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人教版七年级数学下册课件
第九章 不等式与不等式组
知识梳理、真题剖析
单元练习
知识梳理
有关概念 1.不等式：用符号“”或“ ”表示__________的式
子，叫做不等式．
2.不等式的解：使不等式成立的________的值叫
做不等式的解．
3.不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不
等式的所有的____，组成这个不等式的解集．
4.解不等式：求不等式的______的过程叫做解不
等式．
大小关系
未知数
解
解集
有关概念 5.一元一次不等式：含有____个未知数，未知数
的______是1的不等式，叫做一元一次不等式．
6.一元一次不等式组：把______一元一次不等式
合起来，组成一个一元一次不等式组．
7.不等式组的解集：一般地，几个不等式的解集
的______部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集.
一
次数
两个
公共
续表
不等式的性质 8.性质1 不等式两边加（或减）同一个数
（或式子），不等号的方向______．
9.性质2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，
不等号的方向______．
10.性质3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，
不等号的方向______.
不变
不变
改变
续表
解一元一次不等 式的步骤 去分母去括号移项合并同类项 系数化为1
一元一次不等式 组的解法 分别求出不等式组中各个不等式的解集．
利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即
求出这个不等式组的解集.
续表
用不等式解决实 际问题的一 般 步骤 找：弄清题意和题目中的数量关系，找到能够表
示题中全部含义的不等关系．
设：设出适当的未知数．
列：根据找到的不等关系，列出不等式（组）．
解：解这个所列的不等式（组），求出不等式
（组）的解集，有时需根据实际问题确定特殊解，并
检验是否符合题意．
答：写出答案.
续表
真题剖析5
考点1 不等关系与不等式
例1 （2023·济南）实数， 在数轴上对应点的位置如图1所示，则下列
结论正确的是( ) .
图1
D
A. B. C. D.
[解析] 根据题意，得,，，
,,, ．
观察四个选项可知，只有选项D的结论是正确的，故选D.
考点1 变式
（2023·浙江）实数，， 在数轴上的对应点的位置如图2所示，下列
结论正确的是( ) .
图2
D
A. B. C. D.
考点2 不等式的性质
例2 （2020·常州）如果 ，那么下列不等式正确的是( ) .
A
A. B. C. D.
[解析] 本题考查了不等式的性质，
A项两边同乘一个正数，不等号方向不变，所以A正确；
B项两边同时乘一个负数，不等号方向应该改变，所以B错误；
对于C，D两选项，不等式两边同时加上或减去同一个数，
不等号方向不变，所以C，D错误．故选A.
考点2 变式
（2023·德阳）如果 ，那么下列运算正确的是( ) .
D
A.
B.
C.
D.
考点3 一元一次不等式（组）的解集
例3 （2020·嘉兴）不等式 的解集在数轴上表示正确的
是( ) .
A
A. B.
C. D.
[解析] 去括号，得 . 移项，得 .
合并同类项、系数化为1，得 . 故选A.
考点3 变式
（2023·宁波）不等式组 的解在数轴上表示正确的是( ) .
C
A. B.
C. D.
考点4 一元一次不等式（组）的解集
例4 （2023·湖南）解不等式组：
并把它的解集在数轴（图3）上表示出来.
图3
[答案] 由①得 ，
由②得 ，
不等式组的解集为 ，
在数轴上表示其解集如图4：
图4
考点4 变式
（2023·扬州）解不等式组 并把它的解集在数轴上
表示出来.
图5
[答案] （图略）
考点5 求一元一次不等式（组）的特殊解
例5 （2020·潍坊）若关于的不等式组 有且只有3个整数
解，则 的取值范围是( ) .
C
A. B. C. D.
[解析] 不等式组只有3个整数解，
，解得 ，
故选C.
考点5 变式
（2023·宜宾）若关于 的不等式组
所有整数解的和为14，则整数 的值为_______.
2或
单元练习5
一、选择题
1.在下列数学表达式中，属于不等式的是( ) .
