中点，为 上一点，若 ，，则的长为　 　
【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接AC、AF、CE、EF、DF，过点F作FH⊥CE，如图：
∵四边形ABCD是菱形，AB=4，∠B=60°，
∴AB=AD=BC=DA=4，AB∥CD，∠BCD=∠BAD=120°，
∴△ABC是等边三角形，
∵E、F分别是AB、AD的中点，
∴AF⊥BC，CE⊥AB，AE=BE=BF=CF=2，∠BCE=30°，
在Rt△AFB中，，
在Rt△BEC中，，
又∵AB∥CD，
∴∠DCE=∠BEC=90°，
在Rt△DCE中，，
∵BE=BF，∠B=60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴，，，
，
故，
即，
解得：，
在Rt△EFH中，，
在Rt△GHF中，∠EGF=60°，
∴∠GFH=30°，
∴GF=2HG，
则，
故，
∴；
故答案为：.
【分析】连接AC、AF、CE、EF、DF，过点F作FH⊥CE，由菱形性质得AB=AD=BC=DA=4，AB∥CD，∠BCD=∠BAD=120°，根据有一个角是60°角的等腰三角形是等边三角形，等边三角形的三条边相等，三个角都是60°，等腰三角形底边上的中线、底边上的高和顶角的角平分线重合可得AF⊥BC，CE⊥AB，AE=BE=BF=CF=2，∠BCE=30°，根据直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方可得AF、CE和DE的值，结合三角形的面积公式和菱形的面积可求得FH的值，根据直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方可求出EH和HG的值，即可求解.
18．（2024九上·遂川期末）如图，菱形中，，，，垂足为，点在菱形的边上，若，则的长为　 　．
【答案】或或
【知识点】一元二次方程的其他应用；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：根据题意， 菱形中，
，，
当P在CD上时
当P在BC上时，过P作PHCD于H
设CH=x
解得x=2
当P在AB上，DE=DP，则P与E点重合，不符合题意
当P在AD上时，过过P作PHCD延长线于H
设DH=y
解得y=2
综上，CP的长为或或
故答案为：或或
【分析】 题中点P在菱形的边上 ，并没有指明哪边，P点不唯一，故需要分别讨论；当P在CD上时，可以根据图示直接求得；当P在BC上时，根据给定的45°角想到等腰直角三角形的性质，想到求CP要把它放在直角三角形里面来求，故作辅助线得到等腰直角三角形，由勾股定理可求；当P在AB上，则P与E点重合，不符合题意；当P在AD上时，仍然作辅助线找到等腰直角三角形，借助勾股定理解三角形。
三、解答题（共6题，共46分）
19．（2024八下·杭州月考）如图，在平行四边形中，点E在边上，且，F为线段上一点，且.
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，，，连结，求的长度.
【答案】（1）证明： ∵四边形是平行四边形，
∴；
∵，，
∴.
（2）证明：∵四边形是平行四边形
∴，
∴，
由（1）知：，
∵，
∴.
（3）解：∵，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵四边形是平行四边形
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
如图，过E作于G，
则，
∴，；
在中，，由勾股定理得，
在中，，由勾股定理得．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质、等角的补角相等即可证明；
（2）根据平行四边形的性质得，由（1）所证结合，即可用AAS证明；
（3）根据（2）结合，，可得；即可得；用AAS证明，则；过E作于G，分别在中由勾股定理即可求解．
20．（2024九下·长春月考）如图①，在平行四边形ABCD中，，，，点E为BC中点，动点P从点E出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动．作，EQ交边AD或边DC于点Q，连接PQ．当点P与点A重合时，点P停止运动．设点P的运动时间为t秒．（）
（1）当P在AB上运动时，用含t的式子表示出线段BP的长　 　；
（2）当Q落在CD的中点时，求t的值；
（3）若Q不与顶点重合，当Q落在平行四边形ABCD的某一内角平分线上时，求的值；
（4）作点E关于直线PQ的对称点F，连接PF、QF，当四边形EPFQ和平行四边形ABCD重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出t的取值范围．
【答案】（1）
（2）解：（过程略）
（3）解：或
（4）解：，
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【解答】
（1）解：∵点E为中点，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：作，如图所示：
∵Q落在的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：平分时，如图所示：
作，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
平分时，如图所示：
作，
同理可推出，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
仍有，
综上所述：或，
（4）解：∵，，，
∴，
当点在线段上运动时，点与点重合，如图所示：
若点落在上，
∵点E、点F关于直线对称，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴此时，
故当时，满足题意；
当点与点重合时，
，
解得：，
综上所述：或．
【分析】
（1）根据即可求解；
（2）作，可求出；根据可求出，即可求解；
（3）分类讨论平分平分两种情况，作垂线解直角三角形即可；
（4）根据题意，画出满足条件的两种情况（当点在线段上运动时和当点与点重合时），即可求解；
21．（2024·孝南模拟） 已知和都是等腰三角形，且，，若点D在边上运动时，总保持，连接与交于点F．
（1）①如图1，当点D为边中点时，则的值为 ▲ ；
②如图2，当点D不为边中点时，求证：；
（2）如图3，当点D在边上运动中恰好使得时，若，，求的长．
【答案】（1）解：①
②证明：由①知，．
在和中，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，，
∴，，
∴．
∴，即．
∴．
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）①解：∵，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
∵，点D为的中点，
∴．
∴．
又∵，
∴垂直平分，
∴．
∵点D为的中点，
∴．
∴．
故答案为：；
【分析】（1）①根据等边对等角和题目已知条件可得∠B=∠BCA=∠ADE=∠AED，由三角形内角和是180°，得∠BAC=∠DAE，故∠BAD=∠CAE；根据等腰三角形三线合一可得∠BAD=∠CAD，等量代换∠DAC=∠CAE，AD=AE，三线合一AF垂直平分DE，再根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等可得CD=CE，即可得到；
②利用SAS证得△BAD≌△CAE，再根据全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）先利用两直线平行内错角相等得到，等量代换，再由同位角相等，两直线平行可得AB∥DE，进而由两组对边平行的四边形是平行四边形证得四边形ABDE为平行四边形，由平行四边形对边相等得到DE=AB=5；，公共角∠B，由两组角对应相等的两个三角形相似得到，相似三角形对应边成比例，即可求出BD长，进而求出CD、AE、BD的长，再根据得到，代入即可求出DF长.
