绍兴一中 2023学年第二学期期中考试
高一（数学）试卷
命题、校对：高一数学备课组
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
z 3 i
1. 已知复数 1 2i z ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
2. 在 OMN 中，ON MN MO （ ）
A. 0 B. 2MO C. 2ON D. 2OM
3. 已知m，n为不同的直线， ， 为不同的平面，下列命题为假．命．题．的是 （ ）
A. m ,m ∥
B. m n,n m
C. m ,m
D. m ,n m∥n
4. 侧棱长为 2 3的直棱柱，其底面水平放置时用斜二测画法得到的直观图为如图所示的正方形O A B C ，
其中O A 2，则该直棱柱的侧面积为 （ ）
A. 8 3 B. 16 3 C. 24 3 D. 32 3
5. 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，M，N分别为棱 BC和棱CC1 的中点，则异面直线 AC和 MN所
成的角为 （ ）
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A. 30 B. 45 C. 60 D. 90
6. 如图，某同学为测量鹳雀楼的高度 MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物 AB，高约为 37m，在地面
上点 C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部 A，鹳雀楼顶部 M的仰角分别为 30°和 45°，在 A处测得
楼顶部 M的仰角为 15°，则鹳雀楼的高度约为（ ）
A. 91m B. 74m C. 64m D. 52m
7. 已知向量 a、b、c满足： a 2 b
2a b 2 c u 2 a 4 u ，若 b（u R），则 c 的最小值为
6 3
（ ）
A. 3 B. 2 C. 3 D. 2 3
8. 请你在桌面上放置四个半径都是 2cm的玻璃小球，并用一个半球形的容器罩住这四个小球，则这个容器
的内壁半径的最小值为 （ ）
A. 2 6 4cm B. 4 6 4cm
3 3
C. 2 2 2cm D. 2 3 2cm
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9. 在 ABC π中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 a 3， A ，则 ABC的面积可能为（ ）
3
A. 3 B. 2 3
C. 9 3 D. 5 3
4 2
10. 折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子如图1，其平
第 2页/共 5页
面图如图 2的扇形 AOB，其中 AOB 120 ，OA 3OC 3，点 E在弧CD上.则下列选项正确的是
（ ）
A. OA CD 2
3
B. 若OE xOC yOD，则存在点 E，使得 x y
2
13
C. EA EB的最小值为 2
D. 52 2若该扇面为某圆台的侧面展开图，则该圆台的体积为 π
81
11. 在棱长为 2的正方体 ABCD A1B1C1D1中，M 为底面 ABCD的中心，D1Q D1A1 , 0，1 ,N 为线
段 AQ的中点，则 （ ）
A. CN 与QM 共面
B. 三棱锥 A DMN 的体积的最大值为1
C. 存在两个不同的 0，1 ，使得 AM QM
1
D. 时，过 A，Q，M 三点的平面截正方体所得截面的周长为 2 5 3 2
2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12. 复数 z a bi，a，b R，且b 0，若 z2 4bz 是实数，则有序实数对 (a，b)可以是_________．（写
出一个有序实数对即可）
13. 在△ABC中，a，b，c分别为内角 A，B，C的对边.已知 a＝2，2sinB+2sinC＝3sinA.则 cosA的最小值为
______.
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14. 如图，圆柱形开口容器（下表面密封），其轴截面 ABCD是边长为 2的正方形.现有一只蚂蚁从外壁A处
出发，沿外壁先爬到上口边沿再沿内壁爬到 BC中点 P处，则它所需经过的最短路程为 ______.
四、解答题：本大题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知复数 z1 1 2i，z2 3 4i对应的向量分别为OA和OB，其中O为复平面的原点.
（1）若复数 z1 z2 在复平面内对应的点在第二象限，求实数 的取值范围；
（2）求OA在OB上的投影向量.
16. 如图，在四棱锥 P﹣ABCD中，△PAB是边长为 2的正三角形，BC＝AB＝2AD，AD / / BC，AB⊥BC，
设平面 PAB∩平面 PCD＝l.