B
A. B. C. D.
2.如果 ，那么下列式子错误的是( ) .
D
A. B. C. D.
3.如图1，在数轴上所表示的不等式解集正确的是( ) .
图1
A
A. B. C. D.
4.的与 的和超过2可以用不等式表示为( ) .
B
A. B. C. D.
5.若 ，则下列各式中正确的是( ) .
D
A. B. C. D.
6.不等式组 的解集在数轴上可表示为( ) .
A
A. B.
C. D.
7.若是不等式的一个解，则 的值不可能是( ) .
B
A.3 B.2 C.2.5 D.4
8.若点在第二象限，则 的取值范围是( ) .
C
A. B.或
C. D.
9.若关于的方程的解为正数，则 的取值范围是
( ) .
A
A. B. C. D.
10.有不足30个苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分3个，则剩下2
个苹果．若小朋友的人数为偶数且多于7个，则小朋友的人数为( ) .
B
A.6 B.8 C.10 D.12
二、填空题
11.若，则___（填“ ”“ ”或“ ”）
12.已知关于，的方程组若，则 的值是____.
13.人教版七年级下册数学课本共有如下6章内容：《相交线与平行线》
《实数》《平面直角坐标系》《二元一次方程组》《不等式与不等式组》
《数据的收集、整理与描述》．若某期末试卷要求，每章至少有3道题，
全卷总题数不超过26道题．设本期末试卷的全卷总题数为道题，则
的取值范围是_____________.
14.不等式组的解集是，则 的取值范围是
__________.
15.某市出租车的收费标准是：起步价8元（即行驶距离不超过 都需
付8元车费），超过以后，每增加，加收1.6元（不足 按
计）．某人从甲地到乙地的路程是，出租车费为16元，那么
的最大值是___.
8
16.对有理数，定义运算：，其中， 是常数．如果
，，那么 的取值范围是______.
三、解答题
17.解下列不等式（组），并将其解集表示在数轴上：
（1） ；
[答案] （图略）
（2）
[答案] （图略）
18.某商城A品牌电脑的定价是 元/台，最近，该商城对A品牌电脑举行
团购促销活动．有两种优惠方案，方案一：不论团购数量，每台均按定
价的九折销售；方案二：若团购数量不超过5台，每台按定价销售，若
团购数量超过5台，超过的部分每台按定价的八折销售.某校为了创建义
务教育管理标准化的需要，决定从此商城团购A品牌电脑台 .
（1）当 时，应选择哪种方案，该校购买费用少？费用是多少元？
（结果用含 的代数式表示）
解：当时，方案一: （元），
方案二: （元），
， 选方案二时，该校购买费用少，费用是 元.
（2）若该校采用方案一购买比方案二购买更合算，求 的最大值.
解：根据题意，得，
解得，
为整数， 的最大值为9.
19.先阅读绝对值不等式和 的解法，再解答问题.
①因为，从数轴上（如图2）可以看出只有大于 而小于6的数
的绝对值小于6，所以的解集为 .
图2
②因为，从数轴上（如图3）可以看出只有小于 的数和大
于6的数的绝对值大于6，所以的解集为或 .
图3
（1）的解集为____________， 的解集为_______________．
或
（2）已知关于，的二元一次方程组 的解满足
，其中是负整数．求 的值.
解：由方程组，得， ，
，为负整数，
的值为 ，，， .
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第九章 不等式与不等式组
9.1 不等式
9.1.1 不等式及其解集
自主学习
自主导学
1.不等式：用符号“___”“___”或“___”表示大小关系的式子,叫做不等式.
2.不等式的解：使不等式成立的未知数的____叫做不等式的解.
3.不等式的解集、解不等式：一般地,一个含有未知数的不等式的______
的解,组成这个不等式的______.求不等式的______的过程叫做解不等式.
值
所有
解集
解集
典例分享
例 用不等式表示出下列数量关系：
（1） 与3的差是正数；
解：
（2）与 两数平方的和不大于3.
解： .