22．（2024八下·桐乡市月考）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为秒．
（1）在运动过程中，的长度能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由；
（2）在运动过程中，的面积能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由；
（3）取的中点，运动过程中，当时，求的值；
【答案】（1）解：PQ的长度能为，理由如下：
根据题意可知：，，，
∵四边形是矩形，
，
在中，，
，
解得：（舍去）或，
∴当t为或3时，PQ的长度为 ；
（2）解：△PDQ的面积不能为8cm2，理由如下：
设运动秒钟后△PDQ的面积为，
则，，，，
S△PDQ=S矩形ABCD-S△ADP-S△CDQ-S△BPQ
，
，
即，
，
方程无实数根，
的面积不能为；
（3）解：如图，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
设，，
，
又，，
取的中点，连接，则，
，
，
，
解得：，．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线；四边形-动点问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）根据题意可得，，，再利用勾股定理构建方程求解即可；
（2）设运动x秒钟后△PDQ的面积为，利用S△PDQ=S矩形ABCD-S△ADP-S△CDQ-S△BPQ结合△PDQ的面积为构建关于的一元二次方程，再根据根的判别式的意义得出结论；
（3）以B点为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设，，则，取的中点，连接，根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半求出，再利用两点间的距离公式构建方程，解方程可得答案．
23．（2024九上·定边期末）已知：在矩形中，把矩形绕点旋转，得到矩形，且点落在边上，连接交于点．
（1）如图，连接．
求证：平分；
求证：是的中点；
（2）如图，连接，若平分，，求的长．
【答案】（1）证明如图，
由旋转性质得，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
如图，过点作于点，
由①可知，
又∵，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴点为中点，
（2）解：如图，作于点，
由（）可知，，
∴，，
∵，平分，
∴
∴，
∴，
设，则，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
【知识点】四边形的综合
【解析】【分析】（1）①根据旋转的性质，可得∠CEB=∠CBE；根据举行的性质，可得AD∥BC；根据平行线的性质和等量代换原则，即可得∠AEB=∠CEB；根据角平分线的判定，即可得BE平分∠AEC；
②根据三角形全等的判定（AAS和AAS）和性质，可得BP=BA，BH=HG；
（2）根据三角形全等的性质，可得全等三角形对应边相等；根据角平分线的性质，可知∠EFH和∠EHF的值；根据等腰直角三角形的性质，可得EF=EH=BA=DC；根据勾股定理，列关于x的一元二次方程，解方程即可求出AE的值.