（1）作出 l（写出作法，并保留作图痕迹）；
（2）线段 PB上是否存在一点 E，使 l / /平面 ADE？请说明理由.
17. 如 图 ， 在 ABC 中 ， 角 A，B，C 所 对 边 长 分 别 为 a，b，c B π， ， 满 足
4
a b sinA sinB c sinB sinC .
（1）求 A；
（2）点D 在 BC上， AD AC，AD 6，求 AB .
18. 如图（1），已知菱形 ABCD中 AB 2， DAB 60 ，沿对角线BD将其翻折，使 ABC 90 ，
设此时 AC的中点为O，如图（2）.
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图 1 图 2
（1）求证：点O是点D在平面 ABC上的射影；
（2）求直线 AD与平面 BCD所成角的正弦值.
19. 设 f z 是一个关于复数 z的表达式，若 f x yi x1 y1i（其中 x，y，x ，y R ，1 i为虚数单位），1
就称 f将点 P x, y 1“f对应”到点Q x1, y1 ．例如 f z 将点 0,1 “f对应”到点 0, 1 ．z
（1）若 f z z 1 z C 点 P1 1,1 “f对应”到点Q1，点 P2 “f对应”到点Q2 1,1 ，求点Q1、P2的坐标；
（2）设常数 k， t R，若直线 l： y kx t， f z z 2 z C ，是否存在一个有序实数对 k , t ，使
得直线 l上的任意一点 P x, y “对应”到点Q x1, y1 后，点 Q仍在直线 l上？若存在，试求出所有的有序实
数对 k , t ；若不存在，请说明理由；
（3）设常数a，b R，集合D z z C且Re z 0 A C 1 f z az b和 且 ，若 满
z 1
足：①对于集合 D中的任意一个元素 z，都有 f z A；②对于集合 A中的任意一个元素 ，都存在集合
D中的元素 z使得 f z ．请写出满足条件的一个有序实数对 a,b ，并论证此时的 f z 满足条件．
第 5页/共 5页绍兴一中 2023学年第二学期期中考试
高一（数学）试卷
命题、校对：高一数学备课组
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
z 3 i z
1. 已知复数
1 2i，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数的除法法则化简复数 z，利用复数的模长公式可求得 z .
z 3 i 3 i 1 2i 3 7i 2i
2 1 7 1 2 7 2
【详解】 i
1 2i 1 2i ，因此， z 2 .1 2i 5 5 5 5 5
故选：B.
2. 在 OMN 中，ON MN MO （ ）
A. 0 B. 2MO C. 2ON D. 2OM
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量的加减法运算法则即可求解.
【详解】由题意，ON MN MO ON NM MO 0 .
故选：A.
3. 已知m，n为不同的直线， ， 为不同的平面，下列命题为假．命．题．的是 （ ）
A. m ,m ∥
B. m n,n m
C. m ,m
D. m ,n m∥n
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【答案】B
【解析】
【分析】根据面面平行的判定定理，面面垂直的判定定理，线面垂直的性质即可判断.
【详解】由题意，对于 A，由面面平行的判定定理可以证得，故 A正确；
对于 B，m n,n m 或m ，故 B错误；
对于 C，由面面垂直的判定定理可以证得，故 C正确；
对于 D，由线面垂直的性质可以证得，故 D正确.
故选：B.
4. 侧棱长为 2 3的直棱柱，其底面水平放置时用斜二测画法得到的直观图为如图所示的正方形O A B C ，
其中O A 2，则该直棱柱的侧面积为 （ ）
A. 8 3 B. 16 3 C. 24 3 D. 32 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据斜二测画法的定义，求出四边形OABC的周长，然后根据直棱柱的侧面积公式计算即可.
【详解】根据斜二测画法，四边形OABC为平行四边形，如图：
因为四边形O A B C 为正方形，且 O A 2，所以 O B 2 2，
故 OA 2, OB 4 2 ，所以 AB OA 2 OB 2 6，
所以平行四边形OABC的周长为 2 2 6 16，
所以直棱柱的侧面积为16 2 3 32 3，
故选：D.