方法感悟
1.要抓住题中的关键词所对应的和差倍分,厘清其中的层次关系,明
确运算顺序.
2.要明确是谁跟谁比较大小,仔细斟酌同一数量的大小关系,再选定
不等号.
轻松达标
1.有下列式子：（1）；（2）；（3） ；
（4）；（5）；（6） .其中不等式的个数是( ) .
C
A.2 B.3 C.4 D.5
2.下列各数中,是不等式 的解的是( ) .
D
A.5 B.4 C.3 D.
3.根据“ 的2倍与7的和大于9”所列出的不等式是( ) .
D
A. B. C. D.
4.某钙奶饮料中的包装瓶上标注“每内含钙 ”,它的含义
是指( ) .
C
A.每内含钙 B.每内含钙不低于
C.每内含钙高于 D.每内含钙不超过
5.如图9.1-1,一台天平上放置质量分别为,的两个物体,试比较大小：
___.（填“ ”或“ ”）
图9.1-1
6.方程的解有___个,不等式 的解有______个.
7.在,, 0,, 2中,能使不等式 成立的数是：__________ .
1
无数
0，0.6，2
8.用不等式表示：
（1）与 的差的2倍不大于5;
解：
（2） 除以3的商加上4,结果至少为5.
解：
9.不等式的解集与 有什么不同？在数轴上表示它们时怎样区
别？分别在数轴上把这两个解集表示出来.
解： 两个解集的不同：取不到3， 能取到3
两个解集在数轴上表示的区别：
表示时，端点3处用空心表示，
表示 时，端点3处用实心表示（图略）
10.通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄，通常
规定以树干离地面 的地方作为测量的部位.某棵树栽种时的树围为
,以后树围每年增加约 ,这棵树至少生长多少年,其树围才能超过
？根据题意,完成下面填空：
（1）题目涉及的两个有关系的量,分别是____________________ .
（2）设生长年数为,则树围用 表示为_______.
（3）用文字叙述生长年数与树围满足的不等关系是_________________
_____________________________________.
（4）用适当的不等号表示（3）中的不等关系_____________.
树的生长年数与树围
树围每年的增量与生长年数的积与原树围的和大于规定树围
能力提升
11.如果是一个有理数,我们定义为不小于的最小整数. 如 ,
,,.由定义可知：当时, ,
；当时,, ；
当时,, .
（1）由上述规律可知,与 的大小关系是_______________.
（2）根据上述的结论解决下列问题：
①满足的 取值范围是______________.
②求方程 的解.
[答案] 或
中考链接
12.（2022·丽水）不等式 的解集是______.
13.（2022·桂林改编） 在数轴上表示正确的是( ) .
C
A. B.
C. D.
谈谈这节课的收获
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第九章 不等式与不等式组
9.3 一元一次不等式组
自主学习
自主导学
1.一元一次不等式组：把________________的两个一元一次不等式合起
来，就组成一个一元一次不等式组.
2.不等式组的解集：一般地，几个不等式的解集的__________，叫做由
它们所组成的不等式组的解集.
含同一个未知数
公共部分
3.解不等式组的一般步骤：
（1）分别解不等式组中的________一元一次不等式；
（2）将每个不等式的解集标在______上；
（3）由数轴找出所有解集的__________；
（4）写出不等式组的解集.
每一个
数轴
公共部分
典例分享
例 解不等式组
图9.3-1
解：解不等式①，得 ，
解不等式②，得 .
将不等式的解集在数轴上表示，如图9.3-1：
所以这个不等式组的解集是 .
方法感悟
要注意各解集公共部分是否包括界点；不要只画数轴而不写不等式
组的解集.
轻松达标
1.下列选项中是一元一次不等式组的是( ) .
D
A. B.
C. D.
2.不等式组 的解集在数轴上表示为( ) .
C
A. B. C. D.
3.若不等式组有解，则 的值可以是( ) .
A
A.3 B.4 C.5 D.6
4.解不等式组 请按下列步骤完成解答.