24．（2024九下·荆州月考）
（1）如图1，已知正方形AEFG与正方形ABCD，将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转，求证：，且；
（2）如图2，将（1）中的两个正方形分别改成矩形AEFG和矩形ABCD，且，，，将矩形AEFG绕点A顺时针方向旋转，连接DE，BG，在旋转过程中，的值是定值，请求出这个定值．
【答案】（1）证明：如图，延长交于，交于，
四边形与四边形是正方形，
，
，
，
，
，
在和中
，
（），
，，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，连接、，交于，交于，
四边形和四边矩形是矩形，
，
，
，
，
，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）延长交于，交于，求出，证明，根据全等三角形的性质可得，，求出，即可得出结论；
（2）连接、，交于，交于，证明，利用相似三角形的性质可得，再利用勾股定理求出，，，，进而可计算的值 ．
1 / 12024年中考数学精选压轴题之平行四边形与特殊的平行四边形
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（2023九上·青岛月考）如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DF⊥BC，垂足为F，则DF的长为（　　）
A．2+2 B．5- C．3- D．+1
2．（2023九上·江阳月考）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm，BC=8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是 （　　）
A．当 t＝4s 时，四边形 ABMP 为矩形
B．当 t＝5s 时，四边形 CDPM 为平行四边形
C．当 CD＝PM 时，t＝4s
D．当 CD＝PM 时，t＝4s 或6s
3．（2023·游仙模拟）如图，直角三角形顶点在矩形的对角线上运动，连接．，，，则的最小值为（　　）．
A． B． C． D．
4．（2024九下·杭州月考）如图，在中，，分别以、为边向外作正方形、，连结并延长交于点H，连结．若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024·深圳模拟）如图，在正方形中，是等边三角形，，的延长线分别交于点，，连接，；与相交于点．给出下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2022·威宁模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，在中从左向右依次作正方形、、，点、、在轴上，点在轴上，点、、在直线上；再将每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，其中每个小正方形的边都与坐标轴平行，从左至右的小正方形阴影部分的面积分别记为、、，则可表示为
A． B． C． D．
7．（2024·深圳模拟）如图，正方形ABCD的对角线相交于O点，BE平分∠ABO交AO于E点，CF⊥BE于F点，交BO于G点，连接EG、OF，下列四个结论：①CE=CB；②AE=OE；③OF=CG，其中正确的结论只有（　　）
A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②
8．（2023八上·南山月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC，BC和AB为边向上作正方形ACEF和正方形BCMI和正方形ABGF，点G落在MI上，若AC＋BC＝7，空白部分面积为16，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．16 B．15 C．. D．
9．（2023九上·福田月考）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边DC，BC上，且BF＝CE，AE平分∠CAD，连接DF，分别交AE，AC于点G，M．P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM．有下列四个结论：
①AE垂直平分DM；②PM＋PN的最小值为3；③CF2＝GE AE；④S△ADM＝6．
其中正确的是（　　）
A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③
10．（2022九上·拱墅期末）如图，在矩形中，，点分别在边上，且与关于直线对称.点在边上，分别与交于两点.若，，则（　　）
A． B． C． D．
11．（2023九上·威远期中）如图，把菱形向平移至的位置，作，垂足为与相交于点的延长线交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④，则正确的结论有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（2023九上·光明月考）如图，边长为的正方形ABCD，对角线AC，BD相交于O，E为BC边上一动点（不与B，C重合），OF⊥OE交CD于F，G为EF中点．给出如下四个结论：①∠OEF＝45°；②点E在运动过程中，△OEF面积不变化；③△CEF周长的最小值为；④点E在运动过程中，OG与CG始终相等，其中正确的结论是（　　）
A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④
二、填空题（每题3分，共18分）
13．（2024·武汉模拟） 如图，在矩形中，是的中点，连接，将沿着翻折得到，交于点，延长，相交于点，若，，则　 　．
14．（2024·双流模拟）如图，正方形中，M、N分别是、边上的点，将四边形沿直线翻折，使得点A、B分别落在点、处，且点恰好为线段的中点，交于点G，作于点P，交于点Q．若，则　 　．
15．（2024九下·武侯月考） 在菱形中，，点P是对角线上一动点，点Q是边上一动点，与始终相等，连结，交点为E，连结，则的最小值是　 　．
16．（2024八上·上城期末）如图，在长方形中，为等腰△，且，点在线段上，点在线段上，若，则　 　．
17．（2024九下·龙岗开学考） 如图，在菱形中，E、F分别是 ，边上的中点，为 上一点，若 ，，则的长为　 　
18．（2024九上·遂川期末）如图，菱形中，，，，垂足为，点在菱形的边上，若，则的长为　 　．
三、解答题（共6题，共46分）
19．（2024八下·杭州月考）如图，在平行四边形中，点E在边上，且，F为线段上一点，且.
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，，，连结，求的长度.
20．（2024九下·长春月考）如图①，在平行四边形ABCD中，，，，点E为BC中点，动点P从点E出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动．作，EQ交边AD或边DC于点Q，连接PQ．当点P与点A重合时，点P停止运动．设点P的运动时间为t秒．（）
（1）当P在AB上运动时，用含t的式子表示出线段BP的长　 　；
（2）当Q落在CD的中点时，求t的值；
（3）若Q不与顶点重合，当Q落在平行四边形ABCD的某一内角平分线上时，求的值；
（4）作点E关于直线PQ的对称点F，连接PF、QF，当四边形EPFQ和平行四边形ABCD重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出t的取值范围．
21．（2024·孝南模拟） 已知和都是等腰三角形，且，，若点D在边上运动时，总保持，连接与交于点F．
（1）①如图1，当点D为边中点时，则的值为 ▲ ；
②如图2，当点D不为边中点时，求证：；
（2）如图3，当点D在边上运动中恰好使得时，若，，求的长．
22．（2024八下·桐乡市月考）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为秒．
（1）在运动过程中，的长度能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由；
（2）在运动过程中，的面积能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由；
（3）取的中点，运动过程中，当时，求的值；
23．（2024九上·定边期末）已知：在矩形中，把矩形绕点旋转，得到矩形，且点落在边上，连接交于点．
（1）如图，连接．
求证：平分；
求证：是的中点；
（2）如图，连接，若平分，，求的长．
24．（2024九下·荆州月考）
（1）如图1，已知正方形AEFG与正方形ABCD，将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转，求证：，且；
（2）如图2，将（1）中的两个正方形分别改成矩形AEFG和矩形ABCD，且，，，将矩形AEFG绕点A顺时针方向旋转，连接DE，BG，在旋转过程中，的值是定值，请求出这个定值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点A分别作AGBC于点G，AHDF于点H，
DFBC，
四边形HFGA是矩形，
HF=AG，
△ABC是等边三角形，
AB=BC=2，
BG=1，
AG=
在正方形ABED中，AD=AB=2，
故答案为：D
【分析】过点A分别作AGBC于点G，AHDF于点H，可构造矩形HFGA，从而得到HF=AG，再由等边三角形ABC的性质可得
BG=1，进一步得到再证明由直角三角形的性质即可求解.