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5. 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，M，N分别为棱 BC和棱CC1 的中点，则异面直线 AC和 MN所
成的角为 （ ）
A. 30 B. 45 C. 60 D. 90
【答案】C
【解析】
【分析】先由平行关系找到 A1C1B为异面直线 AC和 MN所成的角，再利用正方体的性质求出角度即可.
【详解】 ，
因为 M，N分别为棱 BC和棱CC1的中点，
所以MN / /BC1，
又在正方体 ABCD A1B1C1D1中，
AC / /A1C1，
所以 A1C1B或其补角为异面直线 AC和 MN所成的角，
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又在正方体 ABCD A1B1C1D1中，△A1C1B为正三角形，
所以 A1C1B 60 ，即异面直线 AC和 MN所成的角为60 ，
故选：C.
6. 如图，某同学为测量鹳雀楼的高度 MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物 AB，高约为 37m，在地面
上点 C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部 A，鹳雀楼顶部 M的仰角分别为 30°和 45°，在 A处测得
楼顶部 M的仰角为 15°，则鹳雀楼的高度约为（ ）
A. 91m B. 74m C. 64m D. 52m
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦定理求解即可.
【详解】在Rt△ ABC中， AC 2AB 74 ,
在△MCA中， MCA 105 , MAC 45 ,
则 AMC 180 MCA MAC 30 ,
MC AC MC 74
由正弦定理得 ，即 ，解得 ,
sin MAC sin AMC sin 45 sin 30 MC 74 2
在Rt△MNC MN 2中， 74 2 74m，
2
故选:B .
u 2 4 u
7. 已知向量 a、b、c满足： a 2 b 2a b 2，若 c a b（u R），则 c 的最小值为6 3
（ ）
A. 3 B. 2 C. 3 D. 2 3
【答案】A
【解析】
c u 2 4 u
【分析】对 a b（u R）两边同时平方，由数量积的定义和模长公式结合二次函数的性质
6 3
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即可得出答案.
【详解】因为 a 2 b 2a
b 2 ，所以 a 2, b 1,a b 1，
c u 2 a 4 u
因为 b（u R），
6 3
2
| c |2 u 4u 4
2
a 2 16 8u u b 2 u 2 4 u
则 a b
36 9 9
u2 4u 4 16 8u u2 u2
2
2u 8 u2 2u 28 u 1 27
9 9 9 9 9
27
对称轴u 1 , | c |2min 3，即 | c |9 min
3 .
故选：A.
8. 请你在桌面上放置四个半径都是 2cm的玻璃小球，并用一个半球形的容器罩住这四个小球，则这个容器
的内壁半径的最小值为 （ ）
A. 2 6 4cm B. 4 6 4cm
3 3
C. 2 2 2cm D. 2 3 2cm
【答案】D
【解析】
【分析】根据题设要使半球形容器内壁的半径的最小，只需保证 4个小球心构成正方形，且相邻的两个小
球相切，且4个小球与半球形的容器内壁面都相切，进而可求半径的最小值.
【详解】要使半球形容器内壁的半径最小，只需保证 4个小球心构成正方形，
且相邻的两个小球相切，且 4个小球与半球形的容器内壁面都相切，此时，如图所示：
O为半球的球心，A为其中一个小球球心，则OA是棱长为 2的正方体的体对角线，
且该小球与半球球面上的切点与O, A共线，
所以半球形容器内壁的半径的最小值为小球半径与OA长度之和.即 2 3 2 ,
故选：D.
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
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要求.全部选对得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
π
9. 在 ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 a 3， A ，则 ABC的面积可能为（ ）
3
A. 3 B. 2 3
C. 9 3 D. 5 3
4 2
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用三角形面积公式及余弦定理结合基本不等式可得面积最大值，由此判定选项即可.
2
cos A b c
2 a2 1
【详解】由余弦定理可得 b 2 c 2 bc 9 2bc bc bc ，
2bc 2
当且仅当b c 1时取得等号，此时 S△ABC bc sin A
9 3
，
2 4
当 A靠近 BC时高较小，此时的面积接近 0，故 ABC符合题意.
故选：ABC.