（1）解不等式①，得______．
（2）解不等式②，得________．
（3）把不等式①和②的解集在数轴（图9.3-2）上表示出来：
图9.3-2
[答案] 图略
（4）原不等式组的解集是____________.
5.解不等式组：
[答案]
能力提升
6.关于，的二元一次方程组的解满足是正数， 是
负数，求 的取值范围.
[答案]
7.解不等式组 并求出该不等式组所有整数解的和.
解： 解不等式①，得.解不等式②，得 .所以不等式组的解
集是.其中整数解为， ，0，1.所以所有整数解的和是
中考链接
8.（2023·上海）解不等式组
[答案]
9.（2023·济宁改编）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划
购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3
万元，且购买15个B型充电桩与购买20个购买A型充电桩的金额相等.
（1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
解：设B型充电桩的单价为万元，则A型充电桩的单价为 万元，
根据题意，得，解得. （万元）.
答：A型充电桩的单价为0.9万元，B型充电桩的单价为1.2万元.
（2）该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万
元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的 ．问：共有
哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？
解：设购买A型充电桩个，则购买B型充电桩 个，根据题意，
得解得.为非负整数，
可取14，15，16， 共有三种方案.
方案一：购买A型充电桩14个，购买B型充电桩11个，购买费用为
（万元）；
方案二：购买A型充电桩15个，购买B型充电桩10个，购买费用为
（万元）；
方案三：购买A型充电桩16个，购买B型充电桩9个，购买费用为
（万元），
， 方案三购买总费用最少.
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第九章 不等式与不等式组
9.2 一元一次不等式
第2课时 一元一次不等式的应用
自主学习
自主导学
1.列一元一次不等式解应用题的几个步骤：
（1）审：认真审题,分清________、________及其基本关系.
（2）找：找出题中的__________,抓住题中的关键字眼,如“大于”“小于”
“不大于”“至少”“不超过”“超过”等.
（3）设：设出适当的未知数.
（4）列：根据题中的不等关系,列出________________.
（5）解：解所列的不等式.
（6）答：写出答案,并检验是否符合题意.
已知量
未知量
不等关系
一元一次不等式
2.一些常见的基本关系
（1）利润问题：商品利润_____________,利润率 _________________
___________.
（2）变化率问题：变化量原有量 _______________.
（3）利率问题：利息_________________,本息和 ___________.
（4）数字问题：多位数的表示方法，例如，一个三位数的个位、十位、
百位数字分别是,, ,则这个三位数可以表示为_______________.
售价成本价
（利润成本价）
（变化率）
本金利率期数
本金利息
典例分享
例 某校组织“青春飞羽”羽毛球社团活动.为此，某班级准备购买10副羽
毛球拍和若干盒（不少于10盒）羽毛球，现去市场进行调研，得到的情
况如下：甲、乙两家商店出售同样品牌的羽毛球和羽毛球拍，羽毛球拍
每副定价80元，羽毛球每盒定价25元.经洽谈后，甲店每买一副羽毛球
拍赠一盒羽毛球，乙店全部按定价的八折优惠.
（1）若购买的羽毛球为 盒，则在甲店购买这些羽毛球和羽毛球拍时，
应该支付的费用____________元；在乙店购买这些羽毛球和羽毛球拍时，
应该支付的费用为____________元.（用含 的代数式表示，要求写出化
简后的结果）
[解析] 根据题意得，在甲店购买这些羽毛球和羽毛球拍时，应该支付的
费用为 元；在乙店购买这些羽毛球
和羽毛球拍时，应该支付的费用为元.
故答案为 ， .
（2）当购买多少盒羽毛球时，甲、乙两店花费一样多？
解： 根据题意，得，解得 .
答：当购买18盒羽毛球时，甲、乙两店花费一样多.
（3）当购买22盒羽毛球时，请你设计最省钱的购买方案.