2．【答案】D
【知识点】四边形的综合；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：根据题意，可得DP=t cm，BM=t cm，
∵AD=10cm，BC=8cm，
∴AP=(10-t) cm，CM=(8-t) cm，
当四边形ABMP为矩形时，AP=BM，
即10-t=t，
∴t=5，
故A不符合题意，
当四边形CDPM为平行四边形，DP=CM，
即t=8-t，
∴t=4，
故B不符合题意，
当CD=PM时，分两种情况：
①四边形CDPM是平行四边形，
此时CM=PD，
即8-t=t，
∴t=4，
②四边形CDPM是等腰梯形，
过点M作ME⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，如图，
则∠MEP=∠CFD=90°，
∵PM=CD，EM=FC，
∴△MEP≌△CFD (HL)，
∴EP=FD，
∵AE=AP+EP=10-t+，
又∵BM=t，
∴10-t+=t，
∴t=6，
综上所述，当CD=PM时，t=4s或6s.
故C不符合题意，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据题意，表示出DP，BM，AP和CM的长，当四边形ABMP为矩形时，根据AP=BM，列方程求解即可，当四边形CDPM为平行四边形，根据DP=CM，列方程求解即可，当CD=PM时，分两种情况：①四边形CDPM是平行四边形，②四边形CDPM是等腰梯形，分别列方程求解即可.
3．【答案】D
【知识点】矩形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】如图，过点B作BH⊥AC于点H，连接EH，
根据题意可得：∠BEF=∠BHF=90°，
∴点E、B、F、H四点共圆，
∴∠EHB=∠EFB，
∵∠AHE+∠EHB=90°，∠EBF+∠EFB=90°，
∴∠AHE=∠EBF，
∵∠EBF=∠ACD，
∴∠AHE=∠ACD且为定值，
∴点E在射线HE上运动，
当AE⊥EH时，AE的值最小，
∵矩形ABCD，
∴AB=CD=6，BC=AD=8，∠D=90°，
∴AC=，
∴，
∴S△ACB=×AB×CB=×AC×BH，
∴，
再根据勾股定理可得AH=，
∴AE的最小值=，
故答案为：D.
【分析】先证出当AE⊥EH时，AE的值最小，再求出，利用勾股定理求出AH的长，最后利用解直角三角形的方法求出AE的最小值=即可。
4．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接AF，过点H作HP⊥AF于点P，如图：
∵ 正方形、中，AD和AF为对角线，
∴∠DAB=∠CAF=45°=∠HFP.
∵∠DAB+∠BAC+∠CAF+∠α=180°.
∴∠BAC+∠α=90°.
∵ 在中，，
∴∠BAC+∠BCA=90°.
∴∠α=∠BCA.
∵，
设CF=x，，
∴HF=kx，
∵.
.
∴
∴.
故答案为：D.
【分析】连接AF，过点H作HP⊥AF于点P，根据平角的定义和正方形的性质可证得∠BAC+∠α=90°.再根据直角三角形角的性质可证得∠α=∠BCA.设CF=x，利用表示出HF，计算出AF.在△HPF中求出HP和FP，利用AF-PF得到AP，再在△HAP中计算tan∠α，即可得到的值.
5．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AB=DC=BC，AD//BC.
∵是等边三角形，
∴∠PBC=∠PCB=60°，
∴∠ABE=∠DCF=30°.
∴△ABE≌△DCF（ASA）.
∴BE=CF.
∵Rt△ABE中，∠ABE=30°.
∴.
∴. ①正确；
∵是等边三角形，
∴PC=PB=BC，
∴PC=DC.
∵∠DCF=30°，
∴∠CPD=∠CDP=75°.
∵∠ADC=90°，
∴∠PDE=∠ADC－∠CDP=15°.②正确；
过点P作PM⊥BC于点M，PN⊥CD于点N，
∴，，
∴.③正确；
∵Rt△DCF中，∠DCF=30°.
∴.
∵AD//BC，
∴△DFH∽△BCH.
∴.
∴，④错误；
∵BE=CF，PB=PC，
∴PF=PE.
∵BD是正方形ABCD的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD=45°.
∴∠EBD=∠ABD－∠ABE=15°=∠PDE.
∵∠PED=∠DEB，
∴△PED∽△DEB.
∴.
∴.⑤正确.
共有4个正确答案
故答案为：D.