10. 折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子如图1，其平
面图如图 2的扇形 AOB，其中 AOB 120 ，OA 3OC 3，点 E在弧CD上.则下列选项正确的是
（ ）
A. OA CD 2
3
B. 若OE xOC yOD，则存在点 E，使得 x y
2
13
C. EA EB的最小值为 2
D. 52 2若该扇面为某圆台的侧面展开图，则该圆台的体积为 π
81
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于 A，C，根据向量数量积的运算公式即可求解；对于 B，建立平面直角坐标系，由坐标得到 x y
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的范围即可求解；对于 D，根据圆台的体积公式即可求解.
1 9
【详解】对于 A，OA CD OA (CO OD) OA CO OA OD 3 1 ( 1) 3 1 ( ) ，故 A
2 2
错误；
B O OB x 1 3对于 ，以 为原点， 所在的直线为 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则D(1,0),C( , ) ，
2 2
设 E(cos ,sin ) 0 2π，其中 ，
3
OE xOC yOD (cos ,sin ) x( 1 3所以由 可得 , ) y(1,0) ，
2 2
1
x y cos x
2 3
sin 2 3
所以 ，即 ，
3
x sin
y 3 sin cos
2 3
所以 x y 3 sin cos 2sin( π )，
6
0 2π π又因为 ，所以 π 5π ，
3 6 6 6
所以1 x y 2，
3
所以存在点 E，使得 x y ，故 B正确；
2
2
对于 C， EA EB (EO OA) (EO OB) EO EO OB OA EO OA OB
1 3cos∠BOE 3cos(120 9 ∠BOE)
2
3 3 3
cos∠BOE sin∠BOE 7 7 3sin(∠BOE 13 30 ) ，
2 2 2 2 2
13当且仅当 BOE 60 时，等号成立，故 EA EB的最小值为 ，故 C正确；2
对于 D，因为该扇面为某圆台的侧面展开图，
设该圆台的上、下底面半径分别为 r1, r2，母线长为 l，高为 h，
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2πr
2π
1 1
由题意可得， l 2， 3 ，解得 r1 ,r2 1，
2πr2 2π
3
2 4 2
所以 h l 2 (r r )22 1 4 ( )
2 ，
3 3
π 52 2π
所以该圆台的体积为 (r2 21 r1r2 r2 )h ，故 D正确.3 81
故选：BCD.
11. 在棱长为 2的正方体 ABCD A1B1C1D1中，M 为底面 ABCD的中心，D1Q D1A1 , 0，1 ,N 为线
段 AQ的中点，则 （ ）
A. CN 与QM 共面
B. 三棱锥 A DMN 的体积的最大值为1
C. 存在两个不同的 0，1 ，使得 AM QM
1
D. 时，过 A，Q，M 三点的平面截正方体所得截面的周长为 2 5 3 2
2
【答案】AD
【解析】
【分析】对于选项A：可得MN / /CQ 1，可判断；对于选项 B：点 N 到平面 ABCD的距离为定值 2 ，且
△ADM 的面积为定值可判断；对于选项 C：若 AM QM ，根据已知 AM BD，进而可得 AM BDQ，
即当Q与D1重合时才满足，即可判断；对于选项 D：先将过A，Q，M 的截面分析做出，再求周长可判
断．
【详解】对选项A：在 ACQ中，因为M ， N 为 AC， AQ的中点，
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所以MN / /CQ，所以CN 与QM 共面，所以A正确；
对选项 B：由VA DMN VN ADM ，
1
因为 N 到平面 ABCD 1的距离为定值 2 ，且△ADM 的面积为定值 ，4
所以三棱锥 A DMN 的体积跟 的取值无关，为定值，所以 B不正确；
对选项 C：若 AM QM ，
在正方体 ABCD A1B1C1D1中， AM BD，
因为QM BD M ，QM ,BD 平面 BDQ，
所以 AM 平面 BDQ，
由于在正方体中， AM 平面 BD1DB1，
而平面 BMQ与平面BD1DB1相交，
根据垂直于同一条直线的两个平面平行或重合可得，