解： 先在甲店购买10副羽毛球拍，再在乙店购买 （盒）
羽毛球更为省钱.理由如下：
若直接在甲店购买，所需总费用为 （元）；
若直接在乙店购买，所需总费用为 （元）；
若先在甲店购买10副羽毛球拍，再在乙店购买12盒羽毛球，所需总费用
为 （元）.
，
先在甲商店购买10副羽毛球拍，再在乙商店购买12盒羽毛球更为省钱.
方法感悟
列不等式的关键在于抓住同一个量“算两次”确定不等关系；在设未
知数时,不能出现如“至少”或“至多”等文字.
轻松达标
1.一次文学知识测验,有20道选择题.评分标准：答对1题给5分,答错1题扣
2分,不答题不给分也不扣分.小明有两道题未答,要使总分不低于60分,那
么小明至少答对的题数是( ) .
B
A.15道 B.14道 C.13道 D.12道
2.某种商品的进价为800元,出售时标价为1200元,后来由于该商品积压,商
店准备打折出售,但要保持利润率不低于 ,则至多可打( ) .
B
A.六折 B.七折 C.八折 D.九折
3.某工程队计划在10天内修路,施工前2天修完 后,计划发生变
化,需要提前2天完成修路任务,以后几天内平均每天至少要修路____ .
0.8
能力提升
4.为提升学生身体素质，某校组织七年级开展“体育赋能,助力成长”班级
篮球赛,共16个班级参加.
（1）比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负,胜一场积3分,负一场积1分.
某班级在15场比赛中获得总积分为41分,该班级胜、负场数分别是多少？
解：设胜了场，负了场，根据题意，得解得
答：该班级胜负场数分别是13场和2场.
（2）投篮得分规则：在3分线外投篮,投中一球可得3分；在3分线内
（含3分线）投篮,投中一球可得2分.某班级在其中一场比赛中,共投中26
个球（只有2分球和3分球）,所得总分不少于56分,该班级在这场比赛中
至少投中多少个3分球？
解：设投中了个3分球，则投中了 个2分球，根据题意，
得，解得.为整数， 最小取4.
答：该班级在这场比赛中至少投中了4个3分球.
中考链接
5.（2023·深圳）某商场在世博会上购置A,B两种玩具,其中B玩具的单价
比A玩具的单价贵25元,且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元.
（1）求A,B玩具的单价.
解：设A玩具的单价为元，则B玩具的单价为 元.根据题意，得
，解得，则B玩具单价为 （元）.
答：A,B玩具的单价分别为50元、75元.
（2）若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍,且购置玩具的
总额不高于20 000元,则该商场最多可以购置多少个A玩具？
解：设购置个A玩具，则购置 个B玩具，根据题意，得
，解得 .
答：最多购置100个A玩具.
6.（2023·赤峰）某公司生产甲、乙两种电子产品共8万件,准备销往东南
亚国家和地区.已知2件甲种电子产品与3件乙种电子产品的销售额相同，
3件甲种电子产品比2件乙种电子产品的销售额多1 500元.
（1）求甲种电子产品与乙种电子产品销售单价各多少元.
解：设甲种电子产品的销售单价是元，乙种电子产品的单价为 元．根
据题意，得解得
答：甲种电子产品的销售单价是900元，乙种电子产品的单价为600元.
（2）若使甲、乙两种电子产品的销售总收入不低于5 400万元,则至少销
售甲种电子产品多少件？
解：设销售甲种电子产品万件，则销售乙种电子产品 万件．
根据题意，得．解得 ．
答：至少销售甲种电子产品2万件.
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第九章 不等式与不等式组
9.1.2 不等式的性质
第1课时 不等式的性质1
自主学习
自主导学
不等式的性质1 不等式两边____________同一个数（或式子）,
不等号的方向不变.如果 ,那么_____________.
加（或减）
典例分享
例 利用不等式的性质1解不等式： .
解 ,
即 .
方法感悟
1.不等式的性质1的本质就是对不等式进行同加或同减同一个数或
式子的变形.
2.“不等号的方向不变”的意思就是原先既定的大小关系没有改变.