【分析】由正方形性质和等边三角形性质得∠A=∠ADC=90°，AB=DC和∠ABE=∠DCF，利用ASA证得△ABE≌△DCF，可得BE=CF，再利用30°角的直角三角形的性质即可得判定①；由正方形性质和等边三角形性质得得∠DCP=30°，CD=CP，可求得∠CDP，从而可得∠PDE的度数，可判断②；过点P作PM⊥BC于点M，PN⊥CD于点N，分别表示出△PBC和△PCD的面积，即可判断③；利用AD//BC，得△DFH∽△BCH.从而可得DH：BH，根据同高的三角形面积比等于底边长之比可判断④；由BE=CF，PB=PC，得PF=PE.由△PED∽△DEB得，利用比例性质可得，可判断⑤.
6．【答案】A
【知识点】平行线的性质；正方形的性质；锐角三角函数的定义；探索图形规律；与一次函数相关的规律问题；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：，，
，
每个小正方形的边都与坐标轴平行，
，
每组小正方形的边长都是该组小长方形边长的两直角边之差，
正方形中，设点，
，
将点代入直线，
，，
正方形中阴影正方形边长为；
阴影部分面积；
正方形中，设点，
，，，
正方形中阴影正方形边长为；
阴影部分面积，；
正方形中，设点，
，，
正方形中阴影正方形边长为；
阴影部分面积；
以此推理，第个阴影正方形的边长为；
阴影部分面积；
故答案为：
【分析】先根据锐角三角形函数的定义得到，进而根据正方形的性质结合平行线的性质得到，设点，再将点代入一次函数解析式即可得到，，进而即可得到正方形中阴影正方形边长为，再结合题意以此类推求出正方形中阴影正方形边长为，正方形中阴影正方形边长为，从而即可得到第个阴影正方形的边长为。
7．【答案】A
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABO=∠AC0=∠CB0=45，AB=BC，0A=0B=0C，BD⊥AC
∵BE平分∠ABO，
∴
∴∠CBE=∠CBO+∠EBO=67.5°，在ABCE中，∠CEB=180°-∠BCO-∠CBE=180°-45°-67.5°=67.5°
∴∠CEB=∠CBE，
∴CE=CB，故①正确 ；
∵CF⊥BE，
∴，EF=BF
∵
∴∠ABE=∠BCG，
∵AB=BC，∠EAB=∠GBC=45°
在△ABE和△BCG中，
，
∴△ABE≌△BCG(ASA)，
∴AE=BG，BE=CG，
∵OA=OB，AE=BG，
∴OE=OG，
∵∠AOB=90°
∴△OEG是等腰直角三角形，
∴，
在△ECG和△BCG中，
，
∴△ECG≌△BCG(SAS)，
∴BG=EG，
∴，
故②正确；
∵∠AOB=90°，EF=BF
∴BE=CG，
∴
故③正确，
其中正确的结论有①②③，
故答案为：A.
【分析】由四边形ABCD是正方形，BE平分∠ABO，易求得∠EBO=22.5°，即可得∠CBE=∠CEB=67.5°，即可证得①CE=CB正确；
由CFLBE，由三线合一，可得∠ECG=∠BCG=22.5°，EF=BF，易证得△ABE≌△BCG，即可得AE=BG，由△OEG是等腰直角三角形，可得，又易证得△ECG≌△BCG，即可证得，②正确；由∠AOB=90°，EF=BF，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得，③正确.
8．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FAB=∠AFG=∠ACB=90°，
∴∠FAC+∠BAC=∠FAC+∠ABC=90°，
∴∠FAC=∠ABC，
∴△FAH≌△ABN（ASA），
∴S△FAH=S△ABN，
∴S△ABC=S四边形FNCH，
在△ABC中，AC2+BC2=AB2，
∵ AC＋BC＝7，
∴(AC＋BC)2=49，即得AB2+2AC·BC=49①，
∵正方形ABGF的面积-四边形FNCH的面积=正方形ABGF的面积-△ABC的面积=16，
∴AB2-AC·BC=16②，
联立①②解得：AB2=AC2+BC2=，AC·BC=，
∴阴影部分的面积= AC2+BC2+2△ABC的面积-空白部分面积=+2××=.
故答案为：D.
【分析】证明△FAH≌△ABN（ASA），可得S△FAH=S△ABN，从而得出S△ABC=S四边形FNCH，根据勾股定理可得AC2+BC2=AB2，结合已知可求出AB2=AC2+BC2=，AC·BC=，根据阴影部分的面积= AC2+BC2+2△ABC的面积-空白部分面积进行计算即可.
9．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=BC，∠ADC=∠DCB=90°，
∵BF= CE，
∴BC-BF= DC-CE，即CF= DE，
∴△ADE≌△DCF (SAS)，
∴∠DAE=∠CDF，
∵∠CDF+∠ADG=90° ，
∴∠DAE+∠ADG=90°，
∴∠AGD=90°，
即AE⊥DM.
∵∠AGM= ∠AGD=90° ，
∵AE平分∠CAD，
∴∠MAG=∠DAG.
又∵AG=AG，
∴△AGM≌△AGD ( ASA )，
∴GM=GD，
∴AE垂直平分DM，故①正确，符合题意；
②连接BD与AC交于点O，连接PD，ND，如图：
∵AE垂直平分DM，P为AE上一点，
∴PD=PE.