当Q与D1重合时才满足 AM QM ，故不存在两个不同的 [0，1]，使得 AM QM ，所以 C不正确；
1
对选项 D： 时，取D1H
1
D1C1 ，连接HC ，则HQ / /A1C1，2 2
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又 AC / /A1C1，所以HQ / /AC，
所以A，M ，C，H ，Q共面，即过A，Q，M 三点的正方体的截面为 ACHQ，
1 1
由 AQ CH 22 12 5，则 ACHQ是等腰梯形，且QH A1C1 2 2 2 ，2 2
所以平面截正方体所得截面的周长为 l 5 5 2 2 2 2 5 3 2，所以 D正确．
故选：AD．
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12. 复数 z a bi，a，b R，且b 0，若 z2 4bz是实数，则有序实数对 (a，b)可以是_________．（写
出一个有序实数对即可）
【答案】 2,1 或满足 a 2b的任意一对非零实数对
【解析】
【 详 解 】 试 题 分 析 ： z2 4bz (a bi)2 4b(a bi) a2 b2 4ab (2ab 4b2 )i 是 实 数 ， 则
2ab 4b2 0，由于b 0，故 a 2b．
考点：复数的概念．
13. 在△ABC中，a，b，c分别为内角 A，B，C的对边.已知 a＝2，2sinB+2sinC＝3sinA.则 cosA的最小值为
______.
1
【答案】
9
【解析】
【分析】利用正弦定理将角化边，即可得到b c 3，利用基本不等式求出bc的最大值，再由余弦定理计
算可得 cos A的最小值.
【详解】因为 2sin B 2sinC 3sin A，由正弦定理可得 2b 2c 3a，又 a 2，
b c
所以b c 3，所以bc ( )2
9 3
，当且仅当b c 时取等号，
2 4 2
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2 2 2
cos A b c a (b c)
2 2bc a2 5 2bc 5 1
所以 1 ，
2bc 2bc 2bc 2bc 9
b 3 1当且仅当 c 时取等号，所以cos A的最小值为 .
2 9
1
故答案为： .
9
14. 如图，圆柱形开口容器（下表面密封），其轴截面 ABCD是边长为 2的正方形.现有一只蚂蚁从外壁A处
出发，沿外壁先爬到上口边沿再沿内壁爬到 BC中点 P处，则它所需经过的最短路程为 ______.
【答案】 π2 9
【解析】
【分析】画出圆柱的侧面展开图，根据对称性，求出 AQ PQ的最小值就是 AE的长求解即可.
【详解】侧面展开后得矩形 ABCD，其中 AB π, AD 2，
问题转化为在CD上找一点Q，使 AQ PQ最短，
作 P关于 CD的对称点 E，连接 AE，
令 AE与 CD交于点 Q，则 AQ PQ的最小值就是 AE为 π2 9
故答案为： π2 9 .
四、解答题：本大题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知复数 z1 1 2i，z2 3 4i对应的向量分别为OA和OB，其中O为复平面的原点.
（1）若复数 z1 z2 在复平面内对应的点在第二象限，求实数 的取值范围；
（2）求OA在OB上的投影向量.
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1
【答案】（1） ,
3
3 4
（2） ,5 5
【解析】
【分析】（1）由已知可得 z1 z2 1 3 (2 4 )i，根据复数 z1 z2在复平面内对应的点在第二象限，
1 3 0
可得 ，求解即可；
2 4 0
OA O B O
（2）由 B ，可求OA在OB上的投影向量
|OB | |OB |
【小问 1详解】
复数 z1 1 2i， z2 3 4i，
则 z1 z2 1 2i (3 4i) 1 3 (2 4 )i ，
1 3 0 1
因为复数 z1 z2在复平面内对应的点在第二象限，则有 ，解得 ，
2 4 0 3
1
所以实数 的取值范围为 , ．
3
【小问 2详解】
依题意OA (1, 2)，OB (3, 4)，
所以OA OB 1 3 2 ( 4) 5， |OB | 32 ( 4)2 5，
OA O B O B 5 (3, 4)所以OA在OB上的投影向量为 (
3
, 4) .
|OB | |OB | 5 5 5 5
16. 如图，在四棱锥 P﹣ABCD中，△PAB是边长为 2的正三角形，BC＝AB＝2AD，AD / / BC，AB⊥BC，
设平面 PAB∩平面 PCD＝l.