3.解未知数为的不等式的目标就是把不等式化为或 的形
式.
轻松达标
1.如果 ,那么下列不等式正确的是( ) .
B
A. B. C. D.
2.若 ,则( ) .
A
A. B. C. D.
3.下列说法中错误的是( ) .
D
A.不等式 的整数解有无数个
B.不等式的解集是
C.若,则
D.不等式的解集是
4.设“”“ ”“ ”分别表示三种不同的物体,现用天平称了两次,情况如
图9.1-2所示,那么“”“ ”“ ”的质量按从大到小的顺序排列为( ) .
B
图9.1-2
A. B. C. D.
5.已知,用“ ”或“ ”填空：
（1）___ ；
（2）___ .
6.用“”或“ ”的形式填空：
（1） ______；
（2） ______.
7.已知老师的年龄为岁,学生的年龄为岁 .
（1）5年前老师的年龄为______岁,学生的年龄为______岁,不等关系可
表示为_____________;
（2）10年后老师的年龄为_______岁,学生的年龄为_______岁,不等关系
可表示为________________.
8.利用不等式的性质解下列不等式,并在数轴上表示其解集.
（1） ；
解：
（2） .
解： （图略）
能力提升
9.某超市第一次以元/台的价格购进某品牌的电饭煲50台,第二次又以
元/台的价格购进该品牌的电饭煲30台.国庆期间促销,以 元/台的价格
把该品牌的电饭煲全部售出.若 ,请你利用不等式的性质说明售
出这种品牌的电饭煲,超市是赚钱了还是赔钱了？
解：超市赚钱了.因为两次购进电饭煲成本为 元，而全部
售出收入是元.因为 ，所以
，即 .
所以超市赚钱了
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人教版七年级数学下册课件
第九章 不等式与不等式组
9.2 一元一次不等式
第1课时 一元一次不等式的解法
自主学习
自主导学
1.一元一次不等式：只含有____个未知数,未知数的次数是___的不等式,
叫做一元一次不等式.
2.解一元一次不等式的基本步骤是：去分母、________、______、
_____________、___________.
一
1
去括号
移项
合并同类项
系数化为1
典例分享
例 解下列不等式,并在数轴上表示解集：
（1） ；
图9.2-1
解： 去括号,得 .
移项,得 .
合并同类顶,得 .
系数化为1,得 .
这个解集在数轴上表示如图9.2-1：
（2） .
图9.2-2
解： 去分母,得 .
去括号,得 .
移项,得 .
合并同类顶,得 .
系数化为1,得 .
这个解集在数轴上表示如图9.2-2：
方法感悟
1.解一元一次不等式与解一元一次方程一样,都是通过“去分母、去
括号、移项、合并同类项、系数化为1”几个步骤解题,只是各自的依据不
同,如果未知数的系数为负数,那么在系数化为1时,要改变不等号的方向.
2.在数轴上表示不等式解集的一般步骤：①画数轴；②定界点；③
定方向.还要特别注意：以界点为基准,大于向右画线,小于向左画线;解集
有等号,界点画实心圆点;解集无等号,界点画空心圆圈.
轻松达标
1.下列关系式中,哪些是一元一次不等式？( )
A
①, ②, ③,
④, ⑤, ⑥ .
A.①② B.①②⑥ C.②④⑤ D.①②③
2.下列解不等式 的步骤中开始出现错误的是
( ) .
D
A. B.
C. D.
3.不等式 的非负整数解有( ) .
D
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.在数轴上表示不等式 的解集,正确的是( ) .
A
A. B.
C. D.
5.解下列不等式,并在数轴上表示解集：
（1） ；
[答案] （图略）
（2） .
[答案] （图略）
能力提升
6.关于的两个不等式①与② .
（1）若两个不等式的解集相同,求 的值；
[答案]
（2）若不等式①的解都是②的解,求 的取值范围.