∴PN+PM=PN+PD≥DN，
又∵点D为直线AC外一点，
∴DN⊥AC时，DN长度最小.
即点N与点O重合，且D，P，N三点共线时， PM+PN的值最小，
即PM+ PN= PN+PD≥DN≥DO，故PM+ PN的最小值为DO的长，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴，
∴
即PM+ PN的最小值为，故②错误，不符合题意；
③∵AE⊥DM，
∴∠DGE=90°，
∵∠ADE=90°，
∴∠DGE=∠ADE，
∵∠DEG=∠AED，
∴△DEG∽△AED，
∴.
∴，
由①知，CF=DE，
∴，故③正确，符合题意；
④∵AE垂直平分DM，
∴AM=AD=4，
∵
∴故④错误，不符合题意；
综述所述：正确的有①③
故答案为：D.
【分析】根据正方形的性质证得△ADE≌△DCF，再利用ASA证明△AGM≌△AGD，即可得出AE垂直平分DM，即可判断①；连接BD与AC交于点O，交AG于点H，连接PD，ND，当D，P，N三点共线时，PD+PN=DN，而当点N与点O重合时，DN⊥AC，DN最小，从而可得PM+PN的最小值，即可判断②；证明△DEG∽△AED，根据相似三角形的性质即可判断③；先求出AM的长，再根据三角形面积公式计算即可得出答案从而判断④.
10．【答案】D
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质；轴对称的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接，
四边形是矩形，
，，，
，
设，，
与关于直线对称，
，，，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
设，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：D.
【分析】连接FQ，由矩形的性质可得AB∥CD，∠BAF=90°，BC=AD，由已知条件可设AB=4a，则BC=5a，由轴对称的性质可得BF=BC=5a，CQ=FQ，CE=FE，利用勾股定理可得AF=3a，则DF=AD-AF=2a，易得四边形CQFE为菱形，则AB∥FQ∥CE，由平行线分线段成比例的性质可得，设CQ=2k，则GQ=3k，由等腰三角形的性质可得∠CQE=∠CEQ，由平行线的性质可得∠ABQ=∠CEQ，结合对顶角的性质可推出BG=QG，易证△GBP∽△QFP，根据相似三角形的性质可得GP，据此求解.
11．【答案】D
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵把菱形向平移至的位置，
∴AD=DF=AB=CD=EF=BC=CE，AB//CD//EF，
∴∠F=∠DAG，
在△DFH和△DAG中，
，
∴△DFH≌△DAG（ASA），
∴DH=DG，
∵EG⊥AB，AB//EF，
∴EG⊥EF，
∵DH=DG，
∴DE=GH=DG=DH，
∴DG=DE，
∴①正确；
②∵DE=DH，
∴∠DHE=∠DEH，
∵菱形CDFE，
∴∠DEH=∠CEF=∠ACD，
∵菱形ABCD，
∴∠ACD=∠BAD，
∴∠DEH=∠BAD，
∴②正确；
③∵△DFG≌△DAG，
∴FH=AG，
∵EF=AB，
∴EF+FH=AB+AG=BG，
∵BC=CE，CM//BG，
∴CM是△BEG的中位线，
∴BG=2MC，
∴EF+FH=2MC，
∴③正确；
④∵菱形CDFE，
∴∠CDE=∠CED=∠DEH，
∵∠DHE=∠DEH，
∴∠CDE=∠CED=∠DEH=∠DHE，
∴，
∴④正确，
综上，正确的结论是①②③④，共4个，
故答案为：D.
【分析】利用菱形的性质，全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定方法逐项分析判断即可.
12．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的边长为
∴AC=BD==4，∠OBE=∠DOC
∴OB=OC=2
∵
∴OB⊥OC
∵OF⊥OE
∴∠BOE+∠EOC=∠FOC+∠EOC
∴∠BOE=∠FOC
∵∠OBE=∠DOC，OB=OC，∠BOE=∠FOC
∴△BOE≌△COF
∴OE=OF
∴∠OEF＝45° ，①正确；
，随着点E、F的位置变化，OE和OF的长度也会发生变化，因而△OEF的面积是变化的，②错误；
∵△BOE≌△COF
∴BE=CF
∴△CEF的周长=EC+CF+EF=EF+BE+EC=EF+BC=EF+
∴当EF的值最小时，△CEF的周长最小
当EF∥BD时，此时EF的值最小
∵OF⊥OE ，BC⊥DC，且OE=OF
∴此时四边形OECF是正方形
∴此时EF=OC=2
∴△CEF的周长最小值=2+，③正确；
∵点G是EF的中点，△OEF和△EFC都是直角三角形
∴OG=CG=EF，④正确；
∴四个结论中①③④是正确的
故答案为：D.
【分析】根据正方形的性质，可得AC=BD，∠OBE=∠DOC，OB=OC；
根据勾股定理的逆定理，可得OB⊥OC；
根据三角形全等的判定（ASA）和性质，可得OE=OF，BE=CF；
根据等腰直角三角形的判定和性质，可得 ∠OEF＝45° ；
根据正方形的判定定理和性质，可得EF=OC；
根据直角三角形的中线定理，可得OG=CG=EF.