（1）作出 l（写出作法，并保留作图痕迹）；
（2）线段 PB上是否存在一点 E，使 l / /平面 ADE？请说明理由.
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【答案】（1）作法：延长 BA，CD，相交于点 Q，连接 PQ，则直线 PQ就是所求的直线 l，作图痕迹见解析
（2）存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）延长 BA,CD相交于点Q，连接 PQ，，即可得到所求直线;
（2）根据线线平行，证明线面平行，从而得到结论.
【小问 1详解】
作法：延长 BA,CD相交于点 Q，连接 PQ，则直线 PQ就是所求的直线 l，图形如下：
【小问 2详解】
当点 E是线段 PB的中点时，可使 l / /平面 ADE，理由如下：
由（1）知A为 BQ中点，又 E是 PB的中点，
∴ AE / /l，
又 AE 平面 ADE， l 平面 ADE，
∴ l / /平面 ADE，
故当点 E 是线段 PB 的中点时，可使 l / /平面 ADE．
π
17. 如 图 ， 在 ABC 中 ， 角 A，B，C 所 对 边 长 分 别 为 a，b，c， B ， 满 足
4
a b sinA sinB c sinB sinC .
（1）求 A；
（2）点D在 BC上， AD AC，AD 6，求 AB .
2π
【答案】（1） A
3
2 3 2 6（ ）
2
第 13页/共 18页
【解析】
【分析】（1）将条件变形，然后代入余弦定理计算即可；
（2）先求出 ADB，然后在△ABD中，利用正弦定理求 AB .
【小问 1详解】
由已知可得： a b a b c b c ，即b2 c2 a2 bc，
2 2 2 2π
则 cosA b c a 1 ，又 A 0,π ，所以 A ；
2bc 2 3
【小问 2详解】
2π π
由（1）知 A ，又 AD AC，所以 BAD ，
3 6
B π
7π
又因为 ，可得 ADB ，
4 12
sin 7π又 sin π π 2 1 2 3 2 6 ，12 4 3 2 2 2 2 4
AB AD
在△ABD中，由正弦定理得： ，
sin ADB sinB
ADsin 7π 6 2 6
所以 AB 12 4
3 2 6
sin π
．
2 2
4 2
18. 如图（1），已知菱形 ABCD中 AB 2， DAB 60 ，沿对角线BD将其翻折，使 ABC 90 ，
设此时 AC的中点为O，如图（2）.
图 1 图 2
（1）求证：点O是点D在平面 ABC上的射影；
（2）求直线 AD与平面 BCD所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
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6
（2）
3
【解析】
【分析】（1）依题意可得DO AC，连接 BO，利用勾股定理逆定理证明DO BO，即可得到 DO 平面
ABC，从而得证；
（2）设点 A 到面 BCD的距离为 h，利用等体积法求出 h，设直线 AD 与平面 BCD所成角为 ，则
sin h ，即可得解.