[答案]
中考链接
7.（2023·江西）今年植树节,某班同学共同种植一批树苗,如果每人种3棵,
则剩余20棵；如果每人种4棵,则还缺25棵.
（1）求该班的学生人数；
解： 设该班的学生人数为人，根据题意，得
，
解得 ．
答：该班的学生人数为45人.
（2）这批树苗只有甲、乙两种,其中甲树苗每棵30元,乙树苗每棵40元.
购买这批树苗的总费用没有超过5 400元,请问至少购买了甲树苗多少棵？
解： 设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗 棵，
根据题意，得，
解得 .
答：至少购买甲树苗80棵.
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人教版七年级数学下册课件
第九章 不等式与不等式组
9.1.2 不等式的性质
第2课时 不等式的性质2和性质3
自主学习
自主导学
1.不等式的性质2 不等式两边______________同一个正数,不等号的方向
______.即如果, ,那么________或______.
2.不等式的性质3 不等式两边______________同一个负数,不等号的方向
______.即如果, ,那么________或______.
乘（或除以）
不变
乘（或除以）
改变
典例分享
例 利用不等式的性质解不等式：
（1） ；
解：不等式两边同加, 得 .
不等式两边同减去8,得 .
不等式两边同除以,得 .
（2） ；
解：去括号,得 .
不等式两边加上2,得 .
不等式两边减去,得 .
不等式两边乘,得 .
（3） .
解：不等式两边都乘6,
得 .
去括号,得 .
不等式两边都加2,得 .
不等式两边都减去,得 .
不等式两边除以,得 .
方法感悟
不等式的性质2和性质3的本质就是对不等式进行同乘或同除以同一
个正数或负数的变形,应用时首先要分清楚不等式两边同乘或同除以的
数是正数还是负数.
轻松达标
1.已知 ,则下列不等式一定成立的是( ) .
D
A. B. C. D.
2.若 ,则下列不等式变形正确的是( ) .
B
A. B.
C. D.
3.由到 成立的条件有( ) .
C
A. B. C. D.
4.若 ,则下列不等式变形中错误的是( ) .
D
A. B. C. D.
5.用一个的值说明命题“因为,所以”是假命题,这个 的
值为____________________________（写出一个即可）.
6.关于的不等式解集为,则 的取值范围是______.
（负数即可，答案不唯一）
7.用“ ”“ ”或“ ”填空：
（1）如果,那么___ ；
（2）如果,那么___ ；
（3）如果,那么___ .
8.用不等式表示下列语句并写出解集,并在数轴上表示解集：
（1） 与3的和不小于6；
解：; （）
（2）的与2的差小于或等于 .
解： ; （图略）
能力提升
9.阅读下列材料,解决问题.
【问题背景】
小明在学习完不等式的性质之后,思考：如何利用不等式的性质1和性质2
证明不等式的性质3呢？
在老师的启发下,小明首先把问题转化为以下的形式：
①已知,.求证 .
②已知,.求证 .
【问题探究】
（1）针对①小明给出如下证明过程,请认真阅读,并填写依据.
证明：,即 是一个负数,
的相反数是正数,即 .
,
（依据是_______________）,
即 ,
不等式的性质2
（依据是_______________）,
合并同类项可得 ,
即 得证.
不等式的性质1
不等式的两端同时加
（2）参考（1）的结论或证明方法,完成②的证明.
，即是一个负数， 的相反数是正数，即
，，即 ，
不等式的两端同时加
可得，
合并同类项可得 ，即 得证.
中考链接
10.（2022·杭州）已知,,,是实数,若, , 则( ) .
A
A. B. C. D.
11.（2022·宿迁）如果 ,那么下列不等式正确的是( ) .
D
A. B. C. D.
12.（2023·安徽）在数轴上表示不等式 的解集,正确的是
( ) .
A
A. B.
C. D.
13.（2022·山西）某品牌护眼灯的进价为240元,商店以320元的价格出售.
“五一”期间,商店为让利于顾客,计划以利润率不低于 的价格降价出
售,则该护眼灯最多可降价____元.
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