13．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理的应用；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，连接，
，
是的中点，
，
由折叠的性质可得：，，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
设，则，，
在中，，即，
解得：，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
故答案为：．
【分析】连接，由折叠的性质可得，，，得出，然后证明，可得，设，则，，利用勾股定理构建方程，求出，设，则，再次利用勾股定理构建方程求解即可．
14．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，设，
∴，
由翻折可知，
设，
∵，
在中，∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，，，
设，
在中，则有，
解得，
∴，
连接，延长交于T，则四边形是平行四边形，过点作于H，如图所示：
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】先根据正方形的性质结合题意得到，进而根据折叠的性质，设，再运用勾股定理得到，进而根据相似三角形的判定与性质证明得到，，再根据勾股定理求出DM，连接，延长交于T，则四边形是平行四边形，过点作于H，进而结合题意根据平行线的性质得到，从而进行角的运算得到，再解直角三角形（边角关系）得到，，，从而结合题意运用PQ=PD-DQ即可求解。
15．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；菱形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵在菱形中，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴点P在对角线上运动时，的大小保持不变，
作的外接圆，圆心为O，连接、连接交于点F，
则，，
当与相切时，最大，此时最小，
设，则菱形边长为，，
∴在中，
在中，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
∴的最小值是，
故答案为．
【分析】先利用SAS证明，得到点P在对角线上运动时，的大小保持不变，作的外接圆，圆心为O，连接、连接交于点F，则，，当与相切时，最大，此时最小，设，则菱形边长为，，利用勾股定理求得CE的值，再证明，得到，最后利用∠DCE的正切函数即可求解.
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：为等腰Rt△，且∠AEF=90°，
AE=EF， ∠AEB+∠FEC=90°，
又四边形ABCD为矩形，
∠B=∠C=90°，AD=BC，∠BAE+∠BEA=90°，
∠BAE=∠CEF.
AB=EC，BE=FC.
3(AB+BE)=2(AD+DF)，
3(EC+BE)=2AD+2DF，
3AD=2AD+2DF，即AD=2DF，
设DF=a，BA=b，则AD=2a，BE=BC-AB=2a-b，CF=b-a，
2a-b=b-a，即
，
则
故答案为： .
【分析】根据矩形性质得∠B=∠C=90°，AD=BC，由同角的余角相等得∠BAE=∠CEF，由和全等三角形的性质AAS判断出△BAE≌△CEF，则AB=EC，BE=FC，代入运算得到AD=2DF，设DF=a，则AD=2a，BA=b，则BE=BC-AB=2a-b， CF=b-a，利用BE=FC求得AB，最后利用三角形和矩形的面积公式列式计算即可.
17．【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接AC、AF、CE、EF、DF，过点F作FH⊥CE，如图：
∵四边形ABCD是菱形，AB=4，∠B=60°，
∴AB=AD=BC=DA=4，AB∥CD，∠BCD=∠BAD=120°，
∴△ABC是等边三角形，
∵E、F分别是AB、AD的中点，
∴AF⊥BC，CE⊥AB，AE=BE=BF=CF=2，∠BCE=30°，
在Rt△AFB中，，
在Rt△BEC中，，
又∵AB∥CD，
∴∠DCE=∠BEC=90°，
在Rt△DCE中，，
∵BE=BF，∠B=60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴，，，
，
故，
即，
解得：，
在Rt△EFH中，，
在Rt△GHF中，∠EGF=60°，
∴∠GFH=30°，
∴GF=2HG，
则，
故，
∴；
故答案为：.
【分析】连接AC、AF、CE、EF、DF，过点F作FH⊥CE，由菱形性质得AB=AD=BC=DA=4，AB∥CD，∠BCD=∠BAD=120°，根据有一个角是60°角的等腰三角形是等边三角形，等边三角形的三条边相等，三个角都是60°，等腰三角形底边上的中线、底边上的高和顶角的角平分线重合可得AF⊥BC，CE⊥AB，AE=BE=BF=CF=2，∠BCE=30°，根据直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方可得AF、CE和DE的值，结合三角形的面积公式和菱形的面积可求得FH的值，根据直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方可求出EH和HG的值，即可求解.
18．【答案】或或
【知识点】一元二次方程的其他应用；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：根据题意， 菱形中，
，，
当P在CD上时
当P在BC上时，过P作PHCD于H
设CH=x
解得x=2
当P在AB上，DE=DP，则P与E点重合，不符合题意
当P在AD上时，过过P作PHCD延长线于H
设DH=y
解得y=2
综上，CP的长为或或
故答案为：或或
【分析】 题中点P在菱形的边上 ，并没有指明哪边，P点不唯一，故需要分别讨论；当P在CD上时，可以根据图示直接求得；当P在BC上时，根据给定的45°角想到等腰直角三角形的性质，想到求CP要把它放在直角三角形里面来求，故作辅助线得到等腰直角三角形，由勾股定理可求；当P在AB上，则P与E点重合，不符合题意；当P在AD上时，仍然作辅助线找到等腰直角三角形，借助勾股定理解三角形。
19．【答案】（1）证明： ∵四边形是平行四边形，
∴；
∵，，
∴.