AD
【小问 1详解】
在菱形 ABCD中 AB 2， DAB 60 ，
所以△ABD，△CBD均为等边三角形，
因为DA DC，O为 AC的中点，所以 DO AC，
又 ABC 90 ，所以 AC AB2 BC2 2 2，
1
连接 BO，则 BO AC 2 ，
2
又因为 AD DC 2, AC 2 2，
所以 AD2 DC 2 AC 2 ，所以 AD DC，所以DO 2，
又因为 BD 2，所以DO2 BO2 DB2 ，所以DO BO，
又 AC BO O，且 AC， BO 平面 ABC，
所以 DO 平面 ABC，所以点O是点D在平面 ABC上的射影；
【小问 2详解】
设点A到面 BCD的距离为 h，又菱形 ABCD边长为2，
S 1则△BCD的面积 BCD 2 2 sin 60 3，所以V
1 3
A BCD 3 h h；2 3 3
1
由 ABC的面积 S ABC 2 2 2，由（1）知 DO 平面 ABC， DO 2，2
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1 3
所以VD ABC 2 2 h，所以 h
2 6
，
3 3 3
2 6
设直线 AD与平面 BCD所成角为 ，则 sin h 3 6
，
AD 2 3
AD BCD 6即直线 与平面 所成角的正弦值 ．
3
19. 设 f z 是一个关于复数 z的表达式，若 f x yi x1 y1i（其中 x，y，x ，y ，1 R i为虚数单位），1
就称 f将点 P x, y 1“f对应”到点Q x1, y1 ．例如 f z 将点 0,1 “f对应”到点 0, 1 ．z
（1）若 f z z 1 z C 点 P1 1,1 “f对应”到点Q1，点 P2 “f对应”到点Q2 1,1 ，求点Q1、P2的坐标；
（2）设常数 k， t R，若直线 l： y kx t， f z z 2 z C ，是否存在一个有序实数对 k , t ，使
得直线 l上的任意一点 P x, y “对应”到点Q x1, y1 后，点 Q仍在直线 l上？若存在，试求出所有的有序实
数对 k , t ；若不存在，请说明理由；
（3）设常数a，b R，集合D z z C且Re z 0 A C 1 az b和 且 ，若 f z 满
z 1
足：①对于集合 D中的任意一个元素 z，都有 f z A；②对于集合 A中的任意一个元素 ，都存在集合
D中的元素 z使得 f z ．请写出满足条件的一个有序实数对 a,b ，并论证此时的 f z 满足条件．
【答案】（1）Q1(2,1),P2 (0,1)
（2） (0,0)
（3） ( 1,1)，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题中的新定义求解即可；
2 2
（2）由题意可得 x y x1, 2xy y1，进而由条件得出关于 k , t的方程组，求解即可；
z 1
（3）满足条件的一个有序实数对为 1,1 ，即 a 1,b 1， f z ，结合复数模的求法及复数
z 1
的运算证明即可.
【小问 1详解】
由 P1 1,1 知 z 1 i，则 f z z 1 2 i，故Q1(2,1)；
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设 P2 (x, y)，则 f z z 1 x 1 yi，
由Q2 1,1 知 x 1 1, y 1，则 x 0, y 1，即 P2 (0,1) .
【小问 2详解】
直线 l上的任意一点 P x, y “对应”到点Q x1, y1 ，
z x yi, f z z 2 x 2 y 2 2xy i，且 y kx t，
x2 y2 x 21, 2xy y1，即Q x y2 , 2xy ，
由题意，点Q x1, y1 2 2仍在直线 l上，则 2xy k x y t ，又 y kx t，
则 2x kx t k x 2 kx t
2
t ，
3
展开整理得 k k x2 2t 2k 2t x kt 2 t 0，
k 3 k 0
2t 2k 2则 t 0，解得 k t 0，
kt 2 t 0
所以，所求的有序实数对 k , t 为 0,0 .
【小问 3详解】
满足条件的一个有序实数对为 1,1 ，即 a 1,b 1， f z z 1 ，证明如下：
z 1
z 1 x 1 yi
设 z x yi, x, y R,x 0，则 f z ，
z 1 x 1 yi
2 x 1 yi x 1 yi x 1 y 2
f z ，x 1 yi x 1 yi x 2 1 y 2
∵ x 1 2 y 2 x
2
1 y 2 4x 0
2 2
，∴ x 1 y 2 x 1 y 2 ，
x 1 2 y 2
f z 1，即 f z A，满足条件①；
x 1 2 y 2
设 m ni,m,n R ，且 1，即 m2 n2 1，得 m 2 n 2 1，
由 f z z 1得 ，
z 1
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1 2 2 2 m 1 ni
则 z 1 1 1
1 1 m 1 ni m 1 ni m 1 ni
2 m 1 2 2
1 2ni
1 m n 2ni
m 1 2
2 ，
n2 m 1 n2 m 1 2 n2 m 1 2 n2
1 m2 n2
则Re z 0，满足条件②，
m 2 1 n2
综上，满足条件的一个有序实数对为 1,1 .
【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型
来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，
实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义
的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．
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