（2）证明：∵四边形是平行四边形
∴，
∴，
由（1）知：，
∵，
∴.
（3）解：∵，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵四边形是平行四边形
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
如图，过E作于G，
则，
∴，；
在中，，由勾股定理得，
在中，，由勾股定理得．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质、等角的补角相等即可证明；
（2）根据平行四边形的性质得，由（1）所证结合，即可用AAS证明；
（3）根据（2）结合，，可得；即可得；用AAS证明，则；过E作于G，分别在中由勾股定理即可求解．
20．【答案】（1）
（2）解：（过程略）
（3）解：或
（4）解：，
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【解答】
（1）解：∵点E为中点，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：作，如图所示：
∵Q落在的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：平分时，如图所示：
作，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
平分时，如图所示：
作，
同理可推出，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
仍有，
综上所述：或，
（4）解：∵，，，
∴，
当点在线段上运动时，点与点重合，如图所示：
若点落在上，
∵点E、点F关于直线对称，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴此时，
故当时，满足题意；
当点与点重合时，
，
解得：，
综上所述：或．
【分析】
（1）根据即可求解；
（2）作，可求出；根据可求出，即可求解；
（3）分类讨论平分平分两种情况，作垂线解直角三角形即可；
（4）根据题意，画出满足条件的两种情况（当点在线段上运动时和当点与点重合时），即可求解；
21．【答案】（1）解：①
②证明：由①知，．
在和中，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，，
∴，，
∴．
∴，即．
∴．
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）①解：∵，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
∵，点D为的中点，
∴．
∴．
又∵，
∴垂直平分，
∴．
∵点D为的中点，
∴．
∴．
故答案为：；
【分析】（1）①根据等边对等角和题目已知条件可得∠B=∠BCA=∠ADE=∠AED，由三角形内角和是180°，得∠BAC=∠DAE，故∠BAD=∠CAE；根据等腰三角形三线合一可得∠BAD=∠CAD，等量代换∠DAC=∠CAE，AD=AE，三线合一AF垂直平分DE，再根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等可得CD=CE，即可得到；
②利用SAS证得△BAD≌△CAE，再根据全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）先利用两直线平行内错角相等得到，等量代换，再由同位角相等，两直线平行可得AB∥DE，进而由两组对边平行的四边形是平行四边形证得四边形ABDE为平行四边形，由平行四边形对边相等得到DE=AB=5；，公共角∠B，由两组角对应相等的两个三角形相似得到，相似三角形对应边成比例，即可求出BD长，进而求出CD、AE、BD的长，再根据得到，代入即可求出DF长.
22．【答案】（1）解：PQ的长度能为，理由如下：
根据题意可知：，，，
∵四边形是矩形，
，
在中，，
，
解得：（舍去）或，
∴当t为或3时，PQ的长度为 ；
（2）解：△PDQ的面积不能为8cm2，理由如下：
设运动秒钟后△PDQ的面积为，
则，，，，
S△PDQ=S矩形ABCD-S△ADP-S△CDQ-S△BPQ
，
，
即，
，
方程无实数根，
的面积不能为；
（3）解：如图，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
设，，
，
又，，
取的中点，连接，则，
，
，
，
解得：，．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线；四边形-动点问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）根据题意可得，，，再利用勾股定理构建方程求解即可；
（2）设运动x秒钟后△PDQ的面积为，利用S△PDQ=S矩形ABCD-S△ADP-S△CDQ-S△BPQ结合△PDQ的面积为构建关于的一元二次方程，再根据根的判别式的意义得出结论；
（3）以B点为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设，，则，取的中点，连接，根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半求出，再利用两点间的距离公式构建方程，解方程可得答案．
23．【答案】（1）证明如图，
由旋转性质得，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
如图，过点作于点，
由①可知，
又∵，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴点为中点，
（2）解：如图，作于点，
由（）可知，，
∴，，
∵，平分，
∴
∴，
∴，
设，则，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
【知识点】四边形的综合
【解析】【分析】（1）①根据旋转的性质，可得∠CEB=∠CBE；根据举行的性质，可得AD∥BC；根据平行线的性质和等量代换原则，即可得∠AEB=∠CEB；根据角平分线的判定，即可得BE平分∠AEC；
②根据三角形全等的判定（AAS和AAS）和性质，可得BP=BA，BH=HG；
（2）根据三角形全等的性质，可得全等三角形对应边相等；根据角平分线的性质，可知∠EFH和∠EHF的值；根据等腰直角三角形的性质，可得EF=EH=BA=DC；根据勾股定理，列关于x的一元二次方程，解方程即可求出AE的值.
24．【答案】（1）证明：如图，延长交于，交于，
四边形与四边形是正方形，
，
，
，
，
，
在和中
，
（），
，，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，连接、，交于，交于，
四边形和四边矩形是矩形，
，
，
，
，
，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）延长交于，交于，求出，证明，根据全等三角形的性质可得，，求出，即可得出结论；
（2）连接、，交于，交于，证明，利用相似三角形的性质可得，再利用勾股定理求出，，，，进而可计算的值 ．